Réduction des endomorphismesmichel.quercia.free.fr/algèbre-linéaire/reduc.pdf · 2018-09-28 ·...

Réduction des endomorphismes

Calculs

Exercice 1. Calcul de valeurs propresChercher les valeurs propres des matrices :

1)

0 · · · 0 1...

......

0 · · · 0 n− 11 · · · n− 1 n

2)(

0 sinα sin 2αsinα 0 sin 2αsin 2α sinα 0

).

Exercice 2. Calcul de valeurs propres

Soient a1, . . . , an ∈ R. Chercher les valeurs et les vecteurs propres de A =

a1

(0)...

an−1a1 · · · an−1 an

. On

distinguera les cas :1) (a1, . . . , an−1) 6= (0, . . . , 0).2) (a1, . . . , an−1) = (0, . . . , 0).

Exercice 3. Polynômes de Chebychev

Soit A =

0 1 (0)

1. . .

. . .. . .

. . . 1(0) 1 0

∈ Mn(R).

1) Calculer Dn(θ) = det(A+ (2 cos θ)I) par récurrence.2) En déduire les valeurs propres de A.

Exercice 4. Matrice tridiagonale

Déterminer les valeurs propres de la matrice A =

1 −1 (0)

−1 2 −1. . .

. . .. . .

−1 2 −1(0) −1 1

∈ Mn(R).

Exercice 5. DiagonalisationDiagonaliser les matrices suivantes :

1)(

1 52 4

)2)(

2 54 3

)3)(

5 3−8 −6

)4)(

4 41 4

)5)(

0 1 21 1 11 0 −1

)6)(

1 2 32 1 34 2 0

)7)(

1 1 0−1 1 2

0 0 2

)

8)(

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

)9)(

1 −1 23 −3 62 −2 4

)10)

(7 −12 −23 −4 0

−2 0 −2

)11)

(−2 8 6−4 10 6

4 −8 −4

)12)

0 1 0 03 0 2 00 2 0 30 0 1 0

13)

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

14)

0 2 −2 2−2 0 2 2−2 2 0 2

2 2 −2 0

15)

−5 2 0 00 −11 5 00 7 −9 00 3 1 2

16)

2 0 3 43 1 2 10 0 3 00 0 4 −1

Exercice 6. Trigonalisation

Trigonaliser les matrices suivantes :

1)

1 −3 0 3−2 −6 0 13

0 −3 1 3−1 −4 0 8

2)

3 −1 1 −79 −3 −7 −10 0 4 −80 0 2 −4

reduc.tex – vendredi 28 septembre 2018

Exercice 7. Diagonalisation

Diagonaliser M =

(0) 1

. ..

1 (0)

∈ Mn(K).

Exercice 8. Diagonalisation

Diagonaliser M =

0 1

1. . . (0). . .

. . .(0) 1 0

∈ Mn(C).

Exercice 9. Calcul

Diagonaliser la matrice M =

e a b ca e c bb c e ac b a e

∈ M4(R).

Exercice 10. Calcul

Soit Cpq =(Upq 0 Upq

0 0 0Upq 0 Upq

)∈ Mn(R) où Upq est la matrice p × q dont tous les coefficients valent 1.

Chercher les éléments propres de Cp,q.

Exercice 11. Matrice triangulaire

Soit A =

1 a b c0 1 d e0 0 −1 f0 0 0 −1

. A quelle condition A est-elle diagonalisable ?

Exercice 12. Sommes par lignes ou colonnes constantesSoit A ∈ Mn(K) telle que la somme des coefficients par ligne est constante (= S). Montrer que S estune valeur propre de A. Même question avec la somme des coefficients par colonne.

Exercice 13. Matrices stochastiquesSoit M = (mij) ∈ Mn(R) telle que : ∀ i, j, mij > 0 et ∀ i, mi,1 + mi,2 + . . . + mi,n = 1 (matricestochastique).1) Montrer que 1 est valeur propre de M .2) Soit λ une valeur propre complexe de M . Montrer que |λ| 6 1 (si (x1, . . . , xn) ∈ Cn est un vecteur

propre associé, considérer le coefficient xk de plus grand module). Montrer que si tous les coefficientsmij sont strictement positifs alors |λ| = 1 ⇒ λ = 1.

Exercice 14. (X2 − 1)P ′′ + (2X + 1)P ′

Soit K un corps de caractéristique nulle, E = Kn[X] et u :{E −→ E

P 7−→ (X2 − 1)P ′′ + (2X + 1)P ′.1) Chercher la matrice de u dans la base canonique de Kn[X].2) Montrer que u est diagonalisable.

Exercice 15. (X − a)P ′

Soit E = Kn[X] et u :{E −→ E

P 7−→ (X − a)P ′.Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de

u.

Exercice 16. X(X − 1)P ′ − 2nXP

Soit E = K2n[X] et u :{E −→ E

P 7−→ X(X − 1)P ′ − 2nXP.Chercher les valeurs propres et les vecteurs

propres de u.

Exercice 17. X3P mod (X − a)(X − b)(X − c)

Soient α, β, γ ∈ K distincts, et ϕ :{K2[X] −→ K2[X]

P 7−→ Roù R est le reste de la division euclidienne de

X3P par (X − α)(X − β)(X − γ). Chercher les valeurs et les vecteurs propres de ϕ.

reduc.tex – page 2

Exercice 18. P (2 −X)

Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme θ :{K[X] −→ K[X]

P 7−→ P (2 −X).Exercice 19. P (X + 1) − P ′

Soit K un corps de caractéristique nulle.

Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme θ :{K[X] −→ K[X]

P 7−→ P (X + 1) − P ′.

Exercice 20. (X − a)P ′ + P − P (a)Soit f ∈ L(Rn[X]) qui à P associe (X−a)P ′ +P −P (a). Donner la matrice de f dans la base (Xk)06k6n.Chercher Im f , Ker f et les éléments propres de f .

Exercice 21. tr(A)M + tr(M)ASoit A ∈ Mn(C). L’endomorphisme f de Mn(C) défini par f(M) = tr(A)M + tr(M)A est-il diagonalis-able ?

Exercice 22. Étude d’une matrice

Soit A =

a1 1 (0)

a2. . .

... 1an (0) 0

où les ai sont des réels positifs ou nuls, avec a1an > 0.

1) Quel est le polynôme caractérique de A ?2) Montrer que A admet une unique valeur propre r > 0 et que l’on a r < 1 + max(a1, . . . , an).3) Soit λ une valeur propre complexe de A. Montrer que |λ| 6 r et |λ| = r ⇒ λ = r.4) Montrer qu’il existe un entier k tel que Ak a tous ses coefficients strictement positifs.

Espaces fonctionnels

Exercice 23. f 7→ f(2x)

Soit E = {f : R → R continues tq f(x) −→x→±∞

0}, ϕ :{R −→ Rx 7−→ 2x

et u :{E −→ E

f 7−→ f ◦ ϕ.Montrer que u n’a pas de valeurs propres (si u(f) = λf , étudier les limites de f en 0 ou ±∞).

Exercice 24. TranslationSoit E le sous-espace vectoriel de C(R+,R) des fonctions ayant une limite finie en +∞. Soit T ∈ L(E)défini par T (f)(x) = f(x+ 1). Trouver les valeurs propres de T .

Exercice 25. Équation intégrale

Soit E = C([0,+∞[,R) et u :{E −→ E

f 7−→ favec f(x) = 1

x

∫ x

t=0f(t) dt.

1) Montrer que f peut être prolongée en une fonction continue sur [0,+∞[.2) Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de u.

Exercice 26. Endomorphisme sur les suitesSoit E l’espace vectoriel des suites réelles u = (un)n>1 et f l’endomorphisme de E défini par :

(f(u))n = u1 + 2u2 + . . .+ nun

n2 .

Quelles sont les valeurs propres de f ?

Exercice 27. Opérateur intégral

Soit E = C([0, 1],R) et f :{E −→ E

u 7−→ uavec u(x) =

∫ 1

t=0min(x, t)u(t) dt.

Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de f .


Polynôme caractéristique

Exercice 28. Formules pour une matrice 3 × 3Soit A = (aij) ∈ M3(R).1) Vérifier que χA(λ) = −λ3 + (trA)λ2 −

(∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣+∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣+∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣)λ+ det(A).2) Soit λ une valeur propre de A et L1, L2 deux lignes non proportionnelles de A − λI (s’il en existe).

On calcule L = L1 ∧ L2 (produit vectoriel) et X = tL. Montrer que X est vecteur propre de A pourla valeur propre λ.

Exercice 29. Recherche de vecteurs propres pour une valeur propre simpleSoit A ∈ Mn(K) et λ ∈ K une valeur propre de A telle que rg(A− λI) = n− 1.1) Quelle est la dimension du sous espace propre Eλ ?2) Montrer que les colonnes de tcom(A− λI) engendrent Eλ.

3) AN : Diagonaliser A =(

0 1 21 1 11 0 −1

).

Exercice 30. Éléments propres de C tC

Soit C =

a1...an

∈ Mn,1(R) et M = C tC.

1) Chercher le rang de M .2) En déduire le polynôme caractéristique de M .3) M est-elle diagonalisable ?

Exercice 31. (i/j)Soit A = (aij) ∈ Mn(R) telle que aij = i/j. A est-elle diagonalisable ?

Exercice 32. Matrice compagneOn considère pour n ∈ N∗ le polynôme défini par : Pn(x) = xn −

∑n−1i=0 αix

i avec α0 > 0 et αi > 0 pour1 6 i 6 n− 1.1) Montrer qu’il existe une unique racine dans R+∗ pour Pn.

2) Soit A =

1 1 0 · · · 0

2 0 1. . .

......

.... . .

. . . 0...

.... . . 1

n 0 · · · · · · 0

. Montrer que A admet une unique valeur propre réelle strictement

positive.

Exercice 33. I + (xiyj)Soient x1, . . . , xn, y1, . . . , yn ∈ C. Calculer ∆n = det(I + (xiyj)).

Exercice 34. Centrale MP 2000

On considère la matrice de Mn(C), A =

0 a · · · a

b. . .

. . ....

.... . .

. . . ab · · · b 0

, a 6= b.

1) Montrer que le polynôme caractéristique de A est 1a− b

(a(X + b)n − b(X + a)n).

2) Montrer qu’en général les valeurs propres de A sont sur un cercle.


Exercice 35. Centrale MP 2000

Soit a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ R et An =

a1 + b1 b2 · · · · · · bnb1 a2 + b2 b3 · · · bn... b2

. . .. . .

......

.... . .

. . . bnb1 b2 · · · bn−1 an + bn

1) Calculer detAn.2) Calculer χA, le polynôme caractéristique de A.3) On suppose a1 < a2 < . . . < an et, pour tout i, bi > 0. Montrer que An est diagonalisable (on pourra

utiliser χA(t)/∏n

i=1(ai − t)).4) Le résultat reste-t-il vrai si l’on suppose a1 6 a2 6 . . . 6 an et, pour tout i, bi > 0 ?

Exercice 36. Polynômes caractéristiquesSoit A ∈ Mn(K) inversible et B = A−1, C = A2. Exprimer les polynômes caractéristiques χB et χC enfonction de χA.

Exercice 37. Matrice compagneSoit P = Xn − (a0 + a1X + . . .+ an−1X

n−1) ∈ Kn[X].

La matrice compagne de P est M =

0 (0) a0

1. . . a1. . . 0

...(0) 1 an−1

.

Soit E un K-ev de dimension n, B = (e1, . . . , en) une base de E et ϕ l’endomorphisme de E de matriceM dans B.1) Déterminer le polynôme caractéristique de M .2) Calculer ϕk(e1) pour 0 6 k 6 n.3) En déduire que µM = P .

Exercice 38. sp(A) ∩ sp(B) = ∅Soient A,B ∈ Mn(C). Montrer que sp(A) ∩ sp(B) = ∅ si et seulement si χA(B) est inversible.Application : Soient A,B, P trois matrices carrées complexes avec P 6= 0 telles que AP = PB. Montrerque A et B ont une valeur popre commune.

Exercice 39. Matrices à spectres disjointsSoient A,B ∈ Mn(C). Montrer l’équivalence entre :a) ∀C ∈ Mn(C), il existe un unique X ∈ Mn(C) tel que AX −XB = C.b) ∀X ∈ Mn(C) on a AX = XB ⇒ X = 0.c) χB(A) est inversible.d) A et B n’ont pas de valeur propre en commun.

Exercice 40. AB et BA ont même polynôme caractéristiqueSoient A,B ∈ Mn(K).1) Montrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres.2) Montrer que si A ou B est inversible, alors AB et BA ont même polynôme caractéristique.3) Dans le cas général, on note M =

(BA −B0 0

), N =

(0 −B0 AB

), P =

(In 0A In

)(M,N,P ∈ M2n(K)).

Vérifier que MP = PN , montrer que P est inversible, et conclure.

Exercice 41. X 2014Soient A,B ∈ M2(Z) telles que A,A+B,A+ 2B,A+ 3B,A+ 4B sont inversibles. Montrer que A+ 5Bl’est.

Exercice 42. TraceSoit l’application Φ :

{Mn(R) −→ Mn(R)

M 7−→ tM.Calculer sa trace par un moyen simple.

Exercice 43. Fermat pour la trace, ULM-Lyon-Cachan MP∗ 2005Soit p premier et A ∈ Mn(Z). Montrer que tr(Ap) ≡ tr(A) (mod p).


Exercice 44. Facteurs irréductibles (Lacouture)Soit K un corps quelconque, n ∈ N∗, M ∈ Mn(K). On note µ le polynôme minimal de M et χ sonpolynôme caractéristique. Le but de l’exercice est de prouver que µ et χ ont mêmes facteurs irréductibles.1) Traiter le cas où χ est scindé.2) Cas général.

a) Montrer que pour tout P ∈ K[X], il existe R ∈ Mn(K[X]) tel que

P (M) − P (X)In = (M −XIn)R(X).

b) Montrer que χ divise µn puis conclure.

Exercice 45. AM +B et AM ont même polynôme caractéristique, Centrale MP 20121) Soient A,B ∈ Mn(C) ayant même polynôme caractéristique. Montrer que tr(A2) = tr(B2).2) Soient A,B ∈ Mn(C). Montrer l’équivalence entre :

(a) ∀M ∈ Mn(C), AM +B et AM ont même polynôme caractéristique ;(b) B est nilpotente et BA = 0.

Polynôme annulateur

Exercice 46. Matrice bitriangulaire

Donner une CNS sur a, b ∈ C pour que la matrice M =

0 (a). . .

(b) 0

soit diagonalisable.

Exercice 47. A2 = A et tr(A) = 0Trouver les matrices A ∈ Mn(R) telles que A2 = A et tr(A) = 0.

Exercice 48. u3 = u2

Soient E un ev de dimension finie sur C et u un endomorphisme de E.On suppose que u3 = u2, u 6= id, u2 6= 0, u2 6= u.1) Montrer qu’une valeur propre de u ne peut être que 0 ou 1.2) Montrer que 1 et 0 sont effectivement valeurs propres de u.3) Montrer que u n’est pas diagonalisable.4) Montrer que E = Im(u2) ⊕ Ker(u2).5) Monter que u|F avec F = Im(u2) est l’identité.

Exercice 49. INT gestion 94

Soit A =

1 1 1 1−1 1 −1 1−1 1 1 −1−1 −1 1 1

.

1) Calculer detA.2) Calculer (A− xI)( tA− xI) et en déduire χA(x).3) Montrer que A est C-diagonalisable.

Exercice 50. XnP (1/X)

Soit E = Kn[X] et u :{E −→ E

P 7−→ XnP (1/X).1) Déterminer u ◦ u. En déduire que si car(K) 6= 2 alors u est diagonalisable.2) Étudier le cas car(K) = 2.3) Lorsque u est diagonalisable, donner une base de vecteurs propres de u.

Exercice 51. A = A−1

Soit A ∈ Mn(C) telle que A = A−1. A est-elle diagonalisable ? Calculer eA (eA =∑∞

k=0Ak

k! ).


Exercice 52. Endomorphisme de rang 1Soit E un ev de dimension finie et u ∈ L(E) tel que rg(u) = 1. Montrer que :

Im u ⊂ Keru ⇔ u n’est pas diagonalisable.

Exercice 53. u2 diagonalisableSoit E un C-ev de dimension finie et u ∈ GL(E) tel que u2 est diagonalisable. Montrer que u estdiagonalisable. Donner un contre-exemple dans un R-ev.

Exercice 54. Racine p-èmeSoit A ∈ Mn(C) inversible diagonalisable et B ∈ Mn(C), p ∈ N∗ tels que Bp = A.1) Montrer que B est diagonalisable.2) Si A n’est pas inversible la conclusion subsiste-t-elle ?

Exercice 55. X 2014Résoudre dans M2(R) : X2 =

(0 10 0

).

Exercice 56. p2 est un projecteurSoit E un espace vectoriel de dimension n et p ∈ L(E) tel que p2 est un projecteur. Quelles sont lesvaleurs propres éventuelles de p ? Montrer que p est diagonalisable si et seulement si p3 = p.

Exercice 57. A3 = A+ ISoit A ∈ Mn(R) telle que A3 = A+ I. Montrer que det(A) > 0.

Exercice 58. A3 +A2 +A = 0Soit A ∈ Mn(R) telle que A3 +A2 +A = 0. Montrer que rgA est pair.

Exercice 59. An = ISoit A ∈ Mn(C) telle que An = I et (I, A, . . . , An−1) est libre. Montrer que tr(A) = 0.

Exercice 60. Ap = I et sp(A) ⊂ R ⇒ A2 = ISoit A ∈ Mn(R). On suppose que les valeurs propres de A sont réelles et qu’il existe p > 1 tel queAp = I. Montrer que A2 = I.

Exercice 61. P (u) =∑P (λi)ui

Soit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E).1) On suppose u diagonalisable et on note λ1, . . . , λp ses valeurs propres distinctes.

a) Montrer qu’il existe des endomorphismes u1, . . . , up tels que pour tout polynôme P ∈ K[X], onait : P (u) =

∑pi=1 P (λi)ui.

b) Montrer qu’il existe un polynôme Pi tel que ui = Pi(u).2) Réciproquement, soit u, u1, . . . , up ∈ L(E) et λ1, . . . , λp ∈ K tels que :

∀P ∈ K[X], P (u) =p∑

i=1P (λi)ui.

Montrer que u est diagonalisable et sp(u) ⊂ {λ1, . . . , λp}.

Exercice 62. ProjecteursSoit E un espace vectoriel de dimension n, et f1, . . . , fn, n applications linéaires toutes non nulles. Onsuppose : ∀ (i, j) ∈ [[1, n]]2, fi ◦ fj = δi,jfi. Montrer les fi sont toutes de rang un.

Exercice 63. Projecteurs spectrauxSoit f un endomorphisme diagonalisable d’un ev E de dimension finie, λ une valeur propre de f et pλ

le projecteur sur le sous-espace propre associé parallèlement à la somme des autres sous-espaces propres.Montrer que pλ est un polynôme en f .


Exercice 64. Endomorphismes anticomutant, Centrale MP 2003Soit E un C-ev de dimension n ∈ N∗ et u1, . . . , up (p > 2) des endomorphismes de E vérifiant :

∀ k, u2k = − idE , ∀ k 6= `, uk ◦ u` = −u` ◦ uk.

1) Montrer que les uk sont des automorphismes et qu’ils sont diagonalisables.2) Montrer que n est pair.3) Donner le spectre de chaque uk.4) Donner les ordres de multiplicité des valeurs propres des uk.5) Calculer det(uk).

Exercice 65. u2 = 0Soit E un ev de dimension finie et u ∈ L(E) tel que u ◦ u = 0.1) Quelle relation y a-t-il entre Keru et Im u ? Montrer que 2 rg u 6 dimE.2) On suppose ici dimE = 4 et rg u = 2. Montrer qu’il existe une base (e1, e2, e3, e4) de E telle que :

u(e1) = e2, u(e2) = 0, u(e3) = e4, u(e4) = 0.3) On suppose dimE = n et Im u = Keru. Est-ce que u est diagonalisable ?

Exercice 66. Réduction de M tq M3 = ISoit M ∈ M3(R) telle que M 6= I, et M3 = I.1) Quelles sont les valeurs propres complexes de M ?

2) Montrer que M est semblable à(

1 0 00 −1/2 −

√3/2

0√

3/2 −1/2

).

Exercice 67. Centrale PSI 1998Soient u, v, h trois endomorphismes de Rn tels que :

u ◦ v = v ◦ u, u ◦ h− h ◦ u = −2u, v ◦ h− h ◦ v = −2v.

1) Cas particulier, n = 3, Mat(u) =(

0 1 00 0 10 0 0

). Déterminer si v et h existent et si oui, les donner.

2) Cas général.a) Que peut-on dire de tr(u) et tr(v) ?b) Montrer que u et v sont non inversibles. Montrer que Keru et Ker v sont stables par h.c) Déterminer uk ◦ h− h ◦ uk pour k ∈ N. Déterminer P (u) ◦ h− h ◦ P (u) pour P ∈ R[X].d) Quel est le polynôme minimal de u ?

Exercice 68. Indépendance du polynôme minimal par rapport au corpsSoient K ⊂ L deux corps et A ∈ Mn(K). On note µK(A) et µL(A) les polynômes minimaux de A en tantque matrice à coefficients dans K ou dans L. Montrer que ces polynômes sont égaux.

Exercice 69. Trace entière, X MP∗ 2004Caractériser les polynômes P tels que : ∀A ∈ Mn(C), (P (A) = 0) ⇒ (tr(A) ∈ Z).

Exercice 70. Valeurs propres communesSoient A,B,C ∈ Mn(C) telles que AC = CB et rg(C) = r. Montrer que A et B ont au moins r valeurspropres communes.

Exercice 71. Polynôme minimal imposé, Centrale MP 2005Le polynôme X4 +X3 + 2X2 +X + 1 peut-il être le polynôme minimal d’une matrice de M5(R) ?

Exercice 72. Kerup ⊕ Im up, Polytechnique MP∗ 2006Soit E un K-ev de dimension n. Soit u ∈ L(E), P son polynôme minimal et p le plus petit exposantde X dans l’écriture de P .1) Si p = 0, que dire de u ?2) Si p = 1, montrer que E = Im u⊕ Keru.3) Dans le cas général, montrer que E = Kerup ⊕ Im up.


Exercice 73. f2 + αf + β id = 0, Centrale 2015Soit E un R-ev de dimension finie n > 1. Soit P = X2 + αX + β ∈ R[X] sans racine réelle et f ∈ L(E)tel que P (f) = 0. Le but de l’exercice est de prouver qu’il existe une base de E dans laquelle la matricede f est diagonale par blocs avec pour blocs diagonaux

(0 1

−β −α

).

1) Montrer que f n’admet aucune valeur propre puis que n est pair.2) Soit x ∈ E non nul et y = f(x) + αx. On note Hx = 〈x, y〉. Montrer que Hx est un plan stable par f

et que c’est le plus petit sev de E stable par f et contenant x.3) Prouver la propriété annoncée.

Exercice 74. P (A) est nilpotente, Mines-Ponts 2015Soit A ∈ Mn(C). Déterminer les polynômes P tels que P (A) soit nilpotente.

Exercice 75. Ap = In, Mines 2015Soit A ∈ Mn(Z) telle qu’il existe p ∈ N vérifiant Ap = In. On suppose de plus qu’il existe m > 3 tel que,pour tous i, j, m divise [A− In]i,j . Déterminer A.

Endomorphismes de composition

Exercice 76. Équation AM = λMSoit A ∈ Mn(K). Déterminer les scalaires λ et les matrices M ∈ Mn(K) telles que AM = λM .

Exercice 77. v 7→ v ◦ u, Centrale MP 2003Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). On considère l’application Φu qui à v ∈ L(E)associe v ◦ u.1) Montrer que Φu ∈ L(L(E)).2) Montrer l’équivalence : (u est diagonalisable) ⇔ (Φu est diagonalisable). . .

a) en considérant les polynômes annulateurs de u et de Φu.b) en considérant les spectres et sous-espaces propres de u et de Φu.

Exercice 78. f 7→ p ◦ f ◦ p

Soit p ∈ L(E) une projection et Φ :{

L(E) −→ L(E)f 7−→ p ◦ f ◦ p.

Déterminer les éléments propres de Φ.

Exercice 79. f 7→ u ◦ f et f 7→ f ◦ uSoit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E) diagonalisable.

On considère les applications :

L(E) −→ L(E)ϕ : f 7−→ u ◦ fψ : f 7−→ f ◦ u.

1) Montrer que ϕ et ψ sont diagonalisables.2) Montrer que ϕ− ψ est diagonalisable.

Exercice 80. u ◦ v − v ◦ u = idSoient K un corps de caractéristique nulle, E un K-ev non nul et u, v deux endomorphisme de E tels queu ◦ v − v ◦ u = idE .1) Simplifier uk ◦ v − v ◦ uk pour k ∈ N puis P (u) ◦ v − v ◦ P (u) pour P ∈ K[X].2) Montrer que u et v n’ont pas de polynômes minimaux.

Exercice 81. f ◦ g − g ◦ f = αfSoit K un corps de caractéristique nulle, E un K-ev de dimension finie et f, g ∈ L(E), α ∈ K∗ tels quef ◦ g − g ◦ f = αf .1) Montrer pour tout entier naturel n : fn ◦ g − g ◦ fn = nαfn.2) Montrer qu’il existe n ∈ N tel que fn = 0 (raisonner par l’absurde et considérer l’application h 7→

h ◦ g − g ◦ h de L(E) dans L(E)).3) Donner un contre-exemple avec car(K) 6= 0.


Exercice 82. X MP∗ 2001Soit f un endomorphisme de E (ev de dimension finie sur K) tel que χf soit irréductible. Montrez quepour aucun endomorphisme g le crochet de Lie [f, g] = f ◦ g − g ◦ f n’est de rang un.

Exercice 83. 12 (p ◦ u+ u ◦ p), Mines MP 2003

Soit E un R-espace vectoriel de dimension n finie, p un projecteur de rang r et

ϕ :{L(E) −→ L(E)

u 7−→ 12 (p ◦ u+ u ◦ p).

1) Est-ce que ϕ est diagonalisable ?2) Déterminer les valeurs propres de ϕ et les dimensions des sous-espaces propres.

Exercice 84. Crochet de Lie, Ens Cachan MP∗ 2003Soit Φ : Mn(C) → Mn(C) un automorphisme d’ev tel que : ∀A,B ∈ Mn(C), Φ([A,B]) = [Φ(A), Φ(B)]où [X,Y ] = XY − Y X. Montrer : ∀D ∈ Mn(C), (D est diagonalisable) ⇔ (Φ(D) est diagonalisable).Indication : considérer ϕD : X 7→ [D,X] et montrer que (D est diagonalisable) ⇔ (ϕD est diagonalis-able).

Similitude

Exercice 85. Matrices réelles semblables sur CSoient A,B ∈ Mn(R) semblables sur C : Il existe P,Q ∈ Mn(R) telles que : P + iQ ∈ GLn(C) et(P + iQ)A = B(P + iQ).1) Montrer : ∀λ ∈ R, (P + λQ)A = B(P + λQ).2) En déduire que A et B sont semblables sur R.

Exercice 86. Trigonalisation de matrices

Soit A =(

−1 2 02 2 −3

−2 2 1

)et ϕ l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A.

1) Vérifier que A n’est pas diagonalisable.2) Chercher deux vecteurs propres de A linéairement indépendants.3) Compléter ces vecteurs en une base de R3.4) Écrire la matrice de ϕ dans cette base.5) Résoudre le système différentiel : X ′ = AX.

Exercice 87. Somme de projecteursSoit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer que u est diagonalisable si et seulement s’ilexiste des projecteurs p1, . . . , pk ∈ L(E) et des scalaires λ1, . . . , λk tels que : u = λ1p1 + . . . + λkpk et∀ i 6= j, pi ◦ pj = 0.

Exercice 88. A3 est semblable à A4

Quelles sont les matrices A ∈ M3(C) telles que A3 est semblable à A4 ? On étudiera séparément les cas :1) A a trois valeurs propres distinctes.2) A a deux valeurs propres distinctes3) A a une seule valeur propre.

Exercice 89. Décomposition de DunfordSoit A ∈ Mn(C). Montrer qu’il existe deux matrices D,N telles que A = D + N , D est diagonalisable,N est nilpotente, DN = ND.

Exercice 90. Réduction de Jordan, Mines MP 2003Soit f ∈ L(R3) telle que sp(f) = {λ} et dim(Ker(f − λ id)) = 2.

Montrer qu’il existe une base B dans laquelle Mat(f) =(λ 0 00 λ 10 0 λ

).

Exercice 91. A et 2A sont semblablesSoit A ∈ Mn(C) nilpotente. Montrer que A et 2A sont semblables.


Usage de la réduction

Exercice 92. Ensi PC 1999

Soit A =(

−1 2 12 −1 −1

−4 4 3

).

1) Calculer An.

2) Soit U0 =(

−241

)et (Un) défini par la relation : Un+1 = AUn. Calculer Un en fonction de n.

3) Soit X(t) =(x(t)y(t)z(t)

). Résoudre dX

dt = AX.

Exercice 93. Puissances de ASoit A ∈ M3(R) ayant pour valeurs propres 1,−2, 2, et n ∈ N.1) Montrer que An peut s’écrire sous la forme : An = αnA

2 + βnA+ γnI avec αn, βn, γn ∈ R.2) On considère le polynôme P = αnX

2+βnX+γn. Montrer que : P (1) = 1, P (2) = 2n, P (−2) = (−2)n.3) En déduire les coefficients αn, βn, γn.

Exercice 94. Suites récurrentes linéairesSoit (un) une suite réelle vérifiant l’équation de récurrence : un+3 = 6un+2 − 11un+1 + 6un.

1) On pose Xn =(

un

un+1un+2

). Montrer qu’il existe une matrice A ∈ M3(R) telle que Xn+1 = AXn.

2) Diagonaliser A. En déduire un en fonction de u0, u1, u2 et n.

Exercice 95. Endomorphisme cycliqueSoit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n.1) On suppose que pour tout sous-evD de dimension 1 il existe x ∈ D tel que E = vect(x, f(x), f2(x), . . .).

Que dire de E et f ?2) On suppose qu’il existe x ∈ E tel que E = vect(x, f(x), f2(x), . . .). Montrer que si f est diagonalisable

alors ses valeurs propres sont toutes distinctes. Montrer que si f est nilpotente alors fn−1 6= 0.

Exercice 96. Suite de pointsSoit (Mn) une suite de points dans le plan, de coordonnées (xn, yn) définies par la relation de récurrence :

xn+1 = −xn + 2yn, yn+1 = −3xn + 4yn.

1) Montrer que, quelque soit M0, les points Mn sont alignés.2) Étudier la suite (Mn) quand n tend vers l’infini.3) Quelle est la limite de yn/xn (utiliser une méthode géométrique) ?

Exercice 97. Commutant d’une matrice à valeurs propres distinctes1) Soit D = diag(λ1, . . . , λn) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.

a) Montrer qu’une matrice M commute avec D si et seulement si M est diagonale.b) Montrer que pour toute matrice M diagonale, il existe un polynôme P ∈ Kn−1[X] unique tel que

M = P (D).2) Soit A ∈ Mn(K) une matrice à valeurs propres distinctes. Montrer que les matrices M commutant

avec A sont les polynômes en A.

Exercice 98. XY = Y X = ASoit A =

(1 11 1

).

1) A est-elle diagonalisable ?2) Trouver toutes les matrices X,Y ∈ M2(K) telles que XY = Y X = A.

Exercice 99. Racine carrée

Soit A =(

9 0 01 4 01 1 1

). Trouver les matrices M ∈ M3(R) telles que M2 = A.


Exercice 100. Racine carrée

Soit A =(

5 −4 18 −7 212 −12 4

). Trouver une matrice B différente de A et −A telle que B2 = A.

Exercice 101. Commutant

1) Trouver le commutant de(

2 −2 12 −3 21 2 0

)∈ M3(R).

2) Même question, en considérant M ∈ M3(Q).

Exercice 102. Commutant, Centrale MP 2000Si A ∈ Mn(C), on note C(A) le commutant de A.1) Pour n = 2, montrer que C(A) est de dimension 2 ou 4, en donner une base.2) Pour n ∈ N∗, montrer que C(A) est de dimension > n (traiter d’abord le cas où A est diagonalisable).

Exercice 103. Ulm MP∗ 2001En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur npour aller d’un point à un autre ?

Réduction par blocs

Exercice 104. Matrice blocSoit A ∈ Mn(K) non nulle et M =

(0 A0 0

)∈ M2n(K). Montrer que M n’est pas diagonalisable.

Exercice 105. Matrice blocSoit K un corps de caractéristique nulle, A ∈ Mn(K) et M =

(A 0A A

)∈ M2n(K).

1) Comparer les valeurs propres de A et M .2) Soit P ∈ K[X] et Q = XP ′. Montrer que P (M) =

(P (A) 0Q(A) P (A)

).

3) A quelle condition sur A, M est-elle diagonalisable ?

Exercice 106. Ensi P 90Soit M ∈ Mn(C) diagonalisable. Soit A =

(M MM M

)∈ M2n(C). La matrice A est-elle diagonalisable ?

Exercice 107. Matrice blocSoit A ∈ GLn(C) et M =

(0 AI 0

)∈ M2n(C). Montrer que M est diagonalisable si et seulement si A

l’est (chercher les sous-espaces propres de M en fonction de ceux de A).

Exercice 108. Matrice triangulaire par blocsSoit M =

(A B0 C

)avec A,C carrées. On suppose que A et C sont diagonalisables sans valeurs propres

communes. Montrer que M est diagonalisable.

Exercice 109. Matrice blocSoit M =

(A BC D

)∈ Mn(K) diagonalisable avec A carrée d’ordre p.

Soit λ une valeur propre de M de multiplicité m. Montrer que si p > n − m, alors λ est valeur proprede A.

Exercice 110. Réduction par blocs, Centrale MP 2003Soit A ∈ Mn(R) et B =

(0 AA 2A

)∈ M2n(R). Déterminer sp(B) et fonction de sp(A).

Exercice 111. Am −→m→+∞

0, Mines MP 2003

Soit A =

a2 ab ab b2

ab a2 b2 abab b2 a2 abb2 ab ab a2

. Représenter dans un plan l’ensemble des couples (a, b) tels que Am −→m→+∞

0.


Image et noyau

Exercice 112. Chimie P 1996Soit E un espace vectoriel réel de dimension n et f un endomorphisme de E.Est-il vrai que : f est diagonalisable ⇔ Ker f + Im f = E ?

Exercice 113. u est diagonalisable ⇔ Ker(u− λ id) + Im(u− λ id) est directeSoit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E) tel que χu est scindé. Pour λ ∈ sp(u), on note Eλ =Ker(u−λ id) et Fλ = Im(u−λ id). Montrer que u est diagonalisable si et seulement si pour tout λ ∈ sp(u),Eλ ⊕ Fλ = E.

Exercice 114. Ker f ⊕ Im fSoit E un K-ev de dimension finie et f ∈ L(E). On suppose qu’il existe P ∈ K[X] tel que P (f) = 0 etP ′(0) 6= 0. Montrer que Ker f ⊕ Im f = E.

Exercice 115. rg(f − λ id)Soit E un C-ev de dimension finie et f ∈ L(E). Montrer que f est diagonalisable si et seulement si pourtout λ ∈ C on a rg(f − λ id) = rg(f − λ id)2.

Exercice 116. Nombre de noyaux et d’imagesSoit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer que les ensembles K = {Ker(P (u)), P ∈ K[X]}et I = {Im(P (u)), P ∈ K[X]} sont finis et ont même cardinal.

Exercice 117. dim(Ker f2) = 2 dim(Ker f), Mines-Ponts MP 2005Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) tel que dim(Ker f2) = 2 dim(Ker f) = 2d.Montrer que s’il existe g ∈ L(E) et k ∈ N∗ tels que gk = f alors k divise d.

Sous-espaces stables

Exercice 118. Droites et hyperplans stablesSoit E un C-ev de dimension finie et u ∈ L(E).1) Montrer qu’il existe une droite vectorielle stable par u.2) Montrer qu’il existe un hyperplan stable par u (considérer Im(u − λ id) où λ est une valeur propre

de u).3) Donner un exemple où ces propriétés sont en défaut pour un R-ev.

Exercice 119. Plan stable pour une valeur propre non réelleSoit M ∈ Mn(R) et λ = a+ ib une valeur propre non réelle de M (a ∈ R, b ∈ R∗). On note X un vecteurpropre complexe de M .1) Montrer que X est aussi vecteur propre de M .2) Montrer que (X,X) est libre dans Cn.3) Soient U = 1

2 (X +X), V = 12i (X −X). Montrer que (U, V ) est libre dans Rn.

4) Soit F = vect(U, V ). Montrer que F est stable par ϕ (endomorphisme de Rn associé à M) et donnerla matrice de ϕ|F dans la base (U, V ).

Exercice 120. Plans stablesSoit E un K-ev de dimension finie et f ∈ L(E).1) Soit F un plan vectoriel. Montrer que si F est stable par f alors il existe P ∈ K2[x] non constant,

diviseur de µf , tel que F ⊂ KerP (f).2) Réciproquement, soit P ∈ K[x] un diviseur de µf de degré 2. Montrer que KerP (f) contient un plan

stable par f .3) Si K = R montrer que f admet toujours une droite ou un plan stable.


Exercice 121. Recherche de sev stables

Soit A =(

1 1 0−3 −2 0

0 0 1

).

1) Déterminer les sev de R3 stables pour l’endomorphisme associé à A.2) Quelles sont les matrices réelles commutant avec A ?

Exercice 122. Plan affine stableSoit E = R3 et H : x+ 2y + 3z = 1 un plan affine de E. Montrer que si H est stable par f ∈ L(E) alors1 est valeur propre de f .

Exercice 123. χu irréductibleSoit u un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n sur le corps K. Montrez que seuls {0}et E sont stables par u si et seulement si χu est irréductible sur K.

Exercice 124. Endomorphisme semi-simple.Un endomorphisme f est dit semi-simple si tout sous-espace stable par f admet un supplémentaire stablepar f . Montrer qu’un endomorphisme d’un C-ev de dimension finie est semi-simple si et seulement s’ilest diagonalisable.

Exercice 125. Endomorphisme semi-simple, Polytechnique MP∗ 2000Soit E un espace vectoriel, f un endomorphisme de E tel que tout sous-espace de E admette un supplé-mentaire stable par f . Que peut-on dire de f ? Réciproque ?

Exercice 126. Sous-espaces stables, Centrale MP 2003

Soit f ∈ L(R3) ayant pour matrice M =(

1 1 11 1 1

−1 1 1

)dans la base canonique de R3. Déterminer les

sous-espaces de R3 stables par f .

Exercice 127. Mines 2017Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n, et f ∈ L(E). Montrez que f est diagonalisable si etseulement s’il existe H1, . . . , Hn des hyperplans de E stables par f tels que

⋂ni=1 Hi = {0}.

Trigonalisation

Exercice 128. AB = 0Soient A,B ∈ Mn(C) telles que AB = 0. Montrer que A et B sont simultanément trigonalisables.

Exercice 129. Produit de matrices nilpotentesSoient A1, . . . , An ∈ Mn(K) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que A1 . . . An = 0.

Exercice 130. Matrices nilpotentesSoit A ∈ Mn(C). Montrer que A est nilpotente si et seulement si pour tout k ∈ N∗ on a tr(Ak) = 0.

Exercice 131. Mines MP 2003Soit E un ev de dimension finie et (un) une suite d’endomorphismes diagonalisables convergeant vers unendomorphisme u. u est-il diagonalisable ?

Exercice 132. Mines-Ponts MP 2005On donne une matrice carrée réelle M d’ordre n non inversible. Soient α, β les multiplicités de zéro dansχM et µM . Montrer que dim(KerM) = α si et seulement si β = 1.

Exercice 133. ENS 2014Soit K un corps fini. Les matrices de Mn(K) sont-elles toutes diagonalisables ? Sinon, trigonalisables ?


Divers

Exercice 134. ‖g − id ‖ < 1, Ulm MP 2012Soit ‖ ‖ une norme d’algèbre sur Mn(R). Soit G un sous-groupe de GLn(R) tel que pour tout g ∈ G :‖g − id ‖ < 1. Montrer que G est réduit à {id}.

Exercice 135. Matrices nilpotentes, Mines MP 2012Déterminer le sous-espace vectoriel de Mn(K) engendré par les matrices nilpotentes.

Exercice 136. Ens Lyon MP 2012Soient S,R ∈ GLn(C) telles que S2 = R3 = In et RS = SR−1. Montrer que S et R sont simultanémentdiagonalisables par blocs, avec des blocs de taille 1 ou 2.

Exercice 137. Rangs itérés, ULC 2010Soit V un C-espace vectoriel de dimension d et f ∈ L(V ).1) Montrer que la suite (rg(fn)) converge. On note r(f) sa limite.2) Montrer que si f ◦ g = g ◦ f alors r(f + g) 6 r(f) + r(g). Trouver un contre-exemple si g ◦ f 6= f ◦ g.3) Exprimer r(f) à partir du polynôme caractéristique de f .


solutions

Exercice 1.1) 0 et les racines de 6λ2 − 6nλ− n(n− 1)(2n− 1) = 0.2) sinα+ sin 2α, − sinα, − sin 2α.

Exercice 2.1) rg(A) = 2 ⇒ 0 est valeur propre d’ordre au moins n− 2. E0 = {a1x1 + . . .+ an−1xn−1 = xn = 0}.

vp λ 6= 0 : λ2 −anλ−(a21 + . . .+a2

n−1) = 0. Il y a deux racines distinctes, Eλ = vect((a1, . . . , an−1, λ)).2) A est diagonale. vp = 0 et an.

Exercice 3.1) Dn = 2 cos θDn−1 −Dn−2 ⇒ Dn = sin(n+ 1)θ

sin θ .

2) −2 cos(

kπn+ 1

), 1 6 k 6 n.

Exercice 4.Soit Pn(x) le polynôme caractéristique de A et Qn(x) celui de la matrice obtenue à partir de A enremplaçant le premier 1 par 2. On a les relations de récurrence :

Pn(x) = (1 − x)Qn−1(x) −Qn−2(x), Qn(x) = (2 − x)Qn−1(x) −Qn−2(x).

D’où pour x /∈ {0, 4} :

Pn(x) = (1 − α)(1 − α2n)αn(1 + α)

, avec x = 2 − α− 1α.

Les valeurs propres de A autres que 0 et 4 sont les réels xk = 2(1 − cos(kπ/n)) avec 0 < k < n et 0 estaussi valeur propre (somme des colonnes nulle) donc il n’y en a pas d’autres.


Exercice 5.1) P =

(1 −51 2

), D = diag(6,−1).

2) P =(

5 1−4 1

), D = diag(−2, 7).

3) P =(

3 1−8 −1

), D = diag(−3, 2).

4) P =(

2 −21 1

), D = diag(6, 2).

5) P =(

1 3 −1−2 4 0

1 1 1

), D = diag(0, 2,−2).

6) P =(

2 1 1−5 1 1

2 −2 1

), D = diag(−1,−3, 6).

7) P =(

1 1 1i −i 10 0 1

), D = diag(1 + i, 1 − i, 2).

8) P =(

1 1 11 −1 01 0 −1

), D = diag(0, 3, 3).

9) P =(

1 2 11 0 30 −1 2

), D = diag(0, 0, 2).

10) P =(

−4 −1 −2−3 −1 −1

4 2 1

), D = diag(0,−1, 2).

11) P =(

−1 2 3−1 1 0

1 0 2

), D = diag(0, 2, 2).

12) P =

−1 −1 1 −1−1 1 3 3

1 1 3 −31 −1 1 1

, D = diag(1,−1, 3,−3).

13) P =

1 1 1 11 0 0 −10 1 0 −10 0 1 −1

, D = diag(2, 2, 2,−2).

14) P =

0 1 1 01 0 0 −11 0 1 00 1 0 1

, D = diag(2, 2,−2,−2).

15) P =

1 0 30 180 0 15 −990 0 21 990 1 −11 11

, D = diag(−5, 2,−4,−16).

16) P =

1 0 7 −83 1 12 90 0 1 00 0 1 6

, D = diag(2, 1, 3,−1).

Exercice 6.

1) P =

0 3 6 10 1 0 01 0 1 00 1 1 0

, T =

1 0 3 −11 1 −2

1 11

.

2) P =

1 0 0 03 1 0 00 0 2 00 0 1 1

, T =

0 −1 −5 −70 0 20

0 −40

.


Exercice 7.

n pair : P =

1 1

. . . . ..

1 11 −1

. .. . . .

1 −1

, D = diag(1, . . . , 1,−1, . . . ,−1).

n impair : P =

1 1. . . . .

.

1 11

1 −1

. .. . . .

1 −1

, D = diag(1, . . . , 1,−1, . . . ,−1).

Exercice 8.P = (ω(i−1)(1−j)), D = diag(1, ω, . . . , ωn−1) avec ω = exp(2iπ/n).

Exercice 9.

P =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

, D = diag (a+ b+ c+ e, a− b− c+ e,−a+ b− c+ e,−a− b+ c+ e).

Exercice 10.λ = 0 : E0 = {x tq x1 + . . .+ xq + xn−q+1 + . . .+ xn = 0},λ = 2 min(p, q) : Eλ = vect((1, . . . , 1︸︷︷︸

p

, 0, . . . , 0, 1, . . . , 1︸︷︷︸p

)).

Exercice 14.

1) M =

0 1 −2 (0)

2 2. . .

6. . . −n(n− 1). . . n

(0) n(n+ 1)

.

Exercice 16.u(Xk) = −kXk + (k − 2n)Xk+1 ⇒ la matrice de u est triangulaire inférieure. sp(u) = {0,−1, . . . ,−2n}.λ = −k : Résoudre l’équation différentielle ⇒ P = cXk(X − 1)2n−k.

Exercice 17.α3 : (X − β)(X − γ), β3 : (X − α)(X − γ), γ3 : (X − α)(X − β).

Exercice 18.λ = 1 : P = Q((X − 1)2). λ = −1 : P = (X − 1)Q((X − 1)2).

Exercice 19.λ = 1 : P = aX + b.

Exercice 20.

M =

0 −2a −a2 · · · −an

2 −2a (0)

3. . .. . . −na

(0) n+ 1

.

Ker f = {polynômes constants}, Im f = {polynômes divisibles par X − a}.Valeurs propres : 0, 2, 3, . . . , n+ 1. Pour 2 6 k 6 n+ 1, Ek = vect((X − a)k−1).

Exercice 21.Oui ssi tr(A) 6= 0 ou A = 0.


Exercice 22.1) (−1)n(Xn − anX

n−1 − . . .− a1).2) Étude de x 7→ (xn − anx

n−1 − . . .− a1)/xn.3) Inégalité triangulaire.4) Expression générale de Ak.

Exercice 24.spec(T ) = ] − 1, 1].

Exercice 25.2) 0 < λ 6 1 : f(x) = Cx1/λ−1.

Exercice 26.1/k, k > 1.

Exercice 27.λ = 1

(π/2 + kπ)2 : u(x) = C sin(π/2 + kπ)x.

Exercice 29.

3) P =(

−1 3 32 4 0

−1 1 −3

), D = diag(0, 2,−2).

Exercice 30.1) 1 si C 6= 0, 0 si C = 0.2) dim(E0) > n− 1 ⇒ Xn−1 divise χM ⇒ χM = (−1)n(Xn − (a2

1 + . . .+ a2n)Xn−1).

3) Oui.

Exercice 31.rgA = 1 donc dim KerA = n − 1 et 0 est valeur propre d’ordre au moins n − 1. La somme des valeurspropres est trA = n donc la dernière valeur propre est n et le sous-espace propre associé est de dimension 1.Donc A est diagonalisable.

Exercice 32.1) La fonction fn : x 7→ Pn(x)/xn croît strictement de −∞ à 1 quand x varie de 0 à +∞.2) χA(x) = (−1)n(xn −

∑nk=1 kx

n−k).

Exercice 33.Soit M = (xiyj) : M est de rang inférieur ou égal à 1, donc 0 est valeur propre de M d’ordre au moinsn− 1. Comme tr(M) = x1y1 + . . .+ xnyn, le polynôme caractéristique de M est

χM (x) = (−x)n−1(x1y1 + . . .+ xnyn − x),

et le déterminant demandé est ∆n = χM (−1) = x1y1 + . . .+ xnyn + 1.

Exercice 34.1) det(M + (t)) est une fonction affine de t.2) |λ+ a| = k|λ+ b| et λ = x+ iy ⇒ (1 − k2)(x2 + y2) + . . . = 0, équation d’un cercle si |a| 6= |b|.

Exercice 35.1) a1 . . . an + b1a2 . . . an + a1b2a3 . . . an + . . .+ a1 . . . an−1bn.3) χA(t)∏n

i=1(ai − t) = 1 +∑n

i=1bi

ai − tchange de signe entre deux ai successifs et dans l’un des intervalles

] − ∞, a1[ ou ]an,+∞[ donc χA admet n racines distinctes.4) Oui. Supposons par exemple a1 = . . . = ap < ap+1 < . . . < an : La question précédente met en

évidence n−p racines simples de χA entre les ai et ±∞, et a1 est aussi racine d’ordre p− 1 de χA. Orles p premières lignes de A−a1I sont égales donc rg(A−a1I) 6 n−p+1 et dim(Ker(A−a1I)) > p−1d’où la diagonalisabilité. Le cas où il y a plusieurs groupes de ai égaux se traite de même.


Exercice 36.χB(X) = (−X)n

det(A)χA

(1X

), χC(X2) = χA(X)χA(−X).

Exercice 39.a ⇔ b : thm du rang.c ⇔ d : immédiat.c ⇒ b : si AX = XB alors pour tout polynôme P on a P (A)X = XP (B).c ⇒ b : prendre U vecteur propre de A, V vecteur propre de tB associés à la même valeur propre etX = U tV .

Exercice 41.On suppose que inversible signifie inversible dans M2(Z), c’est-à dire que le déterminant vaut ±1.det(A + kB) est un polynôme en k de degré inférieur ou égal à 2 prenant la même valeur, 1 ou −1 entrois points distincts ; il est constant.

Exercice 42.Somme des valeurs propres = n.

Exercice 43.Soit K = Z/pZ. Il faut en fait prouver que pour toute matrice A ∈ Mn(K), on a tr(Ap) = tr(A).Remarquer qu’on n’a pas forcément Ap = A dans Mn(K), c’est faux, entre autres, si A est nilpotentenon nulle. Soit X une indéterminée sur K. On a dans l’anneau Mn(K[X]) : (A−XIn)p = Ap −XpIn,d’où, en prenant les déterminants : χAp(Xp) = χA(X)p = χA(Xp) et on égale les coefficients de X(n−1)p.

Exercice 44.1) µ divise χ par Cayley-Hamilton et a les mêmes racines, les valeurs propres de M .2) a) Pour P (X) = Xp c’est la factorisation bien connue de ap − bp ; pour P quelconque additionner les

factorisations pour chaque monôme.b) Prendre P = µ et calculer les déterminants.

Exercice 45.1) Trigonaliser.2) (a)=⇒(b) : B a même polynôme caractéristique que la matrice nulle, (−X)n, donc (−B)n = 0. De

plus, pour M quelconque, tr((AM + B)2) = tr((AM)2), d’où 0 = tr(AMB + BAM) = 2 tr(BAM).Ceci entraîne classiquement BA = 0.

(b)=⇒(a) : pour λ 6= 0, la matrice B − λI est inversible et on a pour M ∈ Mn(C),

det(AM +B − λI) = det(B − λI) det((B − λI)−1AM + I)= (−λ)n det((B − λI)−1AM + I)= det(−λ(B − λI)−1AM − λI).

De plus, (B−λI)A = −λA, donc A = −λ(B−λI)−1A et il vient det(AM +B−λI) = det(AM −λI)pour tout λ 6= 0, donc aussi pour λ = 0 par caractère polynomial en λ des deux membres.

Exercice 46.a = b ou a, b non nuls.

Exercice 49.2) (A− xI)( tA− xI) = (x2 − 2x+ 4)I, χA(x) = x2 − 2x+ 4.3) tA = 2I − A donc (A − xI)((2 − x)I − A) = (x2 − 2x + 4)I. En prenant pour x une des racines du

polynôme x2 − 2x+ 4, on obtient un polynôme scindé à racines simples annulant A.

Exercice 51.A est diagonalisable car A2 = I. eA = (ch 1)I + (sh 1)A.


Exercice 52.Si Im u ⊂ Keru alors u2 = 0 donc 0 est l’unique valeur propre de u et u 6= 0 donc u n’est pas diagonalisable.Si Im u 6⊂ Keru alors Im u∩Keru = {0} et donc Im u+Keru = E. Or Im u et Keru sont des sous-espacespropres de u donc u est diagonalisable.

Exercice 54.1) polynôme annulateur simple.2) Non, ctrex = B nilpotent.

Exercice 55.X4 = 0 donc X est nilpotente et son indice est strictement supérieur à 2 ; il n’y a pas de solution.

Exercice 56.sp(p) ⊂ {−1, 0, 1}. p est diagonalisable si et seulement s’il annule un polynôme scindé à racines simples.

Exercice 57.A est C-diagonalisable et les valeurs propres sont α > 0 et β, β avec la même multiplicité.

Exercice 59.A est diagonalisable et a n valeurs propres distinctes, sinon il existerait un polynôme annulateur de degréinférieur ou égal à n− 1. Ces racines sont les n racines n-èmes de 1 et leur somme est nulle.

Exercice 60.A est C-diagonalisable (polynôme annulateur à racines simples) ⇒ dim(E1) + dim(E−1) = n. Lesdimensions sont conservées sur R.

Exercice 62.Les fi sont des projecteurs commutant deux à deux, ils sont simultanément diagonalisables. Soit e1 telque f1(e1) = e1 : fi(e1) = fi ◦ f1(e1) = 0 si i > 2 donc les supports des restrictions des fi à une basepropre commnue sont deux à deux disjoints non vides, ce sont des singletons.

Exercice 63.Soit P un polynôme tel que P (λ) = 1 et P (µ) = 0 pour toutes les autres valeurs propres, µ, de f . Alorspλ = P (f).

Exercice 64.3) sp(uk) ⊂ {i,−i} d’après la relation u2

k = − idE . Si le spectre était réduit à un élément alors uk seraitscalaire car diagonalisable, mais ceci est incompatible avec la relation d’anticommutation entre uk etu`. Donc sp(uk) = {i,−i}.

4) u` avec ` 6= k échange les sous-espaces propres de uk donc ils ont même dimension n/2.

Exercice 67.

1) Calcul Maple : h =(c+ 4 b a

0 c+ 2 b0 0 c

), v = ku.

2) c) uk ◦ h− h ◦ uk = −2kuk, P (u) ◦ h− h ◦ P (u) = −2u ◦ P ′(u).d) Si P (u) = 0 alors u◦P ′(u) = 0 donc P (polynôme minimal) divise XP ′ ce qui implique P (X) = Xk

pour un certain k.

Exercice 69.Aucun polynôme constant ne convient. Si P est non constant et α est une racine de P alors en considérantA = αIn on obtient une première condition nécessaire : nα ∈ Z. Si P a une autre racine β alors enprenant A = diag(α, . . . , α, β) on obtient une deuxième condition nécessaire : β − α ∈ Z. Ainsi lespolynômes P cherchés ont la propriété suivante : deg(P ) > 1 et il existe u ∈ Z tel que toutes les racinesde P sont congrues à u/n modulo 1. Cette condition est clairement suffisante.

Exercice 70.On écrit C = PJQ où P,Q sont inversibles et J est la matrice canonique de rang r.Alors (P−1AP )J = J(QBQ−1) donc P−1AP et QBQ−1 sont triangulaires par blocs avec le même blocdiagonal r × r, ce qui prouve que χA et χB ont un facteur de degré r en commun.


Exercice 71.Le polynôme s’écrit (X2 + 1)(X2 +X + 1). Il n’a donc pas de racine réelle. Or tout élément de M5(R)possède au moins une valeur propre et cette valeur propre devrait être également racine du polynômeminimal. Par conséquent la réponse est non.

Exercice 72.1) Que c’est un isomorphisme (et réciproquement).2) Soit Q(X) = P (X)/X. On a u◦Q(u) = 0 et X,Q sont premiers entre eux, d’où E = Keru⊕KerQ(u)

et Im u ⊂ KerQ(u). On conclut avec le théorème du rang.3) Même méthode.

Exercice 73.1) Toute valeur propre de f doit être racine de P , d’où sp(f) = ∅. En dimension impaire, χf est de

degré impair donc admet au moins une racine réelle ; c’est absurde.2) Immédiat.3) La matrice de la restriction de f à Hx dans la base (y, x) est A =

(0 1

−β −α

). Supposons avoir trouvé

un sev F stable par f et une base de F dans laquelle la matrice de la restriction de f est diagonalepar blocs avec des blocs diagonaux égaux à A. Si F = E le problème est résolu. Sinon, on choisitx ∈ E \ F et on considère le plan Hx. Il est en somme directe avec F car F ∩ Hx est un sev nontrivial de Hx stable par f donc de dimension impaire. Le sev F ⊕Hx vérifie la même propriété que F(stable par f et la restriction est diagonalisable par blocs avec des blocs diagonaux égaux à A). Onpeut donc continuer jusqu’à atteindre E.

Exercice 74.Toute valeur propre de A est racine de P .

Exercice 75.On écrit A = In + mB avec B ∈ Mn(Z). Les valeurs propres de B sont de la forme e2ikπ/p − 1

mavec

k ∈ Z ; elles ont un module inférieur ou égal à 2/m < 1. Le produit des valeurs propres non nulles,s’il y en a, est au signe près le coefficient de plus bas degré de χB donc un entier. On en déduit quesp(B) ⊂ {0} et B est C-diagonalisable, comme A, d’où B = 0 et A = In.

Exercice 77.2) a) Pour p ∈ K[X] on a P (Φu) = v 7→ v ◦ P (u) donc u et Φu ont mêmes polynômes annulateurs.

b) (λ ∈ sp(Φu)) ⇔ (∃ v 6= 0 tq v ◦ (u − λ idE) = 0) ⇔ (u − λ idE n’est pas surjectif) ⇔ (λ ∈ sp(u)).Ainsi Φu et u ont même spectre. Si λ ∈ sp(u) et v ∈ L(E) on a :

(Φu(v) = λv) ⇔ (Im(u− λ idE) ⊂ Ker v)

donc Ker(Φu − λ idL(E)) est isomorphe à L(H,E) où H est un supplémentaire de Im(u − λ idE).On en déduit : dim(Ker(Φu − λ idL(E))) = dim(E) dim(Ker(u− λ idE).

Exercice 78.λ = 1 : Dir(p) ⊂ Ker f , Im f ⊂ Base(p).λ = 0 : f(Base(p)) ⊂ Dir(p).

Exercice 80.1) Pour P ∈ K[X] on a P (u) ◦ v − v ◦ P (u) = P ′(u).

Exercice 81.3) K = Z/2Z, Mat(f) =

(0 11 0

), Mat(g) =

(0 00 1

).


Exercice 82.Supposons qu’il existe g ∈ L(E) tel que rg(f ◦ g − g ◦ f) = 1. Alors il existe ` ∈ E∗ et a ∈ E tous deuxnon nuls tels que :

∀x ∈ E, f(g(x)) − g(f(x)) = `(x)a.

D’où par récurrence sur k :

∀x ∈ E, fk(g(x)) − g(fk(x)) = `(x)fk−1(a) + `(f(x))fk−2(a) + . . .+ `(fk−1(x))a.

Comme χf est irréductible, le sous-espace f -monogène engendré par a est égal à E, soit : (a, . . . , fn−1(a))est une base de E avec n = dimE et fn(a) = α0a+ . . .+ αn−1f

n−1(a).Alors µf (f) = fn − αn−1f

n−1 − . . .− α0f0 = 0 et :

∀x ∈ E, 0 = µf (f)(g(x)) − g(µf (f)(x)) = `(x)fn−1(a) + . . .+ `(fn−1(x) − . . .− α1x)a.

Ceci implique `(x) = 0 pour tout x, en contradiction avec l’hypothèse rg(f ◦ g − g ◦ f) = 1.

Exercice 83.1) Oui, les applications u 7→ p ◦ u et u 7→ u ◦ p le sont (ce sont des projecteurs) et elles commutent.2) Soit B une base de E obtenue par concaténation d’une base de Ker p et d’une base de Im p.

Si MatB(u) =(A BC D

)alors MatB(ϕ(u)) =

(A B/2C/2 D

), d’où sp(ϕ) ⊂ {0, 1

2 , 1}, d0 = (n−r)2, d1 = r2

et d1/2 = 2r(n− r).

Exercice 84.Si D est diagonalisable alors les applications X 7→ DX et X 7→ XD le sont (annulateur scindé à racinessimples) et elles commutent, donc elles sont simultanément diagonalisables et leur différence, ϕD, estaussi diagonalisable.Pour la réciproque, on commence par constater que si P est un polynôme quelconque, alors :

∀X ∈ Mn(C), P (ϕD)(X) =deg(P )∑

k=0(−1)kDkX

P (k)(D)k!

=deg(P )∑

k=0(−1)kP

(k)(D)k!

XDk.

(formule du binôme pour P = Xm et linéarité de chaque membre par rapport à P pour P quelconque).Supposons ϕD diagonalisable, prenons P annulateur scindé à racines simples de ϕD, X = U tV où U estun vecteur propre de D associé à une certaine valeur propre λ et V un vecteur arbitraire. Donc :

0 =deg(P )∑

k=0(−1)kλkU tV

P (k)(D)k!

= U tV

deg(P )∑k=0

(−1)kλkP(k)(D)k!

= U tV P (D − λI).

Comme U 6= 0, ceci implique tV P (D − λI) = 0 pour tout V , donc P (D − λI) = 0. Ainsi D − λI estdiagonalisable et D itou.

Exercice 86.1) 1 est valeur propre double, d1 = 1.

2)(

111

),(

212

).

3)(

100

).

4)(

1 0 60 0 −40 0 1

).

5) X =(

(6αt+ γ)et + 2β(6αt+ γ + 3α)et + β(6αt+ γ − α)et + 2β

).


Exercice 88.1) A ∼ diag(1, α, α−1) où α est une racine primitive 7ème de 1,

A ∼ diag(α, α10, α−11) où α est une racine primitive 37ème de 1.2) pas de solution.3) vp = 0 ou 1.

Exercice 90.On se ramène à λ = 0 en remplaçant f par f − λ id. Im f est de dimension 1 stable par f donc f| Im f estune homothétie, c’est l’application nulle vu sp(f). On en déduit Im f ⊂ Ker f . Soit e2 ∈ Im f \ {0}, e3un antécédant de e2 par f et e1 ∈ Ker f indépendant de e2. Alors B = (e1, e2, e3) convient.

Exercice 91.Soit f un endomorphisme d’un ev E ayant A pour matrice. On doit trouver g ∈ GL(E) tel quef ◦ g = 2g ◦ f . Construction de g par récurrence sur n = dimE.

n 6 1 : on a f = 0 donc g = idE convient.

0, . . . , n− 1 ⇒ n : f est non surjectif donc l’hypothèse de récurrence s’applique à f| Im(f).Soit g1 ∈ GL(Im(f)) tel que f(g1(x)) = 2g1(f(x)) pour tout x ∈ Im(f). Soit E = H ⊕ I ⊕ K ⊕ Lavec H = Im(f) ∩ Ker(f), H ⊕ I = Im(f) et H ⊕ K = Ker(f). La restriction de f à I ⊕ L induit unisomorphisme sur Im(f), on note ϕ l’isomorphisme réciproque. Soit g ∈ L(E) définie par :

g(h+ i+ k + `) = g1(h+ i) + k + 2ϕ(g1(f(`))).

On vérifie facilement que f ◦g = 2g ◦f et il reste à prouver que g est injective. Si x = h+ i+k+` ∈ Ker galors g(f(x)) = g1(f(i+ `)) = 0 donc i+ ` ∈ Ker f = H ⊕K soit i = ` = 0. Il reste g1(h) + k = 0 ce quiimplique h = k = 0 car g1(h) ∈ Im f = H ⊕ I.

Remarque : la démonstration passe à tout corps de caractéristique différente de 2.

Exercice 92.1) A2k = I, A2k+1 = A.

Exercice 93.3) αn = − 1

3 + 2n

4 + (−2)n

12 , βn = 2n−(−2)n

4 , γn = 43 − 2n

2 + (−2)n

6 .

Exercice 94.

2) P =(

1 1 11 2 31 4 9

), D = diag(1, 2, 3).

2un = (6 − 6.2n + 2.3n)u0 + (−5 + 8.2n − 3.3n)u1 + (1 − 2.2n + 3n)u2.

Exercice 95.1) Le polynôme minimal de f est de degré supérieur ou égal à n et n’a pas de diviseurs non triviaux.

Donc dimE = 1 et f est une homothétie si K = C. Si K = R on peut aussi avoir dimE = 2 et f n’apas de valeurs propres réelles.

Exercice 96.1) Diagonaliser tM ⇒ yn − 3

2xn = cste.2) yn − xn = 2n(y0 − x0) donc si y0 6= x0 alors Mn → ∞ sinon la suite est constante.3) 3

2 si y0 6= x0.

Exercice 98.2) X = 1

2

(a+ b b− ab− a a+ b

), Y = 1

b

(1 11 1

)ou l’inverse.

Exercice 99.

M = ±

(3 0 0

1/5 ±2 07/30 ±1/3 ±1

)ou M = ±

(3 0 01 ∓2 0

1/2 ∓1 ±1

).


Exercice 100.

A = PDP−1 avec P =(

1 1 02 0 13 −4 4

)et D = diag(0, 1, 1). On prend B = PMP−1 avec M =

(0 0 00 0 10 1 0

).

Exercice 101.1) sp(M) = {1,

√6 − 1,

√6 + 1}, M est diagonalisable et son commutant est l’ensemble des polynômes

en M : aI + bM + cM2, a, b, c ∈ R.2) M est cyclique.

Exercice 102.1) Par similitude on se ramène aux cas : A =

(λ 00 λ

), C(A) = M2(C) ou A =

(λ 00 µ

), C(A) = C[A] ou

A =(λ 10 λ

), C(A) = C[A].

2) Si A est diagonalisable de valeurs propres λi avec les multiplicités ni alors dim(C(A)) =∑n2

i > n.Dans le cas général, soit (Ak) une suite de matrices diagonalisables convergeant vers A et (C1

k , . . . , Cnk )

une suite de n-uplets de matrices commutant avec Ak telles que (C1k , . . . , C

nk ) est une famille or-

thonormale pour un produit scalaire quelconque choisi sur Mn(C). Par compacité il existe unesous-suite convergente, donc n matrices Ci

∞ formant une famille orthonormale et commutant avec Ad’où dim(C(A)) > n.

Exercice 103.Soit dn(i, j) le nombre de chemins de longueur n allant du sommet i au sommet j. j admet trois voisinsk1, k2, k3 et l’on a : dn(i, j) = dn−1(i, k1) + dn−1(i, k2) + dn−1(i, k3). On numérote les sommets de 0 à 7de sorte que les voisins du sommet i sont les sommets i+ 1 mod 8, i+ 2 mod 8 et i+ 4 mod 8. Le vecteurdn = (dn(0, 0), . . . , dn(0, 7)) vérifie la relation de récurrence dn = Adn−1 où A est la matrice suivante(. désigne 0) :

A =

. 1 1 . 1 . . .1 . . 1 . 1 . .1 . . 1 . . 1 .. 1 1 . . . . 11 . . . . 1 1 .. 1 . . 1 . . 1. . 1 . 1 . . 1. . . 1 . 1 1 .

=(B I4I4 B

)= P

(B + I4 0

0 B − I4

)P−1

avec

B =

. 1 1 .1 . . 11 . . 1. 1 1 .

et P =(I4 I4I4 −I4

).

De même,B ± I4 =

(C ± I2 I2I2 C ± I2

)= Q

(C ± I2 + I2 0

0 C ± I2 − I2

)Q−1

et enfin,C ± I2 ± I2 =

(±I1 ± I1 I1

I1 ±I1 ± I1

)= R

(±I1 ± I1 + I1 0

0 ±I1 ± I1 − I1

)R−1.

Donc A est diagonalisable de valeurs propres −3,−1, 1, 3 et on peut certainement terminer les calculspour obtenir dn = And0.

Exercice 105.2) Par récurrence pour P = Xk, puis par linéarité.3) Si M est diagonalisable, on prend P = µM : donc µA divise P et XP ′ et P est scindé à racines

simples. La seule racine simple possible est 0, d’où A = 0.

Exercice 106.S’inspirer du cas n = 1. Soit P =

(I II −I

): P−1AP =

(2M 00 0

)est diagonalisable, donc A aussi.


Exercice 107.Eλ(M) =

{(λYY

)tq AY = λ2Y

}.

Exercice 110.Calcul du polynôme caractéristique de B par opérations en blocs. On obtient

χB(x) = det(x2I − 2xA−A2) = (−1)nχA

( x

1 +√

2

)χA

( x

1 −√

2

)donc

sp(B) = {(1 +√

2)λ, λ ∈ sp(A)} ∪ {(1 −√

2)λ, λ ∈ sp(A)}.

Exercice 111.

En prenant P =(

I2 I2−I2 I2

)on trouve P−1MP =

a2 − ab ab− b2 0 0ab− b2 a2 − ab 0 0

0 0 a2 + ab b2 + ab0 0 b2 + ab a2 + ab

=(M1 00 M2

).

En prenant P1 =(

1 1−1 1

)on a P−1

1 M1P1 =(

(a− b)2 00 a2 − b2

)et P−1

1 M2P1 =(a2 − b2 0

0 (a+ b)2

).

Ainsi, sp(A) = {(a + b)2, (a − b)2, (a + b)(a − b)}, donc l’ensemble cherché est la boule unité ouvertepour ‖ ‖1.

Exercice 114.Si P (0) 6= 0 alors f est bijective. Si P (0) = 0 alors f2 ◦ qqch = −P ′(0)f ⇒ Ker f2 = Ker f .

Exercice 116.Soit µ le polynôme minimal de u et D l’ensemble des diviseurs unitaires de µ. Pour P ∈ K[X] et d = P ∧µon a facilement Ker(P (u)) = Ker(d(u)) et Im(P (u)) = Im(d(u)). Ceci montre déjà que K et I sont finis.

De plus, si d ∈ D alors l’annulateur minimal de u| Im(d(u)) est µ/d donc l’application d 7→ Im(d(u))est injective sur D et card(I) = card(D). De même, l’annulateur minimal de u| Ker(d(u)) est d carKer(d(u)) ⊃ Im( µ

d (u)) et d est l’annulateur minimal de u| Im(µ/d(u)) donc l’application d 7→ Ker(d(u)) estinjective sur D et card(K) = card(D).

Exercice 117.En appliquant le théorème du rang à f| Ker f2 , on a : dim(Ker f2) = dim(Ker f) + dim(f(Ker f2)), etf(Ker f2) ⊂ Ker f , donc f(Ker f2) = Ker f . Soit Gi = Ker gi. Montrons que g(Gi+1) = Gi pourtout i ∈ [[0, k]] : si x ∈ Gi+1 alors gi(g(x)) = gi+1(x) = 0 donc g(x) ∈ Gi. Réciproquement, siy ∈ Gi alors y ∈ Gk = f(G2k), donc y a un antécédant x par f , cet antécédant appartient à Gi+k, ety = g(gk−1(x)) ∈ g(Gi+1).On en déduit, avec le théorème du rang appliqué à g|Gi+1 , que dim(Gi+1) = dim(Gi) + dim(Ker g) pourtout i ∈ [[0, k]], d’où d = dim(Gk) = dim(G0) + k dim(Ker g) = k dim(Ker g).

Exercice 121.1) Valeurs propres : 1, j, j2. sev stables : {0}, 〈e3〉, 〈e1, e2〉 et R3.

2) AB = BA ⇒ ϕB(e3) = λe3, tAtB = tBtA ⇒ ϕtB(e3) = λe3, d’où B =(a+ µ a 0−3a −2a+ µ 0

0 0 λ

).

Exercice 122.Soit ϕ(x, y, z) = x+ 2y + 3z. f conserve la surface de niveau ϕ = 1 donc par linéarité ϕ ◦ f = ϕ et ϕ estvecteur propre de tf .


Exercice 123.Si χu est irréductible, pour x 6= 0 le polynôme minimal de x en u est égal à χu donc le sous-espacecyclique engendré par x est égal à E et il n’y a pas de sous-espace stable non trivial.

Si seuls {0} et E sont stables, soit x 6= 0. Le sous-espace cyclique engendré par x est égal à E doncl’annulateur minimal de u en x est égal à χu. Soit P un diviseur non trivial de χu et y = P (u)(x) :l’annulateur minimal de u en y est χu/P , absurde.

Exercice 125.Si E est de dimension finie, soit F un hyperplan de E, 〈e〉 un supplémentaire stable etH un supplémentairede 〈e〉 stable. Si K est un sev de H, alors K admet un supplémentaire K ′ dans E stable et H ∩ K ′ estun sev de H stable, en somme directe avec K. K ′ 6⊂H car K ⊂ H et K ⊕K ′ = E donc K ′ +H = E etdim(H ∩K ′) = dim(H) + dim(K ′) − dim(E) = dim(H) − dim(K) soit K ⊕ (H ∩K ′) = H. f|H vérifie lamême propriété que f et on obtient par récurrence que f est diagonalisable.

Réciproquement, soit f diagonalisable, F un sev de E et (e1, . . . , en) une base propre pour f . On montreque F admet un supplémentaire stable par récurrence sur codim(F ) : si F = E alors {0} convient etsi F 6= E alors il existe i tel que ei /∈ F d’où F ⊕ 〈ei〉 est un sur-espace strict de F , admettant unsupplémentaire G stable, d’où G⊕ 〈ei〉 est supplémentaire de F stable.

Cas E de dimension infinie : ???

Exercice 126.sp(f) = {0, 1, 2} donc f est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de dimension 1. Comme larestriction d’un diagonalisable à un sous-espace stable est encore diagonalisable, les sous-espaces stablespar f sont les huit sous-sommes de E0 ⊕ E1 ⊕ E2.

Exercice 127.La condition est nécessaire : prendre une base propre pour f et considérer les hyperplans engendrés parn− 1 de ces vecteurs propres. On démontre sa suffisance par récurrence sur n :

Le cas n = 1 est trivial.

Dans le cas général, il résulte de la formule de Grassman que si F et G sont deux sous-espaces de Eon a codim(F ∩ G) 6 codim(F ) + codim(G) où codim(X) = dim(E) − dim(X). Puis, par itération :codim(H1 ∩ . . . ∩Hp) 6 p pour tous hyperplans H1, . . . , Hp. En conséquence dim(H1 ∩ . . . ∩Hn−1) > 1et le fait que ce sous-espace ait une intersection avec Hn nulle implique dim(H1 ∩ . . .∩Hn−1) 6 1. AinsiH1 ∩ . . .∩Hn−1 est une droite stable par f et Hn est un hyperplan lui aussi stable par f et supplémentairede H1 ∩ . . . ∩ Hn−1. Les sous-espaces H ′

i = Hi ∩ Hn (i 6 n − 1) sont des hyperplans de Hn (s’il y ena un égal à Hn, l’intersection complète ne peut être nulle vu sa codimension). Ils sont stables par f etleur intersection est nulle. Par hypothèse de récurrence, il existe une base de Hn propre pour f et on lacomplète avec un vecteur non nul dans H1 ∩ . . . ∩Hn−1.

Exercice 130.0 est valeur propre, se placer dans un hyperplan stable et récurer.

Exercice 131.Non. Prendre Mat(un) =

(0 10 1/n

).

Exercice 132.Trigonaliser fortement M .

Exercice 133.Non, il existe une matrice ayant pour polynôme caractéristique 1 +

∏a∈K(X − a), non scindé.


Exercice 134.Soit g ∈ G et λ ∈ C une valeur propre de g où g est considérée comme une matrice complexe. La suite(gk)k∈Z est à valeurs dans G, donc est bornée dans Mn(R) et dans Mn(C). Il en résulte que la suite(λk)k∈Z est bornée dans C, soit : |λ| = 1. De même, (g − id)k −→ 0 quand k → +∞ dans Mn(R) puisdans Mn(C), donc (λ − 1)k −→ 0, soit : |λ − 1| < 1 et plus généralement |λp − 1| < 1 pour tout p ∈ N.Ceci implique λ = 1. Ainsi 1 est l’unique valeur propre de g. On écrit alors g = id +h avec h nilpotente,d’où gk = id +kh+

(k2)h2 + . . .+

(k

n−1)hn−1 est un polynôme en k à valeurs bornées quand k décrit N.

Ceci implique h = 0 et finalement g = id.

Exercice 135.Soit V ce sous-espace. V contient toutes les matrices Eij de la base canonique de Mn(K) telles quei 6= j, donc toutes les matrices à diagonale nulle. Par ailleurs V est inclus dans l’hyperplan constitué desmatrices à trace nulle. Reste donc à étudier le cas des matrices diagonales à trace nulle. Ces matricessont engendrées par les matrices E11 − Ejj pour j ∈ [[2, n]].

On a(

1 00 −1

)=(

1 1−1 −1

)−(

0 10 0

)+(

0 01 0

)et ces trois matrices sont nilpotentes, donc toute matrice

E11 − Ejj est combinaison linéaire de nilpotentes et V est l’ensemble des matrices de trace nulle.

Exercice 136.La propriété est immédiate si n = 1 ou n = 2. On procède alors par récurrence en supposant la propriétévraie pour tout k < n. Soient S et R vérifiant les hypothèses pour n :on a Cn = Ker(R− In) ⊕ Ker(R2 +R+ In) et ces deux sous-espaces sont stables par R et S. En effet, lastabilité parR est évidente et siRX = X alorsRSX = SR−1X = SX. De même, si (R2+R+In+1)X = 0,alors (R2 +R+ In)SX = R2SX +RSX + SX = SRX + SR2X + SX = S(X +RX +R2X) = 0.

Si aucun de ces sous-espaces n’est égal à Cn alors on peut appliquer l’hypothèse de récurrence auxendomorphismes induits par les restrictions de R et de S.

Si Ker(R− In) = Cn alors R = In et R,S sont simultanément diagonalisables.

Si Ker(R2 +R+ In) = Cn, alors 0 = R2 +R+ In = (R− jIn)(R− j2In). Soit X tel que RX = jX. AlorsRSX = SR2X = S(−R−In)X = S(−j−1)X = j2SX. On en déduit S induit un isomorphisme de Ej(R)sur Ej2(R) (on savait que ces deux sous-espaces étaient de même dimension car R est semblable à R−1.On prend donc (X1, X2, . . . , Xq) une base de Ej(R). Alors (X1, SX1, . . . , Xq, SXq) est une base danslaquelle les matrices des endomorphismes représentés par R et S dans la base canonique sont diagonalespar blocs, chaque bloc étant de la forme

(j 00 j2

)pour R et

(0 11 0

)pour S.

Exercice 137.1) La suite est décroissante minorée, donc elle converge.2) On écrit χf = (−1)n

∏pk=1(X − λk)mk . Les théorèmes de Cayley-Hamilton et de décomposition des

noyaux donnent V =⊕p

k=1 Ker(f − λk id)mk . La matrice de f dans une base adaptée à cette sommedirecte est diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme λkI +Nk, avec Nk nilpotente. On voitalors que r(f) = d−m0, m0 multiplicité de la valeur propre 0 (éventuellement m0 = 0). Si g commuteavec f alors les sous-espaces Ker(f − λk id)mk sont stables par g. On considère w l’endomorphismede Ker fm0 induit par g. On a Kerfm0 =

⊕qk=1 Ker(w − µk id)nk . Chacun de ces sous-espaces est

stable par f , on fait une trigonalisation forte de la restriction de f . La matrice de f + g dans la baseainsi construite sera diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme µkI + Nk. On rajoute doncau plus r(g) coefficients diagonaux non nuls. On en déduit que r(f + g) 6 r(f) + r(g).

3) On a vu à la question précédente que r(f) = d−m0.


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