Probabilitat
description
Transcript of Probabilitat
Curs 2013-14 URV 1
Probabilitat
Bioestadística - Medicina
2
Esdeveniments
Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació.
L’espai mostral (Ω) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori
Un esdeveniment A és qualsevol de tots els resultats possibles d’un experiment que compleix una determinada característica AUn esdeveniment A és un subconjunt de l’espai mostral
Operacions amb esdeveniments: Esdeveniment contrari (Ᾱ) Unió d’esdeveniments (A U B) Intersecció d’esdeveniments (A ∩ B)
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
3
Definició de probabilitat
La probabilitat d’un esdeveniment A és el valor límit, quan repetim indefinidament un experiment, del quocient entre el nombre de vegades que es presenta l’esdeveniment A i el nombre de vegades que repetim l’experiment
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
4
Definició de probabilitat
Si repetim infinitament un experiment, la probabilitat de un esdeveniment A es la freqüència relativa de dit esdeveniment
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
5
Definició de probabilitat
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
6
Exemple
En una classe tenim 10 alumnes: Una dona de 18 anys Dos dones de 19 anys Una dona de 20 anys Una dona de 21 anys Una dona de 24 anys Un home de 18 anys Un home de 19 anys Un home de 20 anys Un home de 27 anys
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
7
Exemple
Experiment: Triar a l’atzar un alumne de la classe Espai Mostral:
Ω = { D18, D19, D20, D21, D24, H18, H19, H20, H27 }
Esdeveniment H: Ser Home A = {H18, H19, H20, H27 }
ATENCIO! No tots els resultats tenen la mateixa probabilitat de sortir. El resultat “D19” te el doble de probabilitat de que la resta de resultats.
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
8
Exemple
Quina es la probabilitat de ser home? Esdeveniment H: Ser home.
P(H) =Nombre de casos que compleixen la
característica H----------------------------------------------------------------
Nombre de casos
P(H) = 4 / 10 = 0.4
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
9
Exemple
Quina es la probabilitat de tindre entre 18 i 20 anys? Esdeveniment B: Tindre entre 18 i 20 anys.
P(B) =Nombre de casos que compleixen la
característica B----------------------------------------------------------------
Nombre de casos
P(B) = 7 / 10 = 0.7
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
10
Propietats de la probabilitat
P(Ω) = 1
P(Ø) = 0
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) + P(Ᾱ) = 1P(Ᾱ) = 1 – P(A)
P(A U B) = p(A) +P(B) - P(A ∩ B)
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
11
Exemple: En una mostra de 1000 individus elegits a l’atzar entre una població de malalts d’osteoporosi,760 són dones
Si elegim un individu de la població, quina probabilitat hi ha que sigui dona?
P(dona)=0’76
Quina és la probabilitat que escollit un individu a l’atzar d’aquesta població sigui home?
P(home)= 1-0,76 = 0,24
Propietats de la probabilitat
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
12
Probabilitat condicionada
)()()(
BpBApBAp
S’anomena probabilitat de A condicionada a B,al valor de la probabilitat de A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït :
)()()()()( ABpApBApBpBAp
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
13
Exemple: De la mostra anterior de 1000 malalts d’osteoporosi, tenim 270 fumadors dels quals 190 son dones.
Probabilitat condicionada
Quina es la probabilitat de que un malalt sigui fumador si sabem que es dona?
P(fumar|dona) = P(dona ∩ fumar) / P(dona) = 0.19/0.76 = 0,25 Quina es la probabilitat de que un malat fumador sigui dona?
P(dona|fumar) = P(dona ∩ fumar) / P(fumar) = 0.19/0.27 = 0,704
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
14
Probabilitat condicionada
Dos esdeveniments A i B son independents si el fet de que es presenti un d’ells, no afecta a la probabilitat de que es presenti l’altre: P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Dos esdeveniments A i B son equiprobables si: P(A) = P(B)
Dos esdeveniments A I B son incompatibles si: P(A ∩ B) = 0
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
15
B
A
P(A) = 0’25P(B) = 0’10P(A∩B) = 0’10
Probabilitat de A sabent que ha succeït B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0’8
P(A) = 0’25P(B) = 0’10P(A∩B) = 0’08
B
A
Probabilitat condicionada
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
16
A
B
A
B
Probabilitat de A sabent que ha succeït B?
P(A) = 0’25P(B) = 0’10P(A∩B) = 0’005
P(A) = 0’25P(B) = 0’10P(A∩B) = 0
P(A|B)=0’05 P(A|B)=0
Probabilitat condicionada
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
17
)()()()()()()( 2211 kk ABpApABpApABpApBp )()()( 21 BABABAB k
Ω
A1B AkA2
Teorema de la probabilitat total
Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
18
Teorema de Bayes
iii
iii ABpAp
BApBpBApBAp
)()()(
)()()(
Ω
A1B AkA2
El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
19
P(D)=0’7 P(F|D)=0’1 P(F|H)=0’2
Quin percentatge de fumadors hi ha en total?
P(F) = P(D) P(F|D) + P(H) P(F|H)
= 0’1 x 0’7 + 0’2 x 0’3 = 0’13 = 13%
Si escollim un individu a l’atzar i resulta que és fumador. Quina és la probabilitat de que sigui un home?
P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0’2 x 0’3 / 0’13 = 0’46 = 46%
Exemple: Si en aquesta aula el 70% dels alumnes són dones, entre les dones el 10% són fumadores i entre els homes són fumadors el 20%.
Teorema de Bayes
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV
20
Expressió del problema en forma d‘arbre
Estudiant
Dona
No fuma
Home
Fuma
No fuma
Fuma
0’7
0’1
0’20’3
0’8
0’9 P(F) = 0’7 x 0’1 + 0’3 x 0’2 = 0’13
P(H|F) = 0’3 x 0’2 / P(F) = 0’06 / 0’13
Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV