Le dipôle électrostatique
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O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)
Le dipôle électrostatique
O Granier, PC* J Decour (Le dipôle électrostatique)
I – Définition et approximation dipolaire
On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a.
a2
)( qN − )( qP +Oz
zu�
Un tel modèle permet d’étudier :
* Les molécules polaires (par exemple : HCl, H2O)
)( δ+H )( δ−Cl
)2( δ−O
)( δ+H )( δ+H
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* La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène de solvatation des ions)
a2
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r
θ
On calcule le potentiel puis le champ électrique ( ) créé par le dipôle en un point M de l’espace.
Symétrie de révolution autour de l’axe (Oz) : on choisit M(r,θθθθ) dans le plan des deux charges.
Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges, c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).
)(VgradE −=�
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II – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire
Le potentiel au point M est (principe de superposition) :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r θNr Pr
NP r
q
r
qMV
00 4
1
4
1)(
πεπε−=
−=
NP rrqMV
11
4
1)(
0πε
):( aNMretPMravec NP >>==
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Calcul des distances rP et rN :
D’après la relation de Chasles :
En élevant au carré :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r θNr Pr
zuarOPOMPM��
−=−=
θcos2
.2
222
222
ararr
uararPM
P
z
−+=
−+=��
On calcule ensuite 1 / rP :
θcos2
11
22 ararrP −+=
( ) 2/122 cos21 −
−+= θararrP
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On rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r θNr Pr
On pose x = a / r (x << 1), alors :
2/1
2
2
cos2111
−
−+= θr
a
r
a
rrP
( ) )1(2
111
2/1 <<−≈+ −xxx
Un DL au 1er ordre en x donne :
+= θcos1
11
r
a
rrP
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De la même manière (il suffit de remplacer θθθθ par π π π π −−−− θθθθ et donc cosθθθθ par - cosθθθθ) :
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r θNr Pr
−= θcos1
11
r
a
rrN
Par conséquent :
θcos211
2r
a
rr NP
=−
θπε
cos)2(
4
1)(
20 r
aqMV =
D’où le potentiel :
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On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur dirigé de la charge négative vers la charge positive) :
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r θ
θπε
cos4
1)(
20 r
pMV =
Alors (décroissance du potentiel en 1 / r2) :
NPquaqp z ==��)2(
p�
En notant : rrur /��
=
)cos.(.
4
1)(
20
θπε
== rzr uu
r
upMV
����
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Retour sur la définition du moment dipolaire :
Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.
p s’exprime en C.m dans le SI.
On définit plutôt le Debye, mieux adapté :
Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire . En déduire les charges + δδδδ et – 2δδδδ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et par l’atome d’oxygène.
Données :
mCD .10.33,31 30−=
Dp OH 85,12
=
nmOHOHOH 096,0;104),( ==°== ℓα
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Le moment dipolaire total de la molécule est :
OHp 2
�
)2( δ−O
)( δ+H )( δ+H2
α
OHp�
OHp'�
OHOHOH ppp '2
���+=
Avec : δℓ== OHOH pp '
Par conséquent :
2cos2
2
αδℓ=OHp
On en déduit :
)10.6,1(3
2cos2
192 Ceep OH −=≈=
αδ
ℓ
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III – Calcul du champ dans le cadre de l’approximation dipolaire
La relation intrinsèque permet de calculer le champ (en coordonnées polaires) :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r θ
r
VrEr ∂
∂−=),( θ
VgradE −=�
θθθ ∂
∂−=
V
rrE
1),(
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Par conséquent :
30
cos2
4
1
r
pEr
θπε
=
30
sin
4
1
r
pE
θπεθ =
( )θθθπε
uur
pE r
���sincos2
4
13
0
+=a2
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r θ
rE�
θE� E�
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IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :
Soit l’équation en coordonnées polaires :
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.
020
0 cos4
1)(:)( V
r
pMVMPour ==Σ∈ θ
πε
)(cos2 csteAAr == θ
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Deux charges ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle électrostatique)
+ q- q
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Lignes de champs :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zu�
M
r θ
rE�
θE� E�
Ligne de champs
Sur la ligne de champ passant par M :
0���
=∧ Erd
θθ
θθ
uEuEE
udrudrrd
rr
r
���
���
+=
+=
0=− rEdrEdr θθ
Soit :
θ
θE
dr
E
dr
r
=
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En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :
On sépare les variables :
Soit :
θθ
θ sincos2
drdr=
θθ
θθθ
sin
)(sin2
sin
cos2
dd
r
dr==
))(ln(sin)(ln 2θdrd =
On note r = r0 pour θθθθ = ππππ / 2, alors, en intégrant, on obtient l’équation en coordonnées polaires des lignes de champs (r0 est un paramètre) :
20
2
0
sin)ln(sinln θθ rrsoitr
r==
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Deux charges ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle électrostatique)
+ q- q
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V – Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle
On considère un dipôle électrostatique plongé dans un champ électrique E0qui peut être supposé uniforme à l’échelle du dipôle.
Quel est l’effet de ce champ sur le dipôle ?
Système étudié : le dipôle (rigide)
Référentiel d’étude : celui du laboratoire (supposé galiléen)
)( qN −
)( qP +
O
0E�
0Eq�
0Eq�
−
Le dipôle est soumis aux deux forces
et de résultante nulle.
Le dipôle est globalement soumis à un « couple de forces », dont le moment par rapport à O vaut :
0Eq�
0Eq�
−
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)( qN −
)( qP +
O
0E�
0Eq�
0Eq�
−
Soit :
)( 00 EqONEqOPMO
���−∧+∧=
00)( ENPqEqONOPMO
���∧=∧−=
0EpMO
���∧=
Sous l’effet d’un champ électrique, le dipôle se met à tourner afin de s’aligner selon le sens du champ (p et E0 dans le même sens, position
d’équilibre stable).
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)( qN −
)( qP +
O
0E�
0Eq�
0Eq�
−
Soit
Étude énergétique :
Soit V le potentiel dont dérive le champ E0 ; l’énergie potentielle du dipôle (rigide) dans ce champ est :
0.EpE p��
−=
)()()( NVqPqVE p −+=
[ ])()( NVPVqE p −=
On rappelle que (E0 est un champ de gradient) :
Par conséquent, avec dV = V(P) – V(N) :
Et donc :
dVrdE −=��
.0
NPONOPrd =−=�
).( 0 NPEqE p�
−=
Ep est minimale (position d’équilibre stable) quand p et E0 ont même sens.
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Application (solvatation des ions) :
+δδδδ−−−−δδδδ
+
+
−−−−δδδδ
−−−−δδδδ
−−−−δδδδ−−−−δδδδ
−−−−δδδδ
+δδδδ
+δδδδ
+δδδδ+δδδδ
+δδδδ
Lignes de champs
Ion positif (Na+ par exemple)
Molécule polaire H2O
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VI – Quadripôle électrostatiqueExercice (modèle de la molécule de CO2) :
Soit un ensemble de trois charges alignées : 2 q en O, - q en A(+ a,0) et - q en B(- a,0).
Calculer le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé àla distance r de O, en supposant r >> a.
)( qB − )( qA −)2( qOz
zu�
M
r θ
On rappelle le développement limité (à l’ordre 2, pour x << 1) de :
( ) 22/1
8
3
2
111 xxx +−≈+ −
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)( qB − )( qA −)2( qOz
zu�
M
r θ
)cos31(4
)( 2
3
2
0
θπε
−=r
aqMV
r
VrEr ∂
∂−=),( θ
θθθ ∂
∂−=
V
rrE
1),(
Topographie : voir diapositive suivante
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Trois charges ponctuelles
(+ 2q, – q et - q)
(Quadripôle électrostatique)
+ 2q - q- q