5. Transformasi Integral dan Persamaan Integral - Website...
-
Upload
phungkhanh -
Category
Documents
-
view
243 -
download
0
Transcript of 5. Transformasi Integral dan Persamaan Integral - Website...
5. Transformasi Integral dan Persamaan Integral5.1. Transformasi Integral5.2. Transformasi Laplace5.3. Transformasi Fourier5.4. Persamaan Integral
5.1. Transformasi Integral
Di dalam Fisika Matematika kita sering menjumpai pasangan fungsi yang dihubungkan sbb:
∫=b
a
dttKtfg ),()()( αα
Fungsi g(α) disebut transformasi (integral) dari f(t) dengan kernel K(α,t).
Mapping fungsi f(t) di ruang-t dari fungsi g(α) di ruang-α.
Mengapa kita butuh transformasi integral??
Karena dalam banyak kasus masalah lebih mudah diselesaikan dengan cara transformasi dan inversi.
Kita membutuhkan representasi dalam ruang lain.
Contoh di fisika:
waktu frekuensiruang real ruang momentum
relatif mudah
Problem asalSolusi
problem asal
susah
Problem di ruangtransformasi
Solusi di ruangtransformasi
Transformasi integral
Inverse transformasi
dtetfg ti∫∞
∞−
= α
πα )(
21)(
dtetfg t∫∞
−=0
)()( αα
dtttJtfgb
an∫= )()()( αα
dtttfgb
a∫ −= 1)()( αα
Satu diantara transformasi yang terpenting Fourier
Ada tiga lainnya:
Transformasi Laplace:
Transformasi Hankel ( Fourier-Bessel)
Transformasi Mellin
5.2. Transformasi Laplace
dttFedttFetFLsf sta
st
a)()()}({)(
00lim ∫∫
∞−−
∞→
===
sdteL st 1}1{
0
== ∫∞
−
ksks
dteeeL ktstkt >−
== ∫∞
− untuk,1}{0
Transformasi Laplace f(s) atau L dari F(t) didefinisikan:
Beberapa fungsi sederhana:
1) F(t) = 1, t >0
2) F(t) = ekt, t >0
2211
21)}{cosh(
kss
ksksktL
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++
−=
2211
21)}{sinh(
ksk
ksksktL
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−=
3) Fungsi hiperbolik sinus dan kosinus
Karena:cosh (kt) = ½ (ekt + e-kt) dan sinh (kt) = ½ (ekt - e-kt)
Maka
dan
22)}{cos(ks
sktL+
=
22)}{sin(ks
kktL+
=
10
!}{ +
∞− == ∫ s
nstt
sndttetL
4) Fungsi sinus dan kosinus biasa
dengan menggunakan:cos (kt) = cosh (ikt) dan sin (kt) = −i sinh (ikt)
diperoleh:
dan
5) F(t) = tn
s1
ks −1
22 kss−
22 ksk−
22 kss+
22 ksk+
1!+ns
n
Tabulasi:
tn
sin (kt)
cos (kt)
sinh (kt)
cosh (kt)
ekt
1
f(s)F(t)
Tabel lengkap dapat dilihat di Arfken
)()( 22
2
kssksf+
=
)()( 22 ks
CBssAsf
++
+=
)(1)( 22 ks
ss
sf+
−=
Contoh soal:1. Carilah F(t) bila
Jawab:Fungsi f(s) dapat diuraikan menjadi:
dengan substitusi balik, diperoleh A = 1, B = -1, C = 0, sehingga:
dengan demikian inverse f(s) menjadi:F(t) = 1 − cos (kt)
22)(ks
ssf−
=
2. Carilah F(t) bila
Jawab:Fungsi f(s) dapat diuraikan menjadi:
ksDCs
ksBAssf
−+
+++
=)(
dengan substitusi balik, diperoleh A =0, B = 1/2, C = 0, D=1/2 sehingg
22
22
ksDkCksDsCsBkBsAksAs
−++++−+−
=
∫∞
−=0
)}('{ dtdtdFetFL st
∫∞
−∞− +=0
0)()()}('{ dttFestFetFL stst
Turunan Transformasi Laplaceper-definisi:
integrasi bagian:
= sL{F(t)} – F(0)
kalau diteruskanL{F(2) (t)} = s2 L{F(t)} – sF(t) – F′(0)
dan seterusnya:
L{F(n) (t)} = sn L{F(t)} – sn-1F(t) – sn-1F′ (t) …– F(n-1)(0)
Contoh di Fisika:Kasus osilator harmonis:
A t=0, y =yo, y′=0
F = – ky y′′ + ω2y = 0
Kalau pada persamaan diferensial kita lakukan tranformasi Laplace:
L{ y′′} = – ω2 L{y}s2 L{y} – sy(0) – y′(0) = – ω2 L{y}
masukkan syarat batas, diperoleh:
022}{ ys
syLω+
=
inverse transformasi ini menghasilkan:y = yo cos ωt (seperti yang diharapkan)
Pertanyaan, apabila syarat batas diubah menjadit=0, y =0, y′=vo
apa yang terjadi?(Jawab: y = vo/ω sin ωt, buktikan!)
22)(}sin{
kaskkteL at
+−=
22)()(}cos{
kasaskteL at
+−−
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=∫
∞
ttFLdxxf
s
)()(
Sifat-sifat lain fungsi Laplace1.Substitusi
f(s-a) = L{eatF(t)} (buktikan!)Sehingga:
2. Translasie-bs f(s) = L{F(t-b)} (buktikan!)
3. Turunan suatu transformasiTurunan ke-n:f(n)(s) = L{(-t)n F(t)} (buktikan!)
4. Integrasi suatu transformasi
Contoh kasus: Osilator Teredam
Kasus getaran harmonis teredam:
dengan m,k,b adalah konstan.
Bila kita gunakan kondisi inisial X(0)=X0, X’(0)=0, maka persamaan transformasi menjadi:
dan
0)()()( '" =++ tkXtbXtmX
0)(])([])([ 002 =+−+− skxXsxsbsXsxsm
kbsmsbmsXsx++
+= 20)(
Persamaan terakhir dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat penyebut sbb:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=++ 2
222
42 mb
mk
mbs
mks
mbs
Apabila faktor redaman (damping) kecil, b2<4 km, suku terakhir adalah positif dan sebut sebagai ω1
2
21
20 )2/(/)(
ω+++
=mbs
mbsXsx
21
211
021
20 )2/()2/(
)2/(2/
ωωω
ω +++
+++
=mbs
mbXmbs
mbsX
Kita gunakan
Didapat:
dengan
22)(}sin{
kaskkteL at
+−=
22)()(}cos{
kasaskteL at
+−−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= − t
mbteXtX tmb
11
1)2/(
0 sin2
cos)( ωω
ω
)cos( 1)2/(
1
00 ϕωωω
−= − teX tmb
mk
mb
=
=
20
12tan
ω
ωϕ
RLC AnalogAda keserupakan antara osilator harmonis teredam dengan rangkaian RLC
0=++CqRI
dtdIL
R
C
I
L01
2
2
=++ ICdt
dIRdt
IdL
Dari hukum Kirchchoff:
Didiferensialkan:
0)()()( '" =++ tkXtbXtmX
Analog dengan problem mekanika.
5.3. Transformasi Fourier
dtetfg ti∫∞
∞−
= α
πα )(
21)(
Secara Matematik transformasi Fourier dikembangkan dari deret Fourier. Secara detail dapat dilihat di Arfken.
Inversnya:
dtegtf ti∫∞
∞−
−= ααπ
)(21)(
Berbagai macam bentuk TF
Pasangan transformasi Fourier
∫∞
∞−
−= dteth H(f) fti π2)( ∫∞
∞−
=⇔ dfefHt h fti π2)()(
∫∞
∞−
−= dxexfF xiαα )()( ∫∞
∞−= dxeFxf xiαα
π)(
21)(⇔
∫∞
∞−
−= dkekgxf ikx)(21)(π∫
∞
∞−= dxexfkg ikx)(
21)(π
⇔
∫∞
∞−
−= dkekgxf ikx)(21)(π ∫
∞
∞−= dxexfkg ikx)(
21)(π
∫∞
∞−
−−= dkekgtxf txik )()(21),( ω
π
Di Mekanika Kuantum:
Paket gelombang, f(x), dengan gelombang dalam bilangan gelombang, g(k)
Lebih lengkap:
Jadi cukup banyak cara penulisan transformasi Fourier, pilih salah satu dan harus konsisten!
∫∞
∞−
−= dtethfH iftπ2)()(
)(|)(| fiefH θ
)()(|)(| 22 fIfRfH +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)()(arctan)(
fRfIfθ
Sekarang kita lihat kenyataan bahwa pada umumnya hasil transformasi Fourier adalah fungsi kompleks.
KompleksMaka:
H(f) = R(f) + i I(f)(real) (imaginer)
=fase
dengan