Mathématiques Nombre d'Or Φ (PHI ) 1,6180339887... avec Formules Mathématiques
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Φ DEFINITION Le nombre d'or (1.618...) est la valeur d'un rapport de deux grandeurs homogènes, il est déterminé par une proportion. Il existe un nombre d'or, nommé Phi, qui se trouve présent dans toute chose... Véritable clef, cachée au cœur même de l'Univers, il demeure un merveilleux témoignage d'harmonie, de beauté, et de Vie... Les proportions des plantes, des êtres humains, des animaux obéissent tous à la loi de Phi. Et à leur tour, les hommes s'en inspirèrent pour réaliser leurs propres œuvres que ce soit en peinture, sculpture, ou architecture... http://cosmobranche.free.fr/ChiffresMagiques.htm Le nombre d'or est la valeur d'un rapport de deux grandeurs homogènes, il est déterminé par une proportion. PHI = (1+√5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887... SOLUTION D'EQUATION 1
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Φ
DEFINITION
Le nombre d'or (1.618...) est la valeur d'un rapport de deux grandeurs homogènes, il est déterminé par une proportion.
Il existe un nombre d'or, nommé Phi, qui se trouve présent dans toute chose... Véritable clef, cachée au cœur même de l'Univers, il demeure un merveilleux témoignage d'harmonie, de beauté, et de Vie...
Les proportions des plantes, des êtres humains, des animaux obéissent tous à la loi de Phi.
Et à leur tour, les hommes s'en inspirèrent pour réaliser leurs propres œuvres que ce soit en peinture, sculpture, ou architecture...
http://cosmobranche.free.fr/ChiffresMagiques.htm
Le nombre d'or est la valeur d'un rapport de deux grandeurs homogènes, il est déterminé par une proportion.
PHI = (1+√5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887...
SOLUTION D'EQUATION
Le nombre d'or (choix de phi en hommage à Phidias qui l'utilisa dans la construction du Parthénon d'Athènes) est le seul nombre qui:
1) Lorsqu'on lui ajoute l'unité, il devient son carré:
2) Lorsqu'on lui soustrait l'unité, il devient son inverse
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LES PUISSANCES DE PHI:
Il est possible de calculer les puissances de phi en utilisant la propriété ci-dessous dans laquelle on trouve une suite de nombre particulière: 1;2;3;5;... qui est la suite de
Fibonacci:
http://www.chateau-de-mezerville.org/curiosites-geometriques/decouverte_nombre-dor.php
CALCUL DE PHI PAR RACINE CONTINUE
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CALCUL DE PHI PAR FRACTION CONTINUE
http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/
rectangle_dor.htm#zero
LA SUITE DE FIBONACCI
Léonard de Pise, dit Fibonacci, créa une série de nombres aux propriétés remarquables. Cette séquence avait été mise en évidence en 1202 dans un problème mathématique appelé "Le monsieur des lapins".
- Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque
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mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence?
La séquence de nombres qu'il fallait alors trouver était : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55, 89, 144, 233, ...Chacun de ces chiffres correspond à la somme des deux
précédents : 1+1=2 1+2=32+3=5 3+5=8 5+8=13... Bizarrement, il se trouve que le quotient
entre chaque chiffres adjacents tend progressivement vers Phi (233÷144 = 1,61805... 610÷377 =
1,61803...) Notons également que Phi est le seul nombre qui, lorsqu'on lui soustrait une unité, devient son propre inverse.
Le nombre d'or est présent dans une suite de Fibonacci quelque soit le nombre de départ.
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DEFINITION GEOMETRIQUE
Euclide (-325 à -265) appela partage en moyenne et extrême raison la fameuse section qui
intervient dans la construction du pentagone régulier(Livre VI, définition 3) :« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit »
On appelle division en moyenne et extrême raison la division d'un segment AB par un point intérieur P tel que AB/AP=AP/PB. On dit encore que P est la section dorée du segment AB.
Remarquons aussi que AP est la moyenne géométrique de AB et de PB. On peut vérifier que cette condition impose que les rapports AB/AP et AP/PB soient égaux au nombre d'or. On dit souvent que pour l'oeil, la division en moyenne et extrême raison est la plus agréable. Ceci rend le nombre d'or très important en architecture.
P↓A|———————————————————————————————————————————————————————————————|B
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./n/nbor.html
CONSTRUCTION GEOMETRIQUE DU NOMBRE D'OR
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http://www.chateau-de-mezerville.org/curiosites-geometriques/nombre-d-or-geometrie.php
http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#rencontre
LE TRIANGLE D'OR
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=135
LE RECTANGLE D'ORLe format d'un rectangle est le rapport de sa longueur sur sa
largeur. Un rectangle d'or est proportionné d'après le nombre d'or phi soit environ 1,618.Voici les formats les plus utilisés:
Format16/9 : TéléviseurFormat 1,6= nombre d'or (certains tableaux, carte d'identité ... )Format 36/24 : diapositives, négatifs de photosFormat racine de 2 : format commercial des feuilles habituelles A0,
A1, A2, A3, A4
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Construisons une suite de rectangles définie de la manière suivante. On part d'un rectangle quelconque. Sur son grand côté on construit un carré; ensuite en tournant toujours dans le même sens, on accole un carré sur le grand côté du rectangle obtenu à l'étape précédente; on poursuit indéfiniment l'opération. Que peut-on dire des figures obtenues?
Si a0 et a1 sont les côtés du rectangle initial, les côtés du deuxième rectangle seront a1 et a2 = a1 + a0; de proche en proche on obtient an+1 = ann-1. En particulier si a0 = a1 = 1 on reconnaît la célèbre suite de Fibonnacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
Quel que soit le rectangle de départ, à une étape suffisamment grande de la construction on ne pourra plus "distinguer" celui-ci; le rectangle obtenu possédera une propriété particulière: si on lui enlève un carré construit sur son petit côté, il reste un rectangle semblable au rectangle + a précédent.
http://xavier.hubaut.info/coursmath/var/rectangl.htm
LA SPIRALE D'OR
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Pour dessiner une spirale d’or,
on construit un rectangle d’or dans lequel on trace un grand carré qui aura pour côté la largeur du rectangle. On réitère cette opération dans le rectangle d'or restant, et ainsi de suite jusqu'au point limite O.
Nous pouvons maintenant tracer cette fameuse spirale logarithmique en dessinant des quarts de cercle dans les carrés...
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- Le coquillage du Nautile grandit en
spirale, en suivant la proportion divine. Il se trouve en effet que le rapport entre le diamètre de chaque spirale formant sa coque, et le diamètre de la suivante est égale à Phi...
- Si l'on observe comment les fleurs de tournesol sont disposées dans la capitule qui les regroupe, on constate que 21 spirales s'enroulent dans le sens des aiguilles d'une montre et 34 dans l'autre sens. Deux nombres de Fibonacci consécutifs une nouvelle fois. Cette proportion divine s'applique également pour les pommes de pins, les coquillages, la disposition des feuilles ou des pétales sur certaines plantes...
Dans une ruche, si l'on divise aussi le nombre des ouvrières par celui des faux bourdons on obtient Phi...
Et il semblerait même que les milliers de lettres T, C, A, G, qui composent l’ADN s’autoorganiseraient selon les proportions du nombre d’or...
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LE PENTAGONE
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http://www.chateau-de-mezerville.org/curiosites-geometriques/nombre-d-or-geometrie.php
http://expo.ifrance.com/lenombre/pentag.htm
Φ
Voici sa valeur : φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,61803
Φ + 1 = Φ2
Φ - 1 = 1/Φ
π - Φ2 = 0,5236 (Coudée)
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1.618033988 749894848 204586834 365638117 720309179 805762862 135448622 705260462 818902449 707207204 189391137 484754088 075386891 752126633 862223536 931793180 060766726 354433389 086595939 582905638 322661319 928290267 880675208 766892501 711696207 032221043 216269548 626296313 614438149 758701220 340805887 954454749 246185695 364864449 241044320 771344947 049565846 788509874 339442212 544877066 478091588 460749988 712400765 217057517 978834166 256249407 589069704 000281210 427621771 117778053 153171410 117046665 991466979 873176135 600670874 807101317 952368942 752194843 530567830 022878569 978297783 478458782 289110976 250030269 615617002 504643382 437764861 028383126 833037242 926752631 165339247 316711121 158818638 513316203 840052221 657912866 752946549 068113171 599343235 973494985 090409476 213222981 017261070 596116456 299098162 905552085 247903524 060201727 997471753427775927 786256194 320827505 131218156 285512224 809394712 341451702 237358057 727861600 868838295 230459264 787801788 992199027 077690389 532196819 861514378 031499741 106926088 674296226 757560523 172777520 353613936 210767389 376455606 060592165 894667595 519004005 559089502 295309423 124823552122124154 440064703 405657347 976639723 949499465 845788730 396230903 750339938 562102423 690251386 804145779 956981224 457471780 341731264 532204163 972321340 444494873 023154176 768937521 030687378 803441700 939544096 279558986 787232095 124268935 573097045 095956844 017555198 819218020 640529055189349475 926007348 522821010 881946445 442223188 913192946 896220023 014437702 699230078 030852611 807545192 887705021 096842493 627135925 187607778 846658361 502389134 933331223 105339232 136243192 637289106 705033992 822652635 562090297 986424727 597725655 086154875 435748264 718141451 270006023890162077 732244994 353088999 095016803 281121943 204819643 876758633 147985719 113978153 978074761 507722117 508269458 639320456 520989698 555678141 069683728 840587461 033781054
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