Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé -...

MacXIair:MPSI:Electricité:Cours E 4 Sinusoidal forcé ds - 9 décembre 2011 page 1 / 6

Im

- Um

- Im

T

une alternance

€

T2

Umcos ϕu

Imcos ϕi Δt

Δt

Um

uR(t)

i(t)

t

Electrocinétique 4

Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé

I. Régime sinusoïdal forcé

Un dipôle est en régime sinusoïdal forcé s'il est soumis à une tension sinusoïdale u = Umcos (ωt + ϕu) ou traversé par un courant d'intensité i = Imcos (ωt + ϕi) depuis un temps suffisant.

Le régime est forcé car la pulsation ω est imposée par une source extérieure au dipôle.

Donc tous les appareils branchés sur le secteur fonctionnent en régime sinusoïdal forcé.

I.1. Généralité du problème

On montre que tout signal e(t) réel peut être décomposé en une somme de fonctions sinusoïdales de pulsations différentes. Cette somme est discrète dans le cas des signaux périodiques et intégrale dans le cas général. Echappent à cette règle les signaux aléatoires (pourtant fréquents) nécessitant un traitement mathématique en dehors de notre portée.

Nous étudierons dans un prochain chapitre les montages, appelés filtres, qui permettent de décomposer un signal périodique quelconque en plusieurs signaux sinusoïdaux.

La tension u(t) aux bornes d'un quelconque des dipôles linéaires d'un circuit alimenté par une tension e(t) est, par superposition, la somme des tensions ui que l'on aurait aux bornes de ce dipôle si le

générateur délivrait un signal sinusoïdal pur de pulsation ωi. Donc pour déterminer u il suffit de traiter n fois

le problème du dipôle alimenté par une tension sinusoïdale pure et de faire la somme des n résultats.

Conclusion, on ne limite pas le domaine d'étude quand on étudie uniquement le régime sinusoïdal forcé.

I.2. Caractéristiques du régime sinusoïdal forcé

Soient u = Umcos (ωt + ϕu)

et i = Imcos(ωt + ϕi)

Les valeurs maximales Um et Im de u et dei sont

appelées amplitude et sont donc positives.

ω (s-1) est la pulsation, F(Hz) =

€

ω2 ⋅ π

la

fréquence et T(s) =

€

2 ⋅ πω

=

€

1F

la période.

ϕu est la phase de u à l'origine des dates, et ϕi est la phase de i à l'origine des dates.

En moyenne sur une période : < i > =

€

1T

€

0

T∫ i(t)dt = 0 et < u > =

€

1T

€

0

T∫ u(t)dt = 0.

ϕu- ϕi est le déphasage de la tension par rapport à l'intensité. Sur le schéma, la tension est en avance

sur l'intensité donc ϕu- ϕi > 0. A l'inverse si ϕu- ϕi < 0 l'intensité serait en avance sur la tension.

I.3. Cas des composants parfaits

Soit une source délivrant un courant i(t) = Imcos(ωt) et relié à un dipôle parfait. Autrement dit on a choisi l'origine des dates telles que ϕi = 0.

• On peut écrire pour une résistance pure : uR(t) = Ri(t) = RImcos(ωt ) → la

tension aux bornes de la résistance est en phase avec l'intensité du courant et lui est simplement proportionnelle, ce qui est bien utile quand on veut visualiser i(t) avec un oscilloscope.

• Pour une bobine pure : uL = L

€

didt

= - LωImsin(ωt) = Lω Imcos(ωt +

€

π2

) donc la tension aux

bornes d'une bobine pure est en avance de phase de

€

π2

(quadrature avance) par rapport à l'intensité du

courant qui la traverse ou le courant en retard de

€

π2

par rapport à la tension.

• Pour un condensateur parfait : uC =

€

q t( )C

=

€

1C

€

∫ i(t) =

€

1C ⋅ω

Imsin(ωt) =

€

1C ⋅ω

Imcos(ωt -

€

π2

)

donc la tension aux bornes d'un condensateur parfait est en retard de phase de

€

π2

(quadrature retard) par


rapport à l'intensité du courant qui le traverse ou le courant en avance par rapport à la tension.

⇒ Chacune des tensions : uR, uL, uC est une fonction sinusoïdale du temps qui peut être mise sous la

forme u = Umcos(ωt + ϕu/i) où ϕu/i = ϕu- ϕi.

I.4. Impédances - admittance

Par définition : Z =

€

UmIm

est l'impédance du dipôle en ohms et Y =

€

ImUm

=

€

1Z

est l'admittance en

siemens du dipôle.

Pour chaque dipôle pur, on peut écrire u = ZImcos(ωt + ϕu/i) ou i = YUmcos(ωt + ϕi/u)

Dipôle parfait R L C

Z (Ω) R Lω

€

1C ⋅ω

Y (S) G =

€

1R

€

1L ⋅ω

Cω

On remarque que Z et Y dépendent du dipôle et de la pulsation.

Comme nous le savions déjà, en régime continu (ω = 0) l'impédance d'un condensateur est infinie, ce qui veut dire qu'il est équivalent à un interrupteur ouvert et celle d'une bobine pure est nulle, ce qui veut dire qu'elle est équivalente à un interrupteur fermé.

I.5. Lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff (nœuds et mailles) s'appliquent à chaque instant.

Soit un dipôle formé de l'association en série de plusieurs composants parfaits traversés par le courant i(t) = Imcos (ωt) . Exemple un dipôle RLC série.

Les tensions s'ajoutent → uR(t) + uL(t) + uC(t) = uRLC(t) devient en utilisant ce qui précède :

ZCImcos (ωt –

€

π2

) + RImcos (ωt) + ZLImcos (ωt +

€

π2

) = ZRLCImcos (ωt + ϕu/i)

Attention la loi des mailles ne s'applique qu'aux valeurs instantanées et pas aux valeurs maximales Um ≠ URm + ULm + UCm.

L'impédance d'une association en série n'est pas la simple somme des impédances des dipôles associés.

• Soit un dipôle formé de l'association en parallèle de plusieurs composants parfaits ayant à leurs bornes la tension u = Umcos(ωt). Autrement dit ici on choisit l'origine des dates telle que ϕu = 0

Exemple un dipôle RLC parallèle : loi des nœuds : iR(t) + iD(t) + iC(t) = i(t) = Im cos (ωt + ϕi/u)

iR(t) = YRUmcos(ωt) = IRmcos (ωt) est en phase avec u

iL(t) = YLUmcos(ωt –

€

π2

) = ILmcos (ωt –

€

π2

) est en quadrature retard par rapport à u

iC(t) = YCUmcos(ωt +

€

π2

) = ICmcos (ωt +

€

π2

) est en quadrature avance par rapport à u

→ YRUmcos(ωt) + YLUmcos(ωt –

€

π2

) + YCUmcos(ωt +

€

π2

) = YRLCUmcos (ωt + ϕi/u).

La loi des nœuds ne s'applique qu'aux valeurs instantanées et Im ≠ IRm + ILm + ICm.

L'admittance d'une association de dipôles en parallèle n'est pas la simple somme des admittances des dipôles associés.

I.6. Du régime transitoire au régime sinusoïdal forcé

Exemple : dipôle RC alimenté par une source parfaite de tension sinusoïdale

La source délivre une tension sinusoïdale e(t) = Ecos(ωt). Lorsqu'on ferme l'interrupteur du circuit on produit pour ce dipôle une perturbation brutale. Quelle est la réponse du dipôle RC à cette perturbation ?

Loi des mailles : uR + u = e(t) soit Ri + u = Ecos (ωt) avec i = C

€

dudt

→RC

€

dudt

+ u = Ecos (ωt).


La solution de l'équation différentielle :

€

dudt

+

€

uR ⋅C

=

€

ER ⋅C

cos (ωt) est la somme de la solution

générale u1(t) de l'équation

€

dudt

+

€

uR ⋅C

= 0 et d'une solution particulière u2(t) de l'équation complète.

Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, u1(t) = A

€

e−

tτ si τ =

€

1R ⋅C

, donc au bout d'une durée

de quelques τ, u1 est nul et u(t) = u2(t).

Donc la solution particulière de l'équation complète correspond au régime permanent sinusoïdal forcé.

I.7. En conclusion

L'étude du régime sinusoïdal forcé nécessite donc des méthodes particulières : les caractéristiques des dipôles dépendent de la fréquence (sauf pour R), et ne suivent pas les lois d'associations habituelles.

Le régime permanent correspond à la solution particulière de l'équation différentielle dont le second membre est une fonction sinusoïdale du temps.

II. Méthodes de résolution

II.1. Principe

Comme d'habitude, on cherchera cette solution de la même forme que le second membre donc de forme sinusoïdale de même pulsation ω.

Cette hypothèse est validée par l'expérience : quand on soumet un dipôle, RLC par exemple, à une tension sinusoïdale de fréquence F, on voit sur un oscilloscope que la tension aux bornes du condensateur est une tension sinusoïdale de même fréquence F.

On peut dire que u1(t) = Um1cos (ωt + ϕ1) est l'abscisse d'un vecteur

€

U 1 de norme Um1 faisant un

angle α1 = (ωt + ϕ1) avec l'axe des abscisses. A t = 0 α1(0) = ϕ1.

De même u2 = Um2cos(ωt + ϕ2) abscisse d'un vecteur

€

U 1 de norme Um2 faisant un angle

α2 = (ωt + ϕ2) avec l'axe des abscisses. A t = 0 α2(0) = ϕ2.

La somme u(t) = u1(t) + u2(t) est l'abscisse du vecteur

€

U =

€

U 1 +

€

U 2. Il faut donc faire une somme

vectorielle pour déterminer u(t).

L'addition des abscisses Umcos (ωt + ϕ) = Um1cos (ωt + ϕ1) + Um2cos (ωt + ϕ2) pose problème

dès que Um1 ≠ Um2. Mais l'addition des vecteurs du plan peut se faire :

par une méthode graphique

en utilisant l'affixe u = Um[cos (ωt + ϕ) + jsin (ωt + ϕ)] de

€

U dans le plan complexe.

II.2. Méthode graphique de Fresnel

II.2.1. Cas du dipôle RLC série

Tension vecteur associé norme angle à t = 0

uC

€

C ZCIm ωt -

€

π2

–

€

π2

uL

€

L ZLIm ωt +

€

π2

€

π2

uR

€

R ZRIm = RIm ωt 0

u(t)

€

U ZRLC (ωt + ϕu/i) ϕ u/i

L'additivité des tensions s’écrit : uC + uL + uR = u(t). Donc, à

chaque instant, le vecteur

€

U =

€

R +

€

C +

€

L .

La résolution du problème peut se faire par la construction de ces vecteurs à une date quelconque, on choisit t = 0.

Remarque : on peut représenter les vecteurs de norme Um = ZIm ou les vecteurs de norme Z.

R

uR(t)

uL(t) uC(t)

L C

i(t)

R

ZL

ZC

Zϕu/i

u(t)


On lit sur la figure : ZRLC =

€

R2 + L ⋅ω−1

C ⋅ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

. Pour déterminer ϕu/i sans ambiguïté il faut deux fonctions

trigonométriques : tan ϕu/i =

€

L ⋅ω−1

C ⋅ωR

et cos ϕu/i =

€

RZ

> 0.

Connaissant l'intensité et chacune des impédances, on peut déterminer chacune des tensions ou connaissant la tension u(t) et les impédances, on peut déterminer l'intensité et chacune des tensions.

II.2.2. Cas du dipôle RLC parallèle

En parallèle, on applique la loi des nœuds : i = iR + iL + iC = u(YR + YL + YC).

On représentera donc des vecteurs associés aux intensités (ou aux admittances Y), les intensités i = Imcos (ωt + ϕ) (ou les admittances) étant les abscisses des vecteurs de norme Yu (ou Y) faisant, à

t = 0, un angle ϕ avec l’axe des abscisses.

Si on prend ϕ = 0 à t = 0 pour la résistance → ϕ = 0 pour u qui est de la forme u = Umcos ωt.

Pour la bobine : u = L

€

diLdt

→ iL = ILsin (ωt) = ILcos (ωt –

€

π2

).

Au contraire iC = C

€

dudt

= - ICsin ωt = ICcos (ωt +

€

π2

).

On lit sur la figure YRLC =

€

G2 + C ⋅ω−1

L ⋅ω⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

, et tan ϕi/u =

€

C ⋅ω−1

L ⋅ωC

avec cos ϕi/u =

€

GY

> 0.

II.3. Méthode complexe

II.3.1. Présentation

• u(t) = Umcos(ωt + ϕ) est la partie réelle du nombre complexe u = Um[cos(ωt + ϕ) + jsin(ωt + ϕ)]

Un nombre complexe z = a + jb peut être écrit z = Zejϑ où Z =

€

a 2 +b 2 est son module et ϑ son

argument ϑ = arctan

€

ba

= arcsin

€

bZ

= arccos

€

aZ

.

Donc la fonction u(t) = Umcos(ωt + ϕ) est la partie réelle de u = Umej(ωt + ϕ) = Umejωtejϕ

Par définition l'amplitude complexe de u(t) est U = Um ejϕ → u = Uejωt

• Toute opération linéaire sur des fonctions sinusoïdales peut être appliquée aux complexes associés.

En effet si z(t) = kx(t) où k est un réel alors z = kx et son amplitude complexe est Z = kX.

Si z(t) est la dérivée de x(t) par rapport au temps alors z(t) est la dérivée de x(t) = Xejωt

→ z(t) = jωXejωt et son amplitude complexe est Z = jωX.

Si z(t) est une primitive de x(t) de moyenne nulle (ce qui revient à dire que la constante

d'intégration est nulle) alors z(t) est une primitive de x(t) et son amplitude complexe est Z =

€

Xj ⋅ω

.

II.3.2. Conséquences

• En régime sinusoïdal forcé les lois de Kirchhoff peuvent être appliquées aux grandeurs complexes associées.

La loi des nœuds

€

k∑ ik(t) =

€

k∑ Ikejωt = ejωt

€

k∑ Ik = 0 doit être vraie à chaque instant →

€

k∑ Ik = 0

La loi des mailles

€

k∑ u

k(t) = 0 peut s'écrire :

€

k∑ Uk = 0 en utilisant les amplitudes complexes.

Donc toutes les méthodes de résolution vues dans les chapitres 1 et 2 sont valables en régime sinusoïdal forcé à condition qu'on utilise la notation complexe.

Les formules du diviseur de tension et du diviseur de courant sont vérifiées par les amplitudes complexes des tensions ou des courants en remplaçant les résistances par des impédances ou les conductances par des admittances. Même chose pour la loi de nœuds en termes de potentiel.

G

YL

YC

Yϕi/u


III. Dipôles linéaires en régime sinusoïdal forcé

III.1. Impédance complexe

A la tension u(t) = Umcos(ωt + ϕu) aux bornes d'un dipôle on associe le complexe u = Uejωt et à

l'intensité i(t) = Imcos(ωt + ϕi) qui le traverse on associe le complexe de i = Iejωt.

Les amplitudes complexes de u(t) et i(t) sont respectivement U = Umejϕu et I = Imej ϕi.

III.1.1. Définition

L'impédance complexe Z du dipôle est le rapport Z =

€

UI

=

€

UmIm

ej(ϕu-ϕi) = R + jX en convention

récepteur. La partie réelle R (Ω) est la résistance et la partie imaginaire X (Ω) la réactance du dipôle.

L'impédance du dipôle est le réel Z =

€

UmIm

. C'est le module

€

R2 +X2 de Z.

L'argument du rapport de deux nombres complexes : Arg

€

z1

z2

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ = Arg[z1]- Arg[z2]

L'argument de Z donne le déphasage entre les signaux : ϕZ = Arg[Z] = Arg [U] - Arg[I] = ϕu - ϕi.

déphasage de la tension aux bornes du dipôle par rapport à l'intensité du courant qui le traverse.

De même, on définit l'admittance complexe par Y =

€

IU

= G + jB où G (S) est la conductance et B (S)

la susceptance du dipôle. C'est l'inverse de l'impédance complexe

Noter le très utile : ZY = 1 pour tout dipôle.

L'admittance du dipôle est le réel Y =

€

ImUm

. C'est le module

€

G2 +B2 de Y.

L'argument ϕY= ϕi - ϕu de Y est le déphasage de l'intensité du courant à travers le dipôle par rapport à

la tension à ses bornes et ϕY = - ϕZ.

III.1.2. Cas des composants parfaits

• Résistor : u(t) = Ri(t) → U = RI et Z =

€

UI

= R est un réel → Z = R et Y = G =

€

1R

sont des réels →

ϕu - ϕi = ϕZ = - ϕY = 0. On retrouve l'intensité en phase avec la tension.

• Bobine parfaite : u(t) = L

€

didt

→ U = L(jωI) → Z =

€

UI

= jLω est un imaginaire pur de module

Z = Lω et d'argument ϕu - ϕi = ϕZ = +

€

π2

.

• Condensateur parfait i(t) = C

€

dudt

→ I = jCωU → Z =

€

UI

=

€

1j ⋅C ⋅ω

est un imaginaire pur de

module Z =

€

1C ⋅ω

et d'argument ϕu - ϕi = ϕZ = -

€

π2

.

• Résumé

Résistance Z = R Z = R X = 0 Y =

€

1R

G =

€

1R

B = 0

Bobine pure : Z = Lω Z = jωL R = 0

X = Lω Y =

€

1j ⋅L ⋅ω

G = 0

B = -

€

1L ⋅ω

Condensateur parfait : Z =

€

1C ⋅ω

Z =

€

1j ⋅C ⋅ω

R = 0

X = -

€

1C ⋅ω

Y = jCω

G = 0 B = Cω

Cas général : Y = G + j•B =

€

1Z

=

€

1R + j ⋅X

=

€

R − j ⋅X

R2 + X2 → G =

€

R

R2 + X2 et B = -

€

X

R2 + X2


III.1.3. Associations

• En série :

€

k∑ Uk =

€

k∑ ZkI = I

€

k∑ Zk → L'impédance complexe Z d'une association de dipôles en série

est la somme des impédances complexes des dipôles associés.

• En parallèle :

€

k∑ Ik =

€

k∑ YkU = U

€

k∑ Yk → L'admittance complexe Y d'une association de dipôles en

parallèle est la somme des admittances complexes des dipôles associés.

III.2. Dipôle RC

III.2.1. Utilisation des impédances complexes

On cherche à exprimer la tension u(t) aux bornes du condensateur du montage ci – contre. u(t) est de la forme u(t) = Um•cos(ω•t + ϕ) donc on

cherche Um et ϕ.

On reconnaît un diviseur de tension donc u(t) = e(t)

€

u t( )u t( ) +u R t( )

.

En remplaçant les fonctions du temps par leurs amplitudes complexes on obtient : U = E

€

UU +UR

.

U = ZI → U = E

€

ZCZC +ZR

= E

€

ZCZC +ZR

€

YCYC

= E

€

11 +YC ⋅ZR

=

€

E1 + j ⋅ω ⋅R ⋅C

.

Le module de U est Um =

€

E

1 + ω ⋅R ⋅C( )2.

Arg

€

z1

z2

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ = Arg [z1] - Arg [z2] = Arg [z1] + Arg [z2*] où z2* est le complexe conjugué de z2.

L'argument de U est ϕ = Arg [1 - jRCω] → tan ϕ = - RCω et cos ϕ =

€

1Um

> 0 → -

€

π2

≤ ϕ ≤ 0.

III.2.2. Réponse à une perturbation

Reprenons le cas du dipôle RC alimenté à partir de t = 0 (fermeture de l'interrupteur) par une source parfaite de tension sinusoïdale.

La loi des mailles conduit à l'équation différentielle :

€

dudt

+

€

uR ⋅C

=

€

ER ⋅C

cos (ωt) dont nous

cherchons une solution particulière sous la forme u2 = Umcos (ωt + ϕ).

La solution s'obtient en remplaçant l'équation différentielle vérifiée par u(t) par l'équation complexe

associée vérifiée par u(t) = Uejωt.

Les dérivées de Uejωt s'écrivent (jω)nUejωt → en simplifiant par ejωt on aboutit à l'équation complexe vérifiée par l'amplitude complexe U de u(t).

jωU +

€

1R ⋅C

U = (jω +

€

1R ⋅C

)U =

€

1R ⋅C

E. Dans ce cas particulier E = E.

→ la solution : U =

€

E1 + j ⋅ω ⋅R ⋅C

. On retrouve évidemment le même résultat.

Finalement u2(t) =

€

E

1 + ω ⋅R ⋅C( )2cos [ωt - atan(ωτ)].

Et la solution complète de est u(t) = A

€

e−

tτ +

€

E

1 + ω ⋅R ⋅C( )2cos [ωt - arctan(ωτ)] où A est fixé

par les conditions initiales.

Seul le premier terme dépend des conditions initiales → il représente le régime transitoire.

Le second terme donne le régime permanent sinusoïdal forcé. Nous voyons qu'il dépend de la pulsation imposée ω.

Nous étudierons cette dépendance dans notre prochain chapitre.

R

uR(t)

u(t)

q(t) C

i(t)e(t)K

Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé -...

Documents

Transcript of Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé -...