PCSI 1 (O.Granier) Lycée Clemenceau Filtres linéaires

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Olivier GRANIER

Filtres linéaires

(1er ordre - 2ème ordre)


� I - Intérêt de l’étude ; définitions générales :Système linéaire électrique

ou mécanique(réseaux électriques,

suspensions de voitures, atomes excités par des ondes

lumineuses, …

Contraintes extérieures

Réponse du système

Olivier GRANIER

lumineuses, …

ve(t)=Emcosωωωωt« Filtres »

mécaniques ou électriques

vs(t)=Smcos(ωωωωt+ϕϕϕϕ)

L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de saréponse harmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdallorsqu’il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ωωωω.


Filtre du 1er ordre : (vu en SI)

ve(t)=EmcosωωωωtFiltre du

1er ordrevs(t)=Smcos(ωωωωt+ϕϕϕϕ)

)(1

)()()( tvTj

KtvjHtv

ees ωω

+== (Filtre passe-bas)

Olivier GRANIER

1 Tjees ω+

Filtre du 2ème ordre : (vu en SI)

ve(t)=EmcosωωωωtFiltre du

2ème ordrevs(t)=Smcos(ωωωωt+ϕϕϕϕ)

)(

21

)()()(

020

2tv

j

KtvjHtv

ees

ω

ωξ

ω

ωω

+−

== (Filtre passe-bas)


Notations et définitions générales :

tjjsms

tjeme

eeVtveVtvωϕω == )(;)(

ϕϕϕϕ est le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée du filtre.

Olivier GRANIER

d’entrée du filtre. ϕω j

em

sm

e

s eV

V

v

vjH ==)(

H(jωωωω) est la fonction de transfert en tension du filtre :

em

sm

V

VjHG == )()( ωω G(ωωωω) est le gain réel

==

em

smdB

V

VGG log20)(log20)( ωω GdB(ωωωω) est le gain en décibels


Diagramme de Bode :GdB

ϕϕϕϕ

Olivier GRANIER

Échelle logarithmique pour ωωωω


� II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :1) Circuit (R,C) :

a) Aux bornes de C (filtre passe – bas) : étude qualitative

RYA YB

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension) 1

Olivier GRANIER

On pose :

R

Cve vs(Sortie ouverte)

de tension)

esv

jCR

jCv

ω

ω1

1

+

=

ωω

jRCv

vjH

e

s

+==

1

1)(

RC

10 =ω

0

1

1)(

ω

ωω

jv

vjH

e

s

+

==


Le gain et le déphasage s’en déduisent :

2

0

1

1)(

+

=

ω

ω

ωG0

tanω

ωϕ −=

0cos >ϕ

−∈ 0,

2

πϕ

Olivier GRANIER

0 ω 0cos >ϕ

Etude asymptotique du gain :

dBGetG dB 01)(:)10

(1 0

0

≈≈<<< ωω

ωω

ω

−≈≈>>>

0

00

0

log20)(:)10(1ω

ω

ω

ωωωω

ω

ωdBGetG

( ) dBGetG dB 32log202

1)(: 00 −≈−=≈= ωωω


Animations JavaDiagramme de Bode (voir cours de SI) :

log(ω / ω0)

ω0 / 100 ω0 / 10 ω0 10ω0 100ω0

Olivier GRANIER

GdB

Pente de -20 dB/décade

ωωωω0 est la pulsation de coupure (de cassure) à

– 3 dB

[0,ωωωω0000] est la bande passante du filtre



log(ω/ω0)

Olivier GRANIER

ϕ

−π/2

Filtre passe-bas

esvvPour =<< :1

0ω

ω


1) Circuit (R,C) :

b) Aux bornes de R (filtre passe – haut) : étude qualitative

CYA YB

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)

esv

Rv

1+

=

Olivier GRANIER

On pose :

Rve vs(Sortie ouverte)

es

jCR

ω

1+

ω

ωω

jRC

jRC

v

vjH

e

s

+==

1)(

RC

10 =ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω0

0

0

1

1

1

)(

jj

j

v

vjH

e

s

−

=

+

==


Le gain et le déphasage s’en déduisent :

2

01

1)(

+

=

ω

ωωG

ω

ωϕ 0tan =

0cos >ϕ

∈

2,0π

ϕ

Olivier GRANIER

ω 0cos >ϕ

Etude asymptotique du gain :

≈≈<<<

00

0

0

log20)(:)10

(1ω

ω

ω

ωω

ωω

ω

ωdBGetG

dBGetG dB 01)(:)10(1 00

≈≈>>> ωωωω

ω

( ) dBGetG dB 32log202

1)(: 00 −≈−=≈= ωωω


log(ω/ω0)


ωωωω0 est la pulsation de

Olivier GRANIER

GdB Pente de

20 dB/décade

ωωωω0 est la pulsation de coupure (de cassure) à

– 3 dB

[ωωωω0000,,,,∞] est la bande passante du filtre


π/2


Filtre passe-haut

Olivier GRANIER

ϕ

log(ω/ω0)

Filtre passe-haut

es vvPour =>> :10ω

ω


� II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :2) Circuit (R,L) :

a) Aux bornes de R (filtre passe – bas) : étude qualitative


LYA YB

Olivier GRANIER

On pose :

de tension)

esv

jLR

Rv

ω+=

ωω

R

Lj

v

vjH

e

s

+

==

1

1)(

L

R=0ω

0

1

1)(

ω

ωω

jv

vjH

e

s

+

==

R

YA YB

ve vs(Sortie ouverte)


� II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :

RYA YB

2) Circuit (R,L) :

b) Aux bornes de L (filtre passe – haut) : étude qualitative


Olivier GRANIER

On pose :

es vjLR

jLv

ω

ω

+=

ω

ωω

R

Lj

R

Lj

v

vjH

e

s

+

==

1

)(

L

R=0ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω0

0

0

1

1

1

)(

jj

j

v

vjH

e

s

−

=

+

==

Lve vs(Sortie ouverte)

de tension)


� II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :

RYA

YB

3) Cas d’une sortie « non ouverte » :

On reprend l’exemple du circuit (R,L) : la bobine est reliée à une résistanced’utilisation Ru.

On se ramène à la règle du diviseur de tension :

Olivier GRANIER

éqéq

éq

e

s

yRRz

z

v

vjH

+=

+==

1

1)( ω

L

R

ve vsRu

uéq

éq RjLy

z

111+==

ω

diviseur de tension :

ω

ω

L

Rj

R

RjH

u

−

+

=

1

1)(


Soit l’expression de la fonction de transfert :

ω

ω1

)(1

1)(

LRR

RRj

RR

RjH

u

uu

u

+−

+=

On pose :

Olivier GRANIER

u

u

u

u

RR

RA

LRR

RR

+=

+= ;

)(0ω

ω

ωω

01

1)(

j

AjH

−

=Fonction de transfert « normalisée »

d’un filtre passe – haut, de gain maximum A et de pulsation de

coupure ωωωω0.

Remarque : 1)(

, 0 →→+

=∞→ AetL

R

LRR

RRRsi

u

uu ω


� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :1) Circuit (R,L,C) série :

a) Aux bornes de C en sortie ouverte (filtre passe – bas) :

étude qualitative

i L La règle du diviseur de tension donne :

Olivier GRANIER

C

i

ve

L

R

vs ωωω

ω

ωω

jRCLC

jCjLR

jCjH

+−=

++

=21

1

1

1

)(

La règle du diviseur de tension donne :

020

2

21

)(

ω

ωσ

ω

ωω

j

KjH

+−

=

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :


Par identification :

1;2;1

0

20 === KjjRC

LC ω

ωσωω

D’où :

1;22

1;

100 ==== K

L

CRRC

LCωσω

Olivier GRANIER

020

2

21

1)(

ω

ωσ

ω

ωω

j

jH

+−

=

2200

LLC

2

0

2

20

2

21

1)(

+

−

=

ω

ωσ

ω

ω

ωG

[ ])0,,0(sin

1

2

tan

20

2

0 πϕϕ

ω

ω

ω

ωσ

ϕ −∈<

−

−=


Il y a « résonance de tension aux bornes de C (« Résonance de charge »), c’est à dire correspondant à une tension aux bornes de C maximale, pour une pulsation ωωωωr du GBF telle que :

En se référant à l’étude des oscillateurs mécaniques (réponse en élongation), on obtient :

Olivier GRANIER

<

2

1σavec2

0 21 σωω −=r

Et la tension maximale aux bornes de C à la « résonance de charge » est :

merms VV ,2

,

12

1)(

σσω

−=


Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d’amortissement σσσσ (Q = 1/2σσσσ, et noter que σσσσ s’identifie au coefficient ξξξξ utilisé en SI) :

2

1

2

11

20 >−= QavecQ

r ωω

Olivier GRANIER

merms V

Q

QV ,

2

,

4

11

)(

−

=ω

Remarque : pour de faibles amortissements (σσσσ «faible» et Q «grand»), alors :

merms QVV ,, )( ≈ω

Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.

0ωω ≈r et


Comportement asymptotique du gain :2

0

2

20

2

21

1)(

+

−

=

ω

ωσ

ω

ω

ωG

dBGetGPour dB 01)(),10

(1 0 ≈≈<<< ωω

ωω

ω

Olivier GRANIER

Dans ce dernier cas, on obtient une droite de pente -40 dB/décade.

Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,ωωωω0/10] et [10ωωωω0,∞].

Dans l’intervalle [ωωωω0/10,10ωωωω0], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de σσσσ (existence ou non d’une résonance).

dB100ω

−≈

≈>>>

0

2

00

0

log40)(),10(1ω

ω

ω

ωωωω

ω

ωdBGetGPour


log(ω/ω0)

σ = 0,02

σ = 0,05

σ = 0,2

Tracé du diagramme de Bode :

Olivier GRANIER

GdB

σ = 0,6

σ = 1

σ = 3

σ = 5

Pente de -40 dB/décade Animation Cabri


log(ω/ω0)

σ = 0,02

σ = 0,05


Olivier GRANIER

ϕ

−π

−π/2

σ = 0,05

σ = 0,1

σ = 0,2

σ = 0,6

σ = 1

σ = 3

σ = 5

Animation Cabri



b) Aux bornes de R en sortie ouverte (filtre passe – bande) :

étude qualitative

La règle du diviseur de tension donne :L

Olivier GRANIER

−+

=

++

=

ωω

ωω

ω

CL

R

j

jCjLR

RjH

11

1

1)(


Kj

K

j

j

jH

−+

=

+−

=

ω

ω

ω

ω

σω

ωσ

ω

ω

ω

ωσ

ω0

0020

2

0

21

1

21

2

)(

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :C

ve(t) R vs

L


Par identification :

12 ===CR

σω

D’où (rapport membres à membres) :

1;2

1;

2

1 0

0

=== KRCR

L

σ

ω

σω

Olivier GRANIER

1;2

;12

0 === KL

CR

LCσω

−+

=

+−

=

ω

ω

ω

ω

σω

ωσ

ω

ω

ω

ωσ

ω0

0020

2

0

21

1

21

2

)(j

j

j

jH

)2

,2

,0(cos2

1tan 0

0

−∈>

−−=

ππϕϕ

ω

ω

ω

ω

σϕ

2

0

024

11

1)(

−+

=

ω

ω

ω

ω

σ

ωG


Il y a « résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité »), correspondant à une tension aux bornes de R maximale, pour une pulsation du GBF égale à la pulsation propre ωωωω0000 du circuit (RLC) série :

1=ω

Résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité ») :

Olivier GRANIER

LC

10 =ω

Et la tension maximale aux bornes de R à la « résonance d’intensité » est :

mems VV ,, =

Bande passante : (voir définition et calcul en mécanique)

QL

Rcc

002;

12

ωσωωωωω ==∆=−=∆


Comportement asymptotique du gain :

)2log(20log202)(),10

(100

0

0

σω

ω

ω

ωσω

ωω

ω

ω+

≈≈<<< dBGetGPour

2

0

02

4

11

1)(

−+

=

ω

ω

ω

ω

σ

ωG

Olivier GRANIER

Dans les 2 cas, on obtient des droites de pente ±20 dB/décade.

Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,ωωωω0/10] et [10ωωωω0,∞], en tenant compte de la valeur de σσσσ.

Dans l’intervalle [ωωωω0/10,10ωωωω0], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de σ.σ.σ.σ.

10 000 ωωω

)2log(20log202)(),10(10

00

0

σω

ω

ω

ωσωωω

ω

ω+

−≈≈>>> dBGetGPour


log(ω/ω0)


Animation Cabri

Olivier GRANIER

GdB

σ = 0,02

σ = 0,05

σ = 0,1

σ = 0,2

σ = 0,6

σ = 1

σ = 3 20 dB/décade


+π/2

σ = 0,02


Animation Cabri

Olivier GRANIER

ϕ

−π/2

log(ω/ω0)

σ = 0,3



c) Aux bornes de L en sortie ouverte (filtre passe – haut) :

étude qualitative

La règle du diviseur de tension donne :R

Olivier GRANIER

ωω

ω

ωω

ωω

jRCLC

LC

jCjLR

jLjH

+−

−=

++

=2

2

11)(


K

j

jH

020

2

20

2

21

)(

ω

ωσ

ω

ω

ω

ω

ω

+−

−

=


C

ve(t)

R

vsL


Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :

1;22

1;

100 ==== K

L

CRRC

LCωσω

2

ω

Olivier GRANIER

020

2

20

2

21

)(

ω

ωσ

ω

ω

ω

ω

ω

j

jH

+−

−

=

πϕϕ += −− baspassehautpasse

2

0

2

2

20

2

20

41

)(

+

−

=

ω

ωσ

ω

ω

ω

ω

ωG

Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bas


log(ω/ω0)

σ = 0,02 Tracé du diagramme de Bode :

Olivier GRANIER

GdB

σ = 3

Animation Cabri


π

σ = 0,02


Animation Cabri

Olivier GRANIER

ϕ π/2

log(ω/ω0)

σ = 3



d) Aux bornes de (C + L) en sortie ouverte (filtre réjecteur ou coupe - bande) :

étude qualitative


Olivier GRANIER

ve ωω

ω

ωω

ωω

ωjRCLC

LC

jCjLR

jLjC

jH+−

−=

++

+

=2

2

1

1

1

1

)(


K

j

jH

020

2

20

2

21

1

)(

ω

ωσ

ω

ω

ω

ω

ω

+−

−

=


C

L

R

vs


Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :

1;22

1;

100 ==== K

L

CRRC

LCωσω

−ω 2

1 1)( =ωG

Olivier GRANIER

−

+

=

+−

−

=

ω

ω

ω

ω

σω

ω

ωσ

ω

ω

ωω

0

020

2

20

21

1)(

21

1

)(

jjH

j

jH

πϕϕ ±= −baspasseréjecteur

Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bande

2

0

241

1)(

−

+

=

ω

ω

ω

ω

σωG


log(ω/ω0) σ = 0,02

σ = 3


Olivier GRANIER

GdB

σ = 3


π/2

σ = 0,02

σ = 3


Olivier GRANIER

ϕ

−π/2

log(ω/ω0)


� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :2) Conclusion sur les filtres du 2nd ordre :

2

0

2

000

11

21

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωσ jjj

Qj

PASSE - BANDEPASSE - HAUT

Olivier GRANIER

K

Q

jK

j

jH

020

2

020

2

121

)(

ω

ω

ω

ω

ω

ωσ

ω

ωω

+−

=

+−

=

PASSE - BAS

PASSE - BANDEPASSE - HAUT

REJECTEUR

ωωωω0 : pulsation propre du filtre ; Q : facteur de qualité et σσσσ : facteur d’amortissement (σσσσ = 1/2Q).

Ces grandeurs dépendent de la nature du filtre (voir exemples à suivre).


� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :3) Quelques exemples de filtres du 2nd ordre :

Animation Cabri

(Pont de Wien)

Olivier GRANIER

(Pont de Wien)

Animation Java

(Wien, Colpitts, …)

Voir également feuilles de TD


� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :4) Circuit parallèle (RLC) en sortie « non ouverte » :

Cv (t)

R

vsL Ru

uéq R

jCjL

y11

++= ωω

v

Etude qualitative

Olivier GRANIER

ve(t) vsL Ru

éqe

s

yRv

vjH

+==

1

1)( ω

−+

+

=

ωω

ω

LCjR

R

RjH

u

11

1)(

u

u

u

u

u

RR

RR

CC

L

RR

RR

RK

LC

+==∆

+=

+==

12;

11

2

1

;1

0

0

σωωσ

ω


� IV – Exemples de filtres actifs (du 1er ou du 2ème ordre) :

Animation Java

(Structure de Rauch)

1) Structure de Rauch :

Olivier GRANIER

(Structure de Rauch)

Animation Java

(Filtre de Sallen-Kay)

2) Filtre de Sallen - Kay :



3) Mise en cascade de deux filtres du 1er ordre :

Montage suiveur

2

22

1

1

1

)(;

1

1)(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

j

j

jH

j

jH

+

=

+

=

Olivier GRANIER

∞ -

+ R1

R2 vs

ve

C2

C1

Sortie

ouverte

Filtre passe-bas du

1er ordre (ωωωω1=1/R1C1)Filtre passe-haut du

1er ordre (ωωωω2=1/R2C2)

21 ωω

Le montage suiveur permet de multiplierles deux fonctions de transfert (valablesen sortie ouverte) :

+

+

==

2

2

1

21

11

1

ω

ω

ω

ω

ω

ωj

j

j

HHH



3) Mise en cascade de deux filtres du 1er ordre :

∞ -

C2 Sortie

ouverte 21

2

2

0

−+

=

ω

ω

ω

ωσ

ω

ωσ

K

j

j

H

Olivier GRANIER

+ R1

R2 vs

ve C1

12 21

21

210

21

1

00

>+

=

=

+=

ωω

ωωσ

ωωω

ωω

ω

ωω

K

Filtre passe-bande du 2nd ordre peu sélectif (σ σ σ σ > 1)



On choisit :

21,2,1 ϕϕϕ +=+= etGGG dBdBdB

12

11 .300;.500 −− == sradsrad ωω

dBG ,1 dBG ,2

dB3−

Olivier GRANIER

dBdBdB GGG ,2,1 +=

2102 ωωσωω +==∆

59,2

)log(log 210

=

= ωωω

dB4log2021

1 −=+ ωω

ω

dB3−


� V – Etude du régime transitoire à partir de la fonction de transfert :

-

∞

+

(1-k)R

R2 R1

C1

A

Exercice n°8 : (stabilité d'un montage)

L'AOP est idéal. On posera :

/1;/1 222111 == CRCR ωω

Olivier GRANIER

(1-k)R

kR

e vs

C2 10;21

222111

<<= kc ωωω

evjH s /)( =ω

a) Dans l'hypothèse de la stabilité d'un tel montage, déterminer la fonction de transfert d'un tel montage :

b) Montrer qu'il existe une valeur critique kc de k telle que le système est instable pour 0 < k < kc et stable pour kc < k < 1.

PCSI 1 (O.Granier) Lycée Clemenceau Filtres linéaires

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