Binet Meca Sup

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Université de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de Brive François BINET - 1 - Cours et travaux dirigés Mécanique du point et du solide François BINET Professeur vacataire Université de Limoges IUT du Limousin Site GEII de Brive G C O α β
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Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 1 - Cours et travaux dirigs Mcanique du point et du solide Franois BINET Professeur vacataire Universit de Limoges IUT du Limousin Site GEII de Brive GCOUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 2 - Sommaire 1 Bases repres et rfrentiels ................................................................................................4 2 Cinmatique du point et du solide ..........................................................................................5 2.1 Coordonnes cartsiennes ..............................................................................................5 2.2 Coordonnes cylindriques...............................................................................................6 2.3 Coordonnes sphriques.................................................................................................8 2.4 Position dun point. .....................................................................................................9 2.5 Vitesse dun point ..................................................................................................... 10 2.6 Acclration dun point ............................................................................................... 13 2.7 Coordonnes intrinsques. Composantes de Frenet. ................................................................ 15 2.8 Etude de mouvements. ................................................................................................ 16 2.8.1 Types de mouvements ............................................................................................ 16 2.8.2 Traiter un exercice de cinmatique ............................................................................. 16 TRAVAUX DIRIGES SUR LA CINEMATIQUE .......................................................................................... 18 3 Notions de forces et dquilibre........................................................................................... 22 3.1 Le torseur force........................................................................................................ 23 3.1.1 Les forces.......................................................................................................... 23 3.1.2 Moment de forces................................................................................................. 23 3.2 Equilibre, rotation et translation..................................................................................... 24 3.2.1 Equilibre........................................................................................................... 24 3.2.2 Couple et mouvement de rotation............................................................................... 24 3.2.3 Translation ........................................................................................................ 25 3.3 Forces de frottement.................................................................................................. 25 3.3.1 Frottement statique .............................................................................................. 25 3.3.2 Frottement dynamique ........................................................................................... 25 3.4 Rsolution des problmes de statique................................................................................ 27 3.4.1 Solide en quilibre sous laction de 2 forces.................................................................... 27 3.4.2 Solide en quilibre sous laction de 3 forces.................................................................... 27 3.4.3 Solide en quilibre sous laction de n forces.................................................................... 27 3.4.4 Mthode ........................................................................................................... 27 TRAVAUX DIRIGES SUR LA STATIQUE.............................................................................................. 28 4 Dynamique des solides ..................................................................................................... 32 4.1 Elments de dynamique............................................................................................... 32 4.1.1 Le torseur cintique .............................................................................................. 32 4.1.1.1 Quantit de mouvement ..................................................................................... 32 4.1.1.2 Moment cintique............................................................................................ 32 4.1.1.3 Arrt, rotation et translation. ............................................................................... 32 4.1.1 Le torseur dynamique ............................................................................................ 33 4.2 Principes fondamentaux de la dynamique ........................................................................... 34 4.2.1 Enonc de Newton ................................................................................................ 34 4.2.2 Enonc mathmatique du principe fondamental ............................................................... 34 4.2.3 Thorme de la quantit de mouvement, Thorme de la rsultante cintique ............................. 34 4.2.4 Thorme du moment cintique................................................................................. 34 4.3 Dynamique des particules charges .................................................................................. 35 4.3.1 Forces de champ .................................................................................................. 35 Champ gravitationnel : ............................................................................................... 35 Champ lectromagntique : .......................................................................................... 35 TRAVAUX DIRIGES SUR LA DYNAMIQUE ............................................................................................ 36 5 Energtique................................................................................................................. 40 5.1 Grandeurs scalaires.................................................................................................... 40 5.1.1 Puissance, Travail etEnergie potentielle ....................................................................... 40 Puissance .............................................................................................................. 40 Travail ................................................................................................................. 40 Energie potentielle ................................................................................................... 41 Travail et nergie potentielle des forces usuelles .................................................................. 41 5.1.3 Energie cintique ................................................................................................. 43 5.1.4 Energie mcanique................................................................................................ 43 5.1.5 Energie totale..................................................................................................... 43 5.2 Thormes mathmatiques ........................................................................................... 44 5.2.1 Transport des moments........................................................................................... 44 5.2.2 Rfrentiel du centre de masse.................................................................................. 44 5.2.3 Thorme de Koenig .............................................................................................. 44 Thorme de Koenig pour lnergie cintique...................................................................... 45 5.3 Thorme de lnergie cintique..................................................................................... 46 Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 3 - 5.3 Thorme de lnergie mcanique ................................................................................... 46 5.5 Transferts nergtiques............................................................................................... 47 5.5.1 Diffrents types de transfert..................................................................................... 47 5.5.2 Premier principe de thermodynamique.......................................................................... 47 5.5.3 Rendement ........................................................................................................ 47 TRAVAUX DIRIGES SUR LENERGETIQUE ........................................................................................... 48 6 Solide en rotation autour dun axe de direction fixe .................................................................... 52 6.1 Moment dinertie...................................................................................................... 52 6.1.1 Moment dinertie par rapport un axe.......................................................................... 52 Expressions par rapport aux axes du repre cartsien ............................................................. 52 6.1.2 Moment dinertie par rapport un point........................................................................ 53 6.1.3 Base principale dinertie......................................................................................... 53 6.1.4 Thorme dHuyghens-Schteiner ................................................................................ 54 6.1.5 Exemples de calculs de moments dinertie ..................................................................... 55 Moment dinertie dun disque plein ................................................................................. 55 Moment dinertie dun cne plein rgulier.......................................................................... 55 Moment dinertie dune sphre creuse.............................................................................. 56 Moment dinertie dune sphre pleine .............................................................................. 56 6.2 Cas dun solide symtrie cylindrique ou sphrique................................................................ 57 6.2.1 Moment cintique - Moment dinertie........................................................................... 57 6.2.2 Thorme du moment cintique par rapport laxe de rotation.............................................. 57 6.2.3 Expression de lnergie cintique dun solide en rotation autour dun axe fixe.............................. 58 6.2.2 Analogie avec le mouvement de translation .................................................................... 58 TRAVAUX DIRIGES SUR LA DYNAMIQUE DU SOLIDE .................................................................................. 59 Annexe 1. Les intgrales ....................................................................................................... 64 1.1 Dfinitions.............................................................................................................. 64 1.2 Proprits .............................................................................................................. 64 1.3 Mthodes dintgration................................................................................................ 64 Annexe 2 Les diffrentielles.................................................................................................... 65 Annexe 3 Equations diffrentielles ............................................................................................ 66 3.1 Solutions types ......................................................................................................... 66 3.2 Mthode de rsolution................................................................................................. 66 Annexe 4 Calculs de surfaces et de volumes .................................................................................. 67 4.1 Formulaire ............................................................................................................. 67 4.1.1 Coefficients ....................................................................................................... 67 4.1.2 Calcul de surfaces................................................................................................. 67 4.1.3 Calcul de volumes................................................................................................. 67 4.2 Exemples de calculs de surfaces...................................................................................... 68 4.2.1 Surface dun cercle............................................................................................... 68 4.2.2 Surface dune sphre............................................................................................. 68 4.3 Exemples de calculs de volumes ...................................................................................... 69 4.3.1 Volume dun cylindre............................................................................................. 69 4.3.2 Volume dune sphre............................................................................................. 69 4.3.3 Volume dun cne................................................................................................. 69 Annexe 5 Calculs de centres dinertie......................................................................................... 70 5.1 Dfinition du centre dinertie ........................................................................................ 70 5.2 Proprits du centre dinertie........................................................................................ 70 5.3 Calculs de centres dinertie........................................................................................... 70 5.3.1 Centre dinertie dun cne plein rgulier ....................................................................... 70 5.3.2 Centre dinertie dune demi sphre pleine ..................................................................... 71 5.3.3 Centre dinertie dune demi sphre creuse ..................................................................... 71 5.3.4 Centre dinertie dun disque perc.............................................................................. 71 5.3.5 Centre dinertie dun solide simple.............................................................................. 72 Annexe.6 Les vecteurs.......................................................................................................... 73 Annexe 7 Les oprateurs ....................................................................................................... 74 7.1 Le gradient............................................................................................................. 74 7.2 La divergence.......................................................................................................... 74 7.3 Le rotationnel.......................................................................................................... 74 7.4 Relations entre oprateurs............................................................................................ 75 7.5 Relations intgrales ................................................................................................... 75 Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 4 - 1 Bases repres et rfrentiels Base : Dans un espace trois dimensions, on appelle base vectorielle un ensemble de 3 vecteurs linairement indpendants : 3 2 1e b e a er r r+ 3 2 1, , e e er r r sont non coplanaires Repres despace : Lensemble constitu dun point O de lespace et de 3 vecteurs de base forme un repre despace. Repre direct : Le produit vectoriel tant anticommutatifA B B Ar r r r , il est ncessaire de dfinir une norme ,un sens normal. Le sens direct est obtenu avec la rgle de la main droite. Repre de Copernic : Lorigine correspond : au centre de masse du systme solaire et les axes sont dirigs vers : trois toiles fixes. Repre gocentrique : Lorigine correspond :au centre de masse dela terreet les axes sont dirigs vers : trois toiles fixes. Coordonnes : Pour dfinir la position de tout point dans un repre, on constate exprimentalement, quil est ncessaire et suffisant de prendre trois rels appels coordonnes. Repre de temps Il est constitu dun instant dorigine et dune chelle de temps Rfrentiel Lensemble constitu dun repre despace et dun repre de temps est appel rfrentiel. Rfrentiel galilen : Cest un rfrentiel dans lequel lespace est homogne et isotrope et le temps uniforme. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 5 - 2 Cinmatique du point et du solide La cinmatique est ltude des mouvements indpendamment des causes qui les produisent. Pour dcrire le mouvement dun point il est ncessaire dutiliser des coordonnes. Le choix du systme de coordonnes dpendra des caractristiques du mouvement. Voici trois systmes de coordonnes usuels : - Coordonnes cartsiennes. - Coordonnes cylindriques. - Coordonnes sphriques 2.1 Coordonnes cartsiennes Coordonnes : x : abscisse y : ordonne z : cte Reprsentation : MPOdydxdzxyzxeryerzerxeryerzerxeryerzer Vecteur position : z y xe z e y e x OMr r r+ + Dplacement lmentaire : z y xe dz e dy e dx dOMr r r + + Volume lmentaire : dz dy dx V d 3 xeryerzerdxdzdyOM dUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 6 - 2.2 Coordonnes cylindriques Coordonnes : : rayon polaire : angle polaire z : cte Reprsentation : Vecteur position :PM OP OM + ze z e OMr r+ On remarquera que le point M na pas de composante selon er. La base cylindrique est une base mobile donc langleintervient non pas dans la position de M par rapport la base cylindrique mais dans la position de la base cylindrique par rapport au repre qui est fixe Relation avec les coordonnes cartsiennes : ereryerxer 'zyxz sincos ecart

,_

0sincos ecart

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0cossin 2 2y x + 2 2siny xy+ MOPOMOPPMrzzeePOxyzxeryerzerererzerdMM'.ddzererzerdrzUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 7 - Dplacement lmentaire : ze dz e d e d OM d + + Volume lmentaire : dz d d V d 3 Drives des vecteurs par rapport langle : Rappels : sin) (cos ddcossindd que lon peut retenir avec : cossindrivation-cos-sinintgration On dduit des coordonnes des vecteurs : de de de de On remarquera que la drivation par rapport correspond une rotation de 2 : erer/2er dd dererzer.ddzOM dUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 8 - 2.3 Coordonnes sphriques Coordonnes : r : rayon vecteur0 r : colatitude 0 : azimuth 2 0 Reprsentation : MOxeryerzerdddrr.sin.drr.drerererrerererr.sinr.dr.sin.d Vecteur position : re r OMr Mme remarque que pour les coordonnes cylindriques : M na quune coordonne car la base sphrique est mobile. Les deux autres coordonnes apparaissent dans le positionnement de la base mobile par rapport la base fixe. Relation avec les coordonnes cartsiennes : 'zyx cossin sincos sin rrr Dplacement lmentaire : e d r e rd e dr OM dr + + sin Volume lmentaire : d r rd dr V d sin3 drr.drerererOM dr.sin.dxeryery=r.sin.sinxr.sin.cos.cos.sin=r.sinzererrz=r.cosr.sinr.cosr.sinUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 9 - 2.4 Position dun point. Un point M dans un repre R est caractris par son vecteur position :OM MOxyzxeryerzerxeryerzertrajectoireOM En coordonnes cartsiennes on note : OMz y xe z e y e x + + ouOMcartzyx

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o cart

,_

indique que les coordonnes du vecteur sont celles quil a dans la base cartsienne. La trajectoire est lensemble des positions occupes par le point M. Lquation de la trajectoire du point M est la relation liant les coordonnes indpendamment du temps. En coordonnes cartsiennes on notera0 ) , , ( z y x f On appelle quation horaire lexpression des coordonnes du point en fonction du temps :') () () (t f zt f yt f xzyx Si le mouvement est plan, on choisit le repre de telle sorte que deux coordonnes suffisent. Gnralement on conserve les coordonnes x et y. ') () (t f yt f xyx Si le mouvement est rectiligne, on choisit le repre de telle sorte quune seule coordonne suffise. Gnralement on conserve la coordonne x. ) (t f xx Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 10 - Lorsque la trajectoire est telle que les expressions et calculs des position, vitesse et acclration sont plus simples en coordonnes cylindriques alors on les exprime dans cette base mobile. mOxyzxeryerzerMzerztrajectoirebase fixe base mobilexeryerzerererererzer La base cylindrique tant une base mobile dont lorientation des vecteurs dpend de la position du point M dans sa trajectoire il nest pas tonnant de voir que deux coordonnes seulement suffisent exprimer la position : ze z e OM + ou cylzOM

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0 2.5 Vitesse dun point La vitesse moyenne dun point est obtenue en calculant le rapport de la distance parcourue par la dure du parcours : tdv Lorsque lon veut obtenir le vecteur vitesse moyenne entre deux points M1(t1) et M2(t2)on exprime : M1M2 1 22 1t tM Mv Si lon veut exprimer le vecteur vitesse instantane en un point M de la trajectoire il faut faire le calcul : R R MdtOM dv ) (/ Le vecteur exprim est celui de la vitesse du point M dans son mouvement par rapport au rfrentiel R. La drive du vecteur position se faisant par rapport ce rfrentiel. Lexpression du vecteur vitesse dans son mouvement par rapport au rfrentiel R peut tre exprim dans toute autre base. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 11 - En coordonnes cartsiennes (base fixe) le mouvement du point M par rapport au rfrentiel cartsien donnele vecteur vitesse : z y x R Me z e y e x v + + && &/ou cartR Mzyxv

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&&&/ En coordonnes cylindriques (base mobile)le mouvement du point M par rapport au rfrentiel cartsien donne le vecteur vitesse : z R Me z e e v + + && & /ou cylR Mzv

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&&& / dmonstration :

ze z e OM +

RzR R Mdte z e ddtOM dv )) (( ) (/ +

dte dz edtdzdte dedtdvzz R M+ + + / On a vu que : ede ddonc on peut simplifier

edtdde ddte d& et 0 dte dz car ze est un vecteur fixe soit z R Me z e e v + + && & / Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 12 - On notera les points suivants : Lunit lgale de la vitesse estle mtre par seconde m.s-1 Le vecteur vitesse en un point est confondula tangente la trajectoire en ce point. Le sens du vecteur vitesse est celui du mouvement. Comme pour tout vecteur la norme de la vitesse correspond la racine carre de la somme du carr des composantes de ce vecteur. ( )2 2 2 222/z y x z vR M&& &&& &+ + + + Il ne faut pas confondre dune part le rfrentiel par rapport auquel on tudie le mouvement avec dautre part la baseque lon choisit pour exprimer le plus facilement les vecteurs position, vitesse ou acclration. Dans le cas dun mouvement de rotation daxe Oz, on dfinit le vecteur ze & . A laide des coordonnes cylindriques exprimons le produit vectorielOM . On a cyl

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&00cylOM

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00donc e OM& soit la relation gnrale : OM v Le mouvement dun point M par rapport un rfrentiel R1 de centre O1 et par rapport un rfrentiel R2 de centre O2 vrifie la loi de composition des vitesses: 1 1) (/ R R MdtOM dv 2 2) (/ R R MdtOM dv M O v v vR R R O R M R M 2 / / / /1 2 1 2 2 1 + + o 1 2/ R Rdsigne le vecteur vitesse de rotation du repre R2 par rapport R1 cylR Mzv

,_

&&& /Vitesse radialeVitesse orthoradialeUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 13 - 2.6 Acclration dun point De mme que pour la vitesse on peut dfinir les vecteurs acclration moyenne et acclration instantane. Le vecteur acclration moyenne est obtenu entre deux vecteurs vitesses des instants t1 et t2 1 21 2t tv vaLe vecteur acclration instantane correspond la drive du vecteur vitesse par rapport au temps RR MR Mdtv da ) (// ou R R MdtOM da ) (22/ Les remarques sur la vitesse concernant la base et le rfrentiel sont aussi valables pour lacclration En coordonnes cartsiennes (base fixe) le mouvement du point M par rapport au rfrentiel cartsien donne le vecteur acclration : z y x R Me z e y e x a + + & && & & &/ou cartR Mzyxa

,_

& && && &/ En coordonnes cylindriques (base mobile) le mouvement du point M par rapport au rfrentiel cartsien donne le vecteur vitesse : [ ] [ ]z R Me z e e a + + + & && & & & & & & 22/ou cylR Mza

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+& && & & && & & 22/ dmonstration : RzRR MR Mdte z e e ddtv da )) (( ) (// + + & & & RzR R R Mdte z ddte ddte da )) (( )) (( )) ((/++&& & Rzz R R R R R R R Mdte dz edtz ddte dedtdedtddte dedtda )) (( )) (( )) (( )) (( )) (( )) (( )) ((/ + + + + + + &&&&& && On a: ede ddonc edtdde ddte d& et ede d donc edtdde ddte d& et 0 dte dz

soit z R Me z e e e e e a + + + + & && & & & & & & & & & / z R Me z e e e e a & && & & & & & &+ + + 22/ [ ] [ ]z R Me z e e a & && & & & & & &+ + + 22/ou[ ] ( )z R Me z edtde a + 1]1

+ & && & & & 2 2/1 Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 14 - ( )cylR Mzdtda

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& &&& & & 22/1acclration radialeacclration orthoradialeOn notera les points suivants : Lunit lgale de lacclration estle mtre par seconde au carr m.s-2 La direction et le sens du vecteur acclration par rapport sa trajectoire nest pas aisment exprimable. Comme pour tout vecteur la norme de lacclration correspond la racine carre de la somme du carr des composantes de ce vecteur. [ ] [ ]2 2 2 2222/2 z y x z aR M& && & & && && & & & & & &+ + + + + Laire dun arc de cercle dangle vaut221R et sa drive par rapport au temps qui vaut&221Rsappelle la vitesse arolaire. Si le mouvement est tel que lacclration orthoradiale est nulle alors( ) 02 &dtd et &2est une constante donc le mouvement seffectue vitesse arolaire constante. Cela correspond aux mouvements plantaires. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 15 - MteneRtrajectoirecercleosculateur2.7 Coordonnes intrinsques. Composantes de Frenet. On peut aussi exprimer la vitesse et lacclration partir dune base mobile) , , , (b n te e e M dfini partir des vecteurs : te: Vecteur tangent la trajectoire au point M, dans le sens du mouvement ne: Vecteur normal la trajectoire dont la droite daction passe par le centre de courbure de la trajectoire en ce point be: Vecteur binormal dfini partir des deux prcdents par n t be e e On appelle plan osculateur , le plan) , , (n te e M: Localement on confond la trajectoire avec le cercle osculateur. On dfini une abscisse curviligne s sur le cercle osculateur qui vrifie d R ds soit encore : R dsd 1 La vitesse sexprime par : tedtdsv et lacclration sen dduit : dte dv edtdvdte v ddtv dattt + ) ( On a dj vu que ede d et de mme ntede ddonc nt tedtddtdde ddte d Mais dtd nest pas une grandeur accessible, alors que dsdlest, on crit donc : Rvdtdsdsddtd soit nteRvdte ddo lexpression : acclrationnormalen teRvedtdva + 2acclrationtangentielle dRdsUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 16 - 2.8 Etude de mouvements. 2.8.1 Types de mouvements Dans le rfrentiel considr. La trajectoire peut tre : - rectiligne : - la trajectoire est une droite, - le rayon de courbure est infini et la composante normale de lacclration est nulle. - circulaire : - la trajectoire est un cercle, - la trajectoire est donc plane, - le rayon de courbure est constant. - curviligne :- la trajectoire est une courbe. - hlicodal :- la trajectoire est une hlice. Le mouvement peut tre : - uniforme :- la valeur algbrique de la vitesse est constante, - le vecteur vitesse nest pas forcment constant, - seule la composante tangentielle de lacclration est nulle. - uniformment vari :- la valeur algbrique de lacclration tangentielle est constante. - acclr :- la valeur algbrique de la vitesse augmente, - la composante tangentielle de lacclration est dans le sens du mouvement. - ralenti :- la valeur algbrique de la vitesse diminue, - la composante tangentielle de lacclration est dans le sens contraire du mouvement. - sinusodal :- une composante de position dpend sinusodalement du temps. Le mouvement dun solide peut tre : - de translation :- le vecteur vitesse est identique en tout point du solide. - de rotation :- la trajectoire de chaque point du solide est circulaire. Par exemple la nacelle dune grande roue a au dmarrage un mouvement de translation circulaire uniformment vari 2.8.2 Traiter un exercice de cinmatique Le but est gnralement dexprimer les quations horaires du mouvement pour remonter ventuellement vers lquation de la trajectoire. Lorsque la nature de la trajectoire est donne, il faut en dduire les conditions sur les caractristiques exprimes dans une base adapte. Exemple du mouvement circulaire sinusodal La trajectoire est circulaire on choisit la base cylindrique. La trajectoire est plane donc la coordonne z est nulle La trajectoire est un cercle donc le rayon est une constante (ce nest pas lui qui dpend sinusodalement du temps) Donc on peut dj crire en notant r le rayon du cercle : e r OMOn remarque que la base mobile choisie ne permet pas de faire apparatre le caractre sinusodal du mouvementOn en dduit lexpression de la vitesse : e r e z e e vz R M + + &&& &/ puis lexpression de lacclration : Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 17 - [ ] [ ] e e e z e e az R M& & && && & & & & & &+ + + + 2 2/2Le caractre sinusodal apparat dans lexpression de :) cos(0 max + to dsigne la pulsation et 0 linclinaison initiale. Lorsque lapplication des lois de la dynamique nous fournis les coordonnes de lacclration, alors il faut remonter par intgration aux caractristiques de vitesse puis de position. Les constantes dintgration seront dtermines par les conditions initiales du mouvement. VecteuracclrationVecteurvitesseVecteurpositiondrivation drivationintgration intgrationCalcul de la normevitesse intrinsqueCalcul de la driveacclration tangentielleCalcul de la normeacclration intrinsqueacclration normale Pour les applications numriques, il faut penser avant tout calcul se placer dans le systme dunits internationales (U.S.I.). Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 18 - OererzerxeryerzerRPas de l'hlice2hTRAVAUX DIRIGES SUR LA CINEMATIQUE Exercice 1 : Mouvements rectilignes Pour chacun des mouvements suivants : - Mouvement rectiligne uniforme, - Mouvement rectiligne uniformment vari. a) Indiquer les conditions sur les caractristiques. b) En dduire les vecteurs acclration puis vitesse puis position. Exercice 2 : La voiture Une voiture lance sur une ligne droite 72 km.h-1 sarrte dun mouvement uniformment vari sur une distance de 80m. a) Quelle est la valeur de la dclration ? b) Combien de temps met-elle pour sarrter ? Exercice 3 : Mouvements circulaires Pour chacun des mouvements suivants : - Mouvement circulaire uniforme, - Mouvement circulaire uniformment vari. a) Indiquer les conditions sur les caractristiques. b) Indiquer la base choisie.c) En dduire les vecteurs position, vitesseet acclration. Exercice 4 : Mouvement hlicodal uniforme Le point tudi suit la trajectoire ci-contre : a) Donner lexpression des coordonnes de position dans les repres cartsiens et cylindriques b) En dduire les coordonnes de la vitesse ainsi que sa norme. c) En dduire les coordonnes de lacclration ainsi que sa norme. d) Quel est le rayon de courbure de la trajectoire. Exercice 5 : Le projectile OMLxyz Un mobile considr comme ponctuel se dplace la vitesse constante v0 le long dune barre de longueur L faisant un angle constant avec laxe Oz. La barre est anime dun mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire autour de laxe Oz. a) Indiquer la position du point M dans les diffrentes bases (cartsiennes, cylindriques, sphriques). b) En dduire le vecteur vitesse dans la base choisie. c) Calculer la vitesse djection ( =45,v0=10km/h, =3tr/min, L=20cm). d) Exprimer le vecteur acclration. Exercice 6 : Le catadioptre Un cycliste descend avec une vitesse constante de2 1 s m . a) Donner lquation horaire du catadioptre situ la circonfrence dune roue de rayon r=40cm. b) Exprimer la vitesse et lacclration en coordonnes intrinsques. c) En dduire le rayon de courbure de la trajectoire cyclodale. Exercice 7 cours a) Redmontrer lexpression de la position, de la vitesse et de lacclration en coordonnes cylindriques Positiondu catadioptre t=0Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 19 - Exercice 8 corrig : Le moteur Sur une broche de machine est mont un outil de diamtre 200mm. On ferme linterrupteur du moteur. Loutil met 20 secondes pour prendre la vitesse angulaire de rgime, gale 40 rad.s-1. Loutil tourne ensuite dun mouvement uniforme pendant 60 secondes. On coupe le courant, loutil met 40 secondes pour sarrter. On demande pour chacune de ces priodes de dterminer, pour un point de la priphrie de loutil : a) Lacclration angulaire et lacclration tangentielle la priphrie (on admettra que la priode de dmarrage et celle de ralentissement sont acclration constante). b) Lacclration normale, la priphrie, en fonction du temps. Exercice 9 corrig : Partiel 2003 Un mobile considr comme ponctuel est attach lextrmit dune barre de longueur L, mobile autour du point O.La barre est anime dun mouvement de rotation complexe tel que : At t t + 23 1 Exprimer dans un repre adapt et en vous aidant du formulaire le vecteur vitesse en fonction de A, L et t. En dduire sa norme. 2 Exprimer le vecteur acclration en fonction de A,L et t. OMLxyzrererer Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 20 - ---------------------------------------------------------- CORRECTIONS : ----------------------------------------------------------Corrig de lexercice 8 Pour traiter ce mouvement circulaire on peut : - Se placer dans la base cylindrique de vecteurs) , , (ze e e et exprimer les vecteurs position, vitesse et acclration : e OM e vR M &/ e e aR M& & &+ 2/ avec mm 100 La vitesse angulaire de lnonc correspond : &et lacclration angulaire & &Lacclration tangentielle correspond la composante selon e: & &tanaet lacclration normale la composante selon e : 2 &normalea- se placer dansla base de Frenet et en notant le rayonmm R 100 oncrira te R v et donc : lacclration angulaire & & & lacclration tangentielle ( ) & & &R RdtRw ddtdva tan et lacclration normale ( )2 222 &R RRRRvanormale ce qui donnent les mmes rsultats soient : DmarrageRalentissementvitesse angulaire (rad.s-1)40dure(s)20123Mouvement uniforme : 222040 s rad & & , 2tan2 , 0 2 1 , 0 s m a & & et donc puisque lacclration est constantet 2 & , ( )224 , 0 2 1 , 0 t t anormale 20 s rad & & 2tan0 s m a140 s rad & 2 2 2160 40 1 , 0 s m anormale & 214040 s rad & &, 2tan1 , 0 1 1 , 0 s m a & & et donc puisque la dclration est constante ( ) [ ] t t + 120 80 1 40 & , ( ) 1440 8 1 , 0 120 1 , 022+ t t t anormale Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 21 - Corrig de lexercice 9 On choisi la base sphrique ( ) e e er; ; avec spherLOM

,_

00avec L constant et on a : L r ; ; ; 0 L& ; A & ; 0 & & ; 1 6+ t &et6 & & spherR Mrrrv

,_

sin/&&&devient avec les donnes de lnonc ( ) ( )spherR MAt t LLA v

,_

+ sin 1 60/ do la norme : ( ) ( ) ( ) ( )2 2/sin 1 6 At t L LA vR M+ + ( ) ( ) At t A L vR M222/sin 1 6+ + et lacclration : spherR Mr r rr r rr r ra

,_

+ + + sin cos 2 sin 2cos sin 2sin22 2 2/& & &&& &&& & &&&&& & devient avec les donnes de lnonc( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )spherR MAt L At t LAAt At t LAt t L LAa

,_

+ ++ + sin 6 cos 1 6 2cos sin 1 6sin 1 62222/ Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 22 - 3 Notions de forces et dquilibre Toute action mcanique sexerant sur un objet a pour effet soit : - de modifier son mouvement ou de le mettre en mouvement, - de le maintenir en quilibre, - de le dformer. Toute action mcanique peut tre dcrite par une somme dactions lmentaires. Toute action mcanique lmentaire sexerant sur un corps peut tre dcrite par la connaissance des quatre caractristiques suivantes : - le point dapplication, - la droite daction, - le sens, - la valeur : son intensit. Ces quatre caractristiques sont celles dun vecteur li. La connaissance de ces quatre caractristiques permet de construire une grandeur vectorielle nomme force. La connaissance de lensemble de ces caractristiques reprsentant lensemble des actions lmentaires permettra de dcrire le solide nimporte quel instant. Cest dans cette hypothse dterministe que nous nous placerons dans lensemble de ce cours. Il est important de noter quune action sur un solide le mettant ou modifiant son mouvement peut tre dcrite par un ensemble de forces mais que la simple connaissance de la somme de ces forces (somme vectorielle) nest pas suffisante pour en dcrire le mouvement. Il est alors ncessaire de connatre une grandeur supplmentaire : Le moment total des forces (somme vectorielle des moments des forces) sexerant sur le solide. En effet une somme de forces nulle peut trs bien mettre en mouvement un solide. Pour tre complet dans la connaissance dune action il faudra donc connatre deux grandeurs : - la somme vectorielle des forces sexerant sur le solide. - la somme vectorielle des moments des forces sexerant sur le solide.

On retiendra donc que pour dcrire le mouvement dun solide dans lespace, il nous faudra connatre le couple suivant :[Somme des forces, Somme des moments des forces] nomm Torseur force et not [F]. Ainsi les quations de la dynamique exprimes sur les forces et sur les moments pourront tre ramenes des quations torsorielles. A chaque action lmentaire, on associera un torseur compos du vecteur force et de son moment. Il est noter que le moment permet de dcrire la mise en rotation dun solide. Cest pourquoi pour une premire approche de la dynamique si on se limite ltude dun point ou du centre dinertie dun solide lutilisation des torseurs est inutile et la seule connaissance des vecteurs forces suffit, laissant de ct la notion de moment. Mais dans ltude de la mcanique du point, il ne faut pas oublier que lon perd une partie de la gnralit. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 23 - 3.1 Le torseur force 3.1.1 Les forces Les forces peuvent tre regroupes en trois familles : - Les forces de champ : force de gravitation, force de Lorentz. - Les forces de contact : force de frottement, . - Les forces nuclaires assurant la cohsion du noyau atomique. Les forces sexpriment en Newton not N Le poids qui appartient la premire famille est dfini par les caractristiques suivantes : - Point dapplication : le centre dinertie du solide - Droite daction : la verticale - Sens : Vers le bas - Valeur : P=mg avec m masse en kg du solide et g=9,81N/kg sur terre Dans le cas des forces de contact le point dapplication correspond au point de contact. 3.1.2 Moment de forces Le moment total des forces est la grandeur qui va nous permettre de savoir si laction aura pour effet la mise en rotation du solide. Il sexprime en un point O quelconque et pour une forceFayant A comme point dapplication par : F OA MOF Le moment est un vecteur libre. Il est indpendant de la position de A sur la droite daction. Norme du moment : F d F OA MOF sin Pour des raisons de simplification, si le solide est en rotation autour dun axe, on prfrera gnralement exprimer le moment par rapport cet axe. Avec O passant par laxe de rotation on a : e M MOF F FM est la projection de OFM sur laxe de vecteur directeur e .Le scalaireFM est indpendant du choix de O sur laxe . Se choisir un vecteur ecest choisir un sens positif pour la rotation autour de laxe . Le signe du moment par rapport laxe est donc positif si la rotation du vecteurFautour de se fait dans le sens positif choisi. OAFdOFM+eOAUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 24 - 3.2 Equilibre, rotation et translation 3.2.1 Equilibre Tout mouvement dun solide dans lespace peut tre dcompos en : - un mouvement de translation et - un mouvement de rotation. La connaissance de la somme des forces sexerant sur un solide renseignera sur la modification de son mouvement de translation. Ce vecteur indiquant le sens et la direction du mouvement. Labsence de translation se traduisant par une somme de forces nulle. La connaissance de la somme des moments des forces sexerant sur un solide renseignera sur la modification de son mouvement de rotation.

En effet toute forceF ayant A comme point dapplication sappliquant sur un solide dont laxe de rotation passe par le point O mettra ce solide en rotation autourde son axe tant que le vecteurOA ne sera pas colinaire au vecteur forceF . La rotation sarrtant quand les vecteurs sont colinaires soitle produit vectoriel nul. OAF OAF Un solide ne pourra tre maintenu dans son tat dquilibre que sil nest mis ni en translation ni en rotation. Cela se traduit mathmatiquement par: 0 Fet0 OM ou plus synthtiquement par le torseur force [F] : [ ] 0 F 3.2.2 Couple et mouvement de rotation Un solide dont la somme des forces est nulle mais le moment total non nul est soumis un couple. 0 F 0 OM Un couple estune action qui met le solide uniquementen rotation. Un solide initialement en translation et soumis un couple restera en translation mais subira en plus un mouvement de rotation GA1A3A21F2F3F3F2F1FG3F2F1FA11FA22FA33FGA1A3A21F2F3F3F2F1FUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 25 - 3.2.3 Translation La modification du mouvement dun solide, soumis un ensemble de forces non nulles mais de moment total nul, sera une translation. 0 F 0 OM Un solide initialement en rotation et soumis une somme de force non nulle mais de moment total nul restera en rotation mais subira en plus un mouvement de translation. 3.3 Forces de frottement Raction du support et force de frottement sont gnralement inclues dans une mme force note R . Le torseur[ ] Rse dcompose donc en : NR: Raction normale ORNM: Moment de rsistance au pivotement TR : Raction tangentielle = force de frottement ORTM: Moment de rsistance au roulement 3.3.1 Frottement statique Quand le solide est immobile du fait des frottements on peut dfinir un facteur de frottement statique S. s est dfini partir de la valeur maximale que peut prendre la composante tangentielle sans quil y ait de mouvement. On a donc N s TR R max et donc quand le solide est immobile : N s TR R On peut aussi utiliser langle de frottement statique et le cne de frottement pour mieux visualiser la limite partir de laquelle le solide va glisser. A partir du moment oTR est suprieur N sR , le solide se met en mouvement et il faut utiliser le facteur de frottement dynamique D. 3.3.2 Frottement dynamique Le facteur de frottement dynamique D qui comme S est une grandeur tabule qui dpend de la nature du contact, permet dexprimer la composante tangentielle en fonction de la composante normale : N D TR R La valeur de D est obligatoirement infrieure S GA1A3A21F2F3F2 1F F Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 26 - Exemple : Solide sur un plan inclin Prenons un solide de poids P=100N pos sur un plan inclin dun angle. Le solide est en quilibre si les deux forcesPetRsont gales et opposes. On suppose4 , 0 S et3 , 0 D . 8 , 21 ) 4 , 0 arctan(S Tant que la pente est dangle S : La raction vaut cos P RN et la force de frottement sin P RT ce qui est vrifie N s TR R , on dit que la raction est dans le cne de frottement statique : 10PNRRTRS cos P RN sin P RT Mais ds que langle S > . On a toujours cos P RN mais la valeur N sR est suprieure max TR donc on calcule dsormais N D TR R car le solide se met glisser.23PNP RN21 , 9 921 , 0 10cos NRRTRNR RN D T76 , 2 21 , 9 30 , 0 P R0 + R P Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 27 - 3.4 Rsolution des problmes de statique 3.4.1 Solide en quilibre sous laction de 2 forces Pour quun solide soit en quilibre sous laction de 2 forces, il faut et il suffit que les deux forces soient gales et directementopposes. 3.4.2 Solide en quilibre sous laction de 3 forces Pour quun solide soit en quilibre sous laction de 3 forces, il faut et il suffit que : - les 3 forces soient coplanaires. - les 3 forces soient concourantes aumme point. - chacune des forces soit oppose la somme gomtrique des 2 autres : dynamique ferm. G3F2F1FA11FA22FA33F 3.4.3 Solide en quilibre sous laction de n forces Proprit trs importante : La projection sur un plan dun systme de n forces en quilibre est un systmes de n forces coplanaires en quilibre. Pour les corps possdant un plan de symtrie ce plan sera toujours choisi comme plan de projection. 3.4.4 MthodePour rsoudre un problme de statique il faut procder gnralement ainsi : - Raliser un dessin de situation o figure le systme tudier dans son environnement extrieur sans y faire figurer de forces. - Raliser un dessin o ne figure que le systme tudi et les forces extrieures quil subit. - Faire un bilan des caractristiques connues et inconnues des forces. - Raliser la construction mathmatique traduisant les conditions dquilibre : le dynamique des forces. - Exploiter ces diffrentes tapes pour rsoudre le problme. Lutilisation du moment par r apport un axe donne une quation : 0/MEt lutilisation de la projection de la somme vectorielle des forces sur un plan (Oxy) en fournit deux autres : 0 xF0 yF Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 28 - TRAVAUX DIRIGES SUR LA STATIQUE Exercice 1 : La potence Soit une potence constitue : - dune barre mtallique homogne de longueur AB=l1=3,5m et de masse m=20kg - dun cble horizontal de longueur BC=l2=2,0m et de poids ngligeable devant la tension On suspend en B un cble de 1kg auquel est attach une charge de 89kg. a) Faire un bilan des forces sappliquant sur la barre. On nommera langle que fait la raction avec la verticale. b) Rappeler les conditions dquilibre puis les exprimer en fonction des donnes du problme. c) En dduire la valeur de la tension du cble et de la raction en A. On prendra g=10 N/kg Exercice 2 : La console mobile Soit une console constitue dun triangle rectangle isocle ABC et tel que AB=AC=l. Son poids est ngligeable devant la charge porte sur AC. Elle est installe sur un tuyau de diamtre 2r. Soit k le coefficient de frottement de glissement entre la console et le tuyau. Calculer la distance minimale x laxe du tuyau pour laquelle la charge P peut tre supporte sans quil y ait glissement de la console. Exercice 3: Lchelle 1) Soit une chelle de poids P en contact avec une paroi lisse et un sol lisse. a) Montrer que si les contacts se font sans frottement, il est impossible dappuyer lchelle obliquement contre un mur vertical. b) Dans les exemples ci-contre exprimer la raction en A et B ainsi que la tension T du fil en fonction de P, l=AB et . 2) On considre dsormais dans la suite de lexercice un sol rugueux, et lchelle nest plus maintenue par un fil. a) Calculer langle de frottement pour maintenir juste lchelle en quilibre. En dduire les ractions en A et B et le coefficient de frottement statique (l=5m, P1=250N, max=30) b) Exprimer la longueur l1 en fonction de linclinaison de lchelle laquelle un homme de poids P2 peut monter. Faire lapplication numrique avec un enfant de 30kg et un homme de 100kg pour un angle de 20. c) Inversement exprimer la condition pour quun homme de poids P2 puisse monter en haut de lchelle. Faire lapplication avec un homme de 70kg. AA'B'BCxBACl2l1ABCABCfil fixe en CABUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 29 - Exercice 4 corrig Partiel 2003 :A BOG4m6m1m2mIJxyH Considrons une chelle double constitue de deux chelles simples en aluminium de 20 kg chacune. Les deux chelles sont lies par un axe parfait sans frottement en O et attaches en I et J par une corde. La corde est de poids ngligeable. Le sol sur laquelle elle est pose est considr comme parfaitement lisse et donc sans frottement. Un homme muni dun seau a son centre de masse G sur lchelle une hauteur de 4m, lensemble pesant 80kg. On prendra pour simplifier g=10N/kg Pour simplifier nos relations, on ne prendra pas en compte les forces sexerant en O. Langle est de 60. 1 Faire un bilan de forces sexerant sur lchelle et complter lannexe en les faisant figurer. On explicitera les coordonnes des diffrentes forces dans le repre cartsien. 2 Rappeler les conditions dquilibre des forces et des moments par rapport au point O 3 Exploiter ces conditions pour tablir les quations que doivent satisfaire les forces. On calculera pour cela le moment vectoriel des forces par rapport au point O. ( Rappel( )3130 tan et donc

,_

023 2OG ) 4 En dduire les valeurs des ractions au sol. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 30 - ---------------------------------------------------------- CORRECTIONS : ----------------------------------------------------------Exercice 4 Partiel 2003 :1) A BOG3mIJP1P2P2T1TARBRG1G2 On a :cartA AR R

,_

00cartB BR R

,_

00cartP P

,_

001 1cartP P

,_

002 2cartP P

,_

00cartTT

,_

0011cartTT

,_

0022 2) 02 1 2 1 + + + + + + T T P P P R RB A 02 1 2 1 + + + + + +OTOTOPOPOPORORM M M M M M MB A 3) 02 1 2 1 + + + + + + T T P P P R RB A entrane : 02 1 T T(u ) 02 1 + P P P R RB A (v ) 02 1 2 1 + + + + + +OTOTOPOPOPORORM M M M M M MB A entrane : on a :

,_

023 2OG

,_

033 31OG

,_

033 32OG

,_

043 4OI

,_

043 4OJ

,_

063 6OA

,_

063 6OBAORR OA MA soit

,_

,_

00063 6AORR MAet donc z AORe R MA36 De mme z BORe R MB 36 ; zOPe P M 1331 ; zOPe P M 2332 et zOPe P M 32 11T OI MOT soit

,_

,_

00043 411TMOTet donc zOTe T M 141 et aussizOTe T M 242 Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 31 - z B AOTOTOPOPOPORORe T T P P P R R M M M M M M MB A

,_

+ + + + + + + + + +2 1 2 14 432333336362 1 2 1soit 0 4 432333336362 1 2 1 + + + +T T P P P R RB A (w) 4) De w et von dduit :0 2 3 3 6 62 1 + + + P P P R RB A Avec les valeursN P 800 ;N P P 2002 1 on obtient le systme'+ + + 800 200 2006800 2B AB AR RR R' + 12003 800B AB AR RR R'N RN RBA467733 Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 32 - 4 Dynamique des solides La dynamique est la partie de la mcanique qui tudie les causes du mouvement. 4.1 Elments de dynamique Pour qui a bien compris que tout mouvement pouvait se construire partir dun mouvement de translation et de rotation, a compris la ncessit des torseurs. Cette entit compose de deux vecteurs traduisant le mouvement de translation et de rotation a t introduite avec les forces. Cest dsormais avec les lments cintiques que nous allons le dfinir. 4.1.1 Le torseur cintique Le torseur cintique [P] correspond aux grandeurs [quantit de mouvement, moment cintique]dcrites ci-aprs. Il est important de noter que ces grandeurs dpendent du rfrentiel choisi. 4.1.1.1 Quantit de mouvement Pour tudier le mouvement dun solide ponctuel isol, on pourrait se contenter de connatre sa vitesse. Mais ltude du mouvement de deux solides en interaction ne pourra se faire que par la pondration des vitesses par une grandeur qui dpend de lobjet. Cette grandeur est appele masse inerte (inerte : inertie : vitesse). Lexprience montre que cette grandeur qui pondre la vitesse dun solide est la mme que celle qui pondre la force gravitationnelle des solides entre eux. Elle estnomme masse grave. On nommera donc massesans distinction la masse grave et la masse inerte. Aussi on va utiliser un vecteurpqui correspond la pondration de la vitesse par cette grandeur appele masse : v m p p est appele quantit de mouvement. Lorsque le solide nest pas ponctuel il faudra utiliser la rsultante cintique : ii iv m p4.1.1.2 Moment cintique Dans le cas dun solide quelconque, il faudra en plus de la rsultante cintique du solide dfinir le moment total associ appel moment cintique rsultant : ii iROp OM LDans le cas dune distribution non pas discrte mais continue on calculera 3d v pet 3d v OM LRO 4.1.1.3 Arrt, rotation et translation. Par analogie avec le torseur force o lon avait dfini les 3 cas : quilibre, couple et translation on peut crire les 3 cas suivant : - Le solide est larrt :0 p et0 ROL - Le solide est en rotation : 0 p et0 ROL - Le solide est en translation : 0 p et0 ROL Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 33 - 4.1.1 Le torseur dynamique Lorsque la vitesse varie on utilise lacclration pour dcrire cette variation. De la mme faon on peut dfinir un torseur dynamique [D] partir de la quantit dacclration et du moment dynamique. Et pour un solide on prendra la rsultante dynamique et le moment dynamique rsultant ii ia m D ii iROD OM N 3d a Det 3d a OM NRO Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 34 - 4.2 Principes fondamentaux de la dynamique 4.2.1 Enonc de Newton Premire loi : Tout corps persvre dans son tat de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forces imprimes le contraignent den changer. Deuximeloi : Le changement de mouvement est proportionnel la force imprime et seffectue suivant la droite par laquelle cette force est imprime. Troisime loi : La raction est toujours contraire laction : ou encore les actions que deux corps exercent lun sur lautre sont toujours gales et diriges en sens contraire. 4.2.2 Enonc mathmatique du principe fondamental Ce principe issu de la deuxime loi de Newton rend quivalent deux grandeurs fondamentalement diffrentes en liant le mouvement aux forces. Dans un rfrentiel galilen R, le mouvement dun systme de points matriels par rapport un point fixe O de R vrifie lquation torsorielle suivante : [ ][ ]ext OFdtP d, / en notant[ ]ext OF, / le torseur des forces extrieures dont le moment est calcul par rapport O. En extrayant du torseur ses deux composantes vectorielles, on obtient les deux thormes suivants : 4.2.3 Thorme de la quantit de mouvement, Thorme de la rsultante cintique Dans le cas dun solide ponctuel on obtientle thorme de la quantit de mouvement : extFdtp d Dans le cas dun solide non ponctuel on parle de thorme de la rsultante cintique. 4.2.4 Thorme du moment cintique Le thorme liant les moments sexprime par : OFextMdtL dO Ce thorme peut savrer utile mme lorsque la rsultante du moment des forces est nulle car le moment cintique est alors une constante vectorielle. Mais on lutilisera surtout pour ltude des solides et non pour ltude de la dynamique du point. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 35 - 4.3 Dynamique des particules charges Ce chapitre de dynamique se place demble dans un cadre restreint dtude des particules. Celles-ci sont considres comme ponctuelles, oubliant ainsi la possibilit dune ventuelle rotation de la particule sur elle-mme et restreignant ltude un problme de dynamique du point. Leurs vitesses sont supposes trs infrieures la vitesse de la lumire pour rester dans le cadre de la mcanique newtonienne. 4.3.1 Forces de champ Les particules charges possdent deux caractristiques intr insques : - leur masse m, - leur charge q, et la caractristique de mouvement :leur vitesse v. Champ gravitationnel : Cest dans un champ gravitationnelG quapparat la force de gravitation : G m FG

Avec le champGcr par une distribution volumique de masse 3d Mqui la distance r de la particule vaut : 33drrG GChamp lectromagntique : Cest dans un champ lectromagntique( ) B E,quapparat la force de Lorentz : ) ( B v E q FL + Ltude sur terre dune particule telle que llectron de massekg m3110 1 , 9 et de chargeC q1910 6 , 1 et de vitesse 1 810 310 s mcv soumis aux champs habituels: 181 , 9 kg N G ,1 310 m V E et T B510met en concurrence : - une force gravitationnelleN FG2910 - une force de LorentzN FL1610 La force de Lorentz est alors dix mille milliards (1013) de fois plus intense que la force gravitationnelle. On ngligera donc gnralement la force gravitationnelle devant la force de Lorentz. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 36 - TRAVAUX DIRIGES SUR LA DYNAMIQUE Exercice 1 : Loscilloscope . 1) Dterminer les forces subies par une particule de charge q , de masse m , lorsquelle est situe dans un espace o rgne un champ lectriqueEr . Comparer ces forces sur lexemple du proton :q=1,6.10-19 C, m=1,67 .10-27 kg, E=1kV.m-1 (faible champ) Conclusion. 2) En soumettant deux plaques mtalliques parallles une tension V, on cre entre elles un champ uniforme Er. Supposons quune particule pntre linstant t=0 dans le domaine deEr avec une vitesse 0vperpendiculaire Er . OErxyEcran de l'oscilloscope0vADHBClongueur des plaques=l=OC a) Donner les quations horaires du mouvement. b) La particule sort du champ au point B et prend, en labsence de force, un mouvement rectiligne dans la direction Bvdont le support passe par A. Dterminer les deux composantes de Bv: xBvet yBven fonction de : E, l, q, m et v0. c) La particule touche lcran au point H. Dterminer les coordonnes de Hen fonction de E, l, AD, q, m et v0.Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 37 - Exercice 2 corrig : Particule dans un champ lectrique. Soit la particule de charge q initialement prise lorigine du repre, de masse m, de vitesse cartvvv

,_

0sincos00 et soumis au champ lectriqueEtel que xe E E . 1) Exprimer le thorme de la dynamique 2) En dduire les coordonnes des vecteurs acclration, vitesse et position. 3) Dterminer lquation de la trajectoire. 4) En prenant =0 rpondre aux questions 2) et 3) et en dduire la nature du mouvement. 5) Mme question avec=/2 . Exercice 3 corrig : Particule dans un champ magntique Soit la particule de charge q initialement prise lorigine du repre, de masse m, de vitesse cartvvv

,_

cos0sin00 et soumis au champ magntiqueBtel que ze B B . 1) Donner lexpression du thorme de la quantit2) En posant mqBc dterminer lexpression des coordonnes des vecteurs acclration puis vitesse. 3) En utilisant les coordonnes du vecteur vitesse, montrer que la coordonnes de position x vrifie lquation diffrentielle : 02 + x xc& & 4) En dduire lexpression du vecteur position et la nature du mouvement.0vEyxUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 38 - ---------------------------------------------------------- CORRECTIONS : ----------------------------------------------------------Exercice 2 : Particule dans un champ lectrique. 1) Lapplication du thorme de la quantit de mouvement donne : E qdtv dm 2) cartzymqExa

,_

00& && && & cartzv yv tmqExv

,_

+ 0sincos00&&& cartzt v yt v tmqExOM

,_

+ 0sincos2002 3) Do lquation de la trajectoire : tan sin 22 202yvymqEx + 4) =0 : cartzyt v tmqExOM

,_

+ 00202cartzyv tmqExv

,_

+ 000&&&cartzymqExa

,_

00& && && & Il sagit dun mouvement rectiligne uniformment vari dans le sens du champ 5) =/2 : cartzt v ytmqExOM

,_

0202cartzv ytmqExv

,_

00&&&cartzymqExa

,_

00& && && & Lquation de la trajectoire est alors : 2202ymvqEx qui est lquation dune parabole daxe Ox. Il sagit dun mouvement parabolique uniformment vari. Si le champ lectrique nest que sur une hauteur L on obtient : t v L0et mqELvvLmqEyx 00tan&& soit) tan(mqELArc ou EL mq tan 0vEyxOvLUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 39 - Exercice 3 : Particule dans un champ magntique 1) Lapplication du thorme de la quantit de mouvement donne : B v qdtv dm ze vmB qdtv d 2) PosonsmqBc , on a

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0xye vz&& soit : cartcczx yy xa

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0 & && & && & &et par intgration cartc ccv cst zx cst x ycst y xv

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+ + cos0&&& 3) En rintroduisant lexpressionx yc &dans lexpression dey xc& & & on obtient lquation diffrentielle : 02 + x xc& & Comme indiqu en annexe 3 cette quation a pour solutions : ) cos(sin cos + + + t A xt B t A xBe Ae xoucc ct i t ic c Les conditions initiales donnent t=0 : 0 xet sin0v x & Or en prenant) cos( + t A xccomme type de solution on a t=0 cos A x et sin A xc & Ce qui permet de trouver les constantes2 et cvA sin0or) sin( ) 2 cos( t A t A xc c + do ) sin(sin0tvxcc ) sin( sin0t v x yc c & ce qui donne par intgrationcst tvycc+ ) cos(sin0 Les conditions initiales donnent t=00 y: cccvtvy sin) cos(sin0 0 ( )( )cartcccct v ztvytvxOM

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cos1 ) cos(sin) sin(sin000 On reconnat le vecteur position dun mouvement hlicodal (cf TDs de cinmatique) de pas dhlice cv2cos0et de rayoncvR sin0 . Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 40 - 5 Energtique 5.1 Grandeurs scalaires Lutilisation de grandeurs scalaires plutt que vectorielles permet la fois de simplifier les quations et davoir une meilleure comprhension des phnomnes aux tr avers de grandeurs plus intuitives : les grandeurs nergtiques. 5.1.1 Puissance, Travail et Energie potentiellePuissance Dans le cas simple dun solide ponctuel la puissance dune force correspond au produit scalaire de la force par la vitesse de dplacement de son point dapplication : v F P Dans le cas dune force F agissant sur un systme de points on crira : - pour une distribution discrte : ii iv F P Ce qui peut se simplifier en introduisant la notion de solide et les grandeurs torsorielles associes. La puissance sobtient laide du coproduit torsoriel : [ ][] v F P qui correspond aux produits scalaires suivants : rrrr + FM v F P ovr dsigne la vitesse de translation du solide etr sa vitesse angulaire de rotation. Lorsque P sera positif, on parlera de puissance motrice tandis quon parlera de puissance rsistante dans le cas contraire. Lunit de puissance est le Watt. Travail Le travail lmentaire dun solide ponctuelW correspond au produit de la force par le vecteur dplacement lmentaire : OA d F W Que lon peut aussi crire par rfrence la vitesse : dt v F W rDans le cas dun systme de points soumis une force F on crira : iidt v F WrCe qui se simplifie laide des grandeurs torsorielles du solide par le coproduit torsoriel : [ ][ ]dt v F W qui correspond aux produits scalaires suivants : ( )dt M v F WF rrrr + ovr dsigne la vitesse de translation du solide etr sa vitesse angulaire de rotation. On notera bien que gnralement le travail lmentaire est une forme diffrentielle et le travail W que lon calculera ne dpendra pas uniquement des tats initiaux et finaux du systme mais aussi du chemin parcouru entre ces tats. Lunit de travail est le Joule. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 41 - Energie potentielle Dans certains cas, le travail peut se mettre sous la forme dune diffrentielle totale exacte et il ne dpend alors que des tats initiaux et finaux. On parle alors non plus de travail mais dnergie potentielle : W dp On ne pourra dfinir cette grandeur que dans le cas de forces dites conservatives. OA d F dp Ce qui scrira dans le cas dun systme de points : ii pOA d F det dans le cas du solide : ( )dt M v F dp + Inversement on pourra dire que ces forces drivent dun potentiel et on traduira cela mathmatiquement par: pgrad F Entre deux tats A et B, on pourra intgrer pdet calculer lnergie potentiellep: OA d F dp p Travail et nergie potentielle des forces usuelles Le poids On prendg m P et doncOA d g m W . Si lon suppose que le solide est de masse constante et quil est plac dans un champ gravitationnel constant alors : ( ) OA g m d OA d g m W et donc dfinir une nergie potentielle lmentaire pd: ( )pd OA g m d W soit par intgration : cst OA g mp+ Le poids est donc une force conservative et on notera le travail :OA d g m Wc et lon peut par exemple calculer dans le cas de la chute libre dun corps dun point A de hauteur hA au point B de hauteur hB: 0 ) ( < A BBABAc cPh h mg OA d g m W W Travail resistant Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 42 - Force de rappel dun ressort x0xlxex x xe kl e x x k F ) (0 dl l k e dl F Wx o k est la constante de raideur du ressort et avec( )221l d dl l on peut crire : pd l k d W

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221 et donc par intgration : cst l kp+ 221 Comme prcdemment la force de rappel est une force conservative et on aura le travail :( )2002021210x x k l k d W Wx x lc

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Il est noter que lintgration se fait sur lallongement et non sur la position on na pas xxcW W0Force de frottement visqueux xe v F AB xe v F dl v e dl F Wx Dans ce cas le travail dpend de la vitesse que prend le mobile entre les points A et B on aura : dl v W Wnc nc et on ne peut dfinir dnergie potentielle. On dira que les forces de frottement sont non conservatives. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 43 - 5.1.3 Energie cintique On a bti prcdemment une grandeur scalaire partir du torseur force[ ][] v F P , on peut dsormais faire de mme avec le torseur cintique. Pour lui conserver son homognit avec une nergie et pouvoir utiliser le principe fondamental de la dynamique on dfini lnergie cintique dans la cas du solide ponctuel par : v p d dc soit : )21(2v m d v d v m dc soit par intgration : cst v mc+ 221On prend comme constante la valeur nulle pour avoir une nergie cintique nulle vitesse nulle. 221v mc Dans le cas dune distribution discrte de points on notera : ii cv m221et dune distribution continue : 3 221d vc Et en utilisant la notation plus simple des torseurs, lnergie cintique sera pour le solide [ ] [] v p d dc soit par intgration : ( )R S c c cL v p + 21 o C dsigne le centre de masse du solide. Dans le cas dun mouvement de translation on aura :( )c cv p 21 et dun mouvement de rotation :( )R S c cL 21 5.1.4 Energie mcanique On appellera nergie mcanique, la somme de lnergie due au mouvement (c ) et de lnergie due aux forces conservatives : p c M + Il est noter que dans le cas dun solide soumis des forces intrieures et extrieures, lnergie mcanique scrit en dtaillant : intpextp c M + + Cette remarque prend toute son importance dans lapplication du thorme de lnergie mcanique. 5.1.5 Energie totale On appellera nergie totale, la somme de toutes les formes dnergie dun solide et on le notera . On pourra dcomposer cette nergie en deux types : - les grandeurs nergtiques mesurables de la mcanique : - lnergie cintique du solide- lnergie potentielle des forces extrieures. - toutes les autres : - lnergie interne U (qui comprend lnergie potentielle des forces intrieures). Uextp c+ + Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 44 - 5.2 Thormes mathmatiques5.2.1 Transport des moments Calculons le moment en deux points diffrent O et O : F A O MO F '' ( ) F A O F OO F A O OO F OA MO F + + ' ' ' 'F OO M MO F O F + '' et de mme on aurai avec le moment cintique : p OO L LO O + '' / / 5.2.2 Rfrentiel du centre de masse Afin de simplifier certaines expressions, il est intressant de dfinir un rfrentiel particulier appel rfrentiel du centre de masse et not Rc. Ce rfrentiel en translation par rapport au rfrentiel dtude est tel que dans ce rfrentiel attach au solide, sa rsultante cintique soit nulle. 03 d v p03 ddtOA d Le centre dinertie du solide se dfini par: 31d OAMOC et donc 3ddtOA ddtOC dM soit0/ cR Cv M pdans le rfrentiel du centre de masse on aura0/cR Cv On retiendra que le centre de masse C est fixe dans ce rfrentiel dfini par0 p 5.2.3 Thorme de Koenig Utilisons pour dmontrer ce thorme le moment cintique dune distribution continue de masse M. Exprimons le moment cintique dans R par rapport O 3/ , /d v OA LR A R O Exprimons le moment cintique dans RC par rapport C (point fixe de RC) : 3/ , /d v CA LC CR A R C Le rfrentiel RC tant en translation par rapport R on a : R C R A R Av v vC/ / /+ AOxeryerzerxeryerzerCUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 45 - ( ) ( ) + + 3/ / , /d v v CA OC LR C R A R OC + + + 3/3/3/3/ , /d v CA d v OC d v CA d v OC LR C R C R A R A R OC C 3/d v OCCR A=0par dfinition du refrentiel du centre de masseCR CL,R CR Cv M OCd v OC/3/ R Cv d CA/3 =0par dfinition du refrentiel du centre de masse R C R C R Ov M OC L LC/ , / , / + Ce thorme qui se rapporte un point fixe permet lapplication plus aise du thorme du moment cintique. Thorme de Koenig pour lnergie cintique 3 2/21d vR A c Avec de mme que prcdemment : R C R A R Av v vC/ / /+ ( ) + 32/ /21d v vR C R A cC + + 3/ /3 2/3 2/2212121d v v d v d vR C R A R C R A cC CCR C/ 2/21R Cv M 3/ /d v vCR A R C=0par dfinition du rferentiel du centre de masse 2/ / /21R C R C R Cv MC + Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 46 - 5.3 Thorme de lnergie cintique Le thorme de lnergie cintique correspond la mise en relation des grandeurs nergtiques au travers du principe fondamental de la dynamique. [ ][ ] Fdtp den multipliant par [v] : [ ][] [ ] [] v F vdtp d . tWPdtdc . W dc . ou encore en intgrant : Wc . Le thorme snonce ainsi : La variation dnergie cintique dun solide correspond au travail des forces sappliquant sur ce solide. Remarques importantes : Lorsque lon a nonc le principe fondamental de la dynamique on a fait apparatre uniquement les forces extrieures car la somme des forces intrieures ainsi que la somme des moments des forces intrieures taient nulles. Mais dans le thorme de lnergie cintique, le fait dappliquer un produit scalaire avec la vitesse de chaque point du solide nentrane pas la nullit de la somme. Ainsi le thorme de lnergie cintique prend en compte des forces qui napparaissent pas dans le thorme fondamental de la dynamique. On peut donc crire : ext cW W + int Il faut noter dautre part que le travail dsigne un transfert dnergie et non une nergie. Ce transfert dnergie correspond la variation de lnergie cintique. Par contre, on peut dire qu tout instantle solide possde une nergie cintique, ce qui nest pas le cas avec le travail. 5.3 Thorme de lnergie mcanique Lintrt de dfinir lnergie mcanique et par la mme dutiliser un thorme de lnergie mcanique est de faire apparatre une distinction entre forces conservatives et non conservatives. En effet : p c M + p c Md d d + daprs le thorme de lnergie cintique : cons non conscW W d + et par dfinition de lnergie potentielle : conspW d on a : cons cons non consMW W W d + Soit : cons nonMW d cons nonMW Ainsi en labsence de forces ne drivant pas dun potentiel lnergie se conserve :0 MDo lappellation de conservative pour les forces drivant dun potentiel. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 47 - 5.5 Transferts nergtiques 5.5.1 Diffrents types de transfert On vient de voir que le travail not W correspondait un transfert dnergie. Si lon regarde un peu plus prcisement le comportement des particules lmentaires qui subissent un travail, on saperoit que leurs niveaux dnergie varient mais que leur rpartition dans ces niveaux nergtiques reste inchange. Cest pourquoi on dit que le travail correspond un transfert dnergie macroscopique. Par opposition, on dfinira un transfert dnergie microscopique qui au sein des particules lmentaires se traduira par une modification non pas des niveaux dnergie mais de la rpartition des particules dans ceux-ci. Ces transferts sont nomms transfert calorique ou chaleur et not Q Ainsi dfini il nexiste que deux types de transferts nergtiques :- Le travail W : transfert dnergie macroscopique, - La chaleur Q : transfert dnergie microscopique. Le travail nest pas forcment clairement associ une force. Par exemple le travail lectrique dune resistance R seradt I R dt P W 2 Quils soient macroscopiques ou microscopiques, les transferts dnergie se font sous plusieurs modes qui seront dtaills dans la suite du cours (par Mr Dounies): - les transferts radiatifs d aux photons et appel rayonnement, - les transferts convectifs d un mouvement densemble de la matire. - les transferts diffusifs d aux mouvements dagitation de la matire et appel conduction. 5.5.2 Premier principe de thermodynamique Les principes qui rgissent les lois de la physique sont peu nombreux. Aprs avoir nonc les principes fondamentaux de la mcanique, voici le premier principe de thermodynamique : Pour tout systme nchangeant avec lextrieur que de lnergie on a : Q W d + Q W + o W et Q dsignent les transfert dnergie travers la surface dlimitant le systme. On pourra aussi crire( ) Q W Uextp c+ + + 5.5.3 Rendement On dfinira le rendement comme le rapport : consomme Energieutile Energie Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 48 - TRAVAUX DIRIGES SUR LENERGETIQUE Exercice 1 : Saut llastique x0xO x xm a) Faites un bilan des forces lquilibre de cette personne de masse m=70kg suspendue un lastique de raideur :1420 m N k , longueur vide : 8m et 110 m N gb) Calculez le travail des forces entre le haut du pont et une position quelconque xA (vous ferez apparatre les deux phases du mouvement). c) Rappelez le thorme de lnergie cintique et exprimer la vitesse vA dun point quelconque. d) En dduire la longueur maximale atteinte. e) Aprs avoir indiqu quel moment de la trajectoire la vitesse est maximale vous la calculerez. f) Aprs avoir indiqu quel moment de la trajectoire la force de rappel est maximale vous la calculerez. Exercice 2 : Mouvement dun surfeur sur une vague On modlise le mouvement du surfeur par un point de masse m en A sans vitesse initiale et lon cherche savoir quelle doit tre la hauteur h pour que le surfeur atteigne le point S sommet de la vague. hABCDSH 1 Indiquer sur le schma ci-dessus les forces sexerant sur le surfeur aux deux points indiqus A et C. 2 Traitement scalaire : a) Exprimer le travail des forces lors dun dplacementlmentaire. b) Exprimer lnergie potentielle du poids. c) Appliquer le thorme de lnergie mcanique pour calculer la vitesse au point B. d) Exprimer H en fonction de et . e) Appliquer le thorme de lnergie mcanique pour calculer la vitesse au point C en fonction de H et de Bv 3 Traitement vectoriel : a) Indiquer dans le repre intrinsque la partie BD, les coordonnes des vecteurs forces, vitesse et acclration. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 49 - b) En appliquant le thorme fondamental de la dynamique, en dduire la valeur de la raction R en fonction des donnes suivantes : m, ,, Cvet g. 4Indiquer la condition sur h pour que le surfeur atteigne le sommet S de la vague. Exercice 3 corrig : Mouvement dune particule en interaction newtonienne ou coulombienne Partie 1 a) Rappelez lexpression de la force de gravitation et de la force de Coulomb dune particule de masse m et de charge q uniquement en interaction avec un systme de masse M et de charge Q. Vous considrerez ce systme comme origine du repre. On notera dsormais sans distinction ces forces sous la forme rerKF2b) Exprimer le moment de cette force par rapport O. Partie 2 Elments cintiques a) En appliquant le thorme du moment cintique, en dduire la proprit du moment cintique dune particule soumis une interaction Coulombienne ou Newtonienne. b) Rappelez lexpression gnrale du moment cintique de cette particule. Que pouvez-vous en dduire sur la nature du mouvement dune particule soumis une interaction Coulombienne ou Newtonienne. c) En dduire en coordonnes cylindriques, les vecteurs position et vitesse. d) En dduire les lments cintiques (Energie, quantit de mouvement et moment). Partie 3 Travail et nergie potentielle a) Exprimer le travail lmentaireW et montrer que lon peut dfinir une nergie potentielle. b) Exprimer lnergie mcanique. Partie 4 Equation du mouvement Pour rechercher lquation du mouvement on pose :1 u et donc u1 2uu&& &&uddua) Montrer que lon peut crire 11]1

+

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2222uddumLcb) En dduire lexpression de lnergie mcanique c) Calculer ddM d) En appliquant le thorme de lnergie mcanique et en utilisant le rsultat prcdent en dduire lquation diffrentielle du mouvement (en u) e) laide de votre cours de math, donner lexpression de u et en dduire lexpression de . Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 50 - ---------------------------------------------------------- CORRECTIONS : ----------------------------------------------------------Exercice 2 : Mouvement dune particule en interaction newtonienne ou coulombienne Partie 1,2,3 Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 51 - Partie 4 Equation du mouvement Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 52 - 6 Solide en rotation autour dun axe de direction fixe Aprs avoir dfini les grandeurs et les thormes de la mcanique du solide, il nous reste appliquer ces thories des cas pratiques. Le premier exemple que nous avons trait tait celui des particules charges o lon se ramenait la dynamique du point. Dans le cas de la dynamique du solide, trois cas sont envisageables pour le mouvement du solide : - un mouvement de translation, - un mouvement de rotation, - la combinaison des deux prcdents. Le traitement du mouvement de translation est similaire aux traitements de dynamique du point. Nous allons donc dans ce chapitre traiterles mouvements de rotation en labsence de mouvement de translation. Pour viter de rentrer dans des traitements mathmatiques matriciels qui apportent peu dlments supplmentaires la comprhension physique des mouvements de rotation, on se restreindra ltude de solides ayant une symtrie sphrique ou cylindrique. 6.1 Moment dinertie Lors de mouvement de rotation, la rpartition des masses du solide par rapport laxe de rotation est une caractristique essentielle.Il est ncessaire de btir une grandeur intrinsque au solide qui prenne en compte cette rpartition de masse. La premire ide pourrait tre de dfinir dune part une grandeur : masse distance laxe . Mais la distance laxe apparatrait de nouveau dans lexpression de la vitesse de chaque point selon la relation R v , lors du calcul du moment cintique. On dfinit donc la grandeur intrinsque: masse distance laxe distance laxe soit : 2R M I 6.1.1 Moment dinertie par rapport un axe En prenant Hi le projet orthogonal sur laxe de rotation de chaque point Ai affect dune masse mi. Si la distribution de masse est discrte on le calcule par ( ) ii i iA H m I2. Si la distribution de masse est continue on le calcule par 3 2d HA Im avec m la masse volumique note ainsi pour ne pas la confondre avec le rayon polaire . Expressions par rapport aux axes du repre cartsien En coordonnes cartsiennes : Si est laxe Ox :( ) + dxdydz z y Im Ox2 2 Si est laxe Oy :( ) + dxdydz z x Im Oy2 2 Si est laxe Oz :( ) + dxdydz y x Im Oz2 2 En coordonnes cylindriques : Si est laxe Oz : 3 2d Im Oz avec dz d d d 3 soit : dz d d Im Oz3 AiHRiUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 53 - 6.1.2 Moment dinertie par rapport un point Pour des raisons de facilit de calcul, il peut tre intressant de dfinir le moment dinertie par rapport un point 3 2d r Im O En effet dansle cas dune symtrie sphrique les axes Ox, Oy, et Oz sont quivalents et on a : ( ) + + 3 2 2 2d z y x Im O et donc : ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 22 2 2 2 d y x d z x d z y d z y x Im m m m O + + O Oz Oy Ox OI I I I I 3 2avec Oz Oy Ox OI I I I et donc pour les solides symtrie sphrique: O OI I32 6.1.3 Base principale dinertie Lors du mouvement de rotation dun solide, laxe de rotation ne correspond pas forcment aux axes de symtrie du solide. Si le solide possde des axes de symtrie le choix des axes du repre sen dduit afin de faciliter les calculs. En effet : Tout axe de symtrie matrielle est axe principal dinertie Tout axe perpendiculaire un plan de symtrie matrielle est axe principal dinertie On pourra donc trs souvent tre confront dfinir des moments dinertie par rapport un axe de rotation qui ne correspond pas aux axes de symtrie du solide. Aussi toujours afin de faciliter les calculs, va-t-on procder ainsi : Le solide possde-t-il des axes de symtrie permettant de trouver sa base d'inertie ?On choisi le repre le plus adaptOn calcule la matrice d'inertieOn diagonalise la matrice et on exprime la base propre afin d'obtenir les momentsprincipaux d'inertieNON OUIOn dfini les axes du repre en fonction des axes de symtrie du solideOn calcule directement les moments principaux d'inertieLa base calcule est base d'inertieLa base choisie est base d'inertie Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 54 - Dans ce cours on va se limiter aux solides symtrie cylindrique et sphrique et donc la base cartsienne sera une base principale dinertie et on aura : - pour la symtrie sphriqueOz Oy OxI I I - pour la symtrie cylindriqueOy OxI I Donc on calculera dabord ces moments dinertie puis onen dduira le moment dinertie par rapport notre axe quelconque par la relation simple : 2 2 2 + + Oz Oy Ox OI I I Iolaxe est de vecteur directeur

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e 6.1.4 Thorme dHuyghens-Schteiner Ce thorme permet de lier le moment dinertie par rapport un axe quelconque avec le moment dinertie dun axe parallle passant par le centre dinertie du solide. En effet on a : 3 2d HA Im avecA H HH HAC C + et donc ( ) A H HH A H HH A H HH HAC C C C C C + + + 22 2 2 2 + + 3 3 2 322 d A H HH d A H d HH IC C m C m C m 2232d M HH M d HHC C m C C mI d A H 3 2 0 2 23 3 d A H HH d A H HHC m C C C m 2d M I IC + xzyOeCAiHcHcCOdUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 55 - 6.1.5 Exemples de calculs de moments dinertie Moment dinertie dun disque plein La symtrie est cylindrique on prend donc : dz d d Im Oz3 Le volume dun disque de rayon R et dpaisseur h esth R V 2donc : hOzdz d dh RMI02032 h Rh RMIOz 24142 221R M IOz Moment dinertie dun cne plein rgulier Le cne est homogne de rayon R au sommet et de hauteur h La masse du cne est h R M231(cf Annexe4 5.3.1) donc h RMm23 Calculons le moment dinertie par rapport laxe Oz : Iz On va utiliser le rsultat prcdenten considrant le cne comme un empilement de disques de rayon r: Oz OzI d I3 avec 3 2 321d r I dm Oz dz zhRd2223 et hzRr( cf Annexe4 4.3.3) On obtient : 3 222221d zhRr Im Oz

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hOzdz zhzRhRh RMI02222221 3 hOzdz zhRhRh RMI042222221 3 2103R M IOz xzyOOzrRhzUniversit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 56 - Moment dinertie dune sphre creuse Comme pour le calcul du centre dinertie on se ramne des calculs sur les lments de surface. La symtrie sphrique permet de calculer le moment dinertie par rapport au point O et den dduire le moment dinertie par rapport laxe selon O OI I32 SS OS d R I2 2 Llment de surface est alors d R Rd S d sin2 Comme on la vu enAnnexe4 4.2.2 la surface dune sphre vaut 24R S et donc 24RMS SOd R Rd RRMI sin422 20 02sin4d d RMIO 442 RMIO 2R M IO 232MR IOz Moment dinertie dune sphre pleine La symtrie sphrique permet de calculer le moment dinertie par rapport au point O et den dduire le moment dinertie par rapport laxe selon O OI I32 3 2d r Im O

Llment de volumeest : d r rd dr d sin3 Comme on la vu encf Annexe4 4.3.2 le volume dune sphre vaut 334R et donc 343RMm d r rd dr r Im Osin2 20 0 043sin43d d dr rRMIRO [ ] 2 cos543053 RRMIO // / // 2 25 4353RRMIO 253MR IO 252MR IOz Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 57 - 6.2 Cas dun solide symtrie cylindrique ou sphrique Dans le cas du solide symtrie cylindrique ou sphrique les axes du repre correspondent avec les axes principaux dinertie. Les relations fondamentales ci-dessous conservent toute leur gnralit, mais pour les appliquer dans le cas gnral telles vont tre prsentes ici, il sera ncessaire de recourir des calculs matriciels de produits dinertie pour se placer dans la base principale dinertie. 6.2.1 Moment cintique - Moment dinertie Soit la rotation de ce cylindre autour de laxe Oz nomm Lexpression du moment cintique : 3d v OM LmRO Peut scrire sachant que : cylzOM

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0 Et que pour tout point M situ une distance R de laxe de rotation on a : cylR MR v

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00/& Le produit vectoriel donne : cylR MRzRv OM

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&&2/0do lexpression du moment cintique : ( ) ( ) e d zR e d R Lm z mRO 3 3 2& & o on peut montrer que le second terme est nul et donc la projection sur laxe de rotation Oz du moment cintique scrit : 3 2 3 2d R d R e L Lm m zRO& & & I L 6.2.2 Thorme du moment cintique par rapport laxe de rotation La projection du moment cintique et du moment des forces par rapport laxe de rotation permet dcrire : z zOe M edtL dOFext & & I MFext Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 58 - 6.2.3 Expression de lnergie cintique dun solide en rotation autour dun axe fixe On sait que : 3 221d vc Dans le cas dun solide en rotation ayant un point fixe lexpression de lnergie se simplifie. On a vu en 2.2.2 que lexpression de la vitesse est dans ce cas :OM v Ce qui permet dcrire : ( ) 3 32121d OM w v d v vc ( ) 321d v OM wc ( ) w d v OMc

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321 w LRO c 21 Dans le cas de la rotation autour de laxe de direction fixe passant par le point O on a : & I e L LzROet ze w & ce qui permet dcrire : 221 & Ic 6.2.2 Analogie avec le mouvement de translation On peut faire apparatre lanalogie grce au tableau suivant : GrandeurTranslation selon laxe OxRotation autour de laxe Energie cintique 221v Mc 221 & Ic Thorme fondamental x exte x M F & & & & I MFext Torseur cintique x m p& & I L Ceci nous permet de mieux nous rendre compte de limportance de moments dinertie dans la comprhension physique des mouvements de rotation. Universit de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de BriveFranois BINET- 59 - TRAVAUX DIRIGES SUR LA DYNAMIQUE DU SOLIDE Etude dun satellite gostationnaire Exercice 1 : Etude dun panneau solaire On souhaite raliser lasservissement de position dun ensemble de panneau solaire dont la disposition est la suivante : zyx Lespacement entre chaque panneau solaire est de e=2cm. Chaque panneau a pour dimension 2l=50cm et 2L=1m et une masse m. 1 Calculer les moments dinertie par rapport aux axes horizontaux et verticaux dun panneau solaire. 2 En utilisant le thorme dHuygens-Schteiner en dduire le moment dinertie de lensemble selon laxe Oy et laxe Oz. 3 La vitesse de rotation du panneau vautz z y ye e + avec 1 210 2 , 4 s radyet 16 s radz . Exprimer puis calculer les moment cintiques selon les axes Oy et Oz de lensemble des panneaux. 4 Calculer le couple moteur ncessaire la mise en rotation de lensemble en 24 h. Les frottements sont ngligs. Exercice 2 : Etude du satellite Le satellite de masse M=3t est assimilable une sphre pleine de 12m de diamtre. 1 Exprimer puis calculer le moment dinertie de la sphre pleine. 2 Calculer lnergie cintique de ce satellite gostationnaire daltitude r=40 000 km qui tourne sur lui-mmeenuneminute. Exercice 3 : Etude dun pied de robot Le pied dun robot est constitu dune demi-