Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1...

41
Chapitre 5. Applications linéaires §1 Applications linéaires. Soient E , F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus simples f : E F sont linéaires. Definition : f : E F est linéaire si, pour tout u, v E et tout λ R, on a f ( u + v)= f ( u)+ f ( v), f (λ u)= λ · f ( u) . Exemple : A u = v. On varie u dans R n et on obtient une application, linéaire. Théorème. Toute application linéaire s’écrit sous la forme d’un u A u avec un certain choix de A. Pour retrouver la matrice, il suffit de tester sur la base canonique, puis appliquer linéairement.

Transcript of Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1...

Page 1: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Chapitre 5. Applications linéaires

§1 Applications linéaires.

Soient E ,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plussimples f : E → F sont linéaires.

Definition : f : E → F est linéaire si, pour tout ~u,~v ∈ E et toutλ ∈ R, on a

f (~u + ~v) = f (~u) + f (~v), f (λ~u) = λ · f (~u) .

Exemple : A~u = ~v. On varie ~u dans Rn et on obtient une

application, linéaire.

Théorème. Toute application linéaire s’écrit sous la forme d’un~u 7→ A~u avec un certain choix de A.

Pour retrouver la matrice, il suffit de tester sur la base canonique,puis appliquer linéairement.

Page 2: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

On utilise E pour désigner la base canonique (~e1, · · · ,~en) : de Rn.

Voici 4 écritures d’un vecteur ~w dans Rn : ~w =

x1

x2

...xn

= x1~e1+x2~e2+ · · ·+xn~en = (~e1, · · · ,~en)

x1

x2

...xn

= E

x1

x2

...xn

.

On applique f : f (~w) = f (x1~e1 + x2~e2 + · · · + xn~en)par linéarité

=x1f (~e1) + x2f (~e2) + · · ·+ xnf (~en) =

(f (~e1), · · · , f (~en))

x1

x2

...xn

= (f (~e1, · · · ,~en))

x1

x2

...xn

= EA

x1

x2

...xn

.

Géométriquement : on considère f comme une transformation deR

n qui transforme un groupe de points en un autre groupe depoints. Par exemple il transforme un point/droite/plan à un autre.

Page 3: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Exemples

1. f (

(

x

y

)

) =

(

1 00 0

)(

x

y

)

=

(

x

0

)

est la projection

orthogonale du plan sur l’axe des abscisses.

2. f (

(

x

y

)

) = I2

(

x

y

)

+

(

21

)

=

(

x + 2y + 1

)

est une translation du

plan.

3. Soit Rθ =

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

. Par calcul :

(

r cosφr sinφ

)

=

(

r cos(θ + φ)r sin(θ + φ

)

.

En utilisant les coordonnées polaires du plan on voit que Rθ

represente une rotation d’angle θ (orienté) du plan.

4. Rπ

2

(

x

y

)

=

(

0 −11 0

)(

x

y

)

=

(

−y

x

)

est bien la rotation de

π/2 = 90o dans le sens direct.

Page 4: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

5. f (

(

x

y

)

) =

(

1 00 −1

)(

x

y

)

=

(

x

−y

)

est la symétrie par

rapport à l’axe des abscisses.

6. f (

(

x

y

)

) =

(

λ 00 λ

)(

x

y

)

=

(

λx

λy

)

est appelée homothétie de

rapport λ > 0 dans le plan, centrée à l’origine.

7. f (

(

x

y

)

)=

(

2 00 2

)(

x

y

)

+

(

10

)

=

(

2x+12y

)

est une homothétie

de rapport 2, centrée en (−1; 0) (exo).

8. f (

(

x

y

)

) =

(

1 00 λ

)(

x

y

)

=

(

x

λy

)

(avec λ > 0) est appelée

affinité du plan (préservant l’axe des abscisses).

Page 5: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Les 3 formes d’un système linéaire

1. d’un système d’équations

2. de produit matriciel A~x = ~b, ou bien, en représentant A par sescolonnes

(~v1 · · · ~vm)

x1

...xm

=

b1

...bn

.

3. de combinaison linéaire :

x1~v1 + x2~v2 + · · ·+ xm~vm = ~b.

Interprétation du point 2 : Etant donner une matrice A, on

considère l’application linéaire f :

x1

...xm

7→ A

x1

...xm

. Résoudre le

système A~x = ~b revient à déterminer les antécédents de ~b par f .

Page 6: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§2 Image et noyau d’une application linéaire.

Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme

x1

...xm

7→

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

x1

...xm

= A~x .

Page 7: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§2 Image et noyau d’une application linéaire.

Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme

x1

...xm

7→

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

x1

...xm

= A~x .

Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l’ensemble des antécédents duvecteur ~0 :

Ker(f ) = {~x | f (~x) = ~0} = {~x | A~x = ~0}

= l’ensemble des solutions du système A~x = ~0 .

Exemple. Soit f

(

x

y

)

= x + y . Quel est le noyau de f ? Et pour

f

(

x

y

)

=

(

1 12 2

)(

x

y

)

?

Page 8: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f )

est un sous espace vectoriel de Rm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout ~u,~v ∈ Ker(f ) et tout λ ∈ R,~u + ~v ∈ Ker(f ) et λ~u ∈ Ker(f ). Ou bien f (~u) = ~0 = f (~v) impliquef (~u + ~v) = ~0 et f (λ~u) = ~0.

Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme

~x =

x1

...xm

7→

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

x1

...xm

= A~x = f (~x) .

Page 9: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f )

est un sous espace vectoriel de Rm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout ~u,~v ∈ Ker(f ) et tout λ ∈ R,~u + ~v ∈ Ker(f ) et λ~u ∈ Ker(f ). Ou bien f (~u) = ~0 = f (~v) impliquef (~u + ~v) = ~0 et f (λ~u) = ~0.

Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme

~x =

x1

...xm

7→

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

x1

...xm

= A~x = f (~x) .

L’image de f , noté par Im(f ), est l’ensemble Im(f ) = {f (~x) | ~x ∈ Rm}

Page 10: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f )

est un sous espace vectoriel de Rm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout ~u,~v ∈ Ker(f ) et tout λ ∈ R,~u + ~v ∈ Ker(f ) et λ~u ∈ Ker(f ). Ou bien f (~u) = ~0 = f (~v) impliquef (~u + ~v) = ~0 et f (λ~u) = ~0.

Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme

~x =

x1

...xm

7→

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

x1

...xm

= A~x = f (~x) .

L’image de f , noté par Im(f ), est l’ensemble Im(f ) = {f (~x) | ~x ∈ Rm}

Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Im(f ) est

un sous espace vectoriel de Rn, de plus Im(f ) = 〈~u1, · · · , ~um〉, où

~uj est la j-ième colonne de A.

Page 11: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f )

est un sous espace vectoriel de Rm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout ~u,~v ∈ Ker(f ) et tout λ ∈ R,~u + ~v ∈ Ker(f ) et λ~u ∈ Ker(f ). Ou bien f (~u) = ~0 = f (~v) impliquef (~u + ~v) = ~0 et f (λ~u) = ~0.

Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme

~x =

x1

...xm

7→

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

x1

...xm

= A~x = f (~x) .

L’image de f , noté par Im(f ), est l’ensemble Im(f ) = {f (~x) | ~x ∈ Rm}

Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Im(f ) est

un sous espace vectoriel de Rn, de plus Im(f ) = 〈~u1, · · · , ~um〉, où

~uj est la j-ième colonne de A.

Preuve. Car Im(f ) = 〈f (~e1), · · · , f (~em)〉 et f (~ej ) = ~uj ,j = 1 · · · ,m.

Page 12: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Soit A la matrice de f , Base de Im(f ) et Ker(f )

Comment trouver une base de Ker(f ) et une base Im(f ) ?

Page 13: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Soit A la matrice de f , Base de Im(f ) et Ker(f )

Comment trouver une base de Ker(f ) et une base Im(f ) ? On

échelonneA

Id

B

H, les colonnes non-nulles de B forment une base

de Im(f ), et les colonnes de H sous les colonnes nulles de B

forment une base de Ker(f ). (pourquoi ?)

Exemple. f (~x) =

1 −1 11 0 21 1 3

x

y

z

, donc A =

1 −1 11 0 21 1 3

.

1 −1 11 0 21 1 3

1 0 00 1 00 0 1

C2 C2+C1

−→

C3 C3−C1

1© 0 01 11 2

1 1 −10 1 00 0 1

C3 C3−C2

−→

1© 0 01 1© 01 2 0

1 1 −20 1 −10 0 1

Alors B =??, H =??, une base de Im(f ) ? Une base de Ker(f ) ?Dimension de Im(f ) ? de Im(f ) ?

Page 14: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§3 Matrice et Rang de f

Pour f :

(

x

y

)

7→

x

3x − y

x + 2y

= A

(

x

y

)

, avec A =

Page 15: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§3 Matrice et Rang de f

Pour f :

(

x

y

)

7→

x

3x − y

x + 2y

= A

(

x

y

)

, avec A =

1 03 −11 2

.

On dit aussi que A est la matrice de f dans la base canonique.

Page 16: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§3 Matrice et Rang de f

Pour f :

(

x

y

)

7→

x

3x − y

x + 2y

= A

(

x

y

)

, avec A =

1 03 −11 2

.

On dit aussi que A est la matrice de f dans la base canonique.

On appelle le rang de f , l’entier suivant (les définitions donnent lemême résultat)1. Le rang de la matrice A (ou bien le nombre de pivots)2. La dimension de Im(f )3. Le nombre de vecteurs dans une base de Im(f ).

Page 17: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§3 Matrice et Rang de f

Pour f :

(

x

y

)

7→

x

3x − y

x + 2y

= A

(

x

y

)

, avec A =

1 03 −11 2

.

On dit aussi que A est la matrice de f dans la base canonique.

On appelle le rang de f , l’entier suivant (les définitions donnent lemême résultat)1. Le rang de la matrice A (ou bien le nombre de pivots)2. La dimension de Im(f )3. Le nombre de vecteurs dans une base de Im(f ).

Théorème du rang. Soit f : Rn → Rm linéaire. Alors

dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = n = le nombre de colonnes de A .

Preuve. Lorsqu’on échelonneA

Idà

B

H, on n’a pas changé le nombre

de colonnes. dim(Im(f )) = le nombre de colonnes non-nulles de B ,dim(Ker(f )) = le nombre de colonnes nulles de B .

Page 18: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§4. Composition

Par l’associativité de la multiplication matricielle, A(Bu) = (AB)u.D’où :

Proposition. La composition de deux applications linéaires du planest à nouveau une application linéaire du plan avec :

fA(fA′(u)) = (AA′)u.

Exemples.

1. Par calcul : RθRα = Rθ+α. Interprétation : Deux rotationssuccessives de même centre peuvent être remplacées par unerotation de la somme des deux angles.

2. Par calcul : A =

(

0 −11 0

)

, A2 =

(

−1 00 −1

)

,

A4 = (A2)2 =

(

1 00 1

)

(l’identité).

3. RθR−θ = R−θRθ = R0 = I2. Donc R−θ est la matrice inverse àRθ.

Page 19: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Cas général

Lorsqu’on compose des applications linéaires

Ef

−→ Fg

−→ G

de base BE BF BG

Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?

Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .

Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.

Page 20: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Cas général

Lorsqu’on compose des applications linéaires

Ef

−→ Fg

−→ G

de base BE BF BG

Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?

Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .

Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.

g ◦ f (BE ) = g(f (BE )) = g(BFM(f )) = g(BF )M(f )(

BGM(g))

M(f ) = BG

(

M(g) ·M(f ))

.

Donc M = M(g) · M(f ).

Page 21: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Cas général

Lorsqu’on compose des applications linéaires

Ef

−→ Fg

−→ G

de base BE BF BG

Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?

Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .

Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.

g ◦ f (BE ) = g(f (BE )) = g(BFM(f )) = g(BF )M(f )(

BGM(g))

M(f ) = BG

(

M(g) ·M(f ))

.

Donc M = M(g) · M(f ).

Exemple. Soient f

(

x

y

)

=

(

x + y

y

)

, g

(

x

y

)

=

(

y

x

)

. Calculer

g ◦ f et f ◦ g .

Page 22: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§5 Injectivité, surjectivité, bijectivité

Définition. On dit qu’une application linéaire f : Rn → Rm est

injective si deux vecteurs différents ont des images différents

surjective Si Im(f ) atteint tout l’espace d’arrivée Rm.

bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f estinversible.

Page 23: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§5 Injectivité, surjectivité, bijectivité

Définition. On dit qu’une application linéaire f : Rn → Rm est

injective si deux vecteurs différents ont des images différents

surjective Si Im(f ) atteint tout l’espace d’arrivée Rm.

bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f estinversible.

Page 24: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.

Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.

Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :

Page 25: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.

Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.

Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent

Page 26: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.

Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.

Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de A est m.

Page 27: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.

Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.

Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de A est m.3. Im(f ) = R

m.

Page 28: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.

Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.

Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de A est m.3. Im(f ) = R

m.4. Les vecteurs colonnes de A forment une famille génératrice.

Page 29: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Page 30: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Page 31: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) =

Page 32: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm =

Page 33: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)

a11

...am1

=

Page 34: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)

a11

...am1

= V

a11

...am1

.

Page 35: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)

a11

...am1

= V

a11

...am1

.

f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .

Page 36: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)

a11

...am1

= V

a11

...am1

.

f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .

En les assemblant, on obtient

Page 37: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)

a11

...am1

= V

a11

...am1

.

f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .

En les assemblant, on obtient :

(f (~u1), · · · , f (~um)) =

Page 38: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)

a11

...am1

= V

a11

...am1

.

f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .

En les assemblant, on obtient :

(f (~u1), · · · , f (~um)) = V

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

Page 39: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)

a11

...am1

= V

a11

...am1

.

f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .

En les assemblant, on obtient :

(f (~u1), · · · , f (~um)) = V

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .

Page 40: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev

Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .

Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.

Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :

f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)

a11

...am1

= V

a11

...am1

.

f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .

En les assemblant, on obtient :

(f (~u1), · · · , f (~um)) = V

a11 · · · a1m

......

an1 · · · anm

ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .

Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.

Page 41: Chapitre 5. Applications linéairestanlei/istia/CM5.pdfChapitre 5. Applications linéaires 1 Applications linéaires. Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus

Exemples et exercices

La matrice d’une application linéaire f qu’on avait calculé avant esttout simplement la matrice de f dans la base canonique.

(1) f

(

x

y

)

=

(

x

x + y

)

. Notons E la base canonique de R2. Alors

ME,E(f ) =??.

(2) Soit f : R2 → R2 linéaire telle que f (~e1) = −~e2 et

f (~e2) = ~e1 + 2~e2. Déterminer la matrice de f ainsi que f

(

11

)

.

(3) Soit f : R2 → R2 la projection orthogonale vers la droite

x − y = 0. Représenter graphiquement l’application. Déterminer

f (~e1) puis f (~e2). Déterminer la matrice de f puis f

(

−31

)

.

Déterminer l’image et le noyau de f .

(4) Même exercice avec f la réflexion orthogonale par rapport à ladroite x − y = 0, puis avec la rotation d’angle π/4.