FILTRES - mawy33.free.frmawy33.free.fr/cours sup/32-102 éléctrocinétique filtres.pdf · θ

Filtres (32-102) sur 25 JN Beury

FILTRES

I. FONCTION DE TRANSFERT POUR UN QUADRIPÔLE LINÉAIRE

I.1 Quadripôle, linéarité, filtre, équation différentielle On appelle quadripôle un réseau électrique dont on distingue deux entrées et deux sorties.

• On suppose ce quadripôle linéaire : si on applique ( ) ( ) ( )1 1 2 2E E Ev t v t v tα α= + avec 1 2 et α α réels, alors à la

sortie, on a ( ) ( ) ( )1 1 2 2S S Sv t v t v tα α= + en appelant ( )1Sv t la sortie du quadripôle excité par l’entrée ( )1Ev t et

( )2Sv t la sortie du quadripôle excité par l’entrée ( )2Ev t . On peut montrer que ( )Ev t et ( )Sv t sont alors reliés par

une équation différentielle linéaire : -1 -1

1 1 0 1 1 01 1

d d d d d d... ...

d d d d d d

n n m mS S S E E E

n n S m m En n m m

v v v v v va a a a v b b b b v

t t t t t t− −− −+ + + + = + + + +

L’ordre du circuit linéaire, appelé également filtre linéaire est max(m, n).

• On suppose le circuit invariant temporellement. Si la réponse du circuit à un signal ( )Ev t est ( )Sv t , la réponse

du même signal retardé ( )E dv t t− est ( )S dv t t− quelque soit le retard. On peut montrer que les coefficients de

l’équation différentielle sont constants.

Un quadripôle linéaire est régi par une équation différentielle à coefficients constants.

I.2 Définition d’un filtre Un filtre est un opérateur linéaire pour lequel il existe, entre le signal d’entrée e(t) et le signal de sortie s(t), une relation de la forme :

-1 -1

1 1 0 1 1 01 1

d d d d d d... ...d d d d d d

n n m m

n n m mn n m m

s s s e e ea a a a s b b b b et t t t t t− −− −

+ + + + = + + + +

e et s peuvent désigner des tensions ou des courants. Par la suite, on étudiera des tensions que l’on notera vE et vS.

I.3 Résolution de l’équation différentielle La résolution se fait en deux étapes :

• solution générale de l’équation différentielle homogène (régime libre) • solution particulière de l’équation différentielle (régime permanent).

vE vSQuadripôle


I.4 Théorème de superposition Si le second membre ( )Ev t est la somme de plusieurs termes : ( ) ( ) ( ) ( ),1 ,2 ,...E E E E qv t v t v t v t= + + + , la solution

particulière de l’équation différentielle n n-1 m m-1

1 1 0 1 1 01 1

d d d d d d... ...

d d d d d dS S S E E E

n n S m m En n m m

v v v v v va a a a v b b b b v

t t t t t t− −− −+ + + + = + + + +

s’écrit alors : ( ) ( ) ( ) ( ),1 ,2 ,...S S S S qv t v t v t v t= + + +

avec ( ),S iv t solution particulière de l’équation différentielle avec une tension d’entrée (excitation) ( ),E iv t (i varie de 1 à

q).

La réponse à une somme d’excitations est donc la somme des réponses à chacune des excitations appliquées séparément. Remarque : Le théorème de superposition découle directement de la définition de la linéarité.

I.5 Fonction de transfert Sous réserve que le régime libre soit amorti (la condition de stabilité pour un système linéaire du premier ou deuxième ordre est d’avoir les coefficients de l’équation différentielle homogène de même signe), il ne reste que le régime permanent que l’on appelle régime forcé. On cherche une solution particulière de la même forme que le second membre. Si le second membre est sinusoïdal

( ) ( )cosE Em Ev t V tω θ= + , cela revient à chercher une sinusoïde de même pulsation avec une amplitude et une phase à

calculer que l’on peut écrire ( ) ( )cosS Sm Sv t V tω θ= + : on parle de régime sinusoïdal forcé.

On utilise la méthode des complexes : Il suffit de remplacer formellement dans l’équation différentielle ddt

par jω, vE

et vS par leur amplitude complexe.

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

exp expcoscos expexp

E Em E E Em EE Em E

S Sm S S Sm SS Sm S

v V j t V V jv V tv V t V V jv V j t

ω θ θω θω θ θω θ

= + = = + ⇒ ⇒ = + == +

L’équation différentielle devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1 0 1 1 0... ...n n m m

S n n E m mV a j a j a j a V b j b j b j bω ω ω ω ω ω− −

− − + + + + = + + + +

On en déduit : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1 1 01

1 1 0

...

...

m mS m m

n nE n n

V b j b j b j bV a j a j a j a

ω ω ω

ω ω ω

−

−

−

−

+ + + +=

+ + + +

On définit la fonction de transfert d’un quadripôle par la relation :

( ) S

E

VH j

Vω =

Interprétation physique :

• ( ) SSm

SmE

V VH j G

VVω = = = est appelé gain du quadripôle (noté G).

• ( )arg arg argS E S EH j V Vω θ θ θ= − = − = est le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée.

On s’arrangera à avoir θ compris entre π− et π .


f(t)

t

Tvoie 1 voie 2

La voie 1 est en avance de phase sur la voie 2car elle passe par un maximum en premier

t1

• Si 0θ > , alors S Eθ θ> : vS est en avance de phase1 sur vE.

La durée T correspond à 2π . La durée t1 correspond à θ , donc

12 tT

ϕ π= .

• Si 0θ < , alors S Eθ θ< : vS est en retard de phase sur ve.

Quelques cas particuliers : Si 0θ = , vS et vE sont en phase.

Si 2πθ = , on dit que vS est en quadrature avance sur vE.

Si θ π= ± , vS et vE sont en opposition de phase. On définit le gain en décibels : 20logdBG G= (log désigne le logarithme décimal). On a un facteur 20 pour G

alors qu’on a un facteur 10 pour la puissance moyenne en dB. On appelle l’ordre du quadripôle le maximum de m et de n. Un tel quadripôle pourra donc être utilisé pour affaiblir ou amplifier l’amplitude d’un signal (filtre d’amplitude). On pourra l’utiliser pour introduire des variations sur la phase de certaines composantes spectrales d’un signal (filtre de phase). On pose souvent la variable de Laplace : p jω= .

Un filtre est passif s’il ne contient que des éléments linéaires passifs (résistances, condensateurs, auto et mutuelle inductances). Un filtre est actif s’il contient des éléments tels qu’amplificateurs opérationnels, transistors… Attention, en fait, les circuits réels présentent des limitations :

• Fréquence de coupure propre du circuit intégré. • Saturation • Défauts de non linéarité (slew rate par exemple pour un AO).

I.6 Condition de stabilité

• La condition de stabilité pour un système linéaire du premier ou deuxième ordre est d’avoir les coefficients de l’équation différentielle homogène de même signe.

• On admet que la fonction de transfert doit rester finie pour toute valeur de ω, en particulier pour ω → ∞ . On doit donc avoir n m≥ . Le circuit est donc d’ordre n.

1 Attention, beaucoup d’erreurs pour savoir quel signal est en avance sur l’autre…


x = log ω

ω

1 1,3 1 2 3,7

10 20 50 100 1000

I.7 Cas de signaux quelconques Tout signal périodique vE(t) de période T peut s’écrire en utilisant la décomposition en série de Fourier :

( ) ( )0 01 1

( ) cos sin cos , avec entierE n n n nn n

v t a a n t b n t c c n t nω ω ω ϕ∞ ∞

= =

= + + = + +∑ ∑

• 1 1cos sina t b tω ω+ : terme fondamental (de même pulsation que le signal) • cos sinn na n t b n tω ω+ : terme harmonique de rang n (de pulsation nω ).

avec 2Tπω = la pulsation du signal.

Pour calculer la réponse à une excitation, il suffit de faire la somme des réponses à chacun des harmoniques. L’étude de signaux sinusoïdaux de pulsation ω ne restreint pas l’étude puisqu’on peut s’y ramener pour des signaux périodiques1. On ne s’intéressa donc par la suite qu’à des signaux sinusoïdaux de pulsation ω.

II. DIAGRAMME DE BODE

II.1 Définition Pour représenter graphiquement le gain et la phase sur un large domaine de fréquences, on utilise une échelle

logarithmique. On représente donc en abscisse log ω. On représente parfois log f, ou 0

log logu ωω

=

Le diagramme de Bode est constitué des deux courbes : Pour la pulsation 1ω , on définit 1 1logx ω= . Pour la pulsation 2ω , on définit 2 2logx ω=

L’écart entre x1 et x2 est : 22 1 2 1

1

log log logx x x ωω ω

ω∆ = − = − =

• Si 2 12ω ω= , on a log 2 0,3x∆ = = . On dit qu’on a une octave. • Si 2 110ω ω= , on a log10 1x∆ = = . On dit qu’on a une décade.

1 Le cas de signaux quelconques se traite par la transformée de Fourier qui est hors programme. On se ramène in fine à des signaux sinusoïdaux.

On peut avoir log ω < 0 !

dBG

logω

θ

logω


II.2 Pulsation de coupure à –3 dB

C’est la pulsation ωc pour laquelle ( ) max

2c

GG ω = . En prenant le logarithme de cette expression, on a :

( ) maxmax20 log 20log 20log 20log 2

2c

GG Gω

= = −

.

On a donc aussi : ( ) max 3dB c dBG Gω = − .

La première relation est à utiliser pour calculer la pulsation de coupure à –3 dB en utilisant la fonction de transfert.

La deuxième relation est très pratique pour une détermination graphique à partir du diagramme de Bode.

II.3 Produit de fonction de transfert

( ) ( ) ( )1 2H j H j H jω ω ω= ⋅ , donc 1 2

1 2

G G Gθ θ θ

= ⋅ = +

et 1 2

1 2

dB dB dBG G Gθ θ θ

= + = +


R

vSve

Schéma équivalentdu condensateur à basse fréquence

III. ÉTUDE DES FILTRES D’ORDRE 1 ET D’ORDRE 2

III.1 Filtre passe-bas d’ordre 1 On considère le quadripôle suivant. La tension est sinusoïdale de pulsation ω et peut s’écrire sous la forme : ( )cose em ev V tω θ= + . On

s’intéresse au régime sinusoïdal forcé. On utilise donc la notion

d’impédances complexes et d’amplitudes complexes pour l’étude de ce filtre.

a) Comportement du filtre sans calcul • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un

interrupteur ouvert. On a donc le schéma équivalent. La tension de sortie est égale à la tension d’entrée : s ev v= .

• À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé. La tension de sortie est donc nulle :

0Sv = .

• Ce filtre laisse passer les basses fréquences et coupe les hautes fréquences. C’est donc un filtre passe-bas.

b) Fonction de transfert

On reconnaît un diviseur de tension, donc : ( )

11

1 1S

e

V jCH jV jRCR

jC

ωωω

ω

= = =++

Pour avoir des expressions simples à interpréter, il faut faire apparaître dès que possible des termes sans dimension tels que RCω.

Pour mettre cette fonction de transfert sous forme canonique, on pose : 0

1RC

ω = et H0 = 1.

Forme canonique d’un filtre passe-bas du premier ordre : ( ) 0

0

1

1H j H

jω

ωω

=+

On retrouve le comportement limite prévu précédemment sans calcul. Le degré du dénominateur est égal à 1 et celui du numérateur vaut 0. Le filtre est donc un passe-bas du premier ordre.

c) Comment en déduire l’équation différentielle ? On peut en déduire directement l’équation différentielle reliant ( )Sv t et ( )ev t à partir de la fonction de transfert.

0

1

1

S

e

V

Vj ωω

=+

. Il suffit de faire le produit en croix et de remplacer les termes en jω par ddt

.

0

1S S eV j V Vω

ω+ = . On en déduit immédiatement : ( )

0

d1d

SS e

vv v t

tω+ =

ATTENTION : Utiliser cette méthode pour trouver l’équation différentielle uniquement si l’énoncé le demande.

d) Diagramme de Bode d1) Diagramme de Bode pour le gain La méthode est de chercher les asymptotes. Il est plus simple de raisonner directement sur la fonction de transfert que sur le module de la fonction de transfert. On en déduit aussi la phase dans les cas limites.

• Si ( ) 00 ~ 1

0dBG

H jω ωθ

→→ ⇒ →

C

R

vSve

R

vSve

Schéma équivalentdu condensateur à haute fréquence


• Si ( )0

0

0

~ 20log 20log~1~~~ 22

dBGGH j

j

ω ω ωωω ω πω π θθω

− → ∞ ⇒ ⇒ − −

Si on pose y = 20 log G et x = log ω. On a y = 20 x0 – 20 x. C’est l’équation d’une droite de coefficient directeur

–20. - Quand on passe d’une fréquence au double de la fréquence, l’intervalle s’appelle une octave1. Si 1 1 2 1 2 1log , log 2 , log 2 0,3 et 20 0,3 6x x x x x yω ω= = ∆ = − = = ∆ = − × = −

On a une droite de pente –6 dB par octave. - Quand on passe d’une fréquence à 10 fois la fréquence, l’intervalle s’appelle une décade. Si 1 1 2 1 2 1log , log 2 , log10 1 et 20 1 20x x x x x yω ω= = ∆ = − = = ∆ = − × = −

On a une droite de pente –20 dB par décade. • Intersection des asymptotes : 0 020log 20log 0ω ω ω ω− = ⇒ = .

Le point d’intersection a pour abscisse ω0 et pour ordonnée 0 dB.

• La courbe réelle vaut pour ( )0 0

1: 3dB2 dBG Gω ω ω= = ⇒ = − .

• Diagramme de Bode asymptotique pour le gain (f0 = 1000 Hz)

1 L’origine du mot octave vient de la gamme de Pythagore en musique : c’est l’intervalle entre le 1er et 8ème degré de la gamme.

0 dB

asymptote à -20 dBpar décade

-20 dB

Octave

Décade

GdB

1000 10000 100 500 2000 f


• Pulsation de coupure à –3 dB : c’est la pulsation ωc pour laquelle ( ) max

2c

GG ω =

Calcul de ωc : ( )2

0

1 12

1

c

c

G ωωω

= = ⇒

+

0cω ω= .

d2) Diagramme de Bode pour la phase

On se contente des 3 points trouvés précédemment : 0ω = : 0θ = ; 0ω ω= : 4πθ = − ; ω → ∞ :

2πθ → − .

Remarque : Si on veut faire une étude plus détaillée, il faut calculer tanθ et le signe de cosθ ou sinθ .

( )0

arg tan et sin 0H j ωθ ω θ θω

= ⇒ = − < . 0pour : 4πω ω θ= = − . θ est donc une fonction décroissante de

ω .

Octave

1000 10000 100 500

Décade

θ0

4π

−

2π

− f

coupure à G dBdB max − = −3 3asymptote à -20 dB par

décade

-20 dB

0 dB

1000 10000 100

Bande passante à –3 dB

GdB

f


On peut se contenter du diagramme de Bode asymptotique pour la phase :

On a un saut de phase de / 2π quand on passe des basses fréquences aux hautes fréquences.

e) Comportement du filtre en dehors de la bande passante

On a vu que la fonction de transfert est : ( )

0

1

1H j

jω

ωω

=+

.

Pour 0ω ω>> , 0

0

1 1~ ~j

Hj

ωω ωω

. On a donc : 0

1~S eV Vj

ωω

.

À haute fréquence, le montage se comporte donc comme un intégrateur.

En effet, une intégration revient à diviser par jω. On en déduit1 que : ( ) ( ) ( )00

0 ' d 't

S S et

v t v v t tω=

− = ∫ . On accepte en

physique l’écriture suivante :

Ne pas oublier les bornes d’intégration : ( ) ( ) ( )00

0 ' d 't

S S et

v t v v t tω=

− = ∫

III.2 Filtre passe-haut du premier ordre On considère le quadripôle suivant. La tension est sinusoïdale de pulsation ω et peut s’écrire sous la forme : ( )cose em ev V tω θ= + . On

s’intéresse au régime sinusoïdal forcé.

a) Comportement du filtre sans calcul • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un

interrupteur ouvert. La tension de sortie est donc nulle : 0Sv = .

• À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé. La tension de sortie est égale à la tension d’entrée : s ev v= .

• Ce filtre laisse passer les hautes fréquences et coupe les basses fréquences. C’est donc un passe-haut.


1 Il ne faut pas oublier les conditions initiales pour l’intégration. Une écriture rigoureuse impose de mettre t’ comme variable d’intégration puisque t figure déjà dans une borne d’intégration. Souvent, on ne fait pas la différence entre t’ et t.

1000

θ0

4π

−

f2π

−

C

R vSve


On reconnaît un diviseur de tension, donc : ( ) 1 1S

e

V R jRCH jV jRCR

jC

ωωω

ω

= = =++

.

On a multiplié au numérateur et dénominateur par jCω pour faire apparaître dès que possible des termes sans

dimension en RCω. Pour mettre cette fonction de transfert sous forme canonique, on pose : 0

1RC

ω = et H0 = 1.

Forme canonique d’un filtre passe-haut du premier ordre : ( ) 00

0

1

jH j H

j

ωω

ωωω

=+

On retrouve le comportement limite prévu précédemment sans calcul. Le degré du dénominateur est égal à 1 et celui du numérateur vaut 1. Le filtre est donc un passe-haut du premier ordre.

c) Diagramme de Bode c1)Diagramme de Bode pour le gain 1ère méthode

• Si ( )0

0

0

~ ~ 20log 20log0 ~

~~ 2

2

dBG G

H j j

ωω ω

ω ωω ω πω θπθ

− → ⇒ ⇒

.

On a une droite de pente +20 dB par décade.

• Si ( ) 0~ 1

0dBG

H jω ωθ

→→ ∞ ⇒ →

• Intersection des asymptotes : 0 020log 20log 0ω ω ω ω− = ⇒ = .

Le point d’intersection a pour abscisse ω0 et pour ordonnée 0 dB.

• La courbe réelle vaut pour ( )0 0

1: 3dB2 dBG Gω ω ω= = ⇒ = − .

• Pulsation de coupure à –3 dB : c’est la pulsation ωc pour laquelle ( ) max

2c

GG ω = .

Calcul de ωc : ( ) 0

2

0

12

1

c

c

c

G

ωω

ωωω

= = ⇒

+

0cω ω=

2ème méthode On peut se ramener au filtre passe-bas du premier ordre en remarquant que

0 0

0

20log

arg arg2 2

ph pb dBph dBpb

ph pb

ph pb ph pb

H H G GH j H

H H

ω ωω ω ωω π πθ θ

= = + = ⇒ ⇒ = + = +

00

20 log 20log 20logω ω ωω

= − est l’équation d’une droite de pente +20 dB par décade et qui passe par le point

d’abscisse ω0 et d’ordonnée 0. On en déduit le diagramme de Bode asymptotique et la courbe réelle :


Droite de pente + 20 dB par décade

et d'équation 200

log ωω

Passe bas du 1er ordre

GdB max = 0 dB

-20 dB

GdB

f

Octave

1000 10000 100 500

asymptote à +20 dBpar décade

Coupure à –3 dB

GdB max = 0 dB

-20 dB

1000 10000 100

GdB

f

Bande passante à –3 dB


c2) Diagramme de Bode pour la phase

On se contente des 3 points trouvés précédemment : 0ω = : 2πθ = ; 0ω ω= :

4πθ = ; ω → ∞ : 0θ → .

On a un saut de phase de 2π quand on passe des basses fréquences aux hautes fréquences.

d) Comportement du filtre en dehors de la bande passante

On a vu que la fonction de transfert est : ( ) 0

0

1

jH j

j

ωω

ωωω

=+

. Pour 0ω ω<< , 0 0

1~j ~H jω ωω ω

. On a donc :

0

1~S eV j Vωω

.

À basse fréquence, le montage se comporte donc comme un dérivateur.

En effet une dérivation revient à multiplier par jω. On en déduit que : ( ) e

0

d1dS

vv t

tω= .

1000 10000 100 500

θ

2π

4π

0 f


III.3 Filtre passe-bande du deuxième ordre On considère le quadripôle suivant. La tension est sinusoïdale de pulsation ω et peut s’écrire sous la forme : ( )cose em ev V tω θ= + . On


a) Comportement du filtre sans calcul • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur

ouvert et la bobine à un interrupteur fermé. La tension de sortie est donc nulle : vS = 0 .

• À haute fréquence, la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert et le condensateur à un interrupteur fermé. La tension de sortie est donc nulle : vS = 0 .

• Ce filtre coupe les basses et les hautes fréquences. C’est donc un filtre passe-bande.

b) Fonction de transfert On reconnaît un diviseur de tension, donc :

( ) 11 11

S

e

V RH jLV jL R j

jC R jRC

ωωω

ω ω

= = =+ + + +

Cherchons Q , ω0 et H0 pour identifier la fonction de transfert à la forme canonique :

Forme canonique d’un filtre passe-bande du deuxième ordre :

( ) 0

0

0

1

HH j

jQω

ωωω ω

=

+ −

ou ( ) 00 2

20 0

1

jQ

H j Hj

Q

ωω

ωω ωω ω

=− +

Deux méthodes pour identifier les coefficients : Méthode 1 systématique : Deux fonctions polynômes sont égales si et seulement si tous les coefficients sont égaux.

On doit donc avoir : 0

L QR ω

= ; 0

1 QRC

ω= et H0 = 1. En faisant le rapport des deux équations, on a : 20

1LCω

= . On

en déduit ensuite Q avec la première ou la deuxième équation : 0LQ

Rω

= par exemple.

Méthode 2 plus astucieuse ici. H0 = 1. On cherche d’abord ω0.

• Calcul de ω0 : Pour ω = ω0, on doit avoir : 1LR RCω

ω= ⇒ 2

0

1LC

ω =

• Calcul de Q : 0

Q LR

ω ωω

= ⇒ 0LQ

Rω

= . En multipliant au numérateur et dénominateur par ω0, on a aussi :

20

0

LQ

Rωω

= , soit 0

0

1 LQ

RC Rω

ω= = . On retrouve le comportement limite prévu précédemment sans calcul. Le

degré du dénominateur est égal à 2 et celui du numérateur vaut 0. Le filtre est donc un passe-bande du second

ordre. On a déjà étudié ce filtre. La bande passante à –3 dB est centrée sur ω0 et 0

Qω

ω∆ = .

c) Diagramme de Bode c1) Diagramme de Bode pour le gain

• Si ( )0

0

0

~ ~ 20log 20log0 ~

~~ 2

2

dBG G Qj QH

Q

ωω ω

ω ωω πω θπθ

− → ⇒ ⇒

C

R vSve

L



• Si

0 0

0

~ ~ 20log 20log~

~ ~2 2

dBG Gj Q QH

Q

ω ωω

ω ωωω π πθ θ

− + → ∞ − ⇒ ⇒

− −

On a une droite de pente –20 dB par décade.

• Intersection des asymptotes :

( )00 0 0-20log 20log 20log 20log 40log 40logQ

Qω

ω ω ω ω ω ω ω

+ = − ⇒ = ⇒ =

.

Le point d’intersection a pour abscisse ω0 et pour ordonnée 20 log Q− .

• Il faut savoir que pour un passe-bande du deuxième ordre, on a toujours une résonance pour 0ω ω= .

La courbe réelle vaut pour ( )0 0: 1 0dBdBG Gω ω ω= = ⇒ =

• Pulsations de coupure à –3 dB : ce sont les pulsations ω1 et ω2 pour lesquelles ( ) ( ) max1 2 2

GG Gω ω= = . On

trouve deux pulsations ω1 et ω2. 1 0 2 02 2

1 1 1 11 et 12 4 2 4Q Q Q Q

ω ω ω ω

= − + + = + +

.

La bande passante à –3 dB vaut 02 1 Q

ωω ω ω∆ = − =

Détail des calculs : 2

2

1( )11

H j

Q xx

ω = + −

en posant 0

x ωω

= . x est appelé la pulsation réduite.

Deux méthodes pour montrer que ( )G x est maximum pour x = 1.

Méthode 1 systématique : Calculer

22

2

2

1 12 1d 1d 2 11

Q xG x xx

Q xx

+ − − = + −

. d 0dGx

= pour x = 1.

Méthode 2 plus astucieuse ici : G est maximum quand le dénominateur est minimum. 21 0x

x − =

pour x = 1,

c’est à dire 0ω ω= . On a alors maxmax( ) 1H j Gω = = .

La bande passante est définie par : 2 1ω ω ω∆ = − avec 1 2et ω ω les pulsations de coupure à –3 dB définies par

( ) ( ) max1 2 2

GGG ω ω= = . D’où :

2 22

222

1 1 1 1 11 0211

Q x xx x Q

Q xx

= ⇒ − = ⇒ − − = + −

. Il faut

résoudre l’équation : 1 1 1 1 0x xx Q x Q

− − − + =

.

Étude de 1 1 0xx Q

− − =

2 1 0xx

Q⇒ − − = .

Le discriminant vaut 2 2

1 14 4 14Q Q

∆ = + = +

> 0

2

1 112 4

xQ Q

= ± + . Une seule solution est physiquement acceptable (x > 0).

D’où 2 2

1 112 4

xQ Q

= + +

Étude de 1 1 0xx Q

− + =

2 1 0xx

Q⇒ + − = .

Le discriminant vaut 2 2

1 14 4 14Q Q

∆ = + = +

> 0


2

1 112 4

xQ Q

= − ± + . Une seule solution est physiquement acceptable (x > 0).

D’où 1 2

1 112 4

xQ Q

= − + + . On en déduit que : 2 10

1x x xQ

ωω∆

∆ = − = = .

Pour un filtre passe-bande du deuxième ordre, on a toujours une résonance pour :

0ω ω=

La largeur de la bande passante est : 0

Qω

ω∆ =

Q = 10 ω0 = 1000 rad.s-1

Q = 0,1 ω0 = 1000 rad.s-1

asymptote à –20dB pardécade

asymptote à +20dB pardécade

0 – 3dB

-20.log Q = -20

∆ω = 100

1000 10000 100 ω

GdB

– 20.log (Q)=20

0 – 3dB

asymptote à +20dB pardécade

∆ω = 10000

asymptote à –20dB pardécade

1000 10000 100 ω

GdB


Si Q > 1, la courbe réelle se situe au dessus des asymptotes. Par contre, si Q ≤ 1, la courbe réelle se situe au dessous des asymptotes. Plus le facteur qualité est grand1, plus la bande passante est petite et plus le filtre est sélectif. Un filtre sélectif sert à sélectionner une bande de fréquences étroite2. c2) Diagramme de Bode pour la phase

On se contente des 3 points trouvés précédemment : 0ω = : 2πθ = ; 0ω ω= : 0θ = ; ω → ∞ :

2πθ → − .

ω0 = 1000 rad.s-1

On a un saut de phase de π quand on passe des basses fréquences aux hautes fréquences. Plus le facteur de qualité augmente, plus la courbe se rapproche du diagramme de Bode asymptotique.

d) Diagramme de Bode avec H0 négatif Exemple de courbe avec H0 = –20 ; f0 = 1 kHz ; Q = 10

1 Comparer les deux filtres : Q = 10 et Q = 0,1. 2 Voir l’application dans le chapitre : « Réponse d’un filtre à un signal périodique »

Q = 10

Q = 0,1Q=1

1000 10000 100

π2

0

−π2

ω

θ


III.4 Filtre passe-bas du deuxième ordre On considère le quadripôle suivant. La tension est sinusoïdale de pulsation ω et peut s’écrire sous la forme :

( )cose em ev V tω θ= + . On s’intéresse au régime sinusoïdal forcé.

a) Comportement du filtre sans calcul • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert et la bobine à un interrupteur fermé.

La tension de sortie est égale à la tension d’entrée : s ev v= .

• À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé et la bobine à un interrupteur ouvert. La tension de sortie est donc nulle : 0Sv = .

• Ce filtre laisse passer les basses fréquences et coupe les hautes fréquences. C’est donc un filtre passe-bas.

b) Fonction de transfert On reconnaît un diviseur de tension, donc :

( ) 2

11

1 1S

e

V jCH jV LC jRCjL R

jC

ωωω ωω

ω

= = =− ++ +

Forme canonique d’un filtre passe-bas du deuxième ordre : ( ) 02

20 0

1

HH j

jQ

ωω ωω ω

=− +

Cherchons Q ; H0 et ω0 pour identifier la fonction de transfert à la forme canonique : • H0 = 1

• Calcul de ω0 : 20 1LCω = ⇒ 2

0

1LC

ω = .

• Calcul de Q : 0 02

0 0 0

1 1 LRC Q

Q RC RC Rω ω

ω ω ω= ⇒ = = = .

Attention : cette étape d’identification des coefficients pose souvent des difficultés dans les exercices… On retrouve le comportement limite prévu précédemment sans calcul. Le degré du dénominateur est égal à 2 et celui du numérateur vaut 0. Le filtre est donc un passe-bas du second ordre.


• Si 0

0 ~ 10

dBGHω

θ→

→ ⇒ →

• Si

202

0202

~ ~ 40log 40log~

~~

dBG GH

ωω ωω

ω ωθ πω

θ π +

− +→ ∞ − ⇒ ⇒ − −

.

Si 0ω ω> : 2

20 0

arg 1 ;2

jQ

ω ω π πω ω

− + ∈ , Comme

2

20 0

arg 1 jQ

ω ωθω ω

= − − +

,

;2πθ π − ∈ −

. Finalement, si ~ω θ π→ ∞ − .

C

R

vSve

L


On a une droite de pente –40 dB par décade. • Intersection des asymptotes : 0 00 40log 40logω ω ω ω= − + ⇒ =

Le point d’intersection a pour abscisse ω0 et pour ordonnée 0.

• La courbe réelle vaut pour ( )0 0: 20 logdB

QH G Q G Qj

ω ω ω= = ⇒ = ⇒ = et 2πθ −

= .

Il faut savoir que pour un passe-bas du deuxième ordre, il y a résonance si 12

Q > .

Si 12

Q < , le gain n’a pas de maximum.

Si 12

Q > , on a une résonance en tension. La pulsation de résonance ωR est inférieure à ω0. Si Q est très

grand (en pratique Q > 5), alors 0Rω ω≈ et ( )

max

0G

QG ω

≈=

. Q s’appelle aussi le facteur de surtension. Il faut

prendre des précautions en TP puisqu’on peut avoir une tension supérieure à la tension de claquage du

condensateur !

On a deux pulsations ω1 et ω2 pour lesquelles max1 2( ) ( )

2H

H j H jω ω= = .

La bande passante à –3 dB est : 2 1ω ω ω∆ = − . On peut montrer que 0si 1, QQω

ω>> ∆ .

Le circuit est d’autant plus sélectif (bande passante étroite) que le facteur de qualité est grand (résistance petite).

Le passe-bas du second ordre a une coupure plus rapide que le passe-bas du premier ordre.

Détail des calculs : On pose 0

x ωω

= la pulsation réduite.

( )( ) ( )2 22 2 222

2

1

11

QG xx x Q xxQ

= =+ −− +

Pour étudier G en fonction de u, il faut étudier le signe de la dérivée.

( ) ( )3

2 22 2 2 2 2d 1 2 2 2 1d 2G Q x Q x x Q x xx

− = − + − − −

1000 10000 100

asymptote à –40dB par décade

Q = >10 12

Q = 0,1

Q = 0,714

0

-20

ω

GdB

ω0 = 1000 rad.s-1


( ) ( )3

2 22 2 2 2 2d 1 2 1 1d 2G Q x Q x Q xx

− = − + − − −

2 2 2d 0 0 ou 1 2 2 0dG x Q Q xx

= ⇔ = − + =

2

d 10 0 ou 1d 2RG x x xx Q

= ⇔ = = = − . Ceci n’est possible que si 12

Q >

On a donc deux cas :

• Si 12

Q ≤ : d 0dGx

< . G est toujours décroissante.

G(0) = 1, G(Q) = Q et si , G 0x → ∞ → .

• Si 12

Q > : ddGx

s’annule pour x = 0 et 2

112Rx xQ

= = − .

G passe par un maximum pour x = xR.

max

222 2

11 1 11 42 2

Q QG

Q QQ Q

= = −− +


On a étudié précédemment 3 points : 0ω = : 0θ = ; 0ω ω= : 2πθ = − ; ω → ∞ : θ π→ − .

ω0 = 1000 rad.s-1


III.5 Filtre passe-haut du second ordre On considère le quadripôle suivant. La tension est sinusoïdale de pulsation ω et peut s’écrire sous la forme : ( )cose emv V tω= . On


a) Comportement du filtre sans calcul • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert et la bobine à un interrupteur fermé.

La tension de sortie est donc nulle : 0Sv = .

• À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé et la bobine à un interrupteur ouvert.

Q = 10

Q = 0,1

Q=0,714

1000 10000 100

0

−π2

− πω

θ

C R

vSve L


• La tension de sortie est égale à la tension d’entrée : s ev v= .

• Ce filtre laisse passer les basses fréquences et coupe les hautes fréquences. C’est donc un filtre passe-haut.


On reconnaît un diviseur de tension, donc : ( )2

21 1S

e

V jL LCH jV LC jRCjL R

jC

ω ωωω ωω

ω

−= = =

− ++ +

Cherchons Q, H0 et ω0 pour identifier la fonction de transfert à la forme canonique : ( )

2

20

0 2

20 0

1H j H

jQ

ωω

ωω ωω ω

−=

− +

Forme canonique d’un filtre passe-haut du deuxième ordre : ( )

2

20

0 2

20 0

1H j H

jQ

ωω

ωω ωω ω

−=

− +

• H0 = 1

• Calcul de ω0 : 20 1LCω = ⇒ 2

0

1LC

ω =

• Calcul de Q : 0 02

0 0 0

1 1 LRC Q

Q RC RC Rω ω

ω ω ω= ⇒ = = = .

On retrouve le comportement limite prévu précédemment sans calcul. Le degré du dénominateur est égal à 2 et celui du numérateur vaut 2. Le filtre est donc un passe-haut du second ordre.


• Si

22

0202

0

~ ~ 40log 40log0 ~

~~ 0

dBG GH

ωω ωω ωω

θ πωθ π +

−→ − ⇒ ⇒

−

2

20 0

arg 1 0jQ

ω ωω ω

+ − + =

, donc 0θ π += − . On a bien un angle compris entre [ ];π π− .


• Si 0

~ 10

dBGHω

θ→

→ ∞ ⇒ →

• Intersection des asymptotes : 0 00 40log 40logω ω ω ω= − ⇒ =

Le point d’intersection a pour abscisse ω0 et pour ordonnée 0.

• La courbe réelle vaut pour ( )0 0: 20 logdBH jQ G Q G Qω ω ω= = ⇒ = ⇒ = et 2πθ = .

Il faut savoir que pour un passe-haut du deuxième ordre, il y a résonance si 12

Q > .

Si 12

Q < , le gain n’a pas de maximum.

Si 12

Q > , on a une résonance en tension.

La bande passante à –3 dB est : 2 1ω ω ω∆ = − avec ( ) ( ) max1 2 2

HH j H jω ω= = .

On peut montrer que 0si 1, QQω

ω>> ∆ ≈ .


Détail des calculs : ( )

2

20

2 20 0

2 20 0

1

1 1H j

j jQ Q

ωω

ωω ω ω ωω ω ω ω

−= =

− + − −. On pose 0u ω

ω= . Attention : u n’est pas une

pulsation réduite. ( )( ) ( )2 22 2 222

2

1

11

QG uu u Q uuQ

= =+ −− +

.

On retrouve exactement le même calcul que dans le paragraphe III.4c).

( ) ( )3

2 22 2 2 2 2d 1 2 2 2 1d 2G Q u Q u u Q u uu

− = − + − − −

( ) ( )3

2 22 2 2 2 2d 1 2 1 1d 2G Q u Q u Q uu

− = − + − − −

2 2 2d 0 0 ou 1 2 2 0dG u Q Q uu

= ⇔ = − + =

2

d 10 0 ou 1d 2RG u u uu Q

= ⇔ = = = − . Ceci n’est possible que si 12

Q >

On a donc deux cas :

• Si 12

Q ≤ : d 0dGu

> . G est toujours croissante.

G(0) = 1, G(Q) = Q et si , G 0u → ∞ → .

• Si 12

Q > : ddGu

s’annule pour u = 0 et 2

112Ru uQ

= = − .

G passe par un maximum pour u = uR.

max

222 2

11 1 11 42 2

Q QG

Q QQ Q

= = −− +

ω0 = 1000 rad.s-1

Le circuit est d’autant plus sélectif (bande passante étroite) que le facteur de qualité est grand (résistance petite).

Le passe-haut du second ordre a une coupure plus rapide que le passe-haut du premier ordre.

Q = >10 12

Q = 0,714

Q = 0,1

0

asymptote à +40 dB pardécade

-20

1000 10000 100 ω

GdB



ω0 = 1000 rad.s-1


III.6 Filtre réjecteur de bande

La forme canonique est ( )

2

20

2

20 0

1

1H j

jQ

ωω

ωω ωω ω

−=

− +

• Si ~ 1 0

0 ~ 10 0

dBG GHω

θ θ→

→ ⇒ ⇒ → →

• Si ~ 1 0

0 ~ 10 0

dBG GHω

θ θ→

→ ⇒ ⇒ → →

• La courbe réelle vaut pour ( )0 0: 0H jω ω ω= = .

Si 0 0 et ω ω ω ω< , ( )2

H jj

Q

ε πω −∼ ∼

Si 0 0 et ω ω ω ω> , ( )2

H jj

Q

ε πω −∼ ∼

On a donc une discontinuité de phase de π .

Exemple de courbe avec H0 = 1 ;

f0 = 1 kHz ; Q = 10

Q = 10

Q = 0,1Q=0,714

1000 10000 100

π

π2

0ω

θ ph2


C2

R2C1

R1

eV SV

On cherche les pulsations de coupure à –3 dB : 1ω et 2ω telles que : ( ) ( ) max1 2

12 2

GGG ω ω= = = .

On pose 0

x ωω

= la pulsation réduite. On a :

( )( ) ( )

2 22 22 22222

2

1 1 2 1 12

1

x xx xQxx

Q

−= ⇒ − = − +

− +

Soit ( ) ( )2 22 22 2 2 22 21 1 0 1 1 0x x x xx x x x

Q Q Q Q

− = ⇔ − − = ⇔ − − − + =

2 21 0 ou 1 0x xx xQ Q

⇔ − − = − + =

2 21 0 ou 1 0x xx xQ Q

⇔ + − = − − =

Étude de 2 1 0xxQ

− − = . Le discriminant vaut 2 2

1 14 4 14Q Q

∆ = + = +

> 0

2

1 112 4

xQ Q

= ± + . Une seule solution est physiquement acceptable (x > 0). D’où 2 2

1 112 4

xQ Q

= + +

Étude de 2 1 0xxQ

+ − = . Le discriminant vaut 2 2

1 14 4 14Q Q

∆ = + = +

> 0. 2

1 112 4

xQ Q

= − ± + . Une

seule solution est physiquement acceptable (x > 0). D’où 1 2

1 112 4

xQ Q

= − + + .

On en déduit que : 2 10

1x x xQ

ωω∆

∆ = − = = .

Le réjecteur de bande rejette les pulsations autour de 0ω . La largeur de la bande de fréquences rejetées est :

0

Qωω∆ =

IV. EXEMPLE : MISE EN CASCADE DE FILTRES D’ORDRE 1

Il faut utiliser un montage suiveur (voir chapitre amplificateur opérationnel) : il a une impédance d’entrée infinie et une impédance de sortie nulle. Si on relie directement le deuxième filtre au premier filtre, la première fonction de transfert ( )1H jω est modifiée par le

deuxième filtre.

( ) 11

1 11

1

11

1 1jC

H jjR CR

jC

ωω

ωω

= =++

. C’est un passe-bas du premier ordre de pulsation de coupure 1ω .

( ) 2 2 22

2 22

2

1 1R jR CH j

jR CRjC

ωω

ωω

= =++

. C’est un passe-haut du premier ordre de pulsation de coupure 2ω .


logω logω

dBGθ

2ω1ω

+20 dB/décade

20 dB/décade−

2π

2π−

2ω1ω

0

( ) ( ) ( )1 2H j H j H jω ω ω= ⋅ , donc 1 2

1 2

G G Gθ θ θ

= ⋅ = +

et 1 2

1 2

dB dB dBG G Gθ θ θ

= + = +

En développant, on a : ( ) ( )2 2

21 2 1 2 1 1 2 21

jR CH j

R R C C j R C R Cω

ωω ω

=− + +

.

On identifie à la forme canonique d’un passe-bande : ( ) 00 2

20 0

1

jQ

H j Hj

Q

ωω

ωω ωω ω

=− +

On a donc :

20

1 2 1 2

1 1 2 20

02 2

0

1

1R R C C

R C R CQH

R CQ

ω

ω

ω

=

= +

=

⇒( )

0

1 2 1 2

0 1 1 2 2

2 20

1 1 2 2

1

1R R C C

QR C R CR CH

R C R C

ω

ω

=

=

+ =

+

FILTRES - mawy33.free.frmawy33.free.fr/cours sup/32-102 éléctrocinétique filtres.pdf · θ

Documents

Transcript of FILTRES - mawy33.free.frmawy33.free.fr/cours sup/32-102 éléctrocinétique filtres.pdf · θ