Physique PCSI DM 13

I- Moteur asynchrone en régime sinusoïdal

Notations utilisées : soit un dipôle D fonctionnant en régime sinusoïdal.

u = Um.cos (ω.t + ϕu) = Ueff 2 . cos(ω.t + ϕu) ; i = Im.cos (ω.t + ϕi) = Ieff 2 . cos(ω.t + ϕi) ;Um et Im sont donc respectivement les valeurs maximales de u (t) et i (t) ; Ueff et Ieff sont respectivement les valeurs efficaces de u (t) et i(t).

U = Um. uj

eϕ

et I = Im. ij

eϕ

sont respectivement les amplitudes complexes associées à u(t) et i(t).

I

UZ = est l’impédance complexe associée au dipôle. =Z Z =

m

m

I

U est l’impédance du dipôle.

ϕ = ϕu -ϕi = Arg Z est le déphasage entre u(t) et i(t).

Toutes les bobines sont considérées comme parfaites.

On modélise un moteur asynchrone monophasé (type

moteur de machine à laver le linge) par le

schéma équivalent ci-contre :

Le caractère inductif du circuit est dû aux bobinages présents

au rotor et au stator de la machine.

Le stator est la partie fixe.

Le rotor est la partie mobile.

Le moteur est alimenté par

le réseau électrique disponible

chez le particulier :

Ueff valeur efficace de u(t) est égale à

230V et la fréquence est de 50,0 Hz.

On prendra u = Ueff. 2 .cos(ω.t). On a, en fonctionnement nominal (c'est-à-dire dans les conditions normales de fonctionnement) :

Rm=750 Ω ; Lm = 1,10 H ; R = 32,0 Ω et L = 38,2 mH.

1°) Déterminer la valeur numérique de l’impédance du stator notée Z 1 sous la forme Z 1 =a + j b où a et b seront

donnés sous forme de valeurs approchées.

2°) Donner la valeur numérique de l’impédance rotor notée Z 2 sous la forme Z 2 =c + j d où c et d seront donnés

sous forme de valeurs approchées.

3°) En déduire la valeur numérique de l’impédance totale du circuit notée Z moteur sous la forme Z moteur = m + j n.

où m et n sont des réels (valeurs numériques approchées).

4°) Donner les expressions mathématiques approchées des courants suivants : i(t), i1 (t) et i2(t).

5°) Calculer la puissance active P consommée par le moteur ainsi que sa puissance apparente S.

6°) Déterminer le facteur de puissance Fp du circuit.

7°) Calculer la puissance active P2 transmise au rotor.

8°) En déduire le rendement η = P

P2 du moteur.

9°) Déterminer l’énergie consommée ε en kWh puis le coût hors taxes d’un lavage en machine d’une durée de 1 h 45 min. On suppose que la machine fonctionne en permanence au régime nominal durant le lavage.

On trouvera ci dessous la copie d’une facture EDF.

Rm Lm

R

L

Moteur

Rotor Stator

u

i i2

i1

i

u D

u

vs

i’

R

3.R L ve

i

II- Régime sinusoïdal

Soit le circuit ci-contre :

1°) Dans un premier temps, on considère que la

tension d’entrée a pour expression : ve(t) = 15,0.cos(800.t)

avec R = 200 Ω et L = 700 mH. Dans cette partie on demande des expressions numériques approchées.

a) Donner dans ce cas l’expression du courant i (t).

b) Donner l’expression de i’ (t).

c) Déterminer enfin l’expression de vs (t).

d) Calculer alors pour le circuit entier, les puissances active P, apparente S ainsi que le facteur de puissance Fp.

e) On a toujours ve(t) = 15,0.cos(800.t) .

On place un condensateur en parallèle avec

le circuit afin d’augmenter le facteur de puissance

du circuit. Quelle valeur numérique doit avoir

la capacité C du condensateur pour que le

facteur de puissance de la nouvelle installation

soit égal à 1 ?

2°) Etablissement du régime sinusoïdal.

On revient au circuit initial (voir ci-contre) avec ve(t) = 15,0.cos(800.t)

tension délivrée par un GBF qui est connecté à un instant

pris comme l’origine des temps (t = 0).

On peut dire qu’à l’instant initial on ferme K (interrupteur qui

était ouvert depuis suffisamment longtemps pour qu’à t = 0, il

n’y ait aucune énergie dans la bobine).

a) Donner l’expression littérale de l’équation différentielle

vérifiée par vs(t) pour t > 0. Dans cette équation différentielle apparaitront les termes vs, dt

dvs , dt

dve , R et L.

b) Donner l’expression numérique approchée de cette équation différentielle. On donnera donc ici une équation

différentielle où apparaitront simplement les termes vs, dt

dvs et t.

c) Démontrer et exprimer la valeur de vs à t = 0+. On notera (vs)t=0+ la réponse attendue et on en donnera une

valeur numérique approchée.

d) La solution de l’équation différentielle est du type vs(t) = vs1(t) + vs2(t) = A.exp(τ−t

) + Vsm.cos(ωt + φs)

où vs1(t) = A.exp(τ−t

) est la solution de l’équation sans second membre et vs2(t) est la solution sinusoïdale

déterminée par la méthode complexe au 1°)c). Déterminer l’expression numérique approchée de vs1(t).

e) Donner la valeur numérique approchée de la constante de temps τ.

3°) Filtrage.

On s’intéresse à présent au comportement du quadripôle

(ci-contre) en fonction de la fréquence du signal d’entrée.

Remarque : on ne remplace plus L et R par leurs valeurs,

on travaille ici en grandeurs littérales.

Exprimer e

s

V

VH = en fonction de R, L, ω et du nombre complexe j. (j² = - 1).

Pour l’expression de H on demande une fraction dont le numérateur et le dénominateur ne sont ni l’un ni

l’autre, des fractions.

vs

i’

R

3.R L ve

i K

GBF

vs

i’

R

3.R L ve

i

vs R

3.R L ve GBF C

4°) Donner l’expression littérale de l’asymptote de G = em

sm

V

Vlog.20Hlog.20 = en « basses fréquences ». On

notera Y1 cette asymptote. Y1 sera donnée en fonction de L, R et ω.

Donner ensuite l’expression littérale de l’asymptote de G = em

sm

V

Vlog.20Hlog.20 = en « hautes fréquences ».

On notera Y2 cette asymptote. Pour Y2 on donnera la valeur exacte et une valeur approchée.

5°) Déterminer l’expression littérale de la pulsation ωc d’intersection des asymptotes (on donnera ωc en fonction de R et L).

6°) Faire l’application numérique et donner ainsi la valeur numérique de ωc (avec toujours R = 200 Ω et

L = 700 mH).

7°) Déterminer la valeur numérique de G(ωc) (on donnera l’expression exacte et la valeur approchée).

8°) On souhaite à présent tracer le diagramme de Bode en gain associé à ce filtre.

On impose l’échelle en ordonnée qui sera de 2 dB par division comme indiqué sur l’annexe fournie. On impose

aussi que le 0dB soit situé tout en haut de la feuille de papier semi logarithmique.

Programmer la calculette pour pouvoir remplir le tableau ci-dessous à reproduire sur la copie.

ω(rad.s-1) 10 20 30 40 60 80 100 150 200 250 300 400 500 1000 10000

G (dB)

Tracer ensuite le diagramme de Bode en gain sur papier semi logarithmique à rendre avec la copie.

9°) Esquisser sur la copie le diagramme de Bode en phase (attention ne pas utiliser ici le papier semilog, on

demande juste une étude des limites de φ et un dessin rapide).

10°) Donner avec un maximum de précision la nature de ce filtre.

ω(rad/s) 0 dB

-12

-14

-16

-18

-20

-2

-4

-6

-8

-10

-32

-34

-36

-38

-40

-22

-24

-26

-28

-30