Le dipôle électrostatique

24
O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique) Le dipôle électrostatique

Transcript of Le dipôle électrostatique

Page 1: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Le dipôle électrostatique

Page 2: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

I – Définition et approximation dipolaire

On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a.

a2

)( qN − )( qP +Oz

zu�

Un tel modèle permet d’étudier :

* Les molécules polaires (par exemple : HCl, H2O)

)( δ+H )( δ−Cl

)2( δ−O

)( δ+H )( δ+H

Page 3: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

* La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène de solvatation des ions)

a2

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r

θ

On calcule le potentiel puis le champ électrique ( ) créé par le dipôle en un point M de l’espace.

Symétrie de révolution autour de l’axe (Oz) : on choisit M(r,θθθθ) dans le plan des deux charges.

Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges, c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).

)(VgradE −=�

Page 4: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

II – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire

Le potentiel au point M est (principe de superposition) :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r θNr Pr

NP r

q

r

qMV

00 4

1

4

1)(

πεπε−=

−=

NP rrqMV

11

4

1)(

0πε

):( aNMretPMravec NP >>==

Page 5: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Calcul des distances rP et rN :

D’après la relation de Chasles :

En élevant au carré :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r θNr Pr

zuarOPOMPM��

−=−=

θcos2

.2

222

222

ararr

uararPM

P

z

−+=

−+=��

On calcule ensuite 1 / rP :

θcos2

11

22 ararrP −+=

( ) 2/122 cos21 −

−+= θararrP

Page 6: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

On rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r θNr Pr

On pose x = a / r (x << 1), alors :

2/1

2

2

cos2111

−+= θr

a

r

a

rrP

( ) )1(2

111

2/1 <<−≈+ −xxx

Un DL au 1er ordre en x donne :

+= θcos1

11

r

a

rrP

Page 7: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

De la même manière (il suffit de remplacer θθθθ par π π π π −−−− θθθθ et donc cosθθθθ par - cosθθθθ) :

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r θNr Pr

−= θcos1

11

r

a

rrN

Par conséquent :

θcos211

2r

a

rr NP

=−

θπε

cos)2(

4

1)(

20 r

aqMV =

D’où le potentiel :

Page 8: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur dirigé de la charge négative vers la charge positive) :

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r θ

θπε

cos4

1)(

20 r

pMV =

Alors (décroissance du potentiel en 1 / r2) :

NPquaqp z ==��)2(

p�

En notant : rrur /��

=

)cos.(.

4

1)(

20

θπε

== rzr uu

r

upMV

����

Page 9: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Retour sur la définition du moment dipolaire :

Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.

p s’exprime en C.m dans le SI.

On définit plutôt le Debye, mieux adapté :

Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire . En déduire les charges + δδδδ et – 2δδδδ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et par l’atome d’oxygène.

Données :

mCD .10.33,31 30−=

Dp OH 85,12

=

nmOHOHOH 096,0;104),( ==°== ℓα

Page 10: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Le moment dipolaire total de la molécule est :

OHp 2

)2( δ−O

)( δ+H )( δ+H2

α

OHp�

OHp'�

OHOHOH ppp '2

���+=

Avec : δℓ== OHOH pp '

Par conséquent :

2cos2

2

αδℓ=OHp

On en déduit :

)10.6,1(3

2cos2

192 Ceep OH −=≈=

αδ

Page 11: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

III – Calcul du champ dans le cadre de l’approximation dipolaire

La relation intrinsèque permet de calculer le champ (en coordonnées polaires) :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r θ

r

VrEr ∂

∂−=),( θ

VgradE −=�

θθθ ∂

∂−=

V

rrE

1),(

Page 12: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Par conséquent :

30

cos2

4

1

r

pEr

θπε

=

30

sin

4

1

r

pE

θπεθ =

( )θθθπε

uur

pE r

���sincos2

4

13

0

+=a2

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r θ

rE�

θE� E�

Page 13: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

IV – Topographie du champ d’un dipôle

Surfaces équipotentielles :

L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :

Soit l’équation en coordonnées polaires :

L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.

Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.

020

0 cos4

1)(:)( V

r

pMVMPour ==Σ∈ θ

πε

)(cos2 csteAAr == θ

Page 14: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Deux charges ponctuelles

(+ q et – q)

(Dipôle électrostatique)

+ q- q

Page 15: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Lignes de champs :

a2

)( qN − )( qP +Oz

zu�

M

r θ

rE�

θE� E�

Ligne de champs

Sur la ligne de champ passant par M :

0���

=∧ Erd

θθ

θθ

uEuEE

udrudrrd

rr

r

���

���

+=

+=

0=− rEdrEdr θθ

Soit :

θ

θE

dr

E

dr

r

=

Page 16: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :

On sépare les variables :

Soit :

θθ

θ sincos2

drdr=

θθ

θθθ

sin

)(sin2

sin

cos2

dd

r

dr==

))(ln(sin)(ln 2θdrd =

On note r = r0 pour θθθθ = ππππ / 2, alors, en intégrant, on obtient l’équation en coordonnées polaires des lignes de champs (r0 est un paramètre) :

20

2

0

sin)ln(sinln θθ rrsoitr

r==

Page 17: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Deux charges ponctuelles

(+ q et – q)

(Dipôle électrostatique)

+ q- q

Animations Rousseau

Page 18: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

V – Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle

On considère un dipôle électrostatique plongé dans un champ électrique E0qui peut être supposé uniforme à l’échelle du dipôle.

Quel est l’effet de ce champ sur le dipôle ?

Système étudié : le dipôle (rigide)

Référentiel d’étude : celui du laboratoire (supposé galiléen)

)( qN −

)( qP +

O

0E�

0Eq�

0Eq�

Le dipôle est soumis aux deux forces

et de résultante nulle.

Le dipôle est globalement soumis à un « couple de forces », dont le moment par rapport à O vaut :

0Eq�

0Eq�

Page 19: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

)( qN −

)( qP +

O

0E�

0Eq�

0Eq�

Soit :

)( 00 EqONEqOPMO

���−∧+∧=

00)( ENPqEqONOPMO

���∧=∧−=

0EpMO

���∧=

Sous l’effet d’un champ électrique, le dipôle se met à tourner afin de s’aligner selon le sens du champ (p et E0 dans le même sens, position

d’équilibre stable).

Page 20: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

)( qN −

)( qP +

O

0E�

0Eq�

0Eq�

Soit

Étude énergétique :

Soit V le potentiel dont dérive le champ E0 ; l’énergie potentielle du dipôle (rigide) dans ce champ est :

0.EpE p��

−=

)()()( NVqPqVE p −+=

[ ])()( NVPVqE p −=

On rappelle que (E0 est un champ de gradient) :

Par conséquent, avec dV = V(P) – V(N) :

Et donc :

dVrdE −=��

.0

NPONOPrd =−=�

).( 0 NPEqE p�

−=

Ep est minimale (position d’équilibre stable) quand p et E0 ont même sens.

Page 21: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Application (solvatation des ions) :

+δδδδ−−−−δδδδ

+

+

−−−−δδδδ

−−−−δδδδ

−−−−δδδδ−−−−δδδδ

−−−−δδδδ

+δδδδ

+δδδδ

+δδδδ+δδδδ

+δδδδ

Lignes de champs

Ion positif (Na+ par exemple)

Molécule polaire H2O

Page 22: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

VI – Quadripôle électrostatiqueExercice (modèle de la molécule de CO2) :

Soit un ensemble de trois charges alignées : 2 q en O, - q en A(+ a,0) et - q en B(- a,0).

Calculer le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé àla distance r de O, en supposant r >> a.

)( qB − )( qA −)2( qOz

zu�

M

r θ

On rappelle le développement limité (à l’ordre 2, pour x << 1) de :

( ) 22/1

8

3

2

111 xxx +−≈+ −

Page 23: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

)( qB − )( qA −)2( qOz

zu�

M

r θ

)cos31(4

)( 2

3

2

0

θπε

−=r

aqMV

r

VrEr ∂

∂−=),( θ

θθθ ∂

∂−=

V

rrE

1),(

Topographie : voir diapositive suivante

Page 24: Le dipôle électrostatique

O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)

Trois charges ponctuelles

(+ 2q, – q et - q)

(Quadripôle électrostatique)

+ 2q - q- q