PROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR - …sfm.asm.md/ftm/vol6nr1-2/3 probleme,...

Probleme, concursuri, olimpiade 19

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008

PROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR

MECANICĂ F61. Un punct material M se mişcă pe o traiectorie circulară de rază R. La momentul iniţial, t = 0, punctul se afla în poziţia O, după care viteza lui variază în funcţie de timp după legea vτ = αt–βt2, în care α şi β sunt două constante pozitive, iar vτ este proiecţia vectorului viteză v a punctului material pe direcţia versorului τ al tangentei la traiectorie, orientat în sensul pozitiv ales la măsurarea arcului de curbă, adică în sensul creşterii arcului: v = vττ, vτ = v = v.

Să se determine: 1) viteza medie a punctului material pe traiectorie, <v> , în intervalul de timp ∆t dintre

momentul iniţial al mişcării şi momentul când corpul revine în poziţia O. Să se compare rezultatul obţinut cu vitezele medii ale punctului material în prima, a doua şi cea de a treia treime a intervalului ∆t;

2) orientarea rezultantei F a forţelor ce acţionează asupra punctului material în momentul iniţial şi după timpul t' de la începutul mişcării; la sfârşitul fiecărei treimi a intervalului ∆t;

3) puterea medie, dezvoltată (pe unitatea de masă a punctului material) de forţa rezultantă F pe întreaga durată ∆t a mişcării considerate. Să se compare rezultatul obţinut cu puterea medie dezvoltată de forţa F în ultima treime a intervalului ∆t.

Aplicaţie numerică: R =4,0 m; α = 1,8 m/s2; β = 0,20 m/s3 ; t' = 2,0 s; 1/3 ∆t; 2/3 ∆t; ∆t. Conf. univ. dr. Pavel CATANĂ

TERMODINAMICĂ F62. Se dă un vas calorimetric de capacitate calorică Cv şi temperatura iniţială t0, lichidul din el cu capacitatea calorică CL şi temperatura t0. Cu ajutorul unei linguri de laborator se scoate din vas câte o mică cantitate cu capacitatea calorică Cl şi se adaugă imediat aceeaşi cantitate cu Cl şi temperatura de fierbere tf a lichidului considerat. Se cere temperatura după N astfel de operaţii.

Prof. Gheorghe P. GROSU Colegiul Naţional „H. Coandă”, Bacău

ELECTROSTATICĂ F63. Folosind condensatoare de aceeaşi capacitate, C, în etapa I, se conectează un condensator C cu 2C (înseriate) în paralel, formând grupul 1; în etapa a II-a, se conectează grupul 1 cu un C în serie, apoi ansamblul lor în paralel cu 2C (înseriate), formând grupul 2 etc., până în etapa N când se formează grupul n. Se cere capacitatea echivalentă a grupului n.

Prof. Gheorghe P. GROSU Colegiul Naţional „H. Coandă”, Bacău

20 Probleme, concursuri, olimpiade


OPTICĂ F64. O lentilă subţire convergentă având diametrul D = 5,0 cm şi distanţa focală F = 50,0 cm se taie după diametru în două părţi egale care se îndepărtează la distanţa l = 0,50 mm, iar în spaţiul dintre părţi se introduce un mediu opac (v. figura). Pe axa de simetrie a dispozitivului obţinut, la distanţa a = 100 cm de la planul lentilei, se instalează o sursă monocromatică punctiformă de lumină.

Să se determine: 1) distanţă L faţă de dispozitiv, de la care se poate

observa figura de interferenţă; 2) diferenţa de drum optic a razelor marginale emergente, în punctul lor de intersecţie;

numărul franjelor de interferenţă observate pe ecran; interfranja în acest caz, dacă lumina emisă de sursă are lungimea de undă λ = 500 nm.

Prof. dr. Eleodor LUPAŞCU PROBLEMĂ EXPERIMENTALĂ F65. Determinaţi densitatea ρ a materialului din care e confecţionat un tub avînd lungimea L, diametrul exterior D şi diametrul interior d.

Aveţi la dispoziţie: un tub, un vas cu lichid având densitatea cunoscută ρl , riglă milimetrică, şubler, o vergea metalică, un suport, un creion de marcaj, dopuri cu diametrul d (a căror masă se va neglija).

Estimaţi erorile experimentale şi stabiliţi sursa predominantă de erori.

Dr. Simion RAEVSCHI A 38-A OLIMPIADĂ INTERNAŢIONALĂ

DE FIZICĂ IRAN, 13-22 IULIE 2007

A 38-a Olimpiadă Internaţională de Fizică a elevilor a fost găzduită de Iran şi s-a

desfăşurat în perioada 15-17 iulie 2007, în oraşul Isfahan. Echipa naţională a R. Moldova constituită din 5 elevi a fost pregătită la Universitatea de Stat din Moldova de către conf. univ. dr. Igor Evtodiev (USM). Selecţionata R. Moldova a obţinut 2 Medalii de Bronz şi o Menţiune de Onoare.

Participanţilor la olimpiadă li s-au propus trei probleme teoretice şi una experimentală. Fiecare problemă teoretică era apreciată cu câte 10 puncte, iar cea experimentală – cu 20 puncte, Aşadar, fiecare participant putea să obţină maximum 50 puncte. Punctajele minime stabilite pentru Medalii şi Menţiuni de Onoare au fost următoarele:

Medalie de Aur - punctaj minim: 44,0 Medalie de Argint - punctaj minim: 38,0 Medalie de Bronz - punctaj minim: 33,0 Menţiune de Onoare - punctaj minim: 22,0



Rezultatele obţinute de membrii echipei R. Moldova la a 38-a Olimpiadă Internaţională de Fizică

Isfahan, Iran, 13-22 iulie 2007

Nume, prenume Liceul Punctaj total Distincţie Vanovschi Vladimir „Nicolae Milescu-

Spătarul”, Chişinău 36.1 Medalie de Bronz

Abetkin Vitalii Moldo-Turc, Chişinău 28.7 Menţiune de Onoare Cudreaşov Alexandr Moldo-Turc, Chişinău 18.7 - Sanduleanu Ştefan „Mircea Eliade”,

Chişinău 33.0 Medalie de Bronz

Lopuşanschi Mariana „Mircea Eliade”, Chişinău

17.7 -

Publicăm în continuare probele teoretice propuse la Olimpiada din Iran. Proba experimentală, precum şi soluţiile vor fi date în numărul următor al revistei.

PROBELE TEORETICE Duminică, 15 iulie 2007

Proba teoretică durează 5 ore. Proba conţine trei probleme, fiecare fiind punctată cu 10 puncte. Fiecare problemă este marcată printr-o culoare diferită: albastru, portocaliu, roz.



PROBA BLUE (ALBASTRU) În fizică, în orice relaţie de egalitate, ambii membri ai ecuaţiei trebuie să fie de acelaşi tip, adică trebuie să aibă aceeaşi dimensiune. De exemplu, nu este posibilă o situaţie în care membrul drept al unei ecuaţii reprezintă o lungime, iar membrul stâng un interval de timp. Folosind acest fapt, avem câteodată posibilitatea de a deduce aproximativ forma unei relaţii fizice, fără a rezolva problema analitic. De exemplu, dacă ni se cere să determinăm intervalul de timp în care un obiect cade de la înălţimea h , cu acceleraţia gravitaţională constantă g , putem argumenta că este suficient să construim o mărime reprezentând un interval de timp folosind mărimile g şi h şi că singura relaţie posibilă răspunzând acestei cerinţe este

2/1)/( ghaT = . Trebuie remarcat că această soluţie conţine un coeficient nedeterminat a, care fiind adimensional, nu poate fi determinat prin această metodă. Coeficientul poate fi un număr cum ar fi: 1, 21 , 3 , π , sau orice alt număr real. Această metodă de deducere a relaţiilor fizice, este denumită analiză dimensională. În analiza dimensională, coeficienţii adimensionali nu sunt importanţi, şi nu vom avea nevoie să îi exprimăm. Din fericire, în multe probleme de fizică, aceşti coeficienţi sunt de ordinul lui 1 (de ordinul unităţii) şi eliminarea lor nu schimbă ordinul de mărime al cantităţilor fizice. Astfel, aplicând analiza dimensională la problema de mai sus, vom obţine 2/1)/( ghT = . În general, dimensiunile unei mărimi fizice sunt exprimate în funcţie de dimensiunile a patru mărimi fizice fundamentale: M (masă), L (lungime), T (timp), şi K (tempertură). Dimensiunea unei mărimi oarecare, x , este notată prin [ ]x . De exemplu, pentru a exprima dimensional viteza v , energia cinetică kE , şi capacitatea calorică VC vom scrie: 1][ −= LTv ,

22][ −= TMLEk , 122][ −−= KTMLCV .

1. Constante fundamentale şi analiză dimensională

1.1

Găseşte dimensiunile constantelor fundamentale: constanta lui Planck h , viteza luminii c , constanta gravitaţională G şi constanta lui Boltzmann Bk în funcţie de dimensiunile de lungime, masă, timp şi temperatură.

0,8

Conform legii Stefan-Boltzmann, puterea emisivă a unui corp negru (energia totală emisă de unitatea de suprafaţă a corpului negru, în unitatea de timp) este egală cu 4σθ , unde σ este constanta lui Stefan-Boltzmann şi θ este temperatura absolută a corpului negru.

1.2 Determină dimensiunea constantei lui Stefan-Boltzmann în funcţie de dimensiunile lungime, masă, timp şi temperatură. 0,5

Constanta lui Stefan-Boltzmann nu este o constantă fundamentală şi poate fi scrisă în funcţie de constantele fundamentale. Cu alte cuvinte, poate fi scrisă astfel:

δγβασ BkGcha= . În această relaţie a este un parametru adimensional de ordinul lui 1. Aşa cum s-a menţionat înainte, valoarea exactă a lui a nu este semnificativă din punctul nostru de vedere, deci îl vom considera egal cu 1.

1.3 Găseşte α, β, γ, şi δ , folosind analiza dimensională. 1,0



2. Fizica găurilor negre În această parte a problemei, vom dori să găsim câteva proprietăţi ale găurilor negre folosind analiza dimensională. În conformitate cu o teoremă din fizică, cunoscută ca teorema cheliei ( no hair theorem), toate caracteristicile fizice ale unei găuri negre, ce vor fi luate în considerare în această problemă, sunt determinate doar de masa acesteia. O caracteristică fizică principală a găurii negre este aria proprie a orizontului evenimentelor. În mod grosier, orizontul evenimentelor reprezintă marginea găurii negre. În interiorul delimitat de această graniţă, câmpul gravitaţional este atât de intens încât nici măcar lumina nu mai poate ieşi din regiunea închisă de aceasta. Dorim să găseşti o relaţie între masa unei găuri negre, m, şi aria orizontului său, A. Această arie depinde de masa găurii negre, viteza luminii şi constanta universală gravitaţională. La fel ca şi în 1.3, poţi scrie γβα mcGA = 2.1 Foloseşte analiza dimensională pentru a găsi α, β şi γ. 0,8

Din rezultatul de la 2.1 rezultă clar că aria orizontului evenimentelor pentru o găură neagră creşte cu masa ei. Din punct de vedere clasic, nimic nu iese dintr-o gaură neagră şi deci în toate procesele fizice aria orizontului evenimentelor nu poate decât să crească. Prin analogie cu legea a doua a termodinamicii, Beckenstein a propus să se atribuie unei găuri negre entropia S, proporţională cu aria suprafeţei orizontului găurii negre, adică AS η= . Această conjectură a fost întărită ulterior şi de alte argumente.

2.2

Utilizează definiţia termodinamică a entropiei θdQdS = pentru a găsi dimensiunea entropiei. dQ reprezintă schimbul de căldură, iar θ este temperatura absolută a sistemului.

0,2

2.3 La fel ca şi în 1.3, exprimă constanta cu dimensiune η în funcţie de constantele fundamentale h , c , G , şi Bk .

Nu folosi analiza dimensională pentru a rezolva în continuare această problemă; poţi în schimb să foloseşti rezultatele obţinute în secţiunile precedente.

3. Radiaţia Hawking

Cu o abordare semi-cuantică, Hawking a argumentat că în contradicţie cu punctul de vedere clasic, găurile negre emit radiaţie similar emisiei de radiaţie a unui corp negru aflat la o temperatură numită temperatură Hawking.

3.1

Utilizează 2cmE = care exprimă energia unei găuri negre în funcţie de masa acesteia şi legile termodinamicii pentru a exprima temperatura Hawking a găuri negre, Hθ în funcţie de masa ei şi constantele fundamentale. Presupune că gaura neagră nu efectuează lucru mecanic asupra mediului care o înconjoară.

0,8

3.2 Deci masa unei găuri negre izolate variază din cauza radiaţiei Hawking.

Foloseşte legea Stefan–Boltzmann pentru a determina dependenţa ratei de variaţie a masei unei găuri negre izolate, la temperatura Hawking Hθ , a găurii negre, ca funcţie de masa acesteia şi de constantele fundamentale

0,7



3.3 Găseşte intervalul de timp *t , în care o gaură neagră izolată de masă m se evaporă complet, adică pierde toată masa.

1,1

Din punct de vedere al termodinamicii, găurile negre manifestă o serie de comportamente bizare. De exemplu, capacitatea calorică a unei găuri negre este negativă. 3.4 Găseşte capacitatea calorică a unei găuri negre de masă m . 0,6

4. Găuri negre şi radiaţia cosmică de fond Consideră o gaură neagră expusă radiaţiei cosmice de fond. Radiaţia cosmică de fond este radiaţia unui corp negru cu temperatura Bθ care umple tot universul. Un obiect cu aria totală A va recepţiona, în unitatea de timp, o energie egală cu AB ×4θσ . O gaură neagră pierde, deci, energie prin radiaţie Hawking şi primeşte energie de la radiaţia cosmică de fond.

4.1 Găseşte rata de variaţie a masei unei găuri negre în funcţie de masa ei, de temperatura radiaţiei cosmice de fond şi de constantele fundamentale.

0,8

4.2 Pentru o anumită masă *m , rata variaţiei masei găurii negre devine zero. Calculează *m în funcţie de Bθ şi de constantele fundamentale. 0,4

4.3 Foloseşte-ţi răspunsul la 4.2 pentru a înlocui Bθ în răspunsul de la punctul 4.1 şi exprimă rata variaţiei masei unei găuri negre în funcţie de m , *m şi de constantele universale.

0,2

4.4 Găseşte temperatura Hawking a unei găuri negre, în echilibru termic cu radiaţia cosmică de fond. 0,4

4.5 Echilibrul este stabil sau instabil ? De ce ? (justifică-ţi matematic răspunsul) 0,6

PROBA ORANGE (PORTOCALIU) Subiectul acestei probleme se referă la un model simplificat al accelerometrelor proiectate pentru declanşarea air bag-urilor de siguranţă ale automobilelor în cursul unei ciocniri. Dorim să proiectăm un sistem electromecanic în aşa fel, încât atunci când acceleraţia depăşeşte o anumită limită unul dintre parametrii electrici ai sistemului - ca de exemplu potenţialul electric într-un anumit punct al circuitului – să depăşească un prag şi astfel să fie determinată activarea air bag-ului. Notă: În rezolvarea acestei probleme neglijează gravitaţia.

1. Consideră un condensator cu plăci plane, paralele ca în Figura 1. Aria suprafeţei fiecărei plăci a condensatorului este A şi distanţa dintre cele două plăci este d . Distanţa dintre cele două plăci este mult mai mică decât dimensiunile plăcilor. Una dintre aceste plăci este prinsă de un perete prin intermediul unui resort cu constanta de elasticitate k , şi cealaltă placă este fixată. Când distanţa dintre plăci este d , resortul nu este nici comprimat, nici întins. Cu alte cuvinte, resortul este nedeformat şi nici o forţă nu se exercită asupra sa în



această stare. Presupune că permitivitatea aerului dintre plăci este identică cu cea a vidului 0ε . Capacitatea corespunzătoare acestei distanţe dintre plăcile condensatorului este

dAC 00 ε= . Se încarcă plăcile condensatorului cu sarcinile electrice Q+ şi Q− şi se lasă sistemul să atingă echilibrul mecanic.

Figura 1 1.1 Găseşte expresia modulului forţei electrice, EF , care se exercită între plăci. 0,8

1.2 Notează cu x deplasarea plăcii legate la resortul elastic şi determină expresia acestei deplasări x . 0,6

1.3 Pentru starea descrisă mai sus, determină expresia diferenţei de potenţial V dintre plăcile condensatorului în funcţie de kdAQ ,,, . 0,4

1.4 Fie C capacitatea electrică a condensatorului, definită ca raportul dintre sarcina electrică şi diferenţa de potenţial. Determină raportul 0CC ca funcţie de dAQ ,, şi k .

0,3

1.5 Determină energia totală U înmagazinată în sistem în funcţie de dAQ ,, şi k .

0,6

Figura 2 evidenţiază o masă M care este prinsă de două resorturi identice având fiecare constanta de elasticitate k şi de o placă de masă neglijabilă confecţionată din material electric conductor. Această placă se poate mişca înainte şi înapoi în spaţiul dintre cele două plăci conductoare din punct de vedere electric care sunt fixe. Toate plăcile sunt identice şi au aceeaşi arie A . Se poate considera că cele trei plăci constituie două condensatoare. Aşa cum se arată în Figura 2, cele două plăci laterale fixe sunt conectate la potenţiale electrice date V şi V− , iar placa din mijloc este conectată la pământ cu ajutorul unui comutator cu două poziţii. Firul conductor legat la placa mobilă nu perturbă în nici un fel mişcarea acesteia şi cele trei plăci rămân permanent paralele. Când dispozitivul cu condensatoare nu este accelerat, distanţa de la fiecare placă fixă la placa mobilă este d . Această distanţă d este mult mai mică decât dimensiunile plăcilor. Grosimea plăcii mobile poate fi neglijată.

k

d



Figura 2 Comutatorul se poate afla într-una dintre cele două poziţii α şi β . Presupune că dispozitivul cu condensatoare descris mai sus este accelerat cu o acceleraţie constantă, împreună cu automobilul pe o direcţie de-a lungul resorturilor. Presupune că în cursul acestei accelerări constante resorturile nu oscilează şi toate componentele dispozitivului cu condensatoare sunt în poziţii de echilibru, adică nu se mişcă unele faţă de altele şi în consecinţă nici faţă de automobil. Datorită acceleraţiei, placa mobilă se va deplasa pe o distanţă x faţă de poziţia de mijloc dintre cele două plăci fixe.

2. Consideră situaţia când comutatorul este în poziţia α , adică situaţia în care placa mobilă este cuplată printr-un fir conductor la pământ. Răspunde la următoarele cerinţe:

2.1 determină expresia sarcinii fiecărui condensator ca funcţie de deplasarea x ; 0,4

2.2 determină expresia forţei electrice rezultante EF exercitată asupra plăcii mobile ca funcţie de x ;

0,4

2.3 presupune că xd >> şi că termenii de ordinul 2x pot fi neglijaţi în comparaţie cu termenii de ordinul 2d . În această aproximaţie simplifică răspunsul de la secţiunea anterioară 2.2;

0,2

2.4 scrie expresia forţei totale exercitată asupra plăcii mobile (suma dintre forţa electrică şi forţa elastică totală) ca xkefectiv ⋅− şi dedu forma constantei efectivk ;

0,7

2.5 găseşte expresia acceleraţiei a ca funcţie de x . 0,4



3. Presupune că acum comutatorul este în poziţia β astfel încât placa mobilă este conectată la pământ printr-un condensator a cărui capacitate este SC (şi care nu este iniţial încărcat electric). Dacă placa mobilă se va deplasa pe o distanţă x faţă de poziţia sa centrală dintre cele două plăci fixe, atunci

3.1 Determină expresia SV a diferenţei de potenţial de pe condensatorul cu capacitatea SC ca funcţie de x . 1,5

3.2 Presupune din nou că xd >> şi că termenii de ordinul 2x pot fi neglijaţi în comparaţie cu termenii de ordinul 2d . În această aproximaţie simplifică răspunsul de la secţiunea anterioară 3.1.

0,2

4. Dorim să ajustăm parametri din problemă astfel încât air bag-ul să nu fie declanşat la

frânarea normală, dar să se activeze suficient de repede în timpul unei ciocniri pentru a preveni lovirea capului şoferului cu parbrizul sau volanul. Aşa cum a fost precizat în partea 2, forţa exercitată asupra plăcii mobile de către resorturi şi de către sarcinile electrice poate fi reprezentată prin acţiunea unui resort cu o constantă elastică efectivă efectivk . Întregul dispozitiv cu condensatoare este similar unui sistem masă –resort cu masa M şi constanta elastică efectivk supus unei acceleraţii constante a care , în această problemă, este acceleraţia automobilului.

Notă: În această parte a problemei presupunerea că masa şi resortul sunt în echilibru sub acţiunea unei acceleraţii constante şi că în consecinţă sunt fixe în raport cu automobilul nu mai este aplicabilă. Neglijează frecarea şi consideră următoarele date numerice pentru parametrii problemei:

cmd 0,1= , 22105,2 mA −×= , mNk 3102,4 ×= , ( )22120 1085,8 mNC ⋅×= −ε , VV 12= ,

kgM 15,0= .

4.1

Folosind datele de mai sus, găseşte raportul dintre forţa electrică rezultantă a cărei expresie ai determinat-o la secţiunea 2.3 şi rezultanta forţelor exercitate asupra resorturilor şi arată că forţa electrică rezultantă poate fi neglijată prin comparaţie cu rezultanta forţelor elastice.

0,6

Deşi nu ai calculat forţele electrice în cazul în care comutatorul este în poziţia β , se poate arăta într-un mod similar şi pentru această situaţie că forţele electrice sunt atât de mici încât pot fi neglijate.

4.2 Dacă automobilul aflat în mişcare cu viteză constantă, frânează brusc cu o acceleraţie constantă a , care este expresia deplasării maxime a plăcii mobile?

0,6

Presupune că acum comutatorul este în poziţia β şi sistemul este astfel proiectat, încât air bag-ul se declanşează dacă tensiunea electrică pe condensator atinge valoarea VVS 15,0= . Dorim ca air bag-ul să nu se declanşeze în timpul unei frânări normale, când acceleraţia automobilului are valoarea mai mică decât aceea a acceleraţiei gravitaţionale 28,9 smg = , dar să se declanşeze când această valoare este egalată sau depăşită.



4.3 Cât ar trebui să fie valoarea capacităţii SC care asigură acest mod de funcţionare.

0,6

Dorim să ştim dacă air bag-ul se va declanşa suficient de rapid pentru a preveni lovirea capului şoferului de parbriz sau de volan. Presupune că în urma ciocnirii automobilul este supus unei deceleraţii egale cu g dar capul şoferului continuă să se mişte cu viteză constantă.

4.4 Estimând distanţa dintre capul şoferului şi volan, calculează intervalul de timp 1t de la ciocnirea automobilului şi până când capul şoferul ar ajunge să lovească volanul.

0,8

4.5

Calculează intervalul de timp 2t dintre momentul ciocnirii automobilului şi momentul declanşării air bag-ului şi compară-l cu 1t . Decide dacă air bag-ul se declanşează în timp util. Presupune că umflarea air bag-ului este instantanee.

0,9

PROBA PINK (ROZ) Două stele care se rotesc în jurul centrului lor de masă formează un sistem binar de stele. Aproape jumătate dintre stelele din Galaxia noastră sunt sisteme binare. De pe Pământ este dificil de stabilit natura binară a celor mai multe dintre aceste sisteme de stele, întrucât distanţa dintre cele două stele este mult mai mică decât distanţa de la care le observăm de pe Pământ ceea ce face imposibilă observarea lor distinctă cu telescopul. De aceea, pentru a decide că o anumită stea este sau nu este un sistem binar, este necesară folosirea de metode fotometrice şi spectrometrice pentru observarea variaţiilor de intensitate sau de distribuţie a spectrului stelei. Fotometria stelelor binare Dacă ne situăm aproximativ în planul în care se mişcă cele două stele, atunci, din punctul de vedere al observatorului, o stea o poate oculta pe cealaltă (o stea trece prin faţa celeilalte) la anumite intervale de timp, ceea ce conduce la variaţia în timp a intensităţii luminoase a întregului sistem aşa cum aceasta este percepută în punctul de observare. Un astfel de sistem binar de stele este numit binar ecliptic.

1 Presupune că cele două stele se mişcă pe orbite circulare în jurul centrului lor comun de

masă cu viteza unghiulară ω constantă şi că te afli exact în planul de mişcare al sistemului binar. Presupune, de asemenea, că temperaturile la suprafeţele stelelor sunt 1T şi 2T ( 21 TT > ) şi că razele acestora sunt respectiv 1R şi 2R ( 21 RR > ). În figura 1 este prezentat graficul dependenţei intensităţii totale a luminii măsurată de pe Pământ ca funcţie de timp. Măsurări precise evidenţiază că intensităţile corespunzătoare minimelor din figură reprezintă respectiv 90% şi 63% din intensitatea maximă, 0I , provenită de la ambele stele ( 29

0 /108,4 mWattI −×= ). Axa verticală din Figura 1 evidenţiază raportul

0II iar pe axa orizontală este marcat timpul măsurat în zile.



Figura 1. Puterea primită de la sistemul binar de stele ca funcţie de timp. Unitatea de măsurare pe axa verticală corespunde la

290 /108,4 mWattI −×= . Timpul este indicat în zile.

1.1 Găseşte perioada mişcării orbitale. Dă răspunsul în secunde cu două cifre semnificative. Care este pulsaţia sistemului în rad/sec? 0,8

Percepută de pe Pământ, radiaţia unei stele este, cu o bună aproximaţie, similară radiaţiei uniforme emise de un corp negru în formă de disc plat a cărui rază este egală cu raza stelei. Prin urmare, puterea primită de la stea este proporţională cu 4TA ⋅ , unde A este aria discului şi T este temperatura absolută la suprafaţa stelei.

1.2 Utilizează graficul din Figura 1 pentru a determina rapoartele 21 TT şi

21 RR . 1,6

Spectrometria sistemelor binare În această secţiune urmează să calculezi proprietăţile astronomice ale stelei binare folosind date spectrometrice experimentale referitoare la sistemul binar. Atomii absorb sau emit radiaţie cu anumite lungimi de undă caracteristice. În consecinţă spectrul observat al stelei conţine linii de absorbţie datorate atomilor din atmosfera stelei. Sodiul are linia spectrală caracteristică, galbenă, (linia 1D ) cu lungimea de undă 9,5895 Ǻ (10 Ǻ = 1 nm). Vei examina spectrul de absorbţie al sodiului atomic corespunzător acestei lungimi de undă pentru sistemul binar din secţiunea precedentă. Spectrul luminii recepţionate de la sistemul binar este deplasat Doppler deoarece stelele se mişcă în raport cu noi. Fiecare stea are o viteză diferită. Corespunzător, lungimea de undă absorbită de fiecare stea va fi deplasată cu o cantitate diferită. Pentru a observa deplasarea Doppler sunt necesare măsurări foarte precise ale lungimii de undă – deoarece vitezele stelelor sunt mult mai mici decât viteza luminii. Viteza centrului de masă al sistemului binar considerat în această problemă este mult mai mică decât vitezele orbitale ale stelelor. De aceea toate deplasările Doppler pot fi atribuite

I/I0

0II = 0.63

0II = 0.90

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

Timp (zile) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0



exclusiv vitezelor orbitale ale stelelor. În Tabelul 1 sunt prezentate datele spectrale observate, corespunzătoare stelelor din sistemul binar.

Tabelul 1: Spectrul de absorbţie al stelei binare pentru linia 1D a sodiului

2.4 2.1 1.8 1.5 1.2 0.9 0.6 0.3 t/zile 5894.65894.1 5894.35895.15896.25897.25897.7 5897.5 1λ (Å) 5898.15899.0 5898.75897.35896.25893.75892.8 5893.1 2λ (Å)

4.8 4.5 4.2 3.9 3.6 3.3 3.0 2.7 t/zile 5894.35895.0 5896.25897.25897.75897.35896.7 5895.6 1λ (Å) 5898.75897.4 5896.25893.75892.85893.15894.5 5896.4 2λ (Å)

(Notă: Nu este necesar să faci un grafic al acestor date) 2 Folosind datele din Tabelul 1,

2.1 Notează cu 1v şi 2v vitezele orbitale ale fiecărei stele şi determină valorile pentru 1v şi 2v . Viteza luminii este smc /100,3 8×= . (Ignoră toate efectele relativiste).

1,8

2.2 Determină raportul maselor celor două stele ( 21 mm ). 0,7

2.3 Notează cu 1r şi 2r distanţele de la fiecare stea la centrul lor de masă. Determină 1r şi 2r .

0,8

2.4 Fie r distanţa dintre stele. Determină r . 0,2 3 Forţa gravitaţională este singura forţă care acţionează între stele.

3.1 Determină masa fiecărei stele cu două cifre semnificative. Constanta atracţiei gravitaţionale este 21311107,6 −−− ⋅⋅×= skgmG . 1.2

Caracteristici generale ale stelelor 4 Majoritatea stelelor generează energie prin acelaşi mecanism. Din această cauză există o

relaţie empirică între masa unei stele M şi luminozitatea ei, L care reprezintă puterea radiantă totală a stelei. Această relaţie poate fi scrisă sub forma ( )α

SoareSoare MMLL = . În relaţia anterioară kgM Soare

30100,2 ×= reprezintă masa Soarelui, iar WattLSoare

26109,3 ×= este luminozitatea solară. Această relaţie este ilustrată în scară dublu logaritmică (log-log) în graficul din Figura 2.



Figura 2. Luminozitatea stelelor variază ca funcţie de o putere a masei acestora. Graficul este prezentat în scară dublu logaritmică (log-log). Punctul experimental prezentat cu simbolul steluţă reprezintă Soarele a cărui masă este kg30100,2 × şi a cărui luminozitate este Watt26109,3 × . 4.1 Determină α cu o cifră semnificativă. 0,6

4.2 Fie 1L şi 2L luminozităţile stelelor din sistemul binar studiat în secţiunile precedente. Determină 1L şi 2L .

0,6

4.3 Care este distanţa d de la sistemul binar până la noi exprimată în ani lumină? Pentru determinarea distanţei poţi folosi graficul din Figura 1. Un an lumină reprezintă distanţa parcursă de lumină în timp de un an.

0,9

4.4 Care este distanţa unghiulară maximă, θ , dintre stele din punctul din care o

observi? 0,4

4.5 Care este dimensiunea minimă D a aperturii unui telescop care permite observarea distinctă a celor două stele. 0,4

PROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR - …sfm.asm.md/ftm/vol6nr1-2/3 probleme,...

Documents

Transcript of PROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR - …sfm.asm.md/ftm/vol6nr1-2/3 probleme,...