DEVOIR 2 - ift.ulaval.calaviolette/Mat22257/Devoirs et execices... · Zest strictement croissant...
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MAT-22257 : session Hiver 2007 DEVOIR 2 À remettre avant lundi 26 février à 23h59 Exercice 1 :(Pour cet exercice, toutes les réponses de la partie A) doivent être pleinement justifiées, mais aucune justification n’est demandée pour la partie B).) Étant données les trois relations suivantes : – ρ ⊆ Z × Z, définie par : ρ = {i, j | i 2 = j 2 : hi, j i} – f : R -→ R, définie par la règle de correspondance : f (x)= x 2 – g : Z -→ Z + , définie par la règle de correspondance : g(x)=2 x+8 A) Pour chacune d’elle, déterminez si oui ou non, il s’agit : 1) d’une fonction (c.-à-d. : déterministe) ; 2) d’une application (c.-à-d. : déterministe et totale) ; 3) d’une application injective (c.-à-d. : déterministe, totale et injective) ; 4) d’une application surjective (c.-à-d. : déterministe, totale et surjective) ; 5) d’une application bijective (c.-à-d. : déterministe, totale, injective et surjective) ; B) Donnez l’application inverse de chacune des applications bijectives trouvées en A5). Exercice 2 : Étant donné f : Z -→ Z. a) Démontrez que si f est strictement croissant, alors f est injectif. b) Expliquez brièvement pourquoi la réciproque n’est pas vraie. Rappel : f : Z -→ Z est strictement croissant ⇐⇒ (∀x, x 0 ∈ Z | x<x 0 : f (x) <f (x 0 )). Exercice 3 : Étant donné ρ ⊆ A × B. Illustrez les énoncés suivants à l’aide d’exemples simples, puis répondez à la question. a) Démontrez que ρ -1 ◦ ρ ⊇ I B ⇐⇒ ρ est surjectif. b) Démontrez que ρ ◦ ρ -1 ⊆ I A ⇐⇒ ρ est injectif. c) Complétez et illustrez les énoncés suivants : (1) ρ ◦ ρ -1 ⊇ I A ⇐⇒ _____________________. (2) ρ -1 ◦ ρ ⊆ I B ⇐⇒ _____________________. (3) ρ -1 ◦ ρ = I A ⇐⇒ _____________________. (4) ρ -1 ◦ ρ = I B et ρ ◦ ρ -1 = I A ⇐⇒ _____________________.
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MAT-22257 : session Hiver 2007
DEVOIR 2À remettre avant lundi 26 février à 23h59
Exercice 1 :(Pour cet exercice, toutes les réponses de la partie A) doivent être pleinement justifiées, maisaucune justification n’est demandée pour la partie B).)Étant données les trois relations suivantes :
– ρ ⊆ Z× Z, définie par : ρ = {i, j | i2 = j2 : 〈i, j〉}– f : R −→ R, définie par la règle de correspondance : f(x) = x2
– g : Z −→ Z+, définie par la règle de correspondance : g(x) = 2x+8
A) Pour chacune d’elle, déterminez si oui ou non, il s’agit :1) d’une fonction (c.-à-d. : déterministe) ;2) d’une application (c.-à-d. : déterministe et totale) ;3) d’une application injective (c.-à-d. : déterministe, totale et injective) ;4) d’une application surjective (c.-à-d. : déterministe, totale et surjective) ;5) d’une application bijective (c.-à-d. : déterministe, totale, injective et surjective) ;
B) Donnez l’application inverse de chacune des applications bijectives trouvées en A5).
Exercice 2 :Étant donné f : Z −→ Z.a) Démontrez que si f est strictement croissant, alors f est injectif.b) Expliquez brièvement pourquoi la réciproque n’est pas vraie.
Rappel : f : Z −→ Z est strictement croissant ⇐⇒ (∀x, x′ ∈ Z |x < x′ : f(x) < f(x′)).
Exercice 3 :Étant donné ρ ⊆ A×B. Illustrez les énoncés suivants à l’aide d’exemples simples, puis répondez à la question.a) Démontrez que ρ−1 ◦ ρ ⊇ IB ⇐⇒ ρ est surjectif.b) Démontrez que ρ ◦ ρ−1 ⊆ IA ⇐⇒ ρ est injectif.c) Complétez et illustrez les énoncés suivants :
(1) ρ ◦ ρ−1 ⊇ IA ⇐⇒ _____________________.
(2) ρ−1 ◦ ρ ⊆ IB ⇐⇒ _____________________.
(3) ρ−1 ◦ ρ = IA ⇐⇒ _____________________.
(4) ρ−1 ◦ ρ = IB et ρ ◦ ρ−1 = IA ⇐⇒ _____________________.
Exercice 4 : Montrez que les ensembles suivants sont infinis dénombrables (c.-à-d. : qu’ils ont la mêmecardinalité que N).Pour ce numéro, vous pouvez, tout comme dans les notes de cours, donner des définitions en extension detoute application bijective dont le domaine est N, et dans ce cas, vous n’avez pas à démontrer qu’il s’agiteffectivement d’une application bijective.
a) Z× {5, 12, 789}.
b) N× Z.
c) l’ensemble de tous les nombre positifs qui ont un développement décimal fini.
d) l’ensemble de tous les programmes d’ordinateurs possibles ou, plus précisemment, l’ensemble de tous lesmots binaires (finis).
Exercice 5 :Voici un arbre binaire infini.
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Un r-rayon est un chemin qui commence au sommet r et qui se continue indéfiniement d’arc en arc. Remar-quez que pour construire un r-rayon, on doit pour chaque sommet rencontré, prendre soit l’arc de gauche,soit l’arc de droite. Si on représente un choix de l’arc de gauche par un “0” et un choix de l’arc de droitepar “1”, on pourra par exemple,représenter le r-rayon qui à chaque sommet prend toujours l’arc de gauche par : 〈0, 0, 0, 0, . . .〉ou si vous préférez,représenter le r-rayon qui à chaque sommet prend toujours l’arc de gauche par :l’application f : N −→ {0, 1} où f(n) = 0, pour tout n : N.
Bien sûr tout autre r-rayon a lui-aussi une réprésentation de cette forme.
Démontrez :a) que l’ensemble S de tous les sommets de cet arbre binaire infini est dénombrable.b) que l’ensemble R de tous les r-rayons de cet arbre binaire infini est non-dénombrable.
