Le nombre d'or La suite de Fibonacci Nature Mathématiques Bilan

Le nombre d'or

La suite de Fibonacci

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Art

Nature

Mathmatiques

Bilan

Le nombre d'or Dfinition dans Les lments d'Euclide (-300 AV JC )Dfinition 3 du livre VI (Extrait d'une traduction imprime en 1632)

ab= ab

a a b a + b


ab= ab

a

Dans certains problmes de Al-Khwarizmi (mathmaticien perse du VIIe sicle) est la solution positive de l'quation = + 1

a b a + b


ab= ab

a

Dans certains problmes de Al-Khwarizmi (mathmaticien perse du VIIe sicle) est la solution positive de l'quation = + 1

a b a + b

=15

21,618

=15

21,618

1

Si j'enlve le carr inscrit dans le rectangle d'or alors j'obtiens un rectangle d'or plus petit.

Le rectangle d'or :Rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur est gal au nombre d'or.

=15

21,618

1

Si j'enlve le carr inscrit dans le rectangle d'or alors j'obtiens un rectangle d'or plus petit.

La spirale dore

Le rectangle d'or :Rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur est gal au nombre d'or.

Les diagonales des rectangles d'or se coupent au point limite de la spirale.

=15

21,618

1

Le triangle d'or :Triangle isocle dont le quotient d'un ct et de la base est gal au nombre d'or.

1

1

=15

21,618

1

Le triangle d'or :Triangle isocle dont le quotient d'un ct et de la base est gal au nombre d'or.

1

1

Le pentagone et le pentagramme :

Tous les triangles dans cette figure sont des triangles d'or.


0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

Notation en terme de suite : F(n+1) = F(n) + F(n-1)


Problme rcratif pos dans le Liber Abaci de Lonardo Pisano (1175-1250) : Possdant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple compter du second mois de son existence ?

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...




0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

Problme pos par Pingala mathmaticien indien ( -400 AV jC)(En Sanskrit, les voyelles peuvent tre longues (L) ou courtes (C) )combien peut-on former de cadences diffrentes d'une longueur donne si la voyelle longue (L) est deux fois plus longue que la courte (C) ?




0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

Problme pos par Pingala mathmaticien indien ( -400 AV jC)(En Sanskrit, les voyelles peuvent tre longues (L) ou courtes (C) )combien peut-on former de cadences diffrentes d'une longueur donne si la voyelle longue (L) est deux fois plus longue que la courte (C) ?longueur 1 : C 1




0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

Problme pos par Pingala mathmaticien indien ( -400 AV jC)(En Sanskrit, les voyelles peuvent tre longues (L) ou courtes (C) )combien peut-on former de cadences diffrentes d'une longueur donne si la voyelle longue (L) est deux fois plus longue que la courte (C) ?longueur 1 : C 1 longueur 2 : CC, L 2




0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

Problme pos par Pingala mathmaticien indien ( -400 AV jC)(En Sanskrit, les voyelles peuvent tre longues (L) ou courtes (C) )combien peut-on former de cadences diffrentes d'une longueur donne si la voyelle longue (L) est deux fois plus longue que la courte (C) ?longueur 1 : C 1 longueur 2 : CC, L 2 longueur 3 : CCC, CL, LC 3




0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

Problme pos par Pingala mathmaticien indien ( -400 AV jC)(En Sanskrit, les voyelles peuvent tre longues (L) ou courtes (C) )combien peut-on former de cadences diffrentes d'une longueur donne si la voyelle longue (L) est deux fois plus longue que la courte (C) ?longueur 1 : C 1 longueur 2 : CC, L 2 longueur 3 : CCC, CL, LC 3 longueur 4 : CCCC, CCL, CLC, ,LCC, LL 5




0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

Problme pos par Pingala mathmaticien indien ( -400 AV jC)(En Sanskrit, les voyelles peuvent tre longues (L) ou courtes (C) )combien peut-on former de cadences diffrentes d'une longueur donne si la voyelle longue (L) est deux fois plus longue que la courte (C) ?longueur 1 : C 1 longueur 2 : CC, L 2 longueur 3 : CCC, CL, LC 3 longueur 4 : CCCC, CCL, CLC, ,LCC, LL 5 longueur 5 : CCCCC, CCCL, CCLC, CLCC, LCCC, CLL, LCL, LLC 8


F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

11=1

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

11=1

21=2

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

11=1

21=2

32=1,5

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

11=1

21=2

32=1,5

531,67

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

11=1

21=2

32=1,5

531,67

85=1,6

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

11=1

21=2

32=1,5

531,67

85=1,6

138=1,625

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

11=1

21=2

32=1,5

531,67

85=1,6

138=1,625

2113

1,615

3421

1,619

5534

1,618

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

11=1

21=2

32=1,5

531,67

85=1,6

138=1,625

2113

1,615

3421

1,619

5534

1,618

8955

1,618

14489

1,618

F n1F n

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

F n1F n

F(n) et

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

F n1F n

Formulede Binet

F n= 15

n1 n

Petit historique

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Euclide : vision gomtrique et irrationalit de la proportion.

Fibonacci : pas de rapport entre phi et la suite.

Lucas Pacioli : De divina proportione (1509) illustr par Lonard de vinci.

Lien entre phi et la suite dmontr par Kepler (1571-1630)La gomtrie contient deux grands trsors : lun est le thorme de Pythagore ; lautre est la division dune ligne en moyenne et extrme raison. Le premier peut tre compar une rgle dor ; le second un joyau prcieux.

Le philosophe allemand Adolf Zeising (1810- 1876) dveloppe une thorie sur l'existence d'une loi universelle base sur le nombre d'or.

Le prince roumain (diplomate) Matila Ghyka (1881-1965) publie en 1931 Le Nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le dveloppement de la civilisation occidentale

Petit historique

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618


Petit historique

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618




Lien entre phi et la suite dmontr par Kepler (1571-1630)

La gomtrie contient deux grands trsors : lun est le thorme de Pythagore ; lautre est la division dune ligne en moyenne et extrme raison. Le premier peut tre compar une rgle dor ; le second un joyau prcieux.

Petit historique

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618






The Golden Ratio is a universal law in which is contained the ground-principle of all formative striving for beauty and completeness in the realms of both nature and art, and which permeates, as a paramount spiritual ideal, all structures, forms and proportions, whether cosmic or individual, organic or inorganic, acoustic or optical; which finds its fullest realization, however, in the human form.

Petit historique

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618






Le prince roumain (diplomate) Matila Ghyka (1881-1965) publie en 1931 :Le Nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le dveloppement de la civilisation occidentale

Art

ARCHITECTURELes pyramides gyptiennesLe thtre d'Epidaure Le Parthnon Athnes Les cathdralesLa quine Le Corbusier

MUSIQUEGammeLe Rythme

PEINTURELonard de VinciBotticelliSeuratModrianKandiskiDali

SCULPTURE

Architecture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Les pyramides gyptiennes

Le thtre d'pidaure

Le Parthnon Athnes

Les cathdrales

La quine (rgle articule des matres btisseurs du moyen-ge)

Le Corbusier

Architecture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Les pyramides gyptiennes

Extrait : D'aprs Hrodote, des prtres gyptiens disaient que les dimensions de la grande pyramide avaient t choisies telles que : "Le carr construit sur la hauteur verticale galait exactement la surface de chacune des faces triangulaires.

Donc les dimensions donnes seraient dans un rapport gal !!

Premire apparition de cette citation apocryphe en 1859. (John Taylor, The Great Pyramid, Why Was It Built and Who Built It?)

Architecture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Le thtre d'Epidaure

Les 55 gradins sont disposs en deux sries : 34 puis 21.

Pourquoi si cela reprsente un idal ne retrouve t-on ces nombres que dans ce thtre grec?

Architecture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Le Parthnon Athnes

Pour que le Parthnon rentre dans un rectangle d'or, il faut prendre les 3 dernires marches, tonnante erreur de la part des architectes du Parthnon.

= phi vient de phidias. Phidias a sculpt de nombreuses frises pour le Parthnon. C'est aussi le crateur de la statue chryslphantine de Zeus.(Cette uvre est la troisime des Merveilles du monde)

Architecture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Les cathdrales

Dcoupage approximatif, rsultats affichs faux, pentagramme non rgulier, apparition du rapport .

Malgr de trs nombreuses tentatives, aucun rsultat n'a jamais t concluant...

Architecture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Les cathdrales

Le trac des pentagones dans les cathdrales utilisent une technique approximative.

Architecture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 =15

21,618

La quine la paume = 34 lignes = 7,64 cm la palme = 55 lignes = 12,36 cm l'empan = 89 lignes = 20 cm le pied = 144 lignes = 32,36 cm la coude = 233 lignes = 52,36 cmAvec une unit de base : la ligne = 2,247 mm 6 coudes = 3,1416 mtres, soit une bonne approximation de en mtre!5 empans = 1 mtre, mais le mtre n'existe pas encore !!!

Invention parue dans Cahier de Boscodon n4 et malheureusement reprise depuis de nombreuses fois sans vrification... Mensonge bas sur des demi-vrits.Coude sous toutnkamon : 52,3 cm

Architecture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Le Corbusier

Le Corbusier rinvente les dimensions dans l'architecture en utilisant le nombre d'or et la suite de Fibonacci. Il publie Le Modulor en 1948 et l'utilise dans certaines de ses crations.

Musique

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

GammeOctave 2/1Quinte 3/2

Mais part ces 2 rapports les diffrentes gammes et n'ont pas de rapport avec la suite de Fibonacci ou le nombre d'or.

Le rythme

Le rythme est plus largement associ au nombre d'or. Debussy, Erik Satie ou Bla Bartok taient associs des revues symbolistes auxquelles ils participaient et qui analysaient les proportions et le nombre d'or.

Pour Xenakis, l'usage du nombre d'or est explicit par l'auteur.

Peinture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

la Nature a distribu les mesures du corps humain comme ceci. Quatre doigts font une paume, et quatre paumes font un pied, six paumes font une coude: quatre coudes font la hauteur dun homme. Et quatre coudes font un double pas, et vingt quatre paumes font un homme; et il a utilis ces mesures dans ses constructions. Si vous ouvrez les jambes de faon abaisser votre hauteur dun quatorzime, et si vous tendez vos bras de faon que le bout de vos doigts soit au niveau du sommet de votre tte, vous devez savoir que le centre de vos membres tendus sera au nombril, et que lespace entre vos jambes sera un triangle quilatral. La longueur des bras tendus dun homme est gale sa hauteur. Depuis la racine des cheveux jusquau bas du menton, il y a un dixime de la hauteur dun homme. Depuis le bas du menton jusquau sommet de la tte, un huitime. Depuis le haut de la poitrine jusquau sommet de la tte, un sixime; depuis le haut de la poitrine jusqu la racine de cheveux, un septime. Depuis les ttons jusquau sommet de la tte, un quart de la hauteur de lhomme. La plus grande largeur des paules est contenue dans le quart dun homme. Depuis le coude jusquau bout de la main, un cinquime. Depuis le coude jusqu langle de lavant bras, un huitime. La main complte est un dixime de lhomme. Le dbut des parties gnitales est au milieu. Le pied est un septime de lhomme. Depuis la plante du pied jusquen dessous du genou, un quart de lhomme. Depuis sous le genou jusquau dbut des parties gnitales, un quart de lhomme. La distance du bas du menton au nez, et des racines des cheveux aux sourcils est la mme, ainsi que loreille: un tiers du visage.

Lonard de Vinci

Peinture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Botticelli

Une analyse a prouv que que l'on a dcoup La naissance de Vnus (1485) au dimension du rectangle d'or. Initialement il formerait un diptyque avec Le printemps soit 32,5 cm de plus en hauteur.

Les uvres mme mystiques ou religieuses de Botticelli ne doivent rien au nombre d'or.

Peinture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Seurat et Modrian

Piet Modriaan Composition A 1923Georges Seurat La Parade 1899

Ces deux artistes ainsi que d'autres ont utilis le nombre d'or dans leur composition.

Peinture

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Kandisky et dali

KandiskyDsol mais non ...

Dalil, c'est sr ...

Peinture

La section d'or (cubistes)

En octobre 1912, une exposition organise par le groupe de Puteaux est intitule le Salon de la Section d'Or. Le titre a t choisi sur une suggestion de Jacques villon pour deux raisons :

L'analyse en 1910 de l'oeuvre de Lonard de Vinci faite par Josephin Pladan (crivain, occultiste).

Jeu de mot sur le double sens du mot section : petit groupe

PARTICIPANTS A LA SECTION D'OR : Braque, Cocteau, Leger, Mondriaan, Picasso, Satie, Les frres Duchamp, ...

Sculpture

Aucune tude srieuse, on fait coller un visage idal sur des sculptures connues pour justifier de l'existence du rapport dor.Dans la mouvance 'gomtrie du sacr', sans intrt.

Art

ARCHITECTURELes pyramides gyptiennes NONLe thtre d'pidaure OUI : la suite de FibonacciLe Parthnon Athnes NONLes cathdrales NONLa quine NONLe Corbusier OUI : le modulor

MUSIQUEGamme NONLe Rythme OUI : la suite de Fibonacci

PEINTURELonard de Vinci NONBotticelli NONSeurat OUIModrian OUIKandiski NONDali OUI

SCULPTURE NON

On peut rajouter la posie avec Paul Valry OUI

Nature

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Le corps humain

La Phyllotaxie

Spirales

Le corps humain

Ces thories et d'autres ont servis de base au racisme et au sexisme.

Je les cite pour montrer les drives de la recherche d'un idal.

Un nombril trop bas pour la grande majorit des individus de la race juive (figure M) et chez la jeune ngrille de lAfrique quatoriale (figure K) sont pour Don Neroman le signe dune race qui na pas encore atteint sa maturit.

Squelette d'aprs Zeising, il est dform pour correspondre au nombre d'or.

Le corps humainEt malheureusement l'histoire ne sert pas toujours de leon ...

La Phyllotaxie

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Certaines espces vgtales respectent dans leur organisation la suite de Fibonacci, de plus ces spirales sont des spirales dores. 8 dans un sens et 13 dans l'autre !

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =

152

1,618

Douady et Couder, physiciens lENS , publient en 1996 une srie de trois articles sur la phyllotaxie.

L'arrangement en spirales dores dpend de la vitesse de croissance et cherche optimiser la place.

Spirales

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

De trs jolies spirales logarithmiques mais il ne s'agit pas ici de spirales dores.

Nature

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Le corps humain NON

La Phyllotaxie OUI

Spirales NON

Psychologie : dans un choix entre plusieurs rectangles nous sommes plus sensibles la taille ou la disposition relative qu' la ressemblance avec un rectangle d'or. NON

Cristaux : Les cristaux de quartz ont une structure pentagonale, donc li au nombre d'or. OUI

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... =15

21,618

Le nombre d'or et la suite de Fibonacci possdent de

trs nombreuses proprits mathmatiques.

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1 3=21 4=32 5=53 6=85 7=138 8=2113

2=1

=11111111111...=1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1...

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1=1 et partir de l on remplace par 1

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1=11

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1=111

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1=11111 et doncen ritrant ...

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1

=11111111111...

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1

=1 1 et partir de l ,

on remplace par 1 1

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1

=1 1

1 1

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1

=1 1

1 1

1 1

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1

=1 1

1 1

1 1

1 1et donc en ritrant ...

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1

=1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1...

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1 3=1= 2=1=21

2=1

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1 3=21 4= 3=21=2 2=21=32

2=1

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1 3=21 4=32 5= 4=32=3 22=312=53

en ritrant onobtient ...

2=1

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1 3=21 4=32 5=53 6=85 7=138 8=2113

2=1

Et on reconnat les termes de la suite de Fibonacci ...

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

2=1 3=21 4=32 5=53 6=85 7=138 8=2113

2=1

=11111111111...=1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1...

Mathmatiques

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

et 4

=arctan 53arctan 2

8

...4

=arctan 8955

arctan 34144

En notant Fn les termes dela suite Fibonacci :4

=arctan F nF n1

arctan F n2F n1

En passant la limite...4

=arctan arctan 1 3

=152

1,618

Bilan

Diapo 1Diapo 2Diapo 3Diapo 4Diapo 5Diapo 6Diapo 7Diapo 8Diapo 9Diapo 10Diapo 11Diapo 12Diapo 13Diapo 14Diapo 15Diapo 16Diapo 17Diapo 18Diapo 19Diapo 20Diapo 21Diapo 22Diapo 23Diapo 24Diapo 25Diapo 26Diapo 27Diapo 28Diapo 29Diapo 30Diapo 31Diapo 32Diapo 33Diapo 34Diapo 35Diapo 36Diapo 37Diapo 38Diapo 39Diapo 40Diapo 41Diapo 42Diapo 43Diapo 44Diapo 45Diapo 46Diapo 47Diapo 48Diapo 49Diapo 50Diapo 51Diapo 52Diapo 53Diapo 54Diapo 55Diapo 56Diapo 57Diapo 58Diapo 59Diapo 60Diapo 61Diapo 62Diapo 63Diapo 64Diapo 65Diapo 66Diapo 67Diapo 68Diapo 69Diapo 70Diapo 71Diapo 72Diapo 73Diapo 74Diapo 75Diapo 76

Le nombre d'or La suite de Fibonacci Nature Mathématiques Bilan

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