ASSALAMUALAIKUM

PEMBAHASAN Periodesasi Fungsi Trigonometri Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri Persamaan yang mengandung Jumlah Perbandingan Trigonometri Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c

Periodesasi Fungsi TrigonometriSecara lebih umum lagi dapat dinyatakan: sin (x + k.2) = sin x cos (x + k.2) = cos x tan (x + k.) = tan xDalam hal ini dikatakan bahwa fungsi trigonometri adalah fungsi periodik. Sehingga periode untuk sin x, cos x, cosec x, dan sec x adalah 2 atau 360, periode untuk tan x dan cot x adalah atau 180.

Contoh 1Periode fungsi sin x adalahkarena sin x = sin (x + k.2)

Contoh 2Periode fungsi sin 2x adalah karena sin 2x = sin (2x + k.2)maka, sin 2x = sin 2 (x+ k.)

Contoh 3Periode fungsi cos 3x adalahkarena cos 3x = cos (3x + k.2)maka, cos 3x = cos 3 (x + k. )

Contoh 4Periode fungsi tan 3x adalahkarena tan 3x = tan (3x + k.180)maka, tan 3x = tan 3 (x + k.60)

Contoh 5Periode fungsi sin x adalahkarena sin x = sin ( x + k. 360)maka, sin x = sin (x + k. 540)

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa fungsi trigonometri untuk satu atau beberapa sudut ruang yang tidak diketahui.Misal:Sin 2x = (satu fungsi, satu sudut)Sin x cot 2x - 3 = 0 (dua fungsi, satu sudut)Sin (x-y) 1 = 0 (satu fungsi, dua sudut)Sin (x-y) cos (x-y) = (3 +2) tan y (tiga fungsi, dua sudut)

Yang dimaksud bentuk dasar persamaan trigonometri adalah persamaan yang berbentuk umum :

( dengan x sudut yang tidak diketahui dan k bilangan real )

Dari bentuk-bentuk tersebut dapat langsung ditemukan x nya. Untuk sin x=k dan cos x = k dapat diselesaikan bila -1 k 1.

Karena periodiknya fungsi trigonometri maka penyelesaian umum bentuk-bentuk dasar persamaan pada sebelumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

(1) sin x = sin x = + k.2atau x = ( )+k.2 khusus sin x = 0 x = 0 + k.

(2) cos x = cos x = + k.2 khusus cos x = 0 x = + k.

(3) tan x = tan x = + k. dengan x R dan k bilangan bulat

Contoh soalTentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut, untuk 00 x 3600 :

Contoh SoalTentukan Himpunan Penyelesaiannya :

Contoh SoalTentukan Himpunan Penyelesaiannya :

Persamaan Berbentuksinpx = a, cospx = a dan tanpx = adiselesaikan dengan cara mengubah kepersamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri

Contoh 1: Himpunan penyelesaian sin 3x = , 0 x 180 Jawab: sin 3x = sin 30 maka 3x = 30 + k.360 x = 10 + k.120 k = 0 x = 10 k = 1 x = 10 + 120 = 130

3x = (180 - 30) + k.360 3x = 150 + k.360 x = 50 + k.120 k = 0 x = 50k = 1 x = 50 + 120 = 170Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 10, 50, 130, 170}

Contoh 2: Himpunan penyelesaian cos (x + ) = 2 , 0 x 2Jawab: cos (x + ) = cos (x + ) = + 2k. x = - + + 2k. x = - + 2k. k = 1 x = - + 2 = 1 (x + ) = - + 2k.

(x + ) = - + 2k. x = - - + 2k. x = - + 2k. k = 1 x = - + 2 = Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1, }

Contoh 3: Himpunan penyelesain tan x = 3, 0 x 2 Jawab: tanx = tan x = + 2k. x = + 6k. k = 0, x =

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { }

Contoh 4: Himpunan penyelesaian 2cos x + 1= 0 , 0 x 360Jawab: 2cosx + 1 = 0 2cosx = -1 cosx = - x = 120, 210 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120, 210}

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan ini pada dasarnya seperti aljabar, yaitu:

Diingat bahwa untuk melogaritmakan suku-suku yang berperan adalah kelompok rumus Identitas

Contoh soalTentukan HP dari sin 3 x + sin x sin 2x = 0untuk 0 x 360 .Jawab: sin 3 x + sin x sin 2x = 02 sin 2x cos x sin 2x = 0sin 2x (2 cos x 1) = 0sin 2x = 0 2x = 0 + n.180 x = 0 + n. 902 cos x 1 = 0 cos x = x = 60 + n. 360Maka HP: {0, 60, 90, 180, 270, 300, 360}

Contoh soalcos 3x + cos 2x + cos x = 0 , 0x360. tentukan HP?Jawab:cos 3x + cos 2x + cos x = 02 cos 2x cos x + cos 2x = 0cos 2x (2 cos x + 1) = 0cos 2x = 0 2x = 90 + n.180 x = 45 + n. 90 2 cos x + 1 = 0 cos x = x = 120 + n. 360 Maka HP: {45, 120, 135, 225, 240, 315}

Contoh soal : Selesaikan tan 2x + tan x= tan 3x, 0 x 360Jawab: tan 2x + tan x - tan 3x = 0 tan 3x (1 tan 2x . tan x) tan 3x = 0 tan 3x (1 tan 2x . tan x 1) = 0 tan 3x tan 2x tan x = 0 tan 3x = 0 3x = 0 + n.180 x = 0 + n.60 tan 2x = 0 2x = 0 + n.180 x = 0 + n.90 tan x = 0 x = 0 + n. 180 Maka HP: {0, 60, 90, 120, 180, 240, 270, 300, 360}

Persamaan Kuadrat Perbandingan TrigonometriBentuk Umum:a sinx + b sin x + c = 0a cosx + b cos x + c = 0a tanx + b tan x + c = 0

Persamaan Trigonometriyang berbentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan

Langkah-langkahnya:1. Langsung difaktorkan bila sudah berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan.

Langkah ke-22. Bila belum berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan, ubah dulu ke bentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan,dengan menggunakan: 1. Rumus trigonometri sederhana 2. Rumus trigonomteri sudut rangkap

Rumus PendukungRumus-rumus pendukung untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini terutama dengan rumus Identitas, seperti:(1) sin 2x = 2 sin x cos x(2) cos 2x = cosx - sinx= 2 cosx 1 = 1- 2 sinx(3) tan 2x = 2 tan x 1-tanx

Contoh 1: Himpunan penyelesaian dari 2sin2x + 3sinx 2 = 0, 0 x 360 Jawab: 2sin2x + 3sinx 2 = 0 (2sinx 1)(sinx + 2) = 0 2sin x 1 = 0 atau sinx + 2 = 0 2sin x 1 = 0 2sinx = 1 sinx =

Lanjutan

sinx = sinx = sin 30

x = 30 + k.360

k = 0 x = 30

x = (180 30) + k.360

x = 150 + k.360

k = 0 x = 150

Untuk sinx + 2 = 0, sin x = -2

tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jadi, Hp = { 30, 150}

Contoh 2:Himpunan penyelesaiancos2x + 2cosx = 3, 0 x 360 Jawab: cos2x + 2cosx = 3 cos2x + 2cosx 3 = 0 (cosx + 3)(cosx 1) = 0 cosx + 3 = 0 cosx = -3 tidak ada harga x yang memnuhi

LANJUTAN(cosx + 3)(cosx 1) = 0 cosx - 1= 0 cosx = 1 x = 0, 360 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 360}

Contoh 3:Himpunan penyelesaiantan2x 3 = 0, 0 x 360 Jawab: tan2x 3 = 0 (tanx + 3)(tan - 3) = 0 tanx + 3 = 0 tanx = -3 x = 120, 300

LANJUTAN

(tanx + 3)(tan - 3) = 0 tanx - 3 = 0 tanx = 3 x = 60, 240 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60, 120, 240, 300}

Contoh 4:Himpunan penyelesaiancos2x sinx = 1, 0 x 360 Jawab: cos2x sinx = 1 1 - 2sin2x sinx = 1 sinx(- 2sinx 1) = 0 sinx = 0 atau -2sinx 1 = 0 sin x = 0 x = 0, 180, 360 -2sinx 1 = 0 -2sinx = 1

LANJUTAN -2sinx 1 = 0 -2sinx = 1 sinx = - x = 210, 330 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0, 180, 210, 330, 360}

Contoh 5:Himpunan penyelesaiancos2x 3cosx + 2 = 0, 0 x 360 Jawab: cos2x 3cosx +2 = 0 2cos2x 1 3cosx + 2 = 0 2cos2x 3cosx + 1 = 0 (2cosx 1)(cosx 1) = 0 2cosx 1 = 0 2cosx = 1 cosx =

LANJUTAN(2cosx 1)(cosx 1) = 0 cosx = x = 60, 300cosx 1 = 0 cosx = 1 x = 0, 360Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 60, 300, 360}

Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = cUntuk menyelesaikan persamaana cos x + b sin x = c,c diubah menjadi bentuk k cos (x ),dengan cara:a cos x + b sin x = k cos (x ), k > 0 k (cos x cos + sin x sin ) k cos x cos + k sin x sin k cos . cos x + k sin . Sin x maka:k cos = atan = bk sin = b a

Lanjutank cos = ak sin = b +k (cos + sin) = a + b

k = a + bk = a + b k tertentu

karena k > 0, letak ditentukan oleh cos dan sin , yaitu tanda a dan b.

Contoh :Selesaikan 3 cos x + 4 sin x = 2Jawab :a = 3, b = 4, c = 2k cos (x ) = c k = a+b = 3+4 = 25 = 5 tan = =

= 53,8

LANJUTANk cos (x ) = c5 cos (x 53,8 ) = 2Cos (x 53,8 ) = 0,4X 53,8 = 66,25 + n . 360X1 = 66,25 + 53,8 + n . 360X1 = 119,33 + n . 360 X2 = - 66,25 + 53,8 + n . 360X2 = 346,43 + n . 360

Latihan Soal1. Himpunan penyelesaian persamaan dari cos x + sin x = 1 untuk 0 x 360 adalah A. {15, 255}D. {75, 315}B. {30 , 255}E. {105, 345}C. {60 , 180}

2. Diketahui persamaan 2 sin2x + 5 sinx 3 = 0 untuk -90 x 90, nilai cos x adalah A.D. B.E.C.

3. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0 < x < 360himpunan penyelesaiannya adalah A. {135, 315}D. {75, 315}B. {60 , 255} E. {30 , 180}C. {105, 345}

4. Bentuk (-cos x - sin x) dapat diubah menjadi bentuk A. 2 cos (x - )D. -2 cos (x - )B. 2 cos (x + )E. 2 cos (x - )C. 2 cos (x + )

5. Himpunan penyelesaian sin4x + sin2x = 0, untuk 0 x 360 adalah A. {45, 135, 150, 240, 330, 360}B. {60, 120, 180, 240, 300, 360}C. {30, 135, 150, 270, 300}D. {60, 120, 150, 270, 360}E. {45, 120, 180, 240, 330, 360}

Kunci jawaban Latihan SoalE4. AE5. BA

*