Le Nombre Pi

Comment approximer Comment approximer le nombre le nombre π π ??

Introductionππ en géométrie en géométrie

Circonférence d’un cercle

Surface d’un disque

Pi

Le Nombre PiLe Nombre Pi

IrrationnelIrrationnel

TranscendantTranscendant

Normal ?Normal ?

PlanPlanProblématique: Comment approximer le nombre π?

I.Quelques approximations historiques du nombre

I.1. La géométrie en état de grâce. Antiquité – XVIIèmes.

I.2. Le temps de l’analyse. XVIIème-XXèmesI.3. Le temps des machines. Aujourd’hui

II. Nos approximations expérimentales

II.1.Théorème de l'aiguille de Buffon II.2.Méthode de Monte CarloII.3.La période du penduleII.4.Notre approximation avec la radioactivité

Approximation EgyptienneApproximation Egyptienne

Papyrus Rhind π = 3,16

8/9 du diamètre

Méthode d’ArchimèdeMéthode d’Archimède

Le Temps de l’analyse

Viète Viète

(1540-1603)(1540-1603)

DémonstrationDémonstration

r².sin 2

1 2r².sin

2

1 .cosr².sin OH.HA OAB Aire

.cosn.r².sin sin².2

A Donc n rn

sin².2

12n. A2n r

cossin²..

cossin²..

A

A

2

rn

rn

n

n

2cos

A

A

4n

2n

Calculs de Viète

kn

n

n

n

nnnn

β....

β.

ββ.

A

AA

A

A

A

A

A

A

A

A

A

k

kk

2cos

4cos

2coscos

...x xx

2

22

n2

8

4n

4

n2

2

n1-k

k2cos....

4cos.

2cos.cos².

lim πr

Ank

k2cos....

4cos.

2cos.cos

sin.2

1

limπ

n

k

π = 3,14159234

cos2

1

2

1

2cos quesavait il ailleurs,Par

1 = sin et 2

1= ß cos ,

4= ßoù d' 4 =n choisit Viète

...2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

...222

2

22

2

2

22

Le Temps des machines

Srivinasa RamanujanSrivinasa Ramanujan

Aiguilles de BuffonAiguilles de Buffon

π = 3,1596

b

ap

2

Simulation Excel

Fléchettes de Monte CarloFléchettes de Monte Carlo

π = 3,1432

http://perso.wanadoo.fr/jpq/proba/montecarlo/

4

p

L

T

Le penduleLa période du pendule fait intervenir L est la longueur en mètres

g est l’intensité de pesanteurSur Terre: g = 9,8 m / s²Exemple : avec L = 1 m5T = 10,1 secondes

g

LT 2

1618.3

8.91

2

1

5

1.10

2

gL

Tπ = 3,1618 = 3,1618

Approximation avec la radioactivité

π = 3,4767

2

6

p

Tableau ExcelA B …

A PGCD (A ; A) PGCD (B ; A) …

B PGCD (A ; B) PGCD (B ; B) …

… … … …

Xn PGCD (A ; Xn) PGCD (B ; Xn) …

…

Somme des PGCD s’ils sont égaux à 1

α = somme des PGCD s’ils sont égaux à 1

β = somme des PGCD s’ils sont égaux à 1

…

Approximations de 6/π² par colonne

α/ (n-1) β/ (n-1) …

Approximations de π par colonne

RACINE (6/ (α/ (n-1)) RACINE (6/ (β/ (n-1))

Fin