ONDES - OPTIQUE - ÉLECTRICITÉ · Stanislas-PCSI Concours Blanc de PHYSIQUE N 1 -...

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Stanislas - PCSI Concours Blanc de PHYSIQUE N 1 - 19/12/13 - durée 4H Corrigé ONDES - OPTIQUE - ÉLECTRICITÉ I. Modulation d’amplitude et de phase 1. Modulation d’amplitude 1.1. Fabrication du signal modulé 1. Le montage conduit à v s = ku 1 u 2 + u 2 = u 2 (1 + ku 1 ), d’où l’expression proposée avec m = kU m . 2. Comme ω p ω m , on a un signal porteur rapide dont l’amplitude est modulée lentement par le signal modulant : 3. On décompose v s en série de Fourier grâce aux relations du formulaire : v s = 1 2 mU 0 cos((ω p - ω m )t)+ U 0 cos(ω p t)+ 1 2 mU 0 cos((ω p + ω m )t) . Il y a donc 3 composantes spectrales, toutes situées dans les hautes fréquences 1 . D’où le spectre : ω A n 1 2 mU 0 U 0 0 ω p + ω m ω p ω p - ω m 1.2. Extraction du signal modulant par démodulation synchrone 4. On a v s 2 = kv 2 v s . On obtient de même après développement v s 2 = 1 2 kU 0 V 0 [1 + cos(2ω p t)] + 1 4 mkU 0 V 0 [cos((2ω p - ω m )t) + 2 cos(ω m t) + cos((2ω p + ω m )t)] Il y a donc 5 composantes spectrales, dont une composante "continue" et une basse fréquence correspondant au signal modulant de pulsation ω m : 1. C’est le principe de la modulation : les ondes électromagnétiques haute fréquence se propagent mieux qu’à basse fréquence, pour des raisons de rayonnement d’antenne notamment. 1 C. Lacpatia - A. Martin - N. Piteira Stanislas - PCSI Concours Blanc de PHYSIQUE N 1 - 19/12/13 - durée 4H Corrigé ω 2ω p + ω m 0 1 2 kU 0 V 0 2ω p 1 4 mkU 0 V 0 A n ω m 2ω p - ω m 1 2 mkU 0 V 0 5. Conception du filtre F 1 a) On prend la tension de sortie sur le condensateur, car il coupe le circuit à basse fréquence alors qu’il se comporte comme un fil à haute fréquence, ce qui donne un comportement passe-bas : R C L R R s 1 v s 2 v s 2 s 1 = v s 2 BF v s 2 HF s 1 =0 ou b) La règle du pont diviseur de tension conduit à H = [1 + jCω (R + jLω)] -1 = 1+ jx Q - x 2 -1 avec x = ω ω0 , ω 0 = 1 LC et Q = 1 R L C . c) Le gain vaut G 1 (x)= (1 - x 2 ) 2 + x 2 Q 2 - 1 2 . Pour avoir un vrai comportement de passe-bas avec un gain monotone (décroissant), il faut éviter toute résonance. Sinon le filtre va se comporter de fait comme un passe-bande en privilégiant les fréquences centrales. On pose f (x) = (1 - x 2 ) 2 + x 2 Q 2 et on en cherche le minimum : f (x) = 0 conduit à x 2 =1 - 1 2Q 2 , ce qui n’est possible que si Q> 1 2 . On souhaite donc imposer Q Q m = 1 2 . Par ailleurs G 1 (1) = Q donc le gain à basse fréquence décroît d’autant moins vite que Q est grand. Pour restituer au mieux les basses fréquences on choisit donc Q = Q m . d) Pour cette valeur de Q, le gain s’écrit simplement G 1 (x)=1/ 1+ x 4 . La fréquence de coupure vérifie G(x c )= G max / 2=1/ 2 donc x c = 1, d’où f c 1 = f 0 = 1 2π 1 LC e) On impose f c 1 = 6 kHz donc C = 1 4π 2 1 Lf 2 c 1 = 7 nF . De plus, le choix de Q impose la valeur de R : R = 1 Q L C = 5 kΩ . f) G dB 1 = 20 log G 1 = -10 log(1+x 4 ). Donc les deux asymptotes sont G dB 1 -→ x1 0 et G dB 1 x-40 log x . La transition s’opère de part et d’autre de x = 1, cf schéma en annexe (trait bleu continu). 6. Conception du filtre F 2 a) On réalise un montage série en prenant la tension sur la résistance : R C R R s 1 s s =0 BF s 1 s = s 1 HF s 1 ou 2 C. Lacpatia - A. Martin - N. Piteira

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ONDES - OPTIQUE - ÉLECTRICITÉ

I. Modulation d’amplitude et de phase

1. Modulation d’amplitude

1.1. Fabrication du signal modulé

1. Le montage conduit à vs = ku1u2 + u2 = u2 (1 + ku1), d’où l’expression proposée avec m = kUm .2. Comme ωp ωm, on a un signal porteur rapide dont l’amplitude est modulée lentement par le signal

modulant :

3. On décompose vs en série de Fourier grâce aux relations du formulaire :

vs = 12mU0 cos((ωp − ωm)t) + U0 cos(ωpt) + 1

2mU0 cos((ωp + ωm)t) .

Il y a donc 3 composantes spectrales, toutes situées dans les hautes fréquences 1. D’où le spectre :

ω

An

12mU0

U0

0 ωp + ωmωpωp − ωm

1.2. Extraction du signal modulant par démodulation synchrone

4. On a vs 2 = kv2vs. On obtient de même après développement

vs 2 = 12kU0V0 [1 + cos(2ωpt)] + 1

4 mkU0V0 [cos((2ωp − ωm)t) + 2 cos(ωmt) + cos((2ωp + ωm)t)]

Il y a donc 5 composantes spectrales, dont une composante "continue" et une basse fréquence correspondantau signal modulant de pulsation ωm :

1. C’est le principe de la modulation : les ondes électromagnétiques haute fréquence se propagent mieux qu’à basse fréquence,pour des raisons de rayonnement d’antenne notamment.

1 C. Lacpatia - A. Martin - N. Piteira

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ω2ωp + ωm0

12kU0V0

2ωp

14mkU0V0

An

ωm 2ωp − ωm

12mkU0V0

5. Conception du filtre F1

a) On prend la tension de sortie sur le condensateur, car il coupe le circuit à basse fréquence alors qu’ilse comporte comme un fil à haute fréquence, ce qui donne un comportement passe-bas :

R

C

L

R R

s1vs 2 vs 2 s1 = vs 2

BF

vs 2

HF

s1 = 0

⇔ ou

b) La règle du pont diviseur de tension conduit à H = [1 + jCω (R+ jLω)]−1 =[1 + jx

Q − x2]−1

avec

x = ωω0, ω0 = 1√

LCet Q = 1

R

√L

C.

c) Le gain vaut G1(x) =[(1− x2)2 + x2

Q2

]− 12 . Pour avoir un vrai comportement de passe-bas avec un

gain monotone (décroissant), il faut éviter toute résonance. Sinon le filtre va se comporter de faitcomme un passe-bande en privilégiant les fréquences centrales. On pose f(x) = (1− x2)2 + x2

Q2 et onen cherche le minimum : f ′(x) = 0 conduit à x2 = 1− 1

2Q2 , ce qui n’est possible que si Q > 1√2 . On

souhaite donc imposer Q ≤ Qm = 1√2.

Par ailleurs G1(1) = Q donc le gain à basse fréquence décroît d’autant moins vite que Q est grand.Pour restituer au mieux les basses fréquences on choisit donc Q = Qm .

d) Pour cette valeur de Q, le gain s’écrit simplement G1(x) = 1/√

1 + x4. La fréquence de coupure

vérifie G(xc) = Gmax/√

2 = 1/√

2 donc xc = 1, d’où fc 1 = f0 = 12π

1√LC

e) On impose fc 1 = 6 kHz donc C = 14π2

1Lf2

c 1= 7 nF. De plus, le choix de Q impose la valeur de R :

R = 1Q

√L

C= 5 kΩ.

f) GdB 1 = 20 logG1 = −10 log(1+x4). Donc les deux asymptotes sont GdB 1 −→x1

0 et GdB 1 ∼x∞

−40 log x .

La transition s’opère de part et d’autre de x = 1, cf schéma en annexe (trait bleu continu).6. Conception du filtre F2

a) On réalise un montage série en prenant la tension sur la résistance :

R

C

R R

s1 s s = 0

BF

s1 s = s1

HF

s1

ou⇔

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b) La relation du pont diviseur de tension conduit à H2 = ss1

= 11 + 1

jRCω

. Le gain G2(ω) =

[1 + 1

(RCω)2

]− 12 →ω→∞

G2 max = 1. Donc G2(ωc 2) = 1/√

2⇔ RCωc 2 = 1, d’où fc 2 = 12πRC .

c) On impose que fc 2 = 20Hz, ce qui donne C = 12πRfc 2

= 1, 5µF.

d) Sachant que RCω = ffc 2

= fc 1fc 2

x, on exprime le gain en fonction x : G2(x) =[1 + f2

c 2f2

c 1x2

]− 12 . On

obtient ainsi les formes asymptotiques suivantes : GdB 2 ∼x fc 2

fc 1

20 log fc 1fc 2

+ 20 log x d’une part et

GdB 2 →x fc 2

fc 1

0 d’autre part. La transition a lieu en x = fc 2fc 1

= 3, 3× 10−3. D’où le tracé en annexe

(trait discontinu vert).7. Mise en cascade des filtres F 1 et F 2.

a) Si l’on met les filtres directement en cascade, le filtre F1 n’aura plus la même fonction de transfertqu’en sortie ouverte, donc on aura pas globalement pour F : H = H︸︷︷︸

1

.H2. Pour que les fonction

de transfert en sortie ouverte soient préservées dans le montage, une solution est d’intercaler unmontage suiveur constitué à partir d’un Amplificateur Opérationnel, selon le montage suivant :

+

F1 F2

Le montage suiveur ayant une impédance d’entrée quasi infinie et une impédance de sortie quasinulle, on dit qu’il y a adaptation d’impédances et alors H = H1.H2.

b) On a alors G(ω) = G1(ω).G2(ω), d’où GdB = GdB 1 +GdB 2 . Le diagramme de Bode en gain de Fest la somme de celui de F1 et celui de F2 (cf annexe, tiret-point rouge).

1.3. Application

8. a) Le signal détaillé dans la question 4. entre dans le filtre. Il en sort s(t) :

s(t) = G(0) 12kU0V0 cosϕ(0)

+ G(ωm) 12 mkU0V0 cos(ωmt+ ϕ(ωm))

+ G(2ωp − ωm) 14 mkU0V0 cos((2ωp − ωm)t+ ϕ(2ωp − ωm))

+ G(2ωp) 12kU0V0 cos(2ωpt+ ϕ(2ωp))

+ G(2ωp + ωm) 14 mkU0V0 cos((2ωp + ωm)t+ ϕ(2ωp + ωm))

Notons que de fait la composante continue n’apparaît pas car G(0) = 0.

b) On a G(ω) = G1(ω)G2(ω) =[(

1 + ω4

ω40

).

(1 + 1

(RCω)2

)]− 12

. Pour l’application numérique, il est

plus pratique de travailler avec la fréquence compte-tenu des données :G(f) =[(

1 + f4

f4c 1

).(1 + f2

c 2f2

)]− 12 .

On calcule les amplitudes de chacune des composantes du signal s(t) :

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ω 0 ωm 2ωp − ωm 2ωp 2ωp − ωmSm(ω) (V) 0 1, 2× 10−1 2, 2× 10−5 8, 6× 10−5 2, 1× 10−5

c) On peut donc à 0, 02 % près retenir uniquement la composante fondamentale à ω = ωm, qui cor-respond au signal modulant. Par ailleurs, on a ϕ(fm) = ϕ1(fm) + ϕ2(fm) car H = H1.H2. Deplus, comme fm

fc 1= 0, 16 1 et fm

fc 2= 50 1, on peut approximer ϕ(fm) ≈ arg(1) + arg(j fm

fc 2), d’où

ϕ(fm) ≈ π

2 ≈ 90. Finalement, s(t) ≈ Sm cos(2πfmt+ π

2 ) = −Sm sin(2πfmt) avec Sm ≈ 1, 2× 10−1 V .

2. Modulation de phase

2.1. Principe de la modulation

9. a) On développe le cosinus puis on approxime le sinus et le cosinus pour m 1 (cf formulaire) :

vs = U0 [cos(ωpt) cos(m cos(ωmt))− sin(ωpt) sin(m cos(ωmt))] ≈ U0 [cos(ωpt)− sin(ωpt)m cos(ωmt)] .

D’où la relation demandée, avec f(t) = −mU0 cos(ωmt) .b) On doit avoir u′2(t) = −U0 sin(ωpt). L’opérateur « DP » doit donc déphaser le signal u2 en lui

ajoutant π2 .

2.2. Réalisation de l’opérateur «Dp»

10. Il s’agit d’un pont de Wheatstone. On applique deux fois la règle du pont diviseur de tension : H = u′2u2

=

− 11+jRCω + 1

1+ 1jRCω

, d’où H = −1− jRCω1 + jRCω

.

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11. Le gain vaut |H| = 1 donc le filtre n’agit que sur la phase. On a arg(H) = arg(−1) + arg(1 − jRCω) −arg(1 + jRCω) = π − 2 arg(1− jRCω), d’où ϕD = π − 2 arctan(RCω) .

12. On veut ϕD = π2 , donc

π4 = arctan(RCωp) d’où RC = 1

ωp.

II. Caméra de controle des plaques d’immatriculation

1. DIMENSIONNEMENT DES CAMERAS

1. D ≥ 4f ′ . On parle de projection.

2. La relation de Descartes 1OC

+ 1PO

= 1f ′ soit : OC =

( 1f ′− 1L

)−1. Dans la relation de Descartes pré-

cédente, on a OC > 0 et PO > 0, il vient une distance focale nécessairement positive, soit une lentilleconvergente.

3. La relation de grandissement donne γ = OCOP

soit γ = − f ′

L− f ′.

4. On observe que f ′ << L, il vient donc OC ≈ f ′ : l’image se forme presque dans le plan focal image ce quiattendu car cette approximation revient à considérer l’objet à l’infini.

5. γ ≈ f ′

L = 1, 75.10−3; 1, 72.10−3; 1, 78.10−3; 1, 71.10−3; 1, 78.10−3; . Les valeurs de grandissement sont àpeu près identiques. Le capteur étant le même dans toutes les caméras, et l’objet étant toujours de mêmetaille, la taille finale de l’image doit toujours être la même pour ne pas avoir à modifier le traitementnumérique de l’image. D’où un grandissement fixé.Dans la suite on utilise la valeur moyenne γ = 1, 75× 10−3.

6. Soit ` la largeur et h la hauteur, on a : `2 + h2 = d2 avec d la diagonale. Or, en ramenant l’ensemble à lataille d’un pixel, il vient : (752a)2 + (582a2) = d2 soit a = d√

7252+5822 = 6, 7µm. Il vient : ` = 5, 0 mm eth = 3, 9 mm.

7. En utilisant le grandissement moyen, les dimensions du champ d’observation sont une largeur de ∆L = γ` =2, 9 m sur une hauteur de ∆H = γh = 2, 2 m. Ces dimensions (surtout la largeur) sont justes en compa-raison de la largeur d’une chaussée conventionnelle. Il conviendrait donc de placer deux caméras.

8. On utilise le grandissement dans l’autre sens et on trouve que l’image d’un caractère fait 88µm de largesur 1, 4× 102 µm de haut soit 13× 20 pixels.

9. Le grandissement doit être assez grand pour distinguer les caractères mais doit permettre d’avoir unchamp suffisamment grand pour couvrir notamment l’ensemble de la plaque.

10. La nuit, on ne verrait pas les plaques. L’éclairage des plaques par infra-rouge ne risque pas d’éblouir leconducteur.

11. L’ordre de grandeur de l’ouverture angulaire du faisceau donne θ ≈ sin(θ) ≈ λD soit une taille de tâche

δ = f ′λ

D≈ 1, 8µm. Ce phénomène est donc inférieur à la pixellisation, il limitera donc pas la résolution.

2. PROFONDEUR DE CHAMP12. cf. schéma. On trace un rayon parallèle à au premier rayon passant part l’axe optique. Il ressort non dévié

et intersecte le premier rayon sortant dans le plan focal image de la lentille (faisceau incident parallèleconvergent en foyer secondaire). On obtient par symétrie la marche du second rayon. Leur intersection(sur l’axe optique) est l’image C0.

13. Le principe de construction est le même que précédemment.

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14. La position des points C0 et C1 est donnée par les relations de Descartes : − 1OP0

+ 1OC0

= 1f ′ et −

1OP1

+ 1OC1

= 1f ′ . Le théorème de Thalès dans les triangles formés par les rayons extrêmes donne donc :

d1 = DC0C1

OC1= D

[1− OC0

OC1

]= D

[1−

( 1f ′

+ 1OP1

) ( 1f ′

+ 1OP0

)−1]

En introduisant OP0 = −L et OP1 = −L+∆1 on obtient d1 = Df ′∆1

(L−∆1)(L− f ′) . On a donc β = D .

15. cf. schéma

16. On obtient d1 ≈ Df ′∆1

(L−∆1)L) et d2 ≈ Df ′∆2

(L+ ∆2)L) .

17. En inversant les relations, on trouve : ∆1 lim = L2a

Df ′ + Laet ∆2 lim = L2a

Df ′ − La.

18. ∆1 lim = 2, 5 m et ∆2 lim = 5, 8 m. D’où Z = ∆1 lim + ∆2 lim = 8, 4 m.19. On peut remarquer que la profondeur de champ augmente quand le diamètre de l’objectif diminue, c’est

logique puisqu’on diminue la largeur du faisceau incident. Il est donc souhaitable de choisir un petitdiamètre d’objectif (petite ouverture) pour viser un objet mobile comme une voiture.

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