PCSI 1 (O.Granier) Lycée Clemenceau Le théorème de...

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Le théorème de Gauss

Olivier GRANIER


I – Flux du champ électrostatique

Définition :Soit E(M) un champ électrostatique défini dans un domaine de l’espace.

(C) orienté

Surface (ΣΣΣΣ)

Surface élémentaire dS

nr )(ME

r

M

θSoit (ΣΣΣΣ) une surface dont le contour (C) est orienté de manière arbitraire.

Le choix de cette orientation conditionne le choix du vecteur normal unitaire à la surface élémentaire dS centrée en M (règle du tire-bouchon ou de la main droite).

Olivier GRANIER


(C) orienté

Surface (ΣΣΣΣ)

Surface élémentaire dS

nr )(ME

r

M

θ

On appelle flux élémentaire dΦΦΦΦ du champ E à travers la surface dS orientée la quantité :

Le flux total du champ E à travers toute la surface est alors :

dSnMEdrr

).(=Φ

∫∫Σ=Φ

)().( dSnMErr

Intérêt physique du flux :

Le flux « compte » les lignes de champ qui traversent la surface (le flux est maximal lorsque θ θ θ θ = 0 et nul pour θ θ θ θ = ππππ/ 2 ).

dSMEd θcos)(=Φ

Olivier GRANIER


Surface fermée (ΣΣΣΣ)

dS

nr

)(MEr

M

Cas d’une surface fermée :Exemples de surfaces fermées (elles délimitent un volume fini) :

Le vecteur normal n est choisi, par convention, dirigé vers l’extérieur du volume délimité par la surface fermée.

On définit alors le flux sortant à travers la surface fermée, que l’on note :

∫∫Σ=Φ

)().( dSnMES

rr

Olivier GRANIER


II – Le théorème de GaussLe théorème de Gauss permet d’évaluer le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée, en fonction des charges contenues àl’intérieur de cette surface.

On considère une charge ponctuelle q placée en O et on choisit comme surface fermée la sphère ΣΣΣΣ(O,r) de centre O et de rayon r.

On évalue le flux sortant du champ électrique à travers ΣΣΣΣ(O,r).

O dS

M

runrr

=

)(MEr

rur

qME

rr

204

1)(

πε=

dSuMEdSnMEd rS

rrrr).().( ==Φ

dSr

qd S 2

0

1

4πε=Φ

q

ΣΣΣΣ(O,r)

Olivier GRANIER


En intégrant sur toute la sphère (sur laquelle r est constant) :

0

2

20

20

)4(1

4

1

4 επ

πεπε

qsoitr

r

qS

r

qSsphèreS =Φ==Φ

Généralisation : on considère des charges ponctuelles qint placées àl’intérieur d’un volume délimité par une surface fermée (ΣΣΣΣ) quelconque.

qint

qint

qint

dSM

nr

)(MEr

Volume intérieur (V)


∑

∫∫=Φ

=ΦΣ

int

0

)(

1

).(

q

dSnME

S

S

ε

rr

Olivier GRANIER


qext dS1

M11nr

)(1 MEr


)(2 MEr

2nr

M2 dS2

Le flux sortant du champ créé par la charge qext à travers la surface fermée est nul (les flux à travers dS1 et dS2 se compensent deux à deux : les champs diminuent comme 1 / r2 mais les surfaces dS augmentent comme r2).

Cas de charges extérieures à la surface fermée :

r1

r2

Olivier GRANIER


Le flux du champ sortant d’une surface fermée est égal au produit par 1/εεεε0de la somme des charges intérieures à la surface ; ce flux est indépendant de leur position et de la présence de charges extérieures.

Énoncé du théorème de Gauss :

Les charges qint et qext créent un champ E en tout point M de l’espace.

qint

qint

qint

dSM

nr

)(MEr



∑

∫∫=Φ

=ΦΣ

int

0

)(

1

).(

q

dSnME

S

S

ε

rr

qext

Olivier GRANIER


Cas d’une répartition volumique de charges :

Soit ρρρρ la densité volumique de charges.

dSM

nr

)(MEr



∫∫∫∫∫ ==ΦΣ )(

0)(

)(1

).(V

S dPdSnME τρε

rr

ρρρρ

ρρρρ

Olivier GRANIER


2q - q

Nombre de lignes : les lignes partant de + 2q sont deux fois plus nombreuses que celles qui arrivent en – q.

Topographie du champ électrostatique

Olivier GRANIER


III – Applications du théorème de Gauss

Méthode de raisonnement : choix d’une surface de Gauss (ΣΣΣΣ) puis :

∑∫∫ ==ΦΣ

int

0)(

1).( qdSnMES

ε

rr

Calcul direct du flux en utilisant les propriétés de symétrie fortes du champ

(si elles existent !)

Calcul des charges intérieures àla surface de Gauss choisie.

L’identification des deux expressions du flux sortant donne ensuite la valeur du champ en tout point de l’espace.

Olivier GRANIER


1 – Sphère ΣΣΣΣ(O,R) uniformément chargée en volume :

ρρρρ

Mr

O

rurEMErr

)()( =

rur

ΣΣΣΣ(O,R)

Surface de Gauss ΣΣΣΣ(O,r)

)(4

)()(

.)(

).(

2

),()(

)(

)(

rEr

SrEdSrE

dSuurE

dSnME

S

rOS

rrS

S

π=Φ

==Φ

=Φ

=Φ

ΣΣ

Σ

Σ

∫∫

∫∫

∫∫rr

rr

Olivier GRANIER


ρρρρ

Mr

O

rurEMErr

)()( =

rur

ΣΣΣΣ(O,R)

Surface de Gauss ΣΣΣΣ(O,r)

Si r > R :

Si r < R :

Q désignant la charge totale portée par la sphère ΣΣΣΣ(O,r).

QRq == ρπ 3int

3

4

QR

rrq

3

3int

3

4

== ρπ

Olivier GRANIER


L’application du théorème de Gauss donne alors :

Pour r > R :

C’est équivalent au champ dû à une charge ponctuelle Q placée en O.

Pour r < R :

Le champ varie linéairement avec la distance au centre r (il est notamment nul au centre de la sphère).

rur

QEet

r

QrE

rr

20

20 4

1

4

1)(

πεπε==

rR

Qur

R

QEetr

R

QrE r

rrr

30

30

30 4

1

4

1

4

1)(

πεπεπε===

Olivier GRANIER


R0

204

1

R

Q

πε

E(r)

r

204

1

r

Q

πε

Représentation graphique du champ E(r) (pour Q > 0) :

Olivier GRANIER


Détermination du potentiel :

La relation intrinsèque entre le champ et le potentiel donne ici, en coordonnées sphériques :

Pour r > R :

en ayant choisit V(r) nul à l’infini (pas de charges à l’infini).

On retrouve l’expression du potentiel créé par une charge ponctuelle Q placée en O.

dr

dVrEVgradE −=⇒−= )(

r

r

QrVoùd

r

Q

dr

dV

02

0 4

1)('

4

1

πεπε=−=

Olivier GRANIER


Pour r < R :

KrR

QrVsoitr

R

Q

dr

dV+−=−= 2

30

30 4

1

2

1)(

4

1

πεπε

La constante K s’obtient en écrivant la continuité du potentiel en r = R :

Soit :

R

QK

R

QKR

R

QRV

0

0

2

30

4

1

2

3

4

1

4

1

2

1)(

πε

πεπε

=

=+−=

−=

2

2

0

34

1

2

1)(

R

r

R

QrV

πε

Olivier GRANIER


R0

R

Q

04

1

πε

V(r)

r

r

Q

04

1

πε

Représentation graphique du potentiel V(r) (pour Q > 0) :

R

Q

04

1

2

3

πε

Olivier GRANIER


2 – Sphère uniformément chargée en surface :


Pour r > R : (avec Q = 4ππππR2σσσσ)

C’est équivalent au champ et au potentiel dus à une charge ponctuelle Q placée en O.

Pour r < R :

Le champ est donc nul à l’intérieur de la sphère chargée en surface.

Il y a continuité du potentiel pour r = R.

r

QrVu

r

QE

r

QrE r

02

02

0 4

1)(;

4

1;

4

1)(

πεπεπε===

rr

R

QcsteVEq

0

int4

1;0;0

πε====

rr

Olivier GRANIER


R0

204

1

R

Q

πε

E(r)

r

204

1

r

Q

πε

Représentation graphique du champ E(r) (pour Q > 0) :

02

04

1

ε

σ

πε==∆

R

QE

Discontinuité« habituelle »

du champ

Olivier GRANIER


R0

R

Q

04

1

πε

V(r)

r

r

Q

04

1

πε

Représentation graphique du potentiel V(r) (pour Q > 0) :

Le potentiel est continu

en r = R

Olivier GRANIER


3 – Cylindre infini uniformément chargé en volume :

M

O

x

y

z

ρρρρ

rurEMErr

)()( =

r

rur

∞

∞

H

P

Olivier GRANIER


M

O

x

y

z

ρρρρ

rurEMErr

)()( =

r

rur

∞

∞

H

h

Surface de Gauss (cylindre (C) d’axe Oz, de hauteur h

et de rayon r)

ΣΣΣΣ1

ΣΣΣΣ2

ΣΣΣΣlat

Olivier GRANIER


∫∫∫∫∫∫

∫∫

ΣΣΣ++=Φ

=Φ

)()(2

)(1

)(

.)(.)(.)(

.)(

21 lat

dSuurEdSnurEdSnurE

dSnME

rrrrS

CS

rrrrrr

rr

)(2 rEhrS π=Φ

10 nucar r

rr⊥= 20 nucar r

rr⊥=

)(2)(.)()()(

rEhrdSrEdSuurElatlat

rrS π===Φ ∫∫∫∫ ΣΣ

rr

Calcul direct du flux sortant :

Olivier GRANIER


ρπ hRq2

int =

Calcul des charges intérieures :

Pour r > R :

Pour r < R :


Pour r > R :

Pour r < R :

.

ρπ hrq2

int =

rur

RMEet

r

RrE

rr 2

0

2

0 2)(

2)(

ε

ρ

ε

ρ==

rurMEetrrErr

00 2)(

2)(

ε

ρ

ε

ρ==

Olivier GRANIER


Détermination du potentiel :La présence de charges à l’infini ne permet pas d’annuler le potentiel àl’infini. On choisit arbitrairement la surface du cylindre (pour r = R) au potentiel nul, par exemple.

Pour r > R :

Pour r < R :

Par continuité du potentiel en r = R, on obtient :

KrRrVdoncr

R

dr

dV+−=−= )ln(

2)(

2

2

0

2

0 ε

ρ

ε

ρ

'22

1)(

2

2

00

KrrVdoncrdr

dV+−=−=

ε

ρ

ε

ρ

)ln(2

)(2

0 r

RRrV

ε

ρ=

( )22

04)( rRrV −=

ε

ρ

Olivier GRANIER


4 – Plan infini uniformément chargé en surface :

σσσσ

O

xy

z

M

MS

zuzEMErr

)()( =

zS uzEMErr

)()( −=

(S)

(S)

2z

Surface de Gauss

Olivier GRANIER


0

E(z)

z

Représentation graphique du champ E(z) (pour σσσσ > 0) :

Discontinuité« habituelle »

du champ

02ε

σ

02ε

σ−

0ε

σ=∆E

Olivier GRANIER


5 – Charges volumiques positives entre deux plans (ex n°8) :

Des charges positives sont contenues entre les deux plans x = + a et x = - a, avec une densité volumique uniforme ρρρρ.

Calculer le champ et le potentiel en tout point de l'espace On admet que le plan x = 0 est au potentiel V0.

ρρρρ

0

y

x

z

M

Olivier GRANIER


0

E(x)

x

Représentation graphique du champ E(x) (pour ρρρρ > 0) :

0ε

ρa

0ε

ρa−

a- a

0

00

)(:

)(:)(:

ε

ρ

ε

ρ

ε

ρ

xxEaxa

axEax

axEax

=<<−

=>−=−<

Le champ est ici continu

(propriété des distributions volumiques)

Olivier GRANIER


0

V(x)

x

Représentation graphique du potentiel V(x) (pour ρρρρ > 0) :

0V

a- a

02

0

0

0

2)(:0

2)(:

VxxVax

Va

xa

xVax

+−=<<

+

+−=>

ε

ρ

ε

ρ

Le potentiel est une fonction paire.

La pente du potentiel est continue en x=+a

et x=-a.

)(aV

Olivier GRANIER


6 – Théorème de Gauss et principe de superposition (ex n°12) :

On considère un plan infini percé d'un trou circulaire de rayon R, et chargé uniformément en surface.

A l'aide du principe de superposition, calculer le champ électrostatique en un point M situé sur l'axe du trou.

σσσσ

O

xy

zM (z)

Olivier GRANIER


IV – Théorème de Gauss pour le champ gravitationnelAnalogies formelles :

∑∫∫ ==ΦΣ

int

0)(

1).( qdSnMES

ε

rr

rélec ur

qQf

rr

204

1

πε=

rgrav ur

mMGf

rr

2−=

G−⇔04

1

πε

mq ⇔

∑∫∫ −==ΦΣ

int)(

4).( mGdSnMGS πrr

Olivier GRANIER


Exemples (ex n°16) :

Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ gravitationnel créépar une sphère de masse M en tout point de l'espace, dans les deux cas suivants :

*** Sphère creuse (densité surfacique σσσσ = cste).

*** Sphère pleine (masse volumique ρρρρ = cste).

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