Exercices : laser, dualité onde-particule - Correction

Exercice n°1 : spectre d’émission du mercure (rappels de 1S)

Le spectre d’émission du mercure contient trois raies intenses : jaune, verte et bleu indigo, de longueurs d’onderespectives : λJ = 579,2 nm ; λV = 546,2 nm et λB = 436,0 nm

1°) Calculer l’énergie, en eV, des photons de longueurs d’onde λJ , λV et λB.

E = h . ν = h . cλ

car λ = cν

2°) Le digramme simplifié des niveaux d’énergie de l’atome de mercure est donné ci-contre. a) Quelle raie d’émission du mercure correspond à la désexcitation des atomes de mercure des niveaux E6 et E4 ?

Désexcitation : E6 → E4

Donc ΔE = E4 – E6 ΔE = -3,72 - (-1,57) ΔE = -2,15 eV < 0 perte d’énergie qui correspond à l’émission de la raie jaune (≈ 2,1 eV).

b) A quelles désexcitations correspondent les deux autres raies ? Justifier.

Raie bleue indigo : Désexcitation : E5 → E2

Donc ΔE = E2 – E5 ΔE = -5,54 - (-2,69) ΔE = -2,86 eV < 0 (≈ 2,9 eV)

Raie verte : Désexcitation : E5 → E3

Donc ΔE = E3 – E5 ΔE = -4,97 - (-2,69) ΔE = -2,28 eV < 0 (≈ 2,3 eV)

c) Reproduire le diagramme et représenter par des flèches les trois désexcitations évoquées dans l’exercice

EJ =6,63×10−34×3,0×108

579,2×10−9

EJ = 3,4×10−19 J

EJ =3,4×10−19

1,6×10−19 = 2,1eV

EV = 6,63×10−34×3,0×108

546,2×10−9

EV = 3,6×10−19 J

EV = 3,6×10−19

1,6×10−19 = 2,3eV

EB = 6,63×10−34×3,0×108

436,0×10−9

EB = 4,6×10−19 J

EB = 4,6×10−19

1,6×10−19= 2,9 eV

λJ

λB

λV

Exercice n°2 : photon et laser

Un laser utilisé en chirurgie émet un rayonnement monochromatique de fréquence ν = 3,70×1014 Hz.La puissance du faisceau est P = 10,0 W et la durée d’un impulsion laser est Δt = 1,0 s.

Données : c = 3,0×108 m.s-1 h = 6,63×10-34 J.s 1 eV = 1,6×10-19 J pour un appareil électrique P = E/Δt

1°) Calculer la longueur d’onde λ de la lumière du laser. A quel domaine des ondes appartient-il ?

On a

appartient au domaine IR.

2°) Calculer l’énergie d’un photon de ce laser. Exprimer le résultat en J puis en eV.

L’énergie d’un photon est :

E1 p = h .ν = 6,63×10−34×3,70×1014

E1 p = 2,46×10−19 J

E1 p =2,46×10−19

1,6×10−19 = 1,6 eV

3°) Calculer l’énergie E fournie au tissu pendant la durée de l’impulsion.

→ E = P×Δt E = 10,0×1,0

E = 10 J

4°) Calculer le nombre N de photons transportés par le faisceau laser pendant cette durée.

L’énergie d’une impulsion est apporté par N photons. Donc E = N×E1p → N = EE1 p

A.N : N = 10

2,46×10−19= 4,1×1019 photons

Exercice n°3 : De Broglie

Données : masse électron me = 9,1×10-31 kg h = 6,63×10-34 J.s masse balle de tennis mb = 57 g.

On considère un électron situé à 1,0×10-10 m du centre de l'atome et animé d'un vitesse de valeur v voisine de 7,56×106 km/h.

1°)a) Déterminer la valeur p de la quantité de mouvement de l'électron.

p = me ×v

p = 1,9×10-24 kg.m.s-1

λ = cν

= 3,0×108

3,70×1014

λ = 8,1×10−7m

P = EΔt

p = 9,1×10−31× 7,56×10⁶3,6

b) Déterminer la longueur d'onde λ de l'onde associée à l'électron.

p = hλ

→

2. On considère maintenant une balle de tennis en mouvement. Lors d'un service, sa vitesse v' est mesurée à 202 km/h. a) Déterminer la valeur p' de la quantité de mouvement de la balle.

p’ = mb ×v’

p’ = 3,2 kg.m.s-1

b) Quelle est la longueur d'onde λ' de l'onde associée à la balle de tennis.

3. Comparer les longueurs d'onde λ et λ'. Conclure.

La longueur d’onde des objets classiques est très petite ce qui fait que les effets de la mécanique quantique ne sont pas visibles avec les objets du quotidien.

Exercice n°4 : un élève en retard

Un élève en retard, de masse m = 70 kg se dirige vers la porte d’entrée de sa salle avec une vitesse v = 3,0 m.s-1.La largeur de la porte est a = 1,0 m.

- Risque-t-on de voir l’élève se diffracter ?

Calculons la longueur d’onde λ de l’élève pour la comparer à la largeur a de la porte. Il y aura diffraction si λ ≈ a (ou encore a ≤ λ ).

donc on a a > λ donc il n’y a pas de diffraction.

λ = hp

= 6,63×10−34

1,9×10−24

λ = 3,5×10−10m

p' = 0,057× 2023,6

λ ' = hp'

= 6,63×10−34

3,2

λ ' = 2,1×10−34m

λ = hp

= hm . v

λ = 6,63×10−34

70×3,0

λ = 3,2×10−36m

Exercice n°5 : type bac

Si l’on parvient à établir la correspondance entre ondes et corpuscules pour la matière, peut-être sera-t-elle identique à celle qu’on doit admettre entre ondes et corpuscules pour la lumière ? Alors on aura atteint un très beau résultat : une doctrine générale qui établira la même corrélation entre ondes et corpuscules, aussi bien dans le domaine de la lumière que dans celui de la matière.

D’après Notice sur les travaux scientifiques, de Louis de Broglie, 1931

Données numériques :Masse d’un électron : me = 9,1 × 10-31 kgCharge élémentaire : e = 1,6 × 10-19 CConstante de Planck : h = 6,6 × 10-34 J.sVitesse de propagation de la lumière dans le vide : c = 3,0 × 108 m.s-1

Partie B : Particule de matière et onde de matière

1. Expérience des fentes d’Young

En 1961, Claus Jönsson reproduit l’expérience des fentes d’Young en remplaçant la source lumineuse par uncanon à électrons émettant des électrons, de mêmes caractéristiques, un à un. L’impact des électrons sur l’écranest détecté après leur passage à travers la plaque percée de deux fentes.

Répondre aux questions suivantes à partir des documents 1 et 2.

1.1. Peut-on prévoir la position de l’impact d’un électron ? Justifier.

Non, on peut simplement dire la probabilité de la zone d’impact.

1.2. En quoi cette expérience met-elle en évidence la dualité onde-particule pour l’électron ? Détailler la réponse.

La position sur l’écran est un point ce qui montre l’aspect corpusculaire de l’électron mais les milliersd’impacts des électrons dessinent des franges d’interférences ce qui montre l’aspect ondulatoire.

Document 1 : Expérience des fentes d’Young

Document 2 : Impacts des électrons sur l’écran

D’après A. Gondran, ENST, 20012. Longueur d’onde de l’onde de matière associée à un électron

2.1. Passage à travers la plaque percée de deux fentes

Données :

L’interfrange est donnée par la relation : .D

ib

où i est l’interfrange, λ la longueur d’onde de l’onde

associée à un électron, D la distance entre la plaque et l’écran et b la distance séparant les deux fentes.Toutes ces grandeurs s’expriment en mètres.

L’incertitude sur la mesure de la longueur d’onde est évaluée par :2 2 2

.i b D

i b D

Incertitude sur la mesure de l’interfrange : Δi = 0,2 µm Vitesse des électrons : v = 1,3 × 108 m.s-1

2.1.1. Déterminer la valeur de la longueur d’onde de l’onde de matière associée à un électron et donnée

par la relation de de Broglie. On admettra que cette valeur est connue avec une incertitude égale à5×10–13 m.

soit encore λ = (56 ± 5)×10-13 m

2.1.2. Vérifier la cohérence des observations expérimentales réalisées avec le résultat précédent.

On a i= λ .Db

→ λ = i .bD

.

Par lecture graphique, on a i = 2,0 µm. i = 2,0×10-6 m.

Sur le document 1, on a b = 0,8 ± 0,2 µm D = 35,0 ± 0,1 cm b = (0,8 ± 0,2)×10-6 m D = (35,0 ± 0,1) ×10-2 m

D’où λ = 2,0×10−6×0,8×10−6

35,0×10−2 = 4,57×10−12m

Calculons l’incertitude Δλ :

Δλ = 4,57×10−12×√(0,22,0 )2+( 0,20,8)2+( 0,135,0)2Δλ = 2×10−12m

Donc l’écriture finale est λ = 5×10-12 ± 2×10-12 m λ = (5 ± 2)×10-12 m

L’expérience confirme la théorie car la valeur théorique appartient à la zone de l’incertitude expérimentale.

2.2. Passage à travers une seule fente de la plaque

L’une des deux fentes de la plaque est dorénavant bouchée ; l’autre de largeur a = 0,2 µm est centrée sur l’axe Ox du canon à électrons.

Schéma de l’expérience (vue de coupe)

λ = hp

= hme .v

λ= 6,63×10−34

9,1×10−31×1,3×108

λ = 5,6×10−12±5×10−13m

2.2.1. Quel est le phénomène physique observé ?À partir du document 3 ci-dessous, déterminer la valeur de l’angle θ, sachant que la distance séparant la fente de l’écran est D = 35,0 cm.Pour les petits angles, on rappelle que tan θ ≈ θ.

C’est le phénomène de diffraction. Par lecture graphique L = 16 µm.

On a un triangle rectangle : tan(θ )= L2D

et pour les petits angles tan(θ )≈θ = L2D

A.N : θ = 16×10−6

2×35,0×10−2= 2,3×10−5rad

Document 3 : Densité de probabilité de présence des électrons sur l’écran après passage par la fente.

2.2.3. À partir de la valeur de cet angle, retrouver l’ordre de grandeur de la valeur de la longueur d’onde de l’onde de matière associée à un électron.

On sait que θ= λa

→ λ = θ×a

       A.N : λ = 2,3×10-5×0,2×10-6

λ = 5×10-12 m

On retrouve la valeur précédente.

Exercice n°6 : type bac

En 1929, le prix Nobel de physique est attribué au mathématicien et physicien françaisLouis de Broglie pour sa découverte de la nature ondulatoire des électrons. Sestravaux sont considérés aujourd’hui comme fondateurs de la physique quantique, dontune des lois fondamentales, dite loi de de Broglie, peut s’énoncer de la façonsuivante :« À toute particule matérielle de masse m et de vitesse v est associée une onde dematière de longueur d‘onde λ :

h

p

h étant la constante de Planck et p la quantité de mouvement de la particule. »

De nos jours, cette loi est à la base du principe de fonctionnement de certains gravimètres, appareils permettantd’obtenir une valeur très précise de l’intensité de pesanteur. Une application des gravimètres est la détection

L

L

d’anomalies gravitationnelles permettant d‘anticiper la détection de séismes ou de faire de la prospectionpétrolière ou archéologique.Un gravimètre à atomes froids utilise un dispositif vertical dont le principe de fonctionnement simplifié estschématisé ci-dessous. Il utilise des atomes de Néon piégés et refroidis à une température de 2,5 millikelvins.Ces atomes quittent le piège sans vitesse initiale et tombent dans le champ de pesanteur g

.

Le piège est situé à une hauteur Lau-dessus de deux fentes séparéesd’une distance d.

Un écran de détection est placé à unedistance D des deux fentes ;il permet de détecter chaque impactd'atome de Néon.

On obtient sur l’écran dedétection une figured’interférences constituéed’environ 6000 impacts d’atomes.

Figure d’interférences observée sur l'écran de détectionD’après F. Shimizu, K. Shimizu, H. Takuma, “Double-slit Interferencewhith ultracold metastable neon atoms”; Physical Rewiew A; 1992.

Données :- masse d'un atome de Néon : m = 3,35×10–26 kg ;- constante de Planck: h = 6,63×10–34 J.s ;- vitesse des atomes au niveau de Ia double fente : vF = 1,2 m.s-1.

On applique successivement deux modèles mécaniques aux atomes de Néon pour expliquer le fonctionnementdu gravimètre.

1.2. Dans le cadre de la mécanique de Newton, on suppose que les atomes issus du piège arrivent sur les deux

fentes avec une vitesse verticale égale à 2.g.L . Dans cette hypothèse, dessiner sur la copie la répartition d’un

grand nombre d’atomes détectés sur l’écran. Un impact sera représenté par un point noir.

Dans le modèle de la mécanique classique, les atomes sont considérés comme des particules.Il n’y a donc pas de phénomène d’interférence dans ce modèle. On devrait alors observer 2 taches sur l’écrancorrespondant au passage des atomes au travers des 2 fentes.

2. Le modèle de de Broglie

La figure obtenue sur l’écran du dispositif est une image d’interférences.

2.1. Quel caractère de la matière est ainsi mis en évidence ?

Comme on observe des franges d’interférence, c’est le caractère ondulatoire qui est mis en évidence.

2.2. Quelle relation mathématique lie les grandeurs physiques p, m et vF au niveau de la fente ? Préciser l’unité de chaque grandeur.

p en kg.m.s-1

m en kgvF en m.s-1

2.3. Montrer que, dans le modèle de de Broglie, la longueur d'onde λth, associée à un atome de Néon, au niveaude la double fente, est égale à 1,6×10–8 m.

2.4. À partir du document fourni en ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, déterminer, avec le plus deprécision possible, la valeur de l’interfrange.

On mesure à la règle : échelle 1,0 mm ↔ 2,6 cm4 i mesurent sur le document 2,2 cm

Donc 4 i= 2,2×1,02,6

→ i= 2,2×1,04×2,6

= 0,22mm

2.5. Déterminer, parmi les propositions suivantes, la formule qui permet de calculer l'interfrange à partir descaractéristiques de l‘expérience. Préciser la méthode utilisée.

Di

d

2 di

D

2

d Di

Par analyse dimensionnelle, on en déduit que c’est la 1ère formule qui est la bonne.

[i] = [ λ]. [D ][d ]

= m×mm

[i] = m

Cette formule est donc bien homogène.

2.6. En déduire la valeur expérimentale de la longueur d'onde de de Broglie, λexp, associée aux atomes de Néon.

→

p =m .v F

λth =hp

= hm . vF

λth =6,63×10−34

3,35×10– 26×1,2

λth = 1,6×10−8m

i=λexp .D

dλexp =

i . dD

= 0,22×10−3×6,0×10−6

113×10−3

λexp = 1,2×10−8m

2.7. Comparer les longueurs d'onde λexp etλth.

On a λexp < λth ce qui est normale car λth est calculé avec la vitesse au niveau des fentes. et λexp est calculer sur l’écran.

Entre les fentes et l’écran, la vitesse des atomes augmente.

2.8. Analyse des résultats2.8.1. Après les deux fentes, la mécanique classique ne peut plus être utilisée. Par contre, la gravitationcontinue de s'exercer après les fentes. Comment évolue la quantité de mouvement associée aux atomes deNéon entre la double fente et l’écran ?

La quantité de mouvement augmente car la vitesse des atomes augmente.

2.8.2. Comparer qualitativement la longueur d'onde associée aux atomes de Néon au niveau de la doublefente et au niveau de l’écran.

Soit vE la vitesse au niveau de l’écran.

On a vE > vF (les atomes prennent de la vitesse.

Donc pE > pF → hpE

< hpF

On en déduit alors que λE < λF

2.8.3. À quelle longueur d'onde aurait-on dû comparer la longueur d'onde obtenue expérimentalement ?

On aurait du la comparer à la longueur d’onde sur l’écran.

Annexe de l’exercice Ill : Détermination de l’interfrange

4 i