Exercice 2 : Concoïde de Nicomède (deuxième siècle avant J...

PCSI Corrigé devoir maison n°5 Jeudi 29 /11/2012

Exercice 2 : Concoïde de Nicomède (deuxième siècle avant J.C.)

On considère un angle aigu BAC , et on suppose que AC=1 .On considère un repère orthonormé d'origine A avec la droite (AB) comme axe des abscisses.

1- Équation polaire de la droite D :

La droite D a pour équation cartésienne : x=a . Soit : ρcos(θ)=a .

La droite D a pour équation polaire : ρ(θ)=a

cos(θ)avec θ∈]π2 , π

2 [ .

2- AM '= AM+ MM '=( acos(θ))uθ+2uθ=( a

cos(θ)+2)uθ

On déduit que l'équation polaire de N est : ρ(θ)=a

cos(θ)avec θ∈]π2 , π

2 [ .

3- On étudie la courbe d'équation polaire : ρ(θ)=a

cos(θ)+2 .

La courbe de Nicomède est donc une branche de cette courbe.

3-a- L'ensemble de définition de la fonction ρ est ℝ∖{(2k+1) π2

, k∈ℤ}La fonction ρ est 2π périodique et paire. On peut se limiter à l'intervalle [0,π ] privé de π2 . On obtiendra toute la courbe en effectuant une symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Remarque : lorsque la fonction ρ est 2π périodique, alors la fonction f définie par : f (θ)= OM (θ) est 2π périodique aussi. Par contre si ρ est par exemple π périodique,

alors la fonction f n'est pas π périodique. Elle est symétrique par rapport à l'origine.

Si la fonction ρ est 2πn

périodique, alors on peut se restreindre à un intervalle de longueur

2πn

. On obtient toute la courbe, par des rotation d'angle 2 πn .

3-b- Étude de la courbe sur [0, π2 [ .

Étude du signe sur [0, π2 [

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On a : ρ ' (θ)=asin(θ)

cos2(θ)et f ' (θ)=ρ ' u(θ)+ρ v (θ) est un vecteur directeur de la tangente à

N au point M (θ) .

θ 0π6

π4

π3

π2

ρ(θ)a+2

2( a

√3+1) a√2+2 2(a+1) +∞

ρ ' (θ) 02a3

2a2a

√3

Au point M (0) de coordonnées polaires (a+2,0) , la courbe admet une tangente verticale.

Étude de la branche infinie en π2 .

On a : limθ→ π

2θ<π

2

ρ(θ)=+∞. On a donc une branche infinie en

π2 et une direction asymptotique qui

est l'axe des ordonnées (uπ2) .

Recherche d'une asymptote éventuelle. On a : X (θ)=ρ(θ)cos(θπ2) et

Y(θ)=ρ(θ)sin(θπ2 ) les coordonnées d'un point de la courbe dans le repère (O ,uπ2

, vπ2) soit

(O , j , i ) .

limθ→ π

2θ<π

2

X (θ)=+∞et Y(θ)=ρ(θ)sin(θπ2 )=ρ(θ)cos(θ)=a

cos(θ)cos(θ)

2cos(θ)

limθ→ π

2θ<π

2

Y(θ)=aLa droite d'équation Y=a est une asymptote à la courbe dans le repère

(O , j , i ) .

Donc la droite d'équation x=a dans le repère (O , i , j ) est une asymptote à la courbe

N en θ=π2 .

3-c- Étude de la courbe sur ]π2 ,π] .

Sur ]π2 ,π] , cos(θ)<0 .

On résout l'inéquation : ρ(θ)≥0⇔a

cos(θ)+2≥0⇔

acos(θ)

≥2⇔a≤2cos(θ)⇔a2≥cos(θ)

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⇔arccos(a2)≤θ car la fonction arccos est décroissante.

On pose : θ0=arccos(a2)

θπ2 θ0 π

ρ(θ) 0 + a+2

Remarque : lorsque θ est compris entre π2 et θ0 , si ρ était positif, la courbe se

situerait dans la partie. Mais comme ρ est négatif la courbe se trouve dans la partie 4. Lorsque θ∈[θ0 ,π ] la courbe se situe dans la partie 2. Elle passe par l'origine en θ0 . En ce point la

tangente est dirigée par la droite d'équation : θ=θ0 .

Branche infinie en π2

limθ→ π

2θ>π

2

ρ(θ)=+∞donc on a une branche infinie en

π2 . Et l'axe des ordonnées est une direction

asymptotique. (droite dirigée par uπ2

).

limθ→ π

2θ>π

2

X (θ)=limθ→ π

2θ>π

2

( acos(θ)

+2)cos(θπ2)=∞

Et : limθ→ π

2θ>π

2

Y(θ)=a

La droite d'équation x=a dans le repère (O , i , j ) est une asymptote à la courbe N.

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4- Trisection de l'angle.

Soit E ' l'intersection de la droite passant par C et de la courbe N E est l'intersection de la droite D avec la droite (AE' ) . F est le milieu de [EE' ] .

Montrons que : BAE=13

BAC

On a : BAE=CE' F et BAC=BAE+EAC pour prouver le résultat, il suffit de prouver que :

EAC=2CE' F .

On a : EAC=FAC . Et : AC=1 . Le triangle ECE' est rectangle en C et F est le

milieu du segment [EE' ] qui a comme longueur 2. Donc : EF=FC=FE'=1 .

Le triangle ACF est isocèle en C donc : FAC=CFA=πCFE' .Le triangle CFE' est isocèle enF donc : FCE'= FE' C .

En considérant la somme des angles du triangles CFE' , on obtient :

πCFE'=2CE' F d'où le résultat.

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Exercice 3 : Cissoïde de Dioclès (deuxième siècle avant J-C)

1-a- L'équation cartésienne de ∆ est x=1 . Donc :

Une équation polaire de ∆ est : ρ=1

cos(θ)

1-b- Le cercle C passe par l'origine du repère. Il admet une équation polaire :

ρ=2Rcos(θθ0) avec (R,θ0) un couple de coordonnées polaire du centre.

On pose : R=12

et θ0=0 .

Une équation polaire du cercle C est : ρ=cos(θ)

1-c-

OM ' '= MM '=MO+OM '=OM 'OM=1

cos(θ)u(θ)cos(θ) u(θ)=( 1

cos(θ)cos(θ)) u(θ)

L'équation polaire de D est : ρ(θ)=1

cos(θ)cos(θ)

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2-a- Montrons qu'on peut restreindre l'étude de D à l'intervalle [0,π2 [ et expliquer comment on

obtient toute la courbe.

ρ(θ+2π)=ρ La fonction ρ est 2π périodique, on peut se restreindre à un intervalle de longueur 2π pour avoir toute la courbe.

De plus : ρ(θ+π)=ρ(θ) . On en déduit que la fonction f est π périodique, et comme

ρ est paire, on peut se restreindre à l'intervalle [0,π2 [ .

Et on obtient toute la courbe, par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

2-b- Étudier et tracer la cissoïde de Dioclès .

Étude du signe du ρ .

On résout ρ(θ)≥0 avec θ∈[0, π2 ] .

1cos(θ)

cos(θ)≥0⇔1

cos(θ)≥cos(θ)⇔1≥cos2(θ) car : θ∈[0 , π

2 ]⇒cos(θ)≥0 .

Et : θ∈[0 ,π2 ]⇒1≥cos2(θ)

Donc ρ(θ)≥0 pour θ∈[0, π2 ]

On a : ρ ' (θ)=sin(θ)

cos2(θ)+sin(θ)=sin(θ)(2+tan2(θ))

On a aussi : ρ(θ)=1cos2(θ)

cos(θ)=

sin2(θ)cos(θ)

θ 0π6

π4

π3

π2

ρ(θ)0 1

2√31

√232

+∞

ρ ' (θ) 076 3√2

5√32

ρ ' ( π6 )=12(2+1

3)=12×

73=

76

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Étude de la branche infinie en π2

limθ→ π

2θ<π

2

ρ(θ)=+∞donc on a une branche infinie en

π2 de direction asymptotique l'axe des

ordonnées.

Recherche d'une asymptote éventuelle.

limθ→ π

2θ<π

2

X (θ)=limθ→ π

2θ<π

2

ρ(θ)cos(θπ2)=+∞ limθ→ π

2θ<π

2

Y(θ)=limθ→ π

2θ<π

2

ρ(θ)sin(θπ2 )=limθ→ π

2θ<π

2

sin2(θ)cos(θ)

(cos(θ))

limθ→ π

2θ<π

2

Y(θ)=limθ→ π

2θ<π

2

(sin2(θ))=1

La droite d'équation Y=1 dans le repère(O , j , i ) est une asymptote à la courbe.

La droite d'équation x=1 dans le repère (O , i , j ) est une asymptote à la courbe.

3- Duplication du cube.

On considère le point U (0 ,2) . La droite ( IU ) rencontre D en un point V ( x0 , y0) . La droite (OV) rencontre ∆ en un point W .

3-a- Montrons qu'une équation cartésienne de D est : x( x2+ y2) y2=0 .

x( x2+y2)y2=0⇔ρcos(θ)ρ2ρ2sin2(θ)=0⇔ρcos(θ)=sin2(θ)⇔ρcos(θ)=1cos2(θ)

⇔ρ(θ)=1

cos(θ)cos(θ) si cos(θ)≠0 .

Le cas cos(θ)=0 est équivalent à x=0 , et d'après l'équation cartésienne on a : y=0 .

Et le point (0,0) appartient à la courbe d'équation polaire : ⇔ρ(θ)=1

cos(θ)cos(θ) on prend

θ=0 .

Une équation cartésienne de D est : x( x2+ y2)y2=0 .

3-a- Quelle est l'équation cartésienne de la droite ( IU ) ?

On a I (1,0) et U (0,2) . L'équation cartésienne de la droite ( IU ) est : x1+

y2=1

7/22


L'équation cartésienne de la droite ( IU ) est : x+y2=1

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3-b- Montrons que : y03=2x0

3

On a : x( x2+y2)y2=0 et x+y2=1⇔ x=1

y2

x3+xy2y2=0⇔ x3+(1 y2)y2y2=0⇔x3

y3

2=0⇔ y3=2x3

On a : y03=2x0

3

3-c- Démontrons que l'ordonnée de W est : 3√2

La droite (OV) a pour équation : y=y0

x0

x . L'ordonnée de W est : y=y0

x0

×1=y0

x0.

Or : y03=2x0

3⇔y0

3

x03=2⇔

y0

x0

=3√2

L'ordonnée de W est : 3√2

Exercice 4

Étude de la courbe paramétrée .

x(t)=cos( t )+cos(3t) y(t )=sin(t )+sin(3t)

L'ensemble de définition est ℝ .

Intervalle d'étude.

Les fonctions x et y sont 2π périodique. On obtient toute la courbe en l'étudiant sur un intervalle de longueur 2π .De plus x est une fonction paire et y est impaire, on peut étudier la courbe sur[0,π ] . On obtiendra la courbe sur [π ,0] en effectuant une symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

x(πt)=cos(πt)+cos(3(πt))=cos(t )+cos(3π3t)=cos(t)+(π3t+2π)

x(πt)=cos(t)+cos(π3t)=cos(t )cos(3t)=x( t)

y(πt)=sin(πt )+sin(3(πt))=sin(t)+sin(3π3t)=sin( t)+sin(π3t+2π)

y(πt)=y(t )

On peut étudier la courbe sur [0, π2 ] et obtenir la courbe sur [ π2 ,π] en faisant une symétrie

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par rapport à l'axe des ordonnées.

Étude des variations de x et y sur [0, π2 ]

x ' (t)=sin( t )3sin(3t)

sin(3t)=sin(2t+t)=sin(2t)cos(t )+cos(2t)sin(t )=2sin(t )cos2(t)+(12sin2( t))sin( t )

sin(3t)=2sin( t)(1sin2(t))+sin( t )2sin3(t )=3sin(t )4sin3( t)

x ' (t )=sin( t )3(3sin(t )4sin3(t))=10sin(t )+12sin3(t )=2sin(t)(5+6sin2(t))

On a : t∈[0 ,π2 ]⇒2sin( t )≥0 . On résout :5+6sin2(t )≥0⇔sin2(t )≥

56⇔sin(t )≥√5

6car

sin( t) est positif sur [0, π2 ] . Et x ' (t )≥0⇔ t≥arcsin(√5

6) car la fonction arcsin est

croissante.

On calcule :

y' ( t )=cos(t)+3cos(3t) et cos(3t)=4cos3(t )3cos( t)

y ' ( t )=cos(t )+3(4cos3(t)3cos(t ))=8cos( t)+12cos3(t )=4cos( t)(2+3cos2(t ))

y ' ( t )=4cos(t )(2+3(1sin2(t )))=4cos(t )(13sin2( t ))

y ' ( t )≥0⇔t≤arcsin(√13) et t 2=arcsin(√5

6)On pose : t 1=arcsin(√1

3) et t 2=arcsin(√56) .

On a : sin( t1)=√13

cos2(t 1)=1(13)=2

3 et cos(t1)=√ 2

3

x(t1)=cos( t1)+cos(3t1)=cos( t1)+4cos3(t1)3cos(t 1)=4cos3(t1)2cos2(t1)=2cos( t1)(2cos2(t 1)1)

x(t 1)=2√ 23(2×2

31)=2

3√ 23=

43√6

et y(t 1)=sin(t 1)+3sin(t 1)4sin3(t1)=4sin( t1)cos2(t1)

y(t1)=4√13

23=

83√3

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t 2=arcsin(√56) sin( t2)=√ 5

6 et cos(t2)=√1

6

x(t 2)=2√ 16(2×1

61)=4

3 √16=

43√6

y(t 2)=4sin( t 2)cos2( t 2)=4√56×

16=

23 √5

6

t 0 t 1 t 2

π2

x'(t) – – 0 +

y'(t) + 0 – –

x(t) 24

3√6 4

3√6

0

y(t)

0

83√3 2

3 √56 0

Remarque : on peut aussi cherche la valeur de t comprise en t 1 et t 2 telle que x(t)=0 et déterminer la tangente en ce point, pour faciliter le tracé.

Intervalle [0 ,π2 ]

Intervalle[0,π ]

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Intervalle [π ,π]

Étude de la courbe paramétrée :

x(t )=3t

1+t3 y(t )=3t2

1+t3

Ensemble de définition

Dx=ℝ∖{1} et Dy=ℝ∖{1} D=Dx∩Dy=ℝ∖{1}

On peut remarquer que : x(1t )=

3×1t

1+(1t )3=

3

t(1+ 1

t3)=

3

t+1

t 2

=3t2

t3+1=y(t )

On montrer de même que : y(1t )=x(t )

Or l'image de l'intervalle ]0,1] par la fonction inverse est [1,+∞[ . Et l'image de ]1,0[ est ]∞ ,1[ . Il suffit donc d'étudier la courbe sur l'intervalle ]1,1] . Et on obtiendra toute la

courbe en faisant une symétrie par rapport à la droite d'équation y=x .

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Étude des variations de x et y .

x(t)=3t

1+t3 y(t)=3t2

1+ t3

x ' (t )=3(1+t3)3t(3t2)

(1+t3)2 =3+3t39t3

(1+t3)2=6t3+3(1+t 3)2

=3(12t3)(1+t3)2

x ' (t )≥0⇔12t3≥0⇔1≥2t3⇔12≥t3⇔

1

213

≥t On pose : α=1

213

y ' ( t)=6t(1+t3)3t2(3t2)

(1+t 3)2=

6t+6t49t4

(1+t 3)2=

6t3t4

(1+t 3)2=

3t (2t 3)(1+t3)2

t 1 0 α 1

x'(t) + 0 + 0 –

y'(t) – + +

x(t)∞

0 223

32

y(t)+∞

0 213

32

y(α)=2×(12)

23=2

13

Étude de la branche infinie en 1

On a : limt →1t>1

x(t )= limt→1t>1

3t

1+t 3=∞ en effet : t∈ ]1,1]⇒3t<0et1+t3>0 .

limt →1t>1

y( t )= limt →1t>1

3t2

1+t 3=+∞

Les deux coordonnées tendent respectivement vers – et + ∞ , on a une branche infinie ent=1 .

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limt →1t>1

y(t )x(t )

= limt→1t>1

3t2

3t= lim

t →1t>1

t=1 .

La droite d'équation y=x est une direction asymptotique de la courbe.

limt →1t>1

y( t )+x( t)= limt →1t>1

3t2

1+t3+3t

1+t3= limt →1t>1

3t(t+1)

1+t3

a3b3=(ab)(a2+ab+b2) En changeant b en b , on obtient :

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) et 1+t 3=(1+t)(1t+t2)

limt →1t>1

y( t )+x( t)= limt →1t>1

3t

1t+t 2=33=1

La droite d'équation : y=x1 est une asymptote à la courbe en t=1 .

Pour étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote, on étudie la signe de :

y(t )+x(t )+1=3t

1t+t 2+1=3t+1 t+t2

1t+t2 =1+2t+t 2

1t+t 2 =(1+ t)2

1t+t 2

Étude du signe de : 1t+t2 ∆=14=3 L'expression est toujours strictement positive.

La courbe est toujours au dessus de l'asymptote.

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Exercice 5 : la division vectorielle.

On considère A et B deux vecteurs donnés de de l'espace.Le but du problème est de déterminer tous les vecteurs X tels que :

A∧ X= B .

1- A et B peuvent-ils être quelconques ?

S'il existe X tel que : A∧ X= B alors A et B sont orthogonaux.

A et B doivent être orthogonaux.

2- Étude d'un exemple.

Soient A(1 ,2 ,3) et B(3 ,0,1) dans un repère orthonormé direct.

2-a- Vérifier que A et B sont orthogonaux.

A⋅B=xx '+yy '+zz '=1×(3)+2×0+3×1=3+3=0

On a : A⋅B=0 donc les vecteurs A et B sont orthogonaux.

2-b- Écrire le système d'équations vérifié par les coordonnées (x , y , z) de X .

On a : A(123) et X (xyz) . Donc : A∧ X(2z3y

3xzy2x )

Les coordonnées (x , y , z) de X vérifient le système d'équation :

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2 3 3

3 0

2 1

z y

x z

y x

− = − − = − =


2-c- Solutions du problème.

Les deux dernières égalités du système donnent :y=1+2x et z=3x .

On peut vérifier que ces deux égalités entraînent la troisième.2(3x)3(1+2x)=3

Les solutions du système sont les vecteurs de la forme : X( x1+2x

3x )Les solutions forment donc une droite affine.

2-d- Combien existe-t-il de vecteurs solutions orthogonaux à A et B ? Les expliciter.

On veut X⋅A=0 et X⋅B=0 soit : x+2(1+2x)+3(3x)=0 et 3x+3x=0

La seconde égalité est toujours vérifiée. La première donne : 14x=2⇒ x=17

X ( x1+2x

3x )= X (

17

1+2×(17)

3(17) )= X (

17

57

37)

Il existe un unique vecteur solution orthogonal à A et B . X(

17

57

37)

2-e- Démontrez que tout vecteur solution du problème peut s'écrire :X0+λ A où λ est un réel et où X0 est un vecteur particulier solution du problème.

X( x1+2x

3x )=(010)+x(123) On pose X0(010) et λ=x .

A∧ X= A∧( X 0+λ A)= A∧ X0+λ A∧A= A∧ X 0= 0

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Tout vecteur solution du problème peut s'écrire :X0+λ A où λ est un réel et où X0(0,1,0) est un vecteur particulier solution du problème.

2-f- Déterminer l'ensemble des points M tels que : A∧ HM=B où H est le point de coordonnées (1,1,1) .

On a : HM= X 0+λ A Soit M 0 le point qui vérifie HM= X 0 .

HM= HM 0+λ A⇔M 0M =λ X .

C'est la droite passant par le point M 0(1,2,1) de vecteur directeur A .

3- Cas général.

3-a- Prouvez que si X0 est une solution particulière, alors X est solution du problème si et seulement si : A∧( X X0)=0

Soit X0 tel que : A∧ X 0= B .

A∧ X= B⇔ A∧ X= A∧X 0⇔ A∧( X X 0)=0

X est solution du problème si et seulement si : A∧( X X0)=0

3-b- Quelles sont les solutions du problème ?

A∧( X X0)=0 Si et seulement si A et X sont colinéaires c'est-à-dire si :

X X0=λ A⇔ X= A+λ X 0

Les solutions du problème sont les vecteurs de la forme :X=A+λ X 0 avec λ∈ℝ .

3-c- Démontrer qu'il existe une unique solution orthogonale à A et B .

On veut donc que la solution X0 soit orthogonale à A et B .Donc colinéaire à A∧ B . Soit X0=λ A∧B .

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∥A∧( A∧B)∥=∥A∥×∣λ∣×∥A∧B∥=∣λ∣∥A∥2×∥B∥ Et ∣λ∣∥A∥2×∥B∥=∥B∥⇒∣λ∣=1

∥A∥2

A , B etA∧B sont en sens direct. Donc A , A∧ B , B sont en sens indirect. Et donc :

λ=1

∥A∥2

L'unique solution orthogonale à A et B est : A∧B

∥A∥2

3-d- Exprimer les solutions du problème en fonction de A et B .

Les solutions du problème sont : X=A∧B

∥A∥2 +λ A avec λ∈ℝ .

3-e- Si H , K et L sont 3 points donnés, quel est l'ensemble des points M tels que :

HK∧ HM=HL ?

On pose : A= HK et B=HL . On doit donc avoir : HM=A∧B

∥A∥2 +λ A .

L'ensemble des solutions est une droite de direction HK .

4- La méthode de résolution de la division vectorielle va rappelle-elle un autre type de problème ?

Les équations différentielles linéaires.

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Exercice 6 : « Nous sommes à 8 000 kilomètres ….. »

On entend souvent cette phrase. Mais a-on déjà effectué le calcul ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé direct (O , i , j , k) .On considère les points M 1 et M 2 de coordonnées sphériques (R,θ1 ,φ1) et

M 2(R,θ2 ,φ2) où θ1 et θ2 sont les colatitudes et φ1 et φ2 les longitudes.

1- Exprimons : OM 1⋅ OM 2 en fonction de R,θ1 ,φ1 ,θ2 ,φ2 .

On a : OM 1(Rsin(θ1)cos(φ1)Rsin(θ1)sin(φ1)

Rcos(θ1)) et OM 2(

Rsin(θ2)cos(φ2)Rsin(θ2)sin(φ2)

Rcos(θ2)) . On en déduit que :

OM 1⋅ OM 2=R2(sin(θ1)cos(φ1)sin(θ2)cos(φ2)+sin(θ1)sin(φ1)sin(θ2)sin(φ2)cos(θ1)cos(θ2))

OM 1⋅ OM 2=R2(sin(θ1)sin(θ2)(cos(φ1)cos(φ2)+sin(φ1)sin(φ2))+cos(θ1)cos(θ2))

OM 1⋅ OM 2=R2(sin(θ1)sin(θ2)(cos(φ1φ2))+cos(θ1)cos(θ2))

2- Si on note α∈[0,π] la mesure de l'angle des vecteurs OM 1 et OM 2 , déduire de 1- que :OM 1⋅ OM 2=∥ OM 1∥∥ OM 2∥cos(α)=R2 cos(α) . D'après la question précédente, on en déduit

que :

cos(α)=sin(θ1)sin(θ2)(cos(φ1φ2))+cos(θ1)cos(θ2) et donc :

α=arccos(sin(θ1)sin(θ2)cos(φ1φ2)+cos(θ1)cos(θ2))

3- Exprimer la valeur de α en fonction de λ1 , λ2 , φ1 et φ2 où λ1 et λ2 sont les latitudes des points M 1 et M 2 .

On a : θ1=π2λ1 et θ2=

π2λ2 .

α=arccos(sin( π2λ1)sin( π2λ2)cos(φ1φ2)+cos(π2λ1)cos( π2λ2))α=arccos(cos(λ1)cos(λ2)cos(φ1φ2)+sin(λ1)sin(λ2))

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4- Si on considère le cercle C de centre O passant par les points M 1 et M 2 .On note L=M 1M 2 la longueur de l'arc de C compris entre M 1 et M 2 .Exprimer L en fonction de α et R .

L=α×R α exprimé en radian.

5- Application : calculer la distance Guadeloupe-Paris.

Vous pouvez aussi calculer la distance entre 2 villes de votre choix en cherchant leurs coordonnées sur internet.

On considère que le rayon de la Terre est : R=6380km

Guadeloupe : 16°15' de latitude Nord et 61°35' de longitude Ouest Paris : 48°52 de latitude Nord , 2°20' de longitude Est.

λ1=(16+15/60)×( π180)≃0,2836 Radians.

φ1=(61+35/60)×( π180)≃1,0748

λ2=(48+52/60)×( π180)≃0,8529

φ2=(2+20/60)×( π180)≃0,0407

On a : α=arccos(cos(λ1)cos(λ2)cos(φ1φ2)+sin(λ1)sin(λ2)) .

cos(λ1)cos(λ2)cos(φ1φ2)+sin(λ1)sin(λ2)≃0,1926

α≃arcccos(0,282)≃1,0605

L=α×R≃1,0605×6380≃6766

La distance Guadeloupe-Paris est 6766 km

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Barème : N note sur 20 et T total sur 126 : N=T86×20

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Total 126

Exercice 2 20

1- équa .polaire D 12- équa. polaire N 1,53-a- réduction intervalle 23-b- signe 13-b- dérivé 1,53-b- tableau 23-b- branche infinie 23-c- signe 13-c- tableau 23-c- branche infinie 14-a- trisection de l'angle. 3Tracé 2

Exercice 3 25

1-a- équa. Polaire delta 11-b- équa. Polaire de C 21-c- équa. Polaire de D 22-a- réduction intervalle 22-b- étude du signe 1,52-b- dérivée 1,52-b- tableau 22-b- branche infinie 22-b- tracé 23-a- équation D 33-a- équation droite (IU) 23-b- y_0 3=2x_0 3 33-c- ordonnée de W 1

Exercice 4 42,51- 201- ensemble de définition 11- réduction d'intervalle 31- dérivée de x 21- signe de x' 21- tableau de x 21- dérivée de y 21- signe de y' 21- tableau de y 2

211

2- 22,52- ensemble de définition 12- réduction d'intervalle 1,52- dérivée de x 22- signe de x' 22- tableau de x 22- dérivée de y 22- signe de y' 22- tableau de y 2

211

2- branche infinies 12- direction asymptotique 12-asymptote. 2

1-tracé : points1-tracé ; symétrie1-tracé : tangentes.

2-tracé : points2-tracé ; symétrie2-tracé : tangentes.


*** Fin du corrigé ***

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Exercice 5 21,5

1- A et B orthogonaux 1,52-a- produit scalaire=0 12-b- système 32-c- solutions 22-d- solution unique 22-e- X0+lambda A 12-f- ensemble des points M 13-a- relation A,X,X0 23-b- solutions 23-c- unique solution ortho. 23-d-solutions A et B 13-e- ensemble de points 24-équa diff. 1

Exercice 6 17

1- OM1.OM2 62-alpha=arccoos() 33-alpha en fonction de lati 24-L=alpha R 25-calcul de distance. 4

Exercice 2 : Concoïde de Nicomède (deuxième siècle avant J...

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