ACTIONS DE CONTACT DANS LES FLUIDES – EXERCICES
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PC/PC* 20/21 Lycée SCHWEITZER Mulhouse ACTIONS DE CONTACT DANS LES FLUIDES – EXERCICES 1. TP mesure de viscosité : On lâche une particule sphérique de rayon R = 1,25 mm de masse volumique ρs = 3800 kg.m -3 dans une éprouvette graduée contenant un liquide visqueux dont on veut déterminer la viscosité η. La masse volumique du fluide est ρf = 1260 kg.m -3 On admet que la force de frottement visqueux sur la bille est donnée par la formule de Stokes. 1) Montrer que la vitesse de la bille tend vers une vitesse limite Vo, que l’on exprimera en fonction de ρf, ρs, R, η et g accélération de la pesanteur ( g = 9,8 SI ) . Au bout de combien de temps peut-on considérer que la particule a atteint sa vitesse limite ? 2) La vitesse limite mesurée est v = 3,0.10 -3 m.s -1 . Déterminer la viscosité du fluide et valider la méthode. Réponse : 1,7 Pa.s 2. Jeux de balles : On donne les vitesses typiques et les dimensions de balles pour plusieurs sports : Football Golf Tennis Base-Ball Diamètre ( cm ) 22 4,3 6,4 7,5 Vitesse (km.h -1 ) 55 260 180 150 Calculer le nombre de Reynolds dans chaque cas, sachant que pour l’air ρ = 1,2 kg.m -3 et η = 2,0.10 -5 Pl. Commenter sa valeur. 3. Nombre de Reynolds : Deux écoulements d’échelle différentes sont identiques si ils ont le même nombre de Reynolds. On considère un écoulement de masse volumique ρ,de viscosité η, de vitesse caractéristique U, variant sur une dimension caractéristique L. 1) On étudie un avion de longueur L destiné à voler à vitesse U dans l’air. Une maquette de cet avion à l’échelle 1/10 ème est étudiée dans une soufflerie à air. Quelle doit être, en fonction de U, la vitesse de l’écoulement ? 2) Au lieu d’une soufflerie à air, on utilise une veine liquide ( tunnel à écoulement d’eau ). Quelle vitesse doit avoir l’eau pour simuler la réalité ? Données : ηair = 1,8.10 -5 Pl ; ηeau = 1,0.10 -3 Pl. 4. Forces sur une aile d’avion ( CCP PC 2020 ) : On s’interesse aux forces execées sur une aile d’avion. Le coefficient de portance est défini par : ! = ! 1 2 !"# ! ! ! où ! ! sont la masse volumique de l’air et la vitesse loin de l’aile. Sréf est la surface de l’aile, et Fz la force de portance exetcée sur l’aile. Il existe par ailleurs une force de trainée, parralele à l’écoulement et opposée au déplacement : ! = 1 2 ! !"# ! ! ! où Cx est le coefficient de trainée.
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ACTIONSDECONTACTDANSLESFLUIDES–EXERCICES
1. TPmesuredeviscosité:OnlâcheuneparticulesphériquederayonR=1,25mmdemassevolumiqueρs=3800kg.m-3dansune éprouvette graduée contenant un liquide visqueux dont on veut déterminer la viscositéη. Lamassevolumiquedufluideestρf=1260kg.m-3OnadmetquelaforcedefrottementvisqueuxsurlabilleestdonnéeparlaformuledeStokes.1) MontrerquelavitessedelabilletendversunevitesselimiteVo,quel’onexprimeraenfonctiondeρf,ρs, R,η et g accélération de la pesanteur ( g = 9,8 SI ) . Au bout de combien de temps peut-onconsidérerquelaparticuleaatteintsavitesselimite?2) La vitesse limitemesurée est v = 3,0.10-3 m.s-1. Déterminer la viscosité du fluide et valider laméthode.Réponse:1,7Pa.s
2. Jeuxdeballes:Ondonnelesvitessestypiquesetlesdimensionsdeballespourplusieurssports:
Football Golf Tennis Base-BallDiamètre(cm) 22 4,3 6,4 7,5Vitesse(km.h-1) 55 260 180 150CalculerlenombredeReynoldsdanschaquecas,sachantquepourl’airρ=1,2kg.m-3etη=2,0.10-5Pl.Commentersavaleur.3. NombredeReynolds:Deuxécoulementsd’échelledifférentessontidentiquessiilsontlemêmenombredeReynolds.Onconsidèreunécoulementdemassevolumiqueρ,deviscositéη,devitessecaractéristiqueU,variantsurunedimensioncaractéristiqueL.1)OnétudieunaviondelongueurLdestinéàvoleràvitesseUdansl’air.Unemaquettedecetavionàl’échelle1/10èmeestétudiéedansunesoufflerieàair.Quelledoitêtre,enfonctiondeU,lavitessedel’écoulement?2) Au lieu d’une soufflerie à air, on utilise une veine liquide ( tunnel à écoulement d’eau ). Quellevitessedoitavoirl’eaupoursimulerlaréalité?Données:ηair=1,8.10-5Pl;ηeau=1,0.10-3Pl.
4. Forcessuruneailed’avion(CCPPC2020):Ons’interesseauxforcesexecéessuruneailed’avion.Lecoefficientdeportanceestdéfinipar:
𝐶! =𝐹!
12 𝑆!"#𝜌!𝑣!
!
où𝜌! 𝑒𝑡 𝑣!sontlamassevolumiquedel’airetlavitesseloindel’aile.Sréfestlasurfacedel’aile,etFzlaforcedeportanceexetcéesurl’aile.Ilexisteparailleursuneforcedetrainée,parraleleàl’écoulementetopposéeaudéplacement:
𝐹! =12𝐶!𝑆!"#𝜌!𝑣!
! oùCxestlecoefficientdetrainée.
PC/PC*20/21 LycéeSCHWEITZERMulhouse1) VérifierquelecoefficientdeportanceCzestadimensionné.2) Lepilotepeut faire varier la surfacedes ailes en actionnantdes surfacesmobiles, les volets. Enphase de décollage, indiquer et justifier la configuration que le pilote va choisir : volets rentrés ousortis?3) On considère un vol en palier, c’est-à-dire avec un vecteur vitesse et une altitude de l’avionconstants.Représenterl’ensembledesforcess’exerçantsurl’avionetexpliquercommentlaforcedetraînéeestcompensée.4) Pourquoiest-ilintéressantdevoleràhautealtitude?5) Dans cette question, on se propose d’interpréter physiquement ce que les professionnels del’aéronautiqueappellentlafinessef=Cz/Cxd’uneaile.Pourcela,onconsidèrelasituationd’unavion,tousmoteurscoupés,ayantunmouvementdetranslationrectiligneuniformedescendant.Onnote𝛼l’angleentreladirectiondel’écoulementdel’airautourdel’avionetl’horizontale(figure6).Àl’aided’unereprésentationdesforcessurleschémadelafigure6,établirlelienentrelafinessefetl’angle𝛼. De quelle distance dH l’avion a-t-il avancé à l’horizontale lorsqu’il a perdu une altitude dV ?Concluresurlesensphysiquedelafinesse.
6)Pourapprécierlaqualitéd’uneaileontracelapolairedel’ailequiestlacourbedesonCzenfonctiondesonCx(figure7).Reproduire l’allure de la polaire d’une aile et indiquer les pointscorrespondant respectivement à une traînée minimale, uneportancemaximaleetunefinessemaximale.7)Quandonvadupointpourlequellatraînéeestminimaleverslepointpourlequellaportanceestmaximale,commentévoluel’angled’incidence?8) On s’intéresse au décollage d’un quadriréacteur A380 dont lamasse audécollage est de 500 tonnes. Sa vitesse aumoment où ilquitte la piste est de 260 km·h-1. Estimer, en précisant leshypothèseseffectuées,unordredegrandeurdelapousséed’unréacteurlorsdephased’accélérationsurlapiste.Discutervotrerésultatsachantquelapousséemaximaled’unréacteurd’A380estde370kNetquelafinesseaudécollageestprochede10.4.Puissanced’uncycliste:Onconsidèreuncyclisteroulantàv=36km.h-1dansl’air.a) Enmodélisant le cycliste d’unemanière très simple ( et connue ),montrer que la puissance Pv
nécessairepourcontrerlarésistancedel’airestproportionnelleaucubedesavitesse.b) Ce cycliste gravit unepente à2,5%.On considèreque le coefficientde trainée vautC≈ 1,0. La
puissancePvest-ellesupérieureàlapuissancedupoids?Données:viscositédel’air:η=1,8.10-5Pl;massevolumiquedel’airρ=1,3kg.m-3;massetotaleM=100kg.
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EQUATIONSLOCALESDELADYNAMIQUEDESFLUIDESVISQUEUX–EXERCICES
1. Couchedemiel(E3A):
Une couche d’épaisseur constante h, d’un fluide visqueux newtonien incompressible, de viscositédynamiqueηetdemassevolumiqueρ,s’écouledanslechampdepesanteursupposéuniforme,surunplaninclinéfaisantunangleαavecl’horizontale.
Lechampdesvitessesnedépendnidexnideyets’écritsouslaforme:𝑣 = 𝑣 𝑧 . 𝑒! .a)Simplifierl’équationgénéraledeNavier-Stokes:𝜌 !!
!"+ 𝑣.𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑣 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑃 + 𝜌𝑔 + 𝜂Δ𝑣.
b)Projeterl’équationlocaledeladynamiquequienrésultesurlabase(𝑒! , 𝑒! , 𝑒!).Endéduirelesexpressionsdescomposantesduvecteur𝑔𝑟𝑎𝑑𝑃surcettebase.
c)Justifierquelarépartitiondepressiondanslemiels’écritP=P(z),puisl’exprimer.
d)Etablirl’équationdifférentielle!!!(!)!!!
= 𝑘. 𝑠𝑖𝑛𝛼vérifiéeparlavitessev(z)etidentifierk. Alasurfacelibre,surlepland’équation z h= ,lacontraintetangentielleexercéeàlasurfacelibreparlacouched’airsurlacouchedemielestnulle.
e)Ecrire,enlesjustifiant,lesconditionsauxlimitesrelativesàlavitessev,enz=0etàsadérivée!"(!)!"
,enz=h.
f)Résoudrel’équationdifférentielleetmontrerqueleprofildevitessedanslacouchedemielvérifielarelation: 𝑣 𝑧 = 𝛽𝑧(2ℎ − 𝑧).Identifierβ.
2. Ecoulementdepétrole:OnfaitcoulerdupétroledansuneconduitedediamètreD=50cmavecundébitD=50l.s-1.a) Calculerlavitessemoyenned’écoulement.b) CalculerlenombredeReynolds.c) Calculerlapuissancedissipéeparlesforcesdeviscositéparkilomètredeconduite.Données:ρ=870kg.m-3;η=0,25Pa.s.
3. Effetdepeauenmecaniquedesfluides(CCPPSI08):Considéronsuneplaqueplane,infinieenlongueuretlargeur,formantleplanxOy.Unfluidevisqueuxincompressible (par exemple du miel) de viscosité η est déposé sur cette plaque sur une grandeépaisseurh.Lefluideoccupealorsledemi-espacez>0(toutsepassecommesil’espaceétaitillimité).Laplaqueoscilleàlapulsationω ,savitesseétant .x0plaque u).tcos(.VV !ω=
ex
ey
ez g
Z
h
O
x α Figure 1
z
air
miel
PC/PC*20/21 LycéeSCHWEITZERMulhouse1)Enanalysantlesinvariancesetsymétriesdusystèmeetensupposant que la vitesse du fluide est parallèle à celle de laplaque,justifierquelechampdesvitessess’écrit:
𝑣 = 𝑣 𝑧, 𝑡 .𝑢!etquelechampdepressionnedépendquedezetdet.2) Montrer que le terme convectif de l’accélération est nulpour ce problème. En déduire alors que la pression dans lefluideestunefonctionaffinedelacotezetquelechampde
vitessessatisfaitàl’équationdifférentielle: oùl’onexprimeraνenfonctiondeρ etdeη.
3)Onchercheunesolutionpourlechampdevitessesouslaforme .Donnerlaforme
générale de f(z) ; on introduira la quantité .En étudiant le comportement aux limites du
fluide,donnerl’expressionduchampdesvitessesréeldanslefluide.Commenterl’expressionobtenue.4)Danslecasd’unfluide1000foisplusvisqueuxquel’eau(onrappellequelaviscositédel’eauestde10-3Pa.s)etpourunefréquencede2Hz,calculerlavaleurnumériquedeladistancecaractéristiqued’atténuationδenprenantcommemassevolumiquelamassevolumiquedel’eau.5) Lesrochesenfusiondanslemanteauterrestresontextrêmementvisqueusesetontunemassevolumique très grande, si bien que leur viscosité cinématique est de l’orde de ν = 10-2 m².s-1 . Endéduireunepropriétéimportantepourlesondessismiquesdecisaillementquiontdesfréquencesdequelqueshertz.
4. Associationderésistanceshydrauliques(CCPPC):On considère l’écoulement de Poiseuille cylindrique d’un fluide de viscosité η dans une conduite delongueurLetderayonR.1)RappelerlaloidePoiseuille.2)OndéfinitRhy,résistancehydrauliquedelongueur L etdesurface S ,parlarelationΔP=RH.DvExprimerRhyenfonctiondeL ,R etη .Quelleestl’analogieavecladéfinitiondelarésistanceélectrique?3) On associe deux cylindres A1 et A2(figure)derésistanceshydrauliquesRhy1etRhy2 de même section S , l'un est comprisentrex0=0etx1=L1,lesecondestcomprisentrex1=L1etx2=L1+L2.OnnoteP0,P1etP2lespressionscorrespondantes.
Établirl'expressiondelarésistancehydrauliqueRhydel'ensembleenfonctiondeRhy1etRhy2.Indiquer,enlajustifiant,uneanalogieavecunproblèmed’électrocinétique.EndéduirelapressionP1enfonctiondeP0,P2,Rhy1etRhy2.4)LesdeuxcylindresA1,desectionS1etdelongueurL1etA2 de section S2 et de longueur L2 sont associés en«parallèle» (figure). On note P0, la pression sur les facesd'entréepourx0=0etP1,lapressionsurlesfacesdesorties(x1=L1pourA1,etx2=L2pourA2).Etablir l’expression de la résistance hydraulique de cetteassociation en raisonnant par analogie avecl’électrocinétique.EndéduireledébitQ1danslecylindreA1desectionS1enfonctiondudébittotalQ,Rhy1etRhy2.5) Rappeler l’expression de la puissance électrique dissipée dans une résistance électrique R,traverséeparuncourantd’intensitéI.Paranalogie,déterminerlapuissancedissipéeparlesforcesdeviscositéenfonctiondeRhyetQ.
²zv².
tv
∂∂ν=
∂∂
xti e.e.)z(fv ω=
ων=δ 2
zLiquidevisqueux h xPlaque
0 0x = 1 1x L= 2 1 2x L L= +
0 0x = 1 1x L= 2 2x L=
