Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Régime ... · PDF...

Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé –––– 1/ 1/ 1/ 1/11116666

ObjectifObjectifObjectifObjectif :::: �� Description des outils d’étude des signaux sinusoïdaux Description des outils d’étude des signaux sinusoïdaux Description des outils d’étude des signaux sinusoïdaux Description des outils d’étude des signaux sinusoïdaux

�� Observation du comportement des oscillateurs en sinusoïdalObservation du comportement des oscillateurs en sinusoïdalObservation du comportement des oscillateurs en sinusoïdalObservation du comportement des oscillateurs en sinusoïdal

IntroductionIntroductionIntroductionIntroduction ::::

Pourquoi Pourquoi Pourquoi Pourquoi étudier les signaux étudier les signaux étudier les signaux étudier les signaux sinusoïdasinusoïdasinusoïdasinusoïdauxuxuxux ????

Tout signal périodique peut se décomposer en somme de signaux sinusoïdaux

� Les sinusoïdes permettent de décrire et d’étudier tout signal périodique (ANALYSE DE FOURIER)

ExempleExempleExempleExemple ::::

Qu’estQu’estQu’estQu’est----ce que le régime sinusoïdal forcéce que le régime sinusoïdal forcéce que le régime sinusoïdal forcéce que le régime sinusoïdal forcé ????

Reprenons un oscillateur RLC :

Solution : ( )0 cos dépend de l'excitation e(t)σω ω ϕ−

= +

= + +

SSM PARTC C C

tC P

u u u

u e A t

Exemple de régime SINUS FORCE :

� Consigne sinus : ( ) ( )cose t E tω=

� On force l’oscillateur à suivre un sinus

Signal original périodiqueSignal original périodiqueSignal original périodiqueSignal original périodique ::::

(Signal quelconque)

t

x(t)

R e(t)

i(t)

uC(t)

L

uL(t) uR(t)

C Comportement

de l’oscillateur

Consigne

(Excitation)

Décomposition en série de FourierDécomposition en série de FourierDécomposition en série de FourierDécomposition en série de Fourier ::::

t

t

t

t

Fondamental

Harmoniques

Période T

Représentation fréquentielleReprésentation fréquentielleReprésentation fréquentielleReprésentation fréquentielle ::::

f f 2f 3f O 4f …

Fondamental

(De fréquence

1f

T= )

Harmoniques

(De fréquences

multiples du

fondamental)

( )2 20 0 02C C Cu u u e tσω ω ω+ + =ɺɺ ɺ

�� Régime TRANSITOIRE Régime TRANSITOIRE Régime TRANSITOIRE Régime TRANSITOIRE,

disparaît au bout de 3τ

�� Régime PERMANENT, Régime PERMANENT, Régime PERMANENT, Régime PERMANENT,

Différentes possibilités :

t

Transitoire Etabli = sinus forcé t

Transitoire Etabli = Continu

Comparaison avec un pseudo périodique

continu :

� Régime libre : SSM = 0

� Régime continu : SSM = constante

� Régime forcé sinusoïdal : SSM sinus

Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Régime Sinusoïd Régime Sinusoïd Régime Sinusoïd Régime Sinusoïdal Forcé al Forcé al Forcé al Forcé –––– 2/ 2/ 2/ 2/11116666

IIII Caractérisation des signaux sinusoïdauxCaractérisation des signaux sinusoïdauxCaractérisation des signaux sinusoïdauxCaractérisation des signaux sinusoïdaux

IIII....1111 Origine du SinusOrigine du SinusOrigine du SinusOrigine du Sinus

DéfDéfDéfDéf :::: Un signal sinusoïdal s’écrit : Origine du sinusOrigine du sinusOrigine du sinusOrigine du sinus ::::

( ) ( )cosmx t X tω ϕ= +

Amplitude (Xm > 0) Phase à l’instant t

Et aussi : � T la période ( ) ( )x t T x t+ =

� 2

T

πω = la pulsation en rad.s-1

� ϕ la phase à l’origine (abusivement appelée phase)

OrigineOrigineOrigineOrigine :::: Tout mouvement de rotation simple A VITESSE CONSTANTE

engendre un signal sinusoïdal en projection sur l’un des axes.

�� V V V VECTECTECTECTEUR TOURNANTEUR TOURNANTEUR TOURNANTEUR TOURNANT

IIII....2222 Description du sinusDescription du sinusDescription du sinusDescription du sinus

MoyMoyMoyMoyenne d’un signal de période Tenne d’un signal de période Tenne d’un signal de période Tenne d’un signal de période T :::: ( ) ( )0

1 T

x t x t dtT

= ∫

Exemple du sinus : ( ) ( ) ( )0

0

1 1cos s in 0

TT

mm

Xx t X t d t t

T Tω ϕ ω ϕ

ω = + = + =

∫

Rappel : Signal

Non périodique Périodique

( ) 0x t ≠ Alternatif ( ) 0x t =

Autres Sinusoïdal ( ) ( )cosmx t X tω ϕ= +

Par abus de langage, on appelle signal sinusoïdal même un signal de moyenne non-nulle

Valeur efficace d’un signal de période TValeur efficace d’un signal de période TValeur efficace d’un signal de période TValeur efficace d’un signal de période T :::: ( ) ( )2 2

0

1 T

effX X x t x t dtT

= = = ∫

Exemple du sinus : ( ) ( )2

2 2

0cos

2ω ϕ= = = + = =∫

Tm m

eff eff

X XX X x t t dt X

T

( ) ( )2

0 0

1 1cos cos 2 2 0 0

2 2 2ω ϕ ω ϕ + = + + = − +

∫ ∫T T T

car t d t t dt

Rappel : ( ) ( )2 2 2

2 2 1 1cos cos 2

2 4 2 2

ia ia ia iae e e ea a

− − + + += = = +

φ

O

Rmq 1Rmq 1Rmq 1Rmq 1 :::: En AnglaisEn AnglaisEn AnglaisEn Anglais = = = = RMSRMSRMSRMS

Root ( Mean ( Square ( __ ) ) )

Racine ( Moyenne ( Carré ( __ ) ) )

Rmq 2Rmq 2Rmq 2Rmq 2 :::: Résultat à connaître par cœur

Pour un SINUS PUR d’amplitude Xm

(évidemment de moyenne nulle) 2m

eff

XX =


IIII....3333 Représentation de FresnelReprésentation de FresnelReprésentation de FresnelReprésentation de Fresnel

On regroupe les informations sur le sinus dans

une notation vectorielle : la représentation de Fresnel

Vecteur de FresnelVecteur de FresnelVecteur de FresnelVecteur de Fresnel ::::

� Norme du vecteur = VALEUR EFFICACEVALEUR EFFICACEVALEUR EFFICACEVALEUR EFFICACE

� Angle vecteur/réf. horizontale = PHASE à L’ORIGINE

ATTENTIONATTENTIONATTENTIONATTENTION :::: � VALEUR EFFICACE

� Un vecteur de Fresnel est toujours représenté POUR UNE PULSATION donnée

(Donc ne s’utilise qu’en régime sinusoïdal forcé, après avoir précisé la pulsation)

IIII....4444 Comparaison de signaux synchronesComparaison de signaux synchronesComparaison de signaux synchronesComparaison de signaux synchrones

DéfDéfDéfDéf :::: Deux signaux de même fréquence

sont dits SYNCHRONES

(Asynchrone = fréquence différente)

Déphasage de signauxDéphasage de signauxDéphasage de signauxDéphasage de signaux synchrones synchrones synchrones synchrones ::::

Soient 2 signaux décalés temporellement de ∆t :

� ( ) ( )cos 0m x xx t X tω ϕ ϕ= + =

� ( ) ( )cos 0ω ϕ ϕ= + <m y yy t Y t � 0yϕ < signifie que y est en retard sur la référence x

Déphasage de y par rapport à x : ϕ ϕ ϕ ϕ→ = ∆ = −y x y x

(= Avance de phase de y par rapport à x)

(φ < 0 si y est en retard sur x)

Relation avec le décalage temporel : 2

Tt

ϕπ

∆ ×∆ =

Puisqu’on a la correspondance 2

ϕπ

∆ ↔ ∆ ↔

t

T

SommeSommeSommeSomme ou soustraction ou soustraction ou soustraction ou soustraction de signaux de signaux de signaux de signaux synchrones synchrones synchrones synchrones ::::

Prenons 2 signaux synchrones ( ) ( )cosm xx t X tω ϕ= + et ( ) ( )cosm yy t Y tω ϕ= +

On a alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos

cos

m z

m z

x t y t Z t

x t y t Z t

ω ϕω ϕ

+ = + ′ ′− = +

� signaux de MEME PULSATION

Intérêt de la représentation de FresnelIntérêt de la représentation de FresnelIntérêt de la représentation de FresnelIntérêt de la représentation de Fresnel ::::

Les opérations peuvent se faire vectoriellement

MultiplicationMultiplicationMultiplicationMultiplication de signaux synchrones de signaux synchrones de signaux synchrones de signaux synchrones ::::

( ) ( ) ( ) ( )... cos 2 cos2 2 2 2

ϕ ϕϕ ϕω ω ω ω

ω ϕ ϕ ϕ ϕ−−− −+ +× = × = = + + + −

y yx xi ii ii t i t i t i t

m m m mm m x y x y

X Y X Ye e e e e e e ex t y t X Y t

� PLUS COMPLIQUE – Pas d’utilisation possible des vecteurs de Fresnel (asynchrone)

φ Référence des

phases φ = 0

X��

O

Avec effX X=��

∆t

t

x(t)

y(t)

X��

Y��

Ici : 2

πϕ∆ ≈ −

ATTENTION à la PULSATIONATTENTION à la PULSATIONATTENTION à la PULSATIONATTENTION à la PULSATION ω

Ne fonctionne pas avec des signaux

asynchrones

X��

O Y��

X Y+��

X Y−��

Sinus à 2ω Constant

e


IIIIIIII Représentation complexe des grandeurs sinusoïdalesReprésentation complexe des grandeurs sinusoïdalesReprésentation complexe des grandeurs sinusoïdalesReprésentation complexe des grandeurs sinusoïdales

IIIIIIII....1111 Notation complexe des grandeursNotation complexe des grandeursNotation complexe des grandeursNotation complexe des grandeurs sinusoïdales sinusoïdales sinusoïdales sinusoïdales

A une grandeur réelle ( ) ( )cosmx t X tω ϕ= + , on fait correspondre la grandeur complexe :

( ) ( ) ( )( )

ω ϕ ϕ ω

ω

+= = ⋅

= ⋅

j t j j tm m

j tm

x t X e X e e

x t X e, telle que : ( ) ( )( )Rex t x t=

Rmq : Utilisation de j pour la racine carré de 1 ( 2 2 1i j= = − ), pour ne pas confondre avec le courant élec.

Quelques exemples :

� ( ) ( )2 cos 2 2ω ϕ ϕω ϕ += + ⇒ = ⋅ = ⋅j t j jmx t X t x X e et X X e

� ( ) ( )2 cos 2 2ωω= ⇒ = ⋅ =j tmx t X t x X e et X X

� ( ) ( ) ( )22sinππ ϕω ϕω ϕ −− += + ⇒ = ⋅ = ⋅

jj t j j

mx t X t x X e et X X e

Rappel mathématiqueRappel mathématiqueRappel mathématiqueRappel mathématique : : : :

Notation : Algébrique trigonométrique géométrique

Formes d’un nombre complexe : ( )c o s s i n θθ θ= + = + = jz a j b r j r e

Re(z) Im(z) module argument exponentielle complexe

Correspondances :

( )

2 2

ta n

r a b

b

aθ

= +

=

ou ( )( )

c o s

s in

a r

b r

θθ

=

=

Complexe conjugué : θ∗ −= − = jz a jb re

� Module ∗= = ×r r z z

� Symétrique par rapport à l’axe des réels

Opérations : 1 2 1 2

1 21 2 1 2

a a r rz z

b b θ θ= =

= ⇔ ⇔ = =

1 2

1 21 2θ θ θ

= ×= × ⇔ = +

r r rz z z

1 2

1 21 2

//

r r rz z z

θ θ θ=

= ⇔ = −

IIIIIIII....2222 Intérêt de la notation complexeIntérêt de la notation complexeIntérêt de la notation complexeIntérêt de la notation complexe

� Simplification des équations différentielles :

Dérivation : j tm

d x dX e j x

d t d tω ω= ⋅ = ⋅

AMPLITUDE COMPLEXE

( )Re z

( )Im z

z b

a

-b ∗z

Intégration : 1 1j t

mx dt X e xj j

ω

ω ω⋅ = ⋅ = ⋅∫

Dériver

1Intégrer

ω

ω

⇔ × ⇔ ×

j

j

Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé –––– 5/1 5/1 5/1 5/16666

� Une équation différentielle (long à résoudre) devient une équation algébrique (plus simple)

Exemple du circuit RLC série :

( )( ) ( )

2 2 22 20 0 00 0 0

2 2 20 0 0

22

cos 2

ωω σω ω ω ωσω ω ωω ω σω ω ω ω

− ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + = ⇒

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

ɺɺ ɺj t

C C CC C C

Cm Cm Cm

u j u u Eeu u u e t

e t E t U j U U E

Ainsi, la réponse complexe est plus simple à trouver :

20

2 20 02

ωω σω ω ω

⋅=+ −Cm

EU

j

� Comment retrouver la valeur efficace et l’amplitude à partir de l’amplitude complexe mU ?

Puisque ( ) ( ) ( )( ) ( )2 cos Re Re ωω ϕ= + = = ⋅ j tmu t U t u t U e et 2 ϕ= ⋅ j

mU U e

Alors il suffit de recalculer

le module de l’amplitude complexe :

IIIIIIII....3333 Dérivation du vecteur de FresnelDérivation du vecteur de FresnelDérivation du vecteur de FresnelDérivation du vecteur de Fresnel

Reprenons le vecteur de Fresnel du signal ( ) ( )cosmx t X tω ϕ= +

On a : ( ) ( )

( ) ( )

sin cos2

sin cos2

πω ω ϕ ω ω ϕ

πω ϕ ω ϕω ω

→ = − + = + + ⇔

→ ⋅ = + = + − ⇔ ∫

��

��

m m

m m

dx t X t X t Y

dt

X Xx t dt t t Z

On remarque que : � La grandeur dx

d t est en quadrature avance par rapport à ( )x t

� La grandeur x dt⋅∫ est en quadrature retard par rapport à ( )x t

Lien avec les complexes : � La dérivée ( )

2

d xArg Arg x

dtd xj x

dt d xx

dt

π

ωω

= + = ⇒ =

� Et l’intégrale ( ) ( )

1 21

Arg x dt Arg xx dt x

jx dt x

π

ωω

⋅ = −⋅ = ⇒ ⋅ =

∫∫

∫

DERIVEEDERIVEEDERIVEEDERIVEE :::: INTEGRALEINTEGRALEINTEGRALEINTEGRALE ::::

φ

X��

O

effX X=��

Y��

effY Xω=��

Z��

effXZ

ω=

��

t

( )x t x dt⋅∫

t

( )x t dx

dt

En notation complexe

En AMPLITUDE complexe

2 22

20 0

2

22 1

ω ωσω ω

= = =

+ −

m

eff

U EU U

Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé –––– 6666////11116666

IIIIIIIIIIII Dipôle linéaire en complexeDipôle linéaire en complexeDipôle linéaire en complexeDipôle linéaire en complexe

IIIIIIIIIIII....1111 Impédance complexeImpédance complexeImpédance complexeImpédance complexe

Première Première Première Première constatationconstatationconstatationconstatation ::::

On soumet un dipôle LINEAIRE (R, L ou C) à une tension sinusoïdale ( ) ( )cosmu t E tω=

� Le courant qui le traverse est aussi sinusoïdal DE MEME PULSATION ( ) ( )cosmi t I tω ϕ= +

Mais il est en général déphasé (sauf pour la résistance)

Loi d’Ohm Loi d’Ohm Loi d’Ohm Loi d’Ohm en représentation comen représentation comen représentation comen représentation complexeplexeplexeplexe :::: ( ) ( )u t Z i t= ⋅ ou m mU Z I= ⋅

Avec : ( ) ω ω= = ⋅j t j tmu t Ee U e Impédance Z ( ) ( )j t j t

m mi t I e I eω ϕ ω+= = ⋅

jZ R jS Zeϕ= + = ,

Impédance complexe Z = Résistance R + j * Réactance S (Tout en Ω)

Ainsi : En module : m mU Z I= ⋅ , avec =Z Z

En phase : u Z iϕ ϕ ϕ= +

Rmq : On définit l’admittance complexe : 1

YZ

= en Ω-1 ou en Siemens (S)

Dipôle R, L et CDipôle R, L et CDipôle R, L et CDipôle R, L et C ::::

DipôDipôDipôDipôlelelele RRRR LLLL idéal idéal idéal idéal CCCC idéal idéal idéal idéal

Relation courant-tension =u R i di

u Ldt

= du

i Cdt

=

Relation entre

( )u t et ( )i t u R i= ⋅ u jL iω= ⋅

1u i

jCω= ⋅

Impédance complexe RZ R= LZ jLω= 1

CZjCω

=

Vecteur de Fresnel

(cas où 0uϕ = )

Courant Courant EN PHASE

avec la tension

Courant en

quadrature RETARD

sur la tension

Courant en

quadrature AVANCE

sur la tension

( ) ( )cosmu t E tω=

( ) ( )cosmi t I tω ϕ= +

u

Riu

Li 2

π− u

Ci

2

π

Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé –––– 7777/1/1/1/16666

ATTENTIONATTENTIONATTENTIONATTENTION :::: Ne pas confondre les notationsNe pas confondre les notationsNe pas confondre les notationsNe pas confondre les notations

Notation Cas de la

Résistance R

Impédance Complexe

Z

Norme de l’impédance

=Z Z

Valeur Instantanée

( ) ( )2 cos ω ϕ= +x t X t ( ) ( )= ⋅u t R i t ( ) ( )= ⋅u t Z i t ( ) ( )= ⋅u t Z i t

Amplitude : ˆ 2=X X ˆ ˆ= ⋅U R I ˆ ˆ= ⋅U Z I ˆ ˆ= ⋅U Z I

Valeur Efficace : = effX X = ⋅U R I = ⋅U Z I = ⋅U Z I

Variable complexe

( ) ( )2 ω ϕ+= ⋅ j tx t X e ( ) ( )= ⋅u t R i t ( ) ( )u t Z i t= ⋅ ( ) ( )= ⋅u t Z i t

Amplitude complexe

2 ϕ= ⋅ jmU X e

= ⋅m mU R I = ⋅m mU Z I = ⋅m mU Z I

(On numérote les cases par [n°colonne. n°ligne])

JUSTIFICATIONJUSTIFICATIONJUSTIFICATIONJUSTIFICATION :::: On repart toujours de la définition ( ) ( )= ⋅

= ⋅

m mU Z I

u t Z i t

De manière générale : Le complexe Z contient deux informations – le rapport U/I et le déphasage U/I

Case 4.2 et 5.2 : Correspond à la définition

Case 1.2, 2.2 et 3.2 : Impossible – Mélange entre complexe et réel – = ⋅ ⇒ = ⋅m m m mU Z I U Z I

Case 1.3 : Impossible – Un nombre réel ne suffit pas à décrire le rapport U/I et le déphasage…

Case 2.3 et 3.3 : POSSIBLE – 2 2

= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅m m

m m m m

U IU Z I U Z I et Z

Case 4.3 et 5.3 : Impossible – Mélange entre complexe et réel – le réel Z ne suffit par à décrire le

rapport et le déphasage entre U et I (sauf dans le cas d’une R, pour laquelle φ = 0)

IIIIIIIIIIII....2222 Association de dipôlesAssociation de dipôlesAssociation de dipôlesAssociation de dipôles

En Série : Les impédances s’additionnent _ = ∑e q s é r i eZ Z

Exemple : Circuit RLC série, 1

eq R L CZ Z Z Z R j LC

ωω

= + + = + −

En Parallèle : Ce sont les admittances qui s’additionnent

_

_

1 1

= =

∑

∑

e q p a r a l lè le

e q p a r a l lè le

Y Y

Z Z

Exemple : Circuit RLC parallèle,

1 1

eq R L CY Y Y Y j CR L

ωω

= + + = + −

A B R C L

A B R

C

L

Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé Régime Sinusoïdal Forcé –––– 8888////11116666

IIIIIIIIIIII....3333 CircuitCircuitCircuitCircuit linéaire en régime sinusoïdal linéaire en régime sinusoïdal linéaire en régime sinusoïdal linéaire en régime sinusoïdal

�� Toutes les lois vues en continu sont encore valables Toutes les lois vues en continu sont encore valables Toutes les lois vues en continu sont encore valables Toutes les lois vues en continu sont encore valables

en en en en Régime SRégime SRégime SRégime S inusoïdalinusoïdalinusoïdalinusoïdal Forcé SUFFISAMMENT LENT Forcé SUFFISAMMENT LENT Forcé SUFFISAMMENT LENT Forcé SUFFISAMMENT LENT

(ARQS (ARQS (ARQS (ARQS ==== Approximation des Régimes Quasi StationnaireApproximation des Régimes Quasi StationnaireApproximation des Régimes Quasi StationnaireApproximation des Régimes Quasi Stationnaire ))))

I l faut avoir Il faut avoir Il faut avoir Il faut avoir λ< =circuit signal

cd

f

Loi deLoi deLoi deLoi de KirchhoffKirchhoffKirchhoffKirchhoff :::: �� loiloiloiloi des nœuds des nœuds des nœuds des nœuds 1 2 3i i i i= + +

�� loi des loi des loi des loi des maillesmaillesmaillesmailles 1 2 3u u u u= + +

Théorème de Thévenin Théorème de Thévenin Théorème de Thévenin Théorème de Thévenin –––– Norton Norton Norton Norton : : : :

Rappel :

Mais encore mieux, peut être fait avec n’importe quel composant (EN SINUS)

0 0e Ri+

R

A

B

u

0i

R

A

B

0e

u

0u R

L

C

0u

R jLω+

R+jLω

C

0u

R jLω+

2

11 1

ωω ωω

ω

+= =+ −+

+

th

R jLZ

jRC LCjCR jL

0

21 ω ω=

+ −th

uE

jRC LC 21

ωω ω+=

+ −th

R jLZ

jRC LC

Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Ré Ré Ré Régime Sinusoïdal Forcé gime Sinusoïdal Forcé gime Sinusoïdal Forcé gime Sinusoïdal Forcé –––– 9999/1/1/1/16666

Diviseurs de tension et de courantDiviseurs de tension et de courantDiviseurs de tension et de courantDiviseurs de tension et de courant –––– QUEL QUE SOIENT les Z QUEL QUE SOIENT les Z QUEL QUE SOIENT les Z QUEL QUE SOIENT les Z ::::

Théorème de MillmanThéorème de MillmanThéorème de MillmanThéorème de Millman :::: (loi des nœuds en terme de potentiel) (loi des nœuds en terme de potentiel) (loi des nœuds en terme de potentiel) (loi des nœuds en terme de potentiel) –––– QUEL QUE SOIENT les Z QUEL QUE SOIENT les Z QUEL QUE SOIENT les Z QUEL QUE SOIENT les Z

Relation :

1 2

1 2

1 2

...

1 1 1...

k

k

N

k

ee e

Z Z Ze

Z Z Z

+ + +=

+ + +

Cf AOp en génie électrique ou en TP physique

Théorème de superpositionThéorème de superpositionThéorème de superpositionThéorème de superposition ::::

Cadre : � Circuit linéaire avec N sources

� Soit X(i) = valeur prise par X lorsque seule la source i est allumée (toutes les autre éteintes)

On a : ( )

{ }1,..,∈

= ∑ i

i N

X X

(Résultat total = Sommes des influences de chacune des sources indépendamment)

On fait également plusieurs schémas en ne gardant qu’une seule source à la fois :

0u

1

1 01 2

Zu u

Z Z= ⋅

+ 1Z

2Z 2

2 01 2

Zu u

Z Z= ⋅

+

0i 2

1 01 2

Zi i

Z Z= ⋅

+

1Z 2Z

1

2 01 2

Zi i

Z Z= ⋅

+

1Z 2i

2Z

1i

kZ ki

ke Ne

N

1e

2e

0U

R L

C R

0I

0U

R L

C R

R L

C R

0I

On ne garde que UO On ne garde que IO

Exemple :

Et on finit le calcul en général avec les MET…


IVIVIVIV Puissance en régime sinusoïdalPuissance en régime sinusoïdalPuissance en régime sinusoïdalPuissance en régime sinusoïdal

IVIVIVIV....1111 PuisPuisPuisPuissance instantanéesance instantanéesance instantanéesance instantanée

On a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cosm mp t u t i t E I t tω ω ϕ= = +

Qui se met sous la forme : ( ) ( ) ( )cos cos 22m mE I

p t tϕ ω ϕ= + +

Remarques :

� Au cours de T, le dipôle se comporte tantôt comme un Générateur, tantôt comme un Récepteur

� Ondulation à 2ω

IVIVIVIV....2222 Puissance moyennePuissance moyennePuissance moyennePuissance moyenne –––– Puissance active Puissance active Puissance active Puissance active

Puissance réellement consommée par le dipôle :

( ) ( )cos2

ϕ= = = m mmoy

E IP P p t

On l’appelle la PPPPUISSANCEUISSANCEUISSANCEUISSANCE ACTIVE ACTIVE ACTIVE ACTIVE

AttentionAttentionAttentionAttention :::: moyP dépend directement de φ

Si φ = ± π/2, pas de puissance absorbée

CCCComment la calculeromment la calculeromment la calculeromment la calculer ???? Il nous faut Ieff dans les résistances, ou bien utiliser la puissance complexe

- Pour une résistance R, φ = 0 : 2

2m m

moy eff eff eff

U IP U I RI= = =

- Pour une association R + L + C : = +moy R CP P P + LP 2= =R effP RI

� Conclusion : Il n’y a que les résistances qui consomment de la puissance active : 2= =moy R effP P RI

( ) ( )cosmu t E tω=

( ) ( )cosmi t I tω ϕ= +

t

u(t) i(t)

( ) ( ) ( )p t u t i t=

t

Géné Récepteur Récepteur Récepteur Géné Géné

( )cos2m mE I ϕ

( )p t

( )u t

et

( )i t

Géné

φφφφ

PPPPmoymoymoymoy

C C C C

0moyP =

RécepteurRécepteurRécepteurRécepteur

GénérateurGénérateurGénérateurGénérateur

LLLL

0moyP =

RRRR

2m m

moy

E IP =

GénérateurGénérateurGénérateurGénérateur

Tracé de la puissance en fonction du déphasage :


IVIVIVIV....3333 Puissance complexePuissance complexePuissance complexePuissance complexe

On définit la puissance complexe : ( )1

2 2 2ω ϕω ϕ− + −= ⋅ ⋅ ∗ = =j tj t jm m m mU I U I

p u i e e e

Ainsi, on a bien : ( ) ( ) ( )Re cos cos2

ϕ ϕ= = = =m mmoy active

U IP P p UI

Utilité : Sert à CALCULER LA PUISSANCE ACTIVE de manière analytique (voir TD)

IVIVIVIV....4444 Puissance apparente et Facteur de puissancePuissance apparente et Facteur de puissancePuissance apparente et Facteur de puissancePuissance apparente et Facteur de puissance

DéfDéfDéfDéf :::: Puissance apparente Puissance apparente Puissance apparente Puissance apparente = = =app eff effP S UI U I (notée en général S)

� Utile pour le dimensionnement des composants, des lignes EDF … pertes 2=Joule effP RI

Exemple : Un C ou une L peuvent être parcourus par une tension 1000V et un courant 1000A

Mais puisque U et I sont déphasés de ± π/2, alors il n’y a pas de puissance absorbée

Par contre, le courant circule bien dans les résistances des fils et de la ligne EDF.

Ces lignes subissent les pertes Joule 2=Joule effP RI , et EDF perd donc de l’argent

alors qu’aucune puissance active n’est consommée (payée) !!!

DéfDéfDéfDéf : : : : Facteur de puissance Facteur de puissance Facteur de puissance Facteur de puissance cosϕ= = =activeP

app

P PF

P S (cos φ pour un signal sinusoïdal)

Utilité : Sert à quantifier la différence entre la puissance réellement consommée par

l’utilisateur (active), et la puissance utile à dimensionner les lignes EDF (apparente).

Il est préférable que FP soit ≈ 1. On consomme alors la même chose, mais « mieux »

En pratique, EDF applique des pénalités lorsque FP < 0,93

IVIVIVIV....5555 ApplicationApplicationApplicationApplication : Facteur de puissance d’une installation: Facteur de puissance d’une installation: Facteur de puissance d’une installation: Facteur de puissance d’une installation

Installation étudiéeInstallation étudiéeInstallation étudiéeInstallation étudiée ::::

Source : � Source de tension sinusoïdale de fréquence f = 50Hz et de U = 220V

Installation : � un chauffage résistif de puissance moyenne P1 = 1kW

� un moteur inductif de puissance moyenne P2 = 1kW avec cos(φ2)= 0,8

QuestionsQuestionsQuestionsQuestions ::::

1. Donner l’expression temporelle de la tension u(t)

2. Représenter les vecteurs de Fresnel correspondants à toutes les tensions et tous les courants

3. Calculer le facteur de puissance de cette installation par une méthode vectorielle

4. En déduire le cos φ correspondant

5. Refaire le calcul par la méthode complexe

6. Comment compenser ce facteur de puissance ? Et pourquoi ?

MMMM ~~~~ ( )u t RRRR

ChauffageChauffageChauffageChauffage

(Résistif)(Résistif)(Résistif)(Résistif)

Puissance Puissance Puissance Puissance

1kW1kW

Moteur Moteur Moteur Moteur

(Inductif)(Inductif)(Inductif)(Inductif)

Puissance Puissance Puissance Puissance

Réseau EDF Réseau EDF Réseau EDF Réseau EDF

220V/50Hz220V/50Hz220V/50Hz220V/50Hz

Oscillateurs Part2 Oscillateurs Part2 –––– Régime ... · PDF...

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