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Chapitre 4Temps et mondes � l'intensionnalité4.1 Les limites de la sémantique extensionnelleextensionnalité, prinipe d'extensionnalitéPrinipe 4.1 (Prinipe d'extensionnalité)Soit M un modèle et g une assignation. Si α est une expression de lo, β unesous-expression de α et γ une expression telle que [[β]]M,g = [[γ]]M,g, alors [[α]]M,g =[[[γ/β]α]]M,g .Nous avons déjà renontré e prinipe dans le hapitre 2 en 2.1.2 1Une sémantique qui respete e prinipe est dite extensionnelle et un langageest dit extensionnel si sa sémantique l'est. Le langage lo que nous avons examinéjusqu'ii est extensionnel. En revanhe nous allons voir qu'une langue omme lefrançais ne respete pas le prinipe d'extensionnalité.4.1.1 De dito vs. de reNous allons ii examiner un dernier phénomène sémantique problématique at-tahé aux groupes nominaux. Ce phénomène pourra rappeler l'opposition entrespéi�que et non spéi�que et elle entre leture référentielle et leture attribu-tive. Il faudra ependant ne pas onfondre, ar es phénomènes ne oïnident pasexatement.Il y a des as où le prinipe est mis en éhe, et e sont notamment les as oùla substitution d'expression s'e�etue dans le omplément de e qu'on appelle unverbe d'attitude propositionnelle, omme roire, penser, savoir, vouloir, souhaiter,dire, et.(1) a. Jean roit que Napoléon est le père du ode ivil.b. Jean roit que le vainqueur de Iéna est le père du ode ivil.. Jean roit que le vainqueur de Iéna est le vainqueur de Iéna .Dans un modèle donné, il se peut très bien que (1)a soit vraie et (1)b fausse.Tout simplement si Jean ne sait pas que le vainqueur de Iéna est Napoléon. Et làil s'agit bien d'une di�érene de dénotation (en plus d'une di�érene de sens).1La formulation de Leibniz, itée par Frege (1892b), est : Eadem sunt qui substitui possuntsalva veritate. 125


126 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéUn verbe omme roire rée e qu'on appelle un ontexte opaque ou un ontexteoblique. On pourrait dire que es ontextes � opai�ent � les dénotations, mais en'est pas très préis omme dé�nition. En fait, es ontextes provoquent souventune ambiguïté d'interprétation sémantique. Voyons un exemple (très fameux) :(2) ×dipe voulait épouser sa mère.Quand on onnaît le mythe d'×dipe, on onstate que ette phrase a deuxinterprétations possibles. La première (peut-être la plus spontanée) orrespond àune situation franhement et délibérément inestueuse, où ×dipe pense que lafemme qu'il veut épouser est sa mère (à juste titre ou non).La seonde interprétation est elle qui orrespond vraiment à la légende. ×dipeétait amoureux de Joaste, souhaitait l'épouser, Joaste était la mère d'×dipe maisauun des deux ne le savait.Dans ette deuxième interprétation, on dit que le GN [sa mère℄ a une leture dere. Cela signi�e que dans le désir d'×dipe, le GN désigne simplement et diretementl'individu du monde dénoté par sa mère. De re = de la hose. On parle bien del'individu Joaste.Dans la première interprétation, on dit que [sa mère℄ a une leture de dito (=du mot). Cela veut dire que, dans le désir d'×dipe, le GN désigne la personne quiest en relation de maternité ave lui. Cette personne peut être Joaste ou un autreindividu. L'important est qu'elle soit la mère d'×dipe aux yeux d'×dipe2.Ce qui importe ii est de montrer que nous sommes bien en présene d'uneambiguïté sémantique. La méthode est toujours la même : on essaie de trouverun modèle par rapport auquel (2) peut être jugée vraie et fausse (selon la letureadoptée). En fait 'est assez simple, voii une desription (informelle) d'un modèlequi fait l'a�aire (e modèle est di�érent de la légende antique greque). Imaginonsqu'×dipe est un polisson inestueux ; il onnaît une femme qu'il roit être sa mère,il l'aime et souhaite l'épouser. Mais il se trouve que dans e modèle, ette femmen'est pas la mère d'×dipe ('est-à-dire qu'il se trompe) ; et ajoutons en�n qu'×dipene onnaît pas sa vraie mère et don qu'il ne peut pas vouloir l'épouser. Par rapportà e modèle, sous la leture de dito, (2) est vraie, mais elle est fausse sous la leturede re, ar sous ette leture sa mère dénote la véritable mère d'×dipe. Nous avonsdon bien un nette ambiguïté sémantique.Pour résumer et pour donner une petite méthode mnémotehnique. Sous laleture de re, le GN sa mère dénote � elle que le louteur sait (ou pense savoir) êtrela mère d'×dipe �. D'ailleurs en remplaçant dans (2) sa mère par ette périphrase,on lève l'ambiguïté en faveur de la leture de re. Sous la leture de dito, sa mèredénote � elle qu'×dipe (ie un protagoniste évoqué dans la phrase) pense ou roitêtre sa mère �. Là enore la périphrase lève l'ambiguïté.Il est possible que les deux letures, de re et de dito soit une propriété gé-nérale des GN (et peut-être d'autres onstituants syntaxiques). Mais e sont les2Sans jeu de mots ruel.


4.1. Les limites de la sémantique extensionnelle 127ontextes opaques qui les font apparaître omme sémantiquement distintes. Horsde es ontextes, peut-être que les deux letures reviennent au même, 'est-à-direqu'elles ne provoquent pas d'ambiguïté sémantique (ou de divergene de onditionsde vérité). Par exemple, même si on envisage les deux letures, la phrase (3) n'estpas ambiguë :(3) ×dipe a épousé sa mère.On peut dire aussi que dans (3), seule la leture de re apparaît.Dans un ontexte opaque, nombreux sont les types de GN qui peuvent porterl'ambiguïté de re vs. de dito. Voii des exemples ave des indé�nis et des quanti-�ateurs.(4) Arthur herhe une liorne.Cherher produit un ontexte opaque, ar il signi�e plus ou moins � vouloirtrouver �, vouloir est un verbe d'attitude propositionnelle.(5) Susan pense qu'un républiain va gagner l'életion.(6) Jean pense que tous les philosophes sont ennuyeux.Montrez que es phrases sont ambiguës relativement à l'opposition de re vs. dedito. Indie : la méthode onsiste souvent à onstruire un modèle qui rend vrai laleture de dito et fausse la leture de re (l'inverse est plus di�ile).Important : ontrairement à e qui est parfois sous-entendu dans la littérature,la leture de re d'un indé�ni ne doit pas être assimilée à sa leture spéi�que. Onpeut très bien assigner une leture de dito et spéi�que un indé�ni. C'est parexemple le as ave la phrase que nous avons déjà vu :(7) Marie roit qu'un vampire, à savoir Draula, l'a mordue pendant la nuit.de dito ompatible ave un modèle où il n'existe pas de vampire. Spéi�quenous dit que le vampire en question (dans la royane de Marie notamment) n'estpas n'importe qui.Idem ave l'exemple de Mulder.C'est moins évident d'opposer la leture de dito à la leture attributive d'undé�ni. Mais on remarquera que la leture attributive peut en dire plus que la leturede dito. Reprenons l'exemple d'×dipe.(2) ×dipe voulait épouser sa mère.On peut envisager une leture attributive de sa mère. Elle est ompatible aveun modèle où ×dipe ne onnaît pas sa mère (et il sait qu'il ne la onnaît pas)mais il souhaite que si un jour il épouse une femme, e devra être sa mère. Du


128 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéoup on a une leture de dito, mais l'interprétation de dito ne fore pas une telleinterprétation, omme nous l'avons vu.Pour le moment nous n'avons pas les moyens de représenter formellement (iedans lo) la distintion entre de re et de dito, en partiulier pare que nous nesavons pas traduire les verbes d'attitudes propositionnelles et leurs omplétives.Nous verrons ela dans le hapitre suivant.Cependant nous pouvons exprimer les grandes lignes des onditions de vérité.Ave l'exemple de Susan :de re : il y existe un individu qui est républiain et tel que Susan pense qu'il vagagner l'életion.de dito : Susan pense qu'il y a un individu qui est républiain et qui va gagnerl'életion.4.1.2 Modi�eurs non extensionnelsAdjetifs intersetifs : prédiats à une plae, dénotant don des ensembles d'in-dividus, et dont la ontribution sémantique s'obtient par intersetion de leur déno-tation ave elle du N modi�é.[[F(tigre édenté)]]M = [[tigre]]M ∩ [[édenté]]M(8) a. Hobbes est un tigre édenté.b. Hobbes est un tigre.. Hobbes est édenté.(8-a) |= (8-b) et (8-a) |= (8-)[tigre(h) ∧ édenté(h)](9) a. anien étudiantb. future maman. présumé oupabled. faux diamant4.1.3 Conlusion : en route vers l'intensionnalitéPour un modèle M donné, et une assignation g donnée, une expression inter-prétable α a une et une seule valeur sémantique : [[α]]M,g. Passer à l'intensionnalité'est onevoir qu'une expression peut reevoir plusieurs valeurs sémantiques (iedi�érentes dénotations) en fontion de ertaines ironstanes.


4.2. Une sémantique temporelle intensionnelle 1294.2 Une sémantique temporelle intensionnelleNous allons examiner dans ette setion un système sémantique temporel, ins-piré des travaux du logiien A. Prior (1967). Ce système va nous permettre d'intro-duire la dimension du temps dans notre langage objet lo et don dans la théoriesémantique. Disons-le tout de suite, nous verrons que ette sémantique temporellen'est pas parfaitement appropriée pour rendre ompte orretement des phéno-mènes linguistiques qui mettent en jeu le temps, et il nous faudra l'abandonner entant que telle pour la remplaer par une formalisation plus adéquate (hapitre 7).Cependant, l'approhe qui va être dérite ii présente plusieurs intérêts. D'abordelle introduit des notions qui resteront utiles pour dérire la sémantique de la tem-poralité. Ensuite elle onstitue une approhe très expliative et pédagogique pourommener à se familiariser ave le prinipe d'intensionnalisation de la théorie sé-mantique (e que nous aborderons plus préisément dans les setions 4.3 et 4.4).4.2.1 Modèle temporelCommençons par un rappel sur l'évaluation d'une phrase très simple, omme(10), dans un modèle M = 〈A, F 〉.(10) a. Alie dort.b. dormir(a)Remarque : la tradution en (10)b présuppose que F (a) est l'individu du do-maine A auquel il est fait référene via le nom propre Alie en (10)a. C'est donque M nous donne F (a) = Alie (ave Alie ∈ A).[[Alie dort]]M,g = [[dormir(a)]]M,g, e qui vaut 1 ssi [[a]]M,g ∈ [[dormir]]M,g(Sem.1) ; don ssi F (a) ∈ F (dormir) ; don ssi Alie appartient à l'ensemble desindividus de A qui dorment.La question que nous avons à nous poser maintenant est omment interpréter :(11) Alie dormait.Nos règles d'interprétation sémantique et notre notion de modèle semblent in-su�sants ii. Posons-nous la question : dans quels as (quelles ironstanes) laphrase (11) est-elle vraie ? En termes formels, ette phrase est vraie si Alie ap-partient à une lasse de dormeurs, mais pas les dormeurs de maintenant, plut�tles dormeurs � d'auparavant �, les dormeurs du passé. Or, on ne dispose pas d'unetelle lasse dans un modèle omme M.On pourrait se la donner de manière simple, en envisageant dans la voabu-laire de lo un prédiat dormait qui dénote tous les dormeurs du passé, ie tel que

F (dormait) est l'ensemble des individus de A qui étaient dormeurs dans le passé.C'est un peu e que l'on va faire, mais de manière systématique. Car le défaut deette suggestion, 'est qu'on perd le lien entre dormait et dort : es deux formes ver-bales ne orrespondent plus au même prédiat de lo, e qui est assez ontre-intuitif ;


130 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéon aimerait plut�t un prédiat dormir intemporel, mais qui a des dénotations dif-férentes en fontion du temps. Car dormir 'est dormir, peu importe quand ; e quihange ave le temps 'est qui dort.Ce que nous allons faire, 'est déouper le modèle en tranhes temporelles etpour haque tranhe, on va dé�nir une lasse de dormeurs. On ne va pas déouperen trois tranhes qui seraient le passé, le présent et le futur. Car ça ne serait pasassez systématique ni réaliste. Et surtout on ne sait pas exatement e qu'est leprésent : il hange tout le temps et il dépend du ontexte d'énoniation, 'est unindexial (un déitique).La lasse des dormeurs (et toute autre lasse) peut, au moins virtuellement,hanger à tout moment. On va don modéliser le temps (qui passe) sous la formed'un ensemble d'instants (ou une série d'instants). Et et ensemble va nous servirde patron pour e�etuer le déoupage en tranhes temporelles.Soit I un ensemble d'instants. On notera les instants que ontient I par i, i′,i′′, ou i1, i2, i3 . . . Par exemple, I = {i0 ; i1 ; i2 ; i3 ; i4 ; . . .}. I peut être in�ni.On ne fera pas ii d'hypothèses plus avanées sur la nature (phénoménologique) desinstants. La seule hose qui ompte, 'est qu'ils sont ordonnés, ie ils sont organisésselon une relation d'ordre linéaire. On utilisera le symbole < pour représenter etterelation d'ordre.Ainsi la notation i < i′ signi�e que � l'instant i est avant l'instant i′ �, ou � iest plus t�t que i′ � (ou enore � i′ est après/plus tard que i �, et.). Et si on prenddeux instants quelonques de I, i et i′, on a obligatoirement soit i < i′, soit i′ < i,soit i = i′. L'ordre < est total sur I.Ces instants peuvent faire penser à des nombres (entiers ou réels) ; ils ont ef-fetivement une propriété en ommun : les nombres sont aussi ordonnés. Mais, audelà de ça, il faut bien distinguer nombres et instants, e sont des hoses tout àfait di�érentes, et e ne serait pas très pertinent de les assimiler les uns aux autres.De plus, les indies numériques dans i1, i2, i3, et. servent uniquement à se donnerdes noms distints, en nombre potentiellement in�ni, pour di�érents instants. Cesindies ne préjugent en rien de la relation d'ordre temporel entre les instants. Ainsion peut très bien avoir i4 < i1. L'ordre sur les instants est prédé�ni.Maintenant, revenons au déoupage temporel du modèle. Cela signi�e que ladénotation de n'importe quel prédiat, eg dormir, peut être di�érente selon lesinstants. Jusqu'à présent, dans un modèle M = 〈A, F 〉, la dénotation de dormirétait F (dormir). A présent, on va avoir autant de dénotations pour le prédiat qu'ily a d'instants, 'est-à-dire que dormir aura une dénotation partiulière pour haqueinstant de I.On formalise ela en modi�ant légèrement la fontion d'interprétation F : onva onsidérer que F est une fontion à deux arguments : le premier argument estun instant et le seond le symbole de prédiat. Par exemple, si i est un instant,F (i,dormir)3 est la dénotation de dormir à l'instant i, ie l'ensemble de tous lesdormeurs de M à l'instant i.3On pourrait aussi érire Fi(dormir), mais la notation F (i,dormir) a l'avantage de bien expli-iter la nouvelle arité de F .


4.2. Une sémantique temporelle intensionnelle 131En faisant ela, nous avons d'une ertaine manière temporalisé notre modèle :nous y avons injeté du temps (ie des instants). Par onséquent, un modèle (tempo-rel) M a maintenant trois omposants : un domaine d'individus (A), un ensembled'instants ordonné (I


132 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéque soit l'instant i de I, on aura F (i, a) = Alie.Conernant les hangement de nom, ça peut être un peu di�érent. Mais ononsidère que les onstantes sont des noms plut�t abstraits et symboliques, qui neorrespondent pas exatement à l'usage soial des noms (prénoms, patronymes,surnom, et.). Parfois en sémantique formelle, on distingue les deux en utilisant unprédiat à deux plaes nommé qui assoie un individu à un nom propre. Exemple :nommé(a, �Alie�). Dans lo, �Alie� serait alors aussi une onstante, mais d'untype partiulier, e n'est pas une onstante d'individu, mais une onstante de nompropre, elle dénote un mot (un nom propre). Cela permet de représenter des indi-vidus di�érents qui portent le même nom, et des individus qui ont plusieurs noms.Je ne vais pas épiloguer sur es questions de philosophie du langage, et je livreseulement la onlusion : quel que soit l'instant où l'on se plae, une onstantedénote toujours le même individu de A. On dit que les onstantes sont des dési-gnateurs rigides (Kripke, 1972).4.2.2 Opérateurs temporelsCe n'est pas tout. On a temporalisé la notion de modèle (on tient ompte dutemps dans le monde) ; il faut maintenant se donner les moyens de parler du passé,du présent et du futur dans lo, 'est-à-dire de re�éter dans le langage objet uneertaine ontribution (approximative et simpli�ée) des temps grammatiaux dufrançais.4.2.2.1 SyntaxeMême si e sont les verbes qui portent les marques de �exion temporelle, nous al-lons onsidérer ii que le r�le sémantique des temps onernent les phrases (simples,ie propositions grammatiales), don les formules. On dira qu'une phrase est au pré-sent, au passé ou au futur.On représente le temps dans lo à l'aide d'opérateurs qui se plaent devant uneformule (un peu omme la négation ¬). Ce sont des opérateurs temporels, on enutilise (d'abord) deux : P (passé) et F (futur)4.Don on doit modi�er (ie augmenter) la syntaxe de lo, en ajoutant les règlesqui insèrent es opérateurs.Dé�nition 4.1(Syn.7) Si φ est une formule bien formée de lo, alors Pφ et Fφ le sont aussi.Pφ est une formule pour laquelle on trouvera la dénotation en allant herherdans le passé ; et Fφ en allant herher dans le futur. Une phrase au présent serareprésentée simplement par φ, sans opérateur temporel.Exemples : Pdormir(a) pour � Alie dormait � et Fdormir(a) pour � Aliedormira �.4Attention : ne pas onfondre F et F , la fontion d'interprétation.


4.2. Une sémantique temporelle intensionnelle 133Nous avons augmenté la syntaxe de lo, nous devons don immédiatement aug-menter sa sémantique ; 'est-à-dire donner préisément du sens à P et F.4.2.2.2 SémantiqueQu'est-e que le passé et le futur ? Le passé, 'est la période (= les instants)située avant (au sens de


134 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéAlors [[Alie dormait]]M,i3,g = [[Pdormir(a)]]M,i3,g = 1, ssi il existe un instanti < i3 tel que [[dormir(a)]]M,i,g = 1. L'instant i2 fait l'a�aire. Pour les mêmes rai-sons, [[Alie dormait]]M,i4,g = 1, ar i2 < i4. En revanhe, [[Alie dormait]]M,i2,g = 0,ar il n'y a pas ii d'instant antérieur à i2 qui fasse l'a�aire (le seul 'est i1).Pour le futur, � Alie dormira � la phrase n'est vraie que pour i1 (grâe à i2qui est dans le futur de i1).4.2.2.3 CombinaisonsPuisque Pφ et Fφ sont des formules bien formées, on peut repasser la règlesyntaxique dessus, ie enhaîner les P et F devant φ.PPφ est un passé de passé, ou un passé dans le passé. En e�et, [[PPφ]]M,i,g =1 ssi Pφ est vraie à i′ avant i, ssi φ est vraie à i′′ avant i′. En français, elasemble orrespondre assez bien à un passé antérieur, un plus que parfait, ou passésuromposé.(12) a. Alie avait dormi.b. Alie eut dormi.. Alie a eut dormi.

ii′i′′

IFPφ est un passé dans le futur. Une telle formule est vraie à un instant i ssi Pφest vraie à un instant i′ postérieur à i, e qui est vrai ssi φ est vraie à un instant i′′antérieur à i′. Cela peut orrespondre au futur antérieur.(13) Alie aura dormi.PFφ est un futur dans le passé. La formule est vraie ssi par rapport à un instantpassé, il y a un instant futur où φ est vraie. En français ela orrespondra plus oumoins à :(14) a. Alie allait dormir.b. Alie dormirait. (dans ertains ontextes)FFφ est un futur dans le futur, un double futur, e qui n'a pas de orrespondanespéi�que en français, sauf éventuellement (mais 'est tangent) :(15) Alie ira dormir.On peut aussi avoir des PFFφ, PPPφ, FPFφ, FPFFφ, et. qui deviennent vitearti�iels.F¬φ : à un moment donné i′ dans le futur, φ sera fausse ; et P¬φ à un momentdonné i′ dans le passé, φ a été fausse. A ne pas onfondre ave...


4.2. Une sémantique temporelle intensionnelle 135¬Fφ : dans (tout) le futur, φ ne sera jamais vraie. Car ela veut dire qu'iln'existe pas de i′ postérieur à i tel que φ est vraie à i′.¬Pφ : dans (tout) le passé, φ n'a jamais été vraie. Il n'y a auun moment dupassé auquel φ est vraie.Don :¬F¬φ : il sera toujours vrai que φ.¬P¬φ : il a toujours été vrai que φ.Ce sont de très fortes a�rmations.On utilise généralement deux nouveaux opérateurs pour ela : G et H.Gφ =def ¬F¬φHφ =def ¬P¬φD'une ertaine manière, G et H sont bp plus que de simples opérateurs tem-porels, e sont quasiment des modalités.(16) φ ∧ Gφ ∧Hφ=

φ est éternellement vraie, vraie de tout temps, à tout jamais, et.ou il est temporellement impossible que φ soit fausse.Exerie 4.1En supposant un modèle su�samment réaliste ('est-à-dire ave I omprenant untrès grand nombre d'instants), omparez les onditions de vérité de Pφ et PPPφ.4.2.3 ProblèmesOn sait bien que les temps verbaux dans les langues naturelles ont des valeurssémantiques beauoup plus rihes et �nes que e que nous donnent les opérateursP, F et leurs dérivés et ombinaisons.Par exemple, P ne peut pas rendre ompte de la di�érene sémantique entre :(17) a. Alie a dormi.b. Alie dormait.On sait que e qui distingue sémantiquement es deux phrases n'est pas telle-ment une question de temporalité mais une question d'aspet. Le passé omposé etl'imparfait ont des valeurs aspetuelles di�érentes, et l'aspet n'est pas e qui nousdit � quand � a lieu tel ou tel événement, mais omment les événements se déroulentdans le �ux temporel, ou plus exatement omment es déroulements sont perçuset/ou présentés dans les énonés. Les opérateurs P et F ne font que du déalagesur I, ils n'ont rien à dire sur les déroulements et leurs oneptualisations.C'est d'ailleurs pour ela que les exemples données dans la setion préédentessont en fait un peu tendanieux : par exemple, la séquene PP est loin de re�éter


136 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéen termes de onditions de vérité la ontribution sémantique du plus-que-parfaitou du passé antérieur. D'abord à ause des propriétés aspetuelles de es tempsverbaux, mais aussi pare que PPφ a (presque) exatement les mêmes onditionsde vérité que Pφ ('est le sens de l'exerie 4.1).Tout ela montre que le système sémantique (ie le langage lo) est insu�sant.En e sens ela n'implique pas forément que le système est mauvais : il ne faitpas tout e qu'on attendrait de lui, mais ela ne veut pas forément dire qu'il faitmal e qu'il fait. On pourrait enore envisager de réparer son insu�sane en leomplétant, en lui ajoutant de l'expressivité, sans pour autant supprimer e qui aété fait dans ette setion.Malheureusement, il nous faut lui donner le oup de grâe et reonnaître qu'ilfait de mauvaises préditions (ie de mauvaises analyses) : en plus d'omettre dedire des hoses qu'on aimerait qu'il dise, le système dit aussi des hoses qu'il nedevrait pas dire. Une des ritiques les plus e�aes réside dans le fameux exemplede Barbara Partee6 :(18) Jean n'a pas oupé le gaz.En fait le problème qui se pose apparaît de manière assez systématique ave desphrases négatives, au passé (ou futur). Essayons de traduire (18) dans lo à l'aidede la sémantique temporelle intensionnelle.Supposons, pour simpli�er, que le gaz se traduit par une onstante, g. Deuxpossibilités alors :(19) ¬Pouper(j, g)(20) P¬ouper(j, g)Laquelle est la bonne ? En fait auune des deux, mais il faut le montrer, nousdevons véri�er le sens de es deux formules.Conditions de vérité de (19) :(19) [[¬Pouper(j, g)]]M,w,i,g = 1, ssi[[Pouper(j, g)]]M,w,i,g = 0, ssiil est faux que il existe i′ < i tel que [[ouper(j, g)]]M,w,i′,g = 1, ie ssiil n'existe pas d'instant i′ antérieur à i tel que [[ouper(j, g)]]M,w,i′,g = 1Conlusion : (19) signi�e que Jean n'a jamais jamais oupé le gaz. Et e n'estpas e que signi�e (18) (qui n'est pas aussi fort).Essayons (20) :(20) [[P¬ouper(j, g)]]M,w,i,g = 1, ssiil existe i′ < i tel que [[¬ouper(j, g)]]M,w,i′,g = 1, ie tel que[[ouper(j, g)]]M,w,i′,g = 06Partee (1973) ; ité aussi par Chierhia & MConnell-Ginet (1990). L'exemple original, enanglais, est : John didn't turn o� the stove.


4.2. Une sémantique temporelle intensionnelle 137Quel est le problème ii ? C'est que (20) est trivialement vraie : il su�t qu'ilexiste un instant quelonque du passé où Jean ne oupe pas le gaz pour que laformule soit vraie. Et un tel instant existe ar Jean ne passe pas sa vie à ouper legaz.Pire : supposons i12 < i13 tous deux dans le passé et Jean oupe le gaz àl'instant i13. Alors (18) est fausse : il a bien oupé le gaz. Mais (20) est vraie aril existe i12 pendant lequel Jean ne oupe pas le gaz. Conlusion : (20) ne traduitpas orretement le sens de (18).Imaginez les dialogues suivants, qui sont tous deux d'une mauvaise foi spetau-laire (plaçons nous dans un ontexte d'un ouple qui est sur la route des vaanes) :(21) Marie : � Oh ! tu n'as pas oupé le gaz, andouille !Jean : � Si je l'ai oupé, un jour, en 1996, 'était un mardi matin, je m'enrappelle très bien...Jean interprète la phrase de Marie omme (19), et évidemment e n'est pas equ'elle veut dire.Ou enore :(22) Marie : � Oh ! tu n'as pas oupé le gaz, andouille !Jean : � Si si je l'ai oupé avant de partir.Marie : � Ouais... mais juste avant de le ouper, tu ne l'as oupé ! Alorsj'ai raison !Là 'est Marie qui est de mauvaise foi ar elle fore l'interprétation de sa phraseen (20).Ce que veut dire Marie en prononçant (18) (dans des ironstanes normales etprobes) 'est la hose suivante : � je pense à un ertain moment du passé, et à emoment partiulier il n'est pas vrai que Jean oupe le gaz �. Cela ressemble à (20)mais il y a une di�érene importante : la sémantique de (18) doit nous dire que lemoment auquel il est vrai que Jean ne oupe pas le gaz n'est pas n'importe quelmoment du passé, que son hoix n'est pas libre, ontrairement à e qui se passedans (20) où n'importe quel i′ fait l'a�aire. En fait, e moment partiulier auquelpense le louteur de (18) fontionne omme un omplément ironstaniel de tempsimpliite. Comparez d'ailleurs (18) ave (23) qui est su�samment expliite pourbloquer les sophismes omme en (19) et (20).(23) Tu n'as pas oupé le gaz e matin / tout à l'heure / quand je te l'aidemandé.Cela montre �nalement que l'on ne peut pas s'en tirer on omparant seulementdeux instants (omme par exemple i′ < i dans (Sem.7a)) ; on aura besoin de faireintervenir au moins un troisième instant qui orrespond à la dénotation de e ir-onstaniel de temps visible ou impliite. Nous reviendrons préisément sur tout


138 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéela dans le hapitre 7 (p. 189)7.4.3 Modalités et mondes possiblesRéapitulons quelques aspets essentiels de la théorie sémantique exposée jus-qu'ii. Il doit maintenant être très lair que la dénotation d'une expression interpré-table dépend d'une ertaine on�guration du monde, e que nous avons formaliséà l'aide de l'outil des modèles. Nous avons vu également, dans la sémantique tem-porelle de la setion préédente, que la dénotation d'une expression dépend aussid'un autre paramètre, qui peut varier au sein du modèle. Ce paramètre est le pointde référene temporel, 'est-à-dire l'instant (i), auquel il faut se reporter pour envi-sager la dénotation d'une expression. La onséquene pour le système sémantiqueest importante : à présent, pour un modèle M donné, une même expression peutavoir di�érentes valeurs sémantique, il su�t de hanger l'instant i. Nous sommespassés à une sémantique intensionnelle.Dans ette setion (et la suivante) nous allons systématiser enore davantageette idée de variabilité des valeurs sémantiques d'une expression donnée dans unmodèle donné.4.3.1 Savoir et ignorerUn modèle est une desription mathématique du monde : il enode l'ensembledes informations que l'on a, au moins potentiellement, sur le monde. Et pour êtreplus préis, e � on � dont il est ii question et qui possède es informations est unlouteur ou un alloutaire donné8. Ainsi un modèle est un outil formel qui permetde réaliser de la représentation de onnaissanes (en l'o

urrene des onnaissanesd'un louteur donné). Car rappelons que omprendre une phrase 'est, entre autres,être apable de onfronter son ontenu ('est-à-dire son sens) ave les informationsfournies dans un modèle.Ajoutons qu'un modèle réaliste9 vise à dérire le monde en entier. Cela signi�eque non seulement un tel modèle est supposé fournir un domaine de quanti�ation(A) ontenant tous les individus (tous les objets) auxquels un louteur est suep-tible de faire référene dans ses phrases, mais aussi que sa fontion d'interprétation(F ) est dé�nie pour tous les prédiats du langage du louteur, 'est-à-dire, plus oumoins, tous les noms, verbes, adjetifs de sa langue. Multiplions tout ela par l'axe7En attendant et pour onlure ette setion, méditons simplement sur ette parole du philo-sophe Mihel Colu

i, qui posait la question : � Quel âge avait Arthur Rimbaud? �.8Il s'agira du louteur ou de l'alloutaire selon que 'est l'angle de la prodution ou eluide la ompréhension qui est adopté. Disons de manière générale qu'il s'agit du sujet parlant(et � omprenant �) dans la peau duquel nous nous glissons lorsque nous e�etuons nos alulssémantiques.9Par � réaliste � j'entends ii � desriptivement en phase ave la réalité du monde qu'habite(ou qu'évoque) le louteur �. En revanhe, il ne faudrait surtout pas penser que e que j'appelleun modèle réaliste est une réplique vraisemblable et �dèle des ressoures et proessus mentaux etognitifs des louteurs humains. Un tel � réalisme � n'est pas l'objetif de la présente étude.


4.3. Modalités et mondes possibles 139temporel (I) introduit supra, et nous imaginons tout de suite les formidables pro-portions qu'atteint e genre de struture dans son développement. Bref : un modèle(réaliste) est par dé�nition (par nature ?) une immense une base de représentationde onnaissanes, ou, si l'on veut, une représentation d'une immense quantité deonnaissanes sur le monde � immense ar exhaustive : un modèle nous dit tout surle monde.Or nous (louteurs) ne savons pas tout ! Et 'est heureux, ar sinon nous n'au-rions rien à nous dire, nous n'aurions auune information à nous éhanger, à trans-mettre ou à reevoir, puisque nous les posséderions déjà toutes. Posons-nous alorsla question : omment peut-on rendre ompte, en termes de modèle, du fait qu'unlouteur donné ne sait pas tout ? On sera peut-être tenté de répondre que si e lou-teur ne sait pas tout, 'est que sa base de onnaissanes du monde personnelle (donson modèle) est inomplète. C'est là une idée tout à fait raisonnable et une pistequi mérite d'être poursuivie. Cependant je vais d'abord montrer qu'il est di�ilede dé�nir proprement e que serait un modèle inomplet, ou pour dire les hosesplus préisément, qu'il est di�ile de formaliser l'inomplétude de onnaissaneau moyen d'un modèle inomplet. **Nous verrons ensuite omment ontourner eproblème.**Reprenons notre exemple de modèle-jouet préédent : M = 〈A,I


140 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéEn fait e qui orrespond à l'ignorane, ou l'inertitude, 'est une alternativede valeurs pour F (i1,dormir). Autrement dit, ne pas savoir si Bruno, CharlesetDina dorment (tout en sahant que 'est le as pour Alie), 'est admettre quel'on peut hoisir parmi :(26) F (i1,dormir) = {Alie}ou bienF (i1,dormir) = {Alie ; Bruno}ou bienF (i1,dormir) = {Alie ; Charles}ou bienF (i1,dormir) = {Alie ; Dina}ou bienF (i1,dormir) = {Alie ; Bruno ; Charles}ou bienF (i1,dormir) = {Alie ; Bruno ; Dina}ou bienF (i1,dormir) = {Alie ; Charles ; Dina}ou bienF (i1,dormir) = {Alie ; Bruno ; Charles ; Dina}Seulement, dans M, F est une fontion. Et don elle ne peut (et ne doit) don-ner qu'une seule valeur pour (i1,dormir) ; en tant que fontion, F par elle-mêmene peut pas présenter un hoix de dénotations. D'ailleurs 'est plut�t la liste (26)qui présente un hoix de valeurs pour F : en fait (26) expose 8 fontions d'inter-prétations di�érentes (il se trouve juste que es 8 ont été appelées F , pour bieninsister sur l'alternative). Et omme une fontion d'interpétation est déterminanted'un modèle, (26) nous propose don 8 modèles di�érents. Par onséquent, ne passavoir si une phrase P est vraie, ou être inertain de la vérité de P, ela revient àenvisager de multiples modèles, ou de multiples mondes.A e point, on peut rétorquer que le monde 'est le monde (ou le Monde), qu'iln'y en a qu'un10. Et ertes 'est là un fait que nous aurions tort de négliger. Ilest même dans notre intérêt de reonnaître qu'il y a un (et un seul) modèle quidérit le vrai monde, dit le monde réel. C'est inontestable. Mais e qui est toutaussi inontestable, 'est que nous (humains louteurs) ne savons pas exatementquel est e modèle. Car, répétons-le, un modèle, par dé�nition, est une desriptionomplète du monde. Don quionque onnaîtrait préisément le modèle du monderéel serait omnisient. Mais, et ainsi nous boulons la boule de la disussion, nousne savons pas tout.Pour onilier es deux points de vue, nous allons formellement dissoier deuxnotions : elle de modèle, que nous onnaissons déjà, et elle de monde, ou plusexatement de monde possible. A et égard, revenons un moment sur les alterna-10En dehors éventuellement des univers ou mondes �tionnels ; mais nous verrons que même esunivers peuvent être pris en ompte sans remttre en question l'uniité d'un Univers prinipal etenglobant.


4.3. Modalités et mondes possibles 141tives de (26). Si selon de telles informations nous ne savons pas si Bruno dort à i1,ou si simplement nous n'en sommes pas sûr, ela revient bien à admettre qu'il estpossible qu'à i1 Bruno dorme (et, ela va de pair, qu'il est possible qu'il ne dormepas). Autrement dit, être inertain au sujet d'une hose onsiste à envisager unertain nombre de possibles. Et formellement nous onsidérerons qu'un ensemblede mondes (possibles) représente, en e sens, tout e qui est possible, ou tout equ'un louteur retient omme possible. Ce que nous appellerons un monde possiblefontionnera tehniquement omme un modèle bien partiulier, et e qu'ensuitenous appellerons le modèle sera le regroupement (ie l'ensemble) de tous les mondespossibles envisageables ou imaginables. En�n, tout ela doit nous amener à remar-quer que par rapport à un ensemble d'alternatives (ie de mondes possibles) ommee qui est illustré en (26), tout e que le louteur sait, ou e dont il pense être sûr,'est tout e qu'il y a en ommun à l'ensemble des mondes. Ave (26), on est sûrqu'Alie fait partie des dormeurs.Don, pour résumer, les louteurs étant e qu'ils sont (ignorants, inertainsou oublieux), une desription sémantique adéquate de leurs énonés doit envisager,d'une manière ou d'une autre, une multipliité de mondes � et si possible en onser-vant la notion d'un � super-modèle � englobant es variantes. Ajoutons, et ela vadans le même sens, que e n'est pas forément par ignorane qu'un louteur peutse retrouver à hoisir parmi di�érents mondes possibles : il peut très bien hoisir dese positionner délibérément vis-à-vis d'un monde alternatif qu'il sait être distintde sa vision (et de ses onnaissanes) personnelle(s) du monde réel. C'est e qui seproduit par exemple lorsqu'un louteur fait preuve d'imagination, et 'est quelquehose de très ourant dans la pratique langagière.Le reste de ette setion va don se onsarer à la présentation de la mise enplae formelle et théorique de ette idée de demultipliation du modèle au moyende mondes possibles. Et pour appréhender ette notion, nous allons ommener parexaminer le phénomène des modalités en français, ar elles onstituent un proédésémantique assez simple de manipuler les mondes.4.3.2 Possible et néessaireLe � possible � (que nous avons déjà évoqué supra) et le � néessaire � sonte que l'on appelle des fores modales. Elles sont onstitutives des modalités. Lesmodalités sont pléthoriques dans le langage, à la fois par leurs fréquenes d'emploiet par leurs variétés de réalisation et de délinaisons sémantiques. Nous n'allonspas nous donner tout de suite une dé�nition général de e qu'est une modalité ensémantique, et nous verrons que ela dépasse largement les onepts de possible etde néessaire. mais nous allons pour le moment ommener par nous familiariserave la notion en nous intéressant à un as simple de modalité.Examinons la phrase suivante :(27) Le Titani aurait pu ne pas ouler.


142 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéEt interrogeons nous sur son sens, 'est-à-dire sur ses onditions de vérité. Poure faire, nous pouvons déjà nous demander si ette phrase est vraie ou fausse parrapport à la réalité historique de notre monde. Notons d'abord que (27) semble nous� dire � d'une ertaine manière que le Titani a bel et bien oulé. Cette informationest généralement onsidérée omme présupposée11. Mais (27) ne dit pas que ela.On peut aussi remarquer que (27) semble être soumise à ondition (e qui n'estpas indépendant du temps grammatial employé) : on a envie de la � ompléter �par une ondition omme � dans le as où il n'aurait pas heurté un ieberg � ou� s'il avait été onstruit plus solidement � ou � s'il avait suivi un autre trajet �,et. Mais si l'on n'ajoute pas de telles préisions, on ne peut que ommenter laphrase par � bien sûr qu'il aurait pu ne pas oulé, mais il a oulé, 'est omme ça �.Cela nous permet de onlure que non seulement (27) est vraie par rapport à notremonde, mais aussi que ette vérité semble naïvement évidente. Cela est un e�et dela modalité employée dans (27), ar ette phrase exprime une possibilité. On peuten e�et la paraphraser en � il était possible que le Titani ne oule pas � ou � ilest possible que le Titani n'eut pas oulé �.Avant d'aller plus loin sur l'analyse sémantique de e genre de possibilité, pre-nons la peine d'enfoner le lou ave quelques exemples enore plus �agrants. Ima-ginez vous au asino, à une table de roulette. Vous venez de miser sur le numéro23, et quelqu'un vous murmure alors :(28) Le 23 peut sortir (au prohain oup).Laissons � au prohain oup � entre parenthèses, pour nous onentrer sur lapartie de la phrase que nous pouvons simplement gloser en � il est possible quele 23 sorte �. (28) apparaît ni plus ni moins omme une remarque stupide, parequ'elle est trivialement vraie. Si le jeu est, omme il se doit, de pur hasard, et si leroupier ne trihe pas, il n'y a auune raison d'exlure la sortie du numéro 23 auprohain oup. Et omparons (28) ave (29) :(29) Le 23 ne peut pas sortir (au prohain oup).que nous gloserons en � il est impossible que le 23 sorte �. Cette phrase sembletout aussi inongruë que (28), ar elle est, elle, trivialement fausse, pour les mêmesraison que préédemment. C'est également le as pour (30), mais pour une autreraison : les numéros de la roulette des asinos vont de 0 à 36.(30) Le 38 peut sortir (au prohain oup).Nous ferons le même genre d'observations ave des phrases exprimant la nées-sité :(31) Néessairement le 38 ne sortira pas (au prohain oup).11On peut le montrer sans trop de di�ulté en appliquant les tests de la présupposition. Notonsependant que ertains auteurs onsidèrent que ette information relève plut�t d'une impliature.Nous ne nous avanerons pas davantage sur ette question.


4.3. Modalités et mondes possibles 143(32) Néessairement le 23 sortira (au prohain oup).On onstate immédiatement que (31) est vraie et que (32) est fausse.Si nous arrivons à expliquer pourquoi es exemples (28)�(32) ont es valeurs devérité, nous serons alors sur la bonne voie pour expliiter leurs sens. Il est importantde remarquer que es phrases ont une aratéristique sémantique assez partiulière :on le onstate lairement si l'on ompare (28) ave (33)a,b :(33) a. Le 23 est sorti (au dernier oup).b. Le 23 va sortir (au prohain oup).Si l'on s'interroge sur les valeurs de vérité de (33)a et (33)b omme nous l'avonsfait pour (28)�(32), nous retrouvons le prinipe fondamental de la théorie, qui ditque la dénotation d'une expression dépend des ironstanes préises, 'est-à-diredu modèle. Et 'est bien pour ela que nous ne savons pas du tout nous prononersur les valeurs de vérité de (33)a,b. Alors qu'ave (28)�(32) nous savions répondresans hésiter.Est-e à dire que la dénotation de es phrases (28)�(32) est omplétement indé-pendante du modèle ? En fait non. Par exemple, si on imagine une sène au asinooù le roupier trihe e�aement et a déidé de faire sortir le 16 au prohain oup ;dans ette ironstane (29) sera vraie. Cette phrase n'est don pas si trivialementfausse omme on l'avait jugée initialement. De même, si on imagine un modèle oùle asino en question possède des roulettes à 42 numéros, (31) devient fausse. Paronséquent, omme pour la plupart des phrases délaratives, les phrases modales(28)�(32) ont une dénotation qui dépend du modèle � mais visiblement pas aumême point que les phrases (33)a,b. Et l'analyse sémantique doit pouvoir expliquerette di�érene de dépendane entre les phrases modales et les autres.4.3.3 Formalisation de la modalitéL'analyse que l'on donne du phénomène de la modalité est, dans ses grandeslignes, la suivante. On dit, par exemple, que (28) est vraie par rapport à un modèledonné s'il existe un autre modèle par rapport auquel, à un instant i qui est � leprohain oup �, il est vrai que le numéro 23 sort. Et et � autre � modèle existebel et bien, ar par un modèle qui existe, nous entendons ii un modèle que l'onpeut envisager, 'est-à-dire imaginer.Quant à (29), elle est vraie s'il n'existe auun modèle envisageable par rapportauquel, à l'instant i, le 23 sort. Et (32) est vraie si par rapport à tous les modèlesenvisageables, le 23 sort à l'instant i.Nous allons à présent voir omment formaliser préisément e type de onditionsde vérité dans notre système sémantique, d'abord en enrihissant le modèle puis enperfetionnant adéquatement le langage lo.


144 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalité4.3.3.1 Mondes possiblesCe que montrent le phénomène des modalités 'est que pour évaluer sémantique-ment ertaines phrases, nous avons besoin de pouvoir onsulter plusieurs variantesd'un modèle donné ; même si la dénotation des phrases sera toujours alulée parrapport à un modèle***Et rappelons que e qui fait formellement la di�érene entre deux états dumonde distints, ie entre deux modèles M et M′, e sont leurs fontions d'inter-prétation � ar nous onsidérerons que les domaines (A) sont onstants d'un étatdu monde à l'autre. Ainsi, si on a M = 〈A,I


4.3. Modalités et mondes possibles 1454.3.3.3 Sémantique de la modalitéDé�nition 4.4(Sem.8) a. [[3φ]]M,w,i,g = 1, ssi il existe un monde w′ de W tel que [[φ]]M,w′,i,g =1.b. [[2φ]]M,w,i,g = 1, ssi pour tout monde w′ de W, [[φ]]M,w′,i,g = 1.Il est fondamental de ne pas onfondre le monde par auquel on évalue uneformule modale, qui le monde de � départ � du alul et qui est noté w dans lesrègles i-dessus, ave le ou les monde(s) dans le(s)quel(s) on se rend au ours dualul pour évaluer la sous-formule φ � monde(s) nommé(s) w′ dans les règles(Sem.8). Regardons un exemple ave l'exerie suivant.Exerie 4.2En reprenant le modèle-jouet M esquissé en (34), alulez les valeurs suivantes :1. [[3dormir(a)]]M,w2,g2. [[3dormir(a)]]M,w1,g3. [[2dormir(a)]]M,w1,g4. [[2dormir(b)]]M,w1,g5. [[3dormir()]]M,w3,gLes modalités en français... Que traduisent les opérateurs 3 et 2 ?Exerie 4.3Chaque formule de la liste suivante est équivalente à une autre formule de la liste.Indiquez, en le démontrant, quelles sont es paires d'équivalenes.1. 3φ2. 2φ 3. 3¬φ4. 2¬φ 5. ¬3φ6. ¬2φ 7. ¬3¬φ8. ¬2¬φDésignateurs rigides. Si a est une onstante d'individu, alors quels que soient wet w′ de W et quels que soient i et i′ de I, F (w, i, a) = F (w′, i′, a).Les strutures onditionnelles, en si..., sont généralement vues omme des ma-hines à voyager à travers les mondes.(35) Si Marilyn Monroe avait été un homme, elle/??il ne serait pas devenue unelégende.La subordonnée en si nous envoie provisoirement dans un monde w′ assez dif-férent du monde w initialement hoisi pour évaluer (35).(36) Einstein aurait pu ne pas être Einstein.P3¬ e = e ou P3e 6= earré � en équilibre � sur un de ses angles, et 'est un équilibre fragile : on se dit qu'il va peut-êtretomber à gauhe, peut-être tomber à droite ; d'où l'idée de possible. Le arré 2, lui, est solidementposé sur sa base : on est sûr qu'il ne tombera pas ; d'où l'idée de néessité.


146 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalité4.4 Intension et extension4.4.1 Sens et mondesCommençons par réapituler un point important : pour un modèle donné, lavaleur sémantique, 'est-à-dire la dénotation, d'une expression dépend maintenantd'un monde possible et d'un instant donnés. Et on érit ainsi :[[φ]]M,w,i,g = 1pour dire que φ est vraie dans le monde w à l'instant i (et relativement au modèle

M et à l'assignation g). Ces paramètres w et i jouent le r�le de points de référenessur lesquels s'appuie l'évaluation sémantique de l'expression. Ils onstituent e quel'on appelle des indies. Pour Montague (1973) et, à sa suite, d'autres auteurs13,un indie est ainsi dé�ni omme un ouple 〈w, i〉. Ii, dans la suite de hapitre,nous allons maintenant abandonner (provisoirement) les instants i, omme promisen 4.2.3 (et nous reviendrons sur la question au hapitre 7). Autrement dit, pournous dorénavant un indie sera simplement identi�é à un monde possible. Celarevient don à onsidérer que la dénotation d'une expression α se note sobrement[[α]]M,w,g.Passons maintenant au sens d'une expression. Et souvenons-nous de la dé�nition� fregéenne � que nous avions adoptée 2.2, p. 33 : le sens d'une expression est equi nous donne sa dénotation. En reformulant ela à l'aide de l'appareil formel quenous avons introduit dans e hapitre, nous pouvons dire, par exemple pour uneformule φ :Point 4.1Connaître le sens de φ 'est être apable de dire pour n'importe quel monde w si φest vraie ou fausse dans w.Ou enore, omprendre φ, 'est être à même de dire : � donnez-moi un monde w(quelonque) et je vous dirai si φ est vraie ou fausse dans w �. Car rappelons-nousqu'un indie-monde w donné fournit une desription omplète d'un état de hosesdu � Monde �.Il s'ensuit que onnaître le sens de φ 'est �nalement onnaître (disons virtuel-lement) l'ensemble de tous les mondes dans lesquels φ est vraie. Ou, du moins, 'estêtre apable de retrouver et ensemble. Résumons ela sous le point suivant.Point 4.2Le sens d'une phrase, ou d'une formule, est assimilable à l'ensemble de tous lesmondes possibles dans lesquels elle est vraie.Formellement : le sens de φ = {w ∈ W | [[φ]]M,w,g = 1}.13Citons simplement Dowty et al. (1981) et Chierhia & MConnell-Ginet (1990). Notons e-pendant que dans d'autres travaux, R. Montague se donne des indies ave plus de omposants.Voir aussi Lewis (1972), ainsi que Roussarie (2006), pour un exposé détaillé de la notion d'indie.


4.4. Intension et extension 147Il y a une autre manière, plus systématique, de présenter la hose, en restantdans l'esprit de la dé�nition fregéenne. Ce que dit point 4.1, 'est en fait que le sensde φ est une fontion qui pour haque monde w renvoie la valeur � oui, φ est vraiedans w � ou � non, φ est fausse dans w �.Point 4.3Soit φ une formule, son sens est la fontion ainsi dé�nie :W −→ {0 ; 1}w 7−→

{

1 si φ est vraie dans w0 sinonOr il est un fait mathématique bien onnu, et fort préieux, qui dit que toutefontion d'un ensemble quelonque E vers l'ensemble {0 ; 1} détermine univoque-ment un sous-ensemble préis de E ; 'est e qu'on appelle la fontion aratéristiquede e sous-ensemble14. Don la fontion présentée dans le point 4.3 détermine unsous-ensemble partiulier de W. Lequel ? Et bien elui qui ontient tous les mondespossibles où φ est vraie. Autrement dit, les points 4.2 et 4.3 dérivent bien exate-ment la même hose.Nous pouvons à présent généraliser la formalisation du sens proposée dans lepoint 4.3. Car les formules (ou les phrases) ne sont bien sûr pas les seules expres-sions du langage (objet ou naturel) à être pourvues de sens. Ainsi le sens de touteexpression interprétable va se onevoir dans les mêmes termes : 'est la fontionqui nous livre la dénotation de l'expression. Nous tenons là une véritable dé�nitionformelle. *** Carnap (1947) *** intension et extensionDé�nition 4.5 (Intension)Soit M = 〈A,W, F 〉 un modèle intensionnel, g une fontion d'assignation et α uneexpression interprétable de lo. L'intension de α est la fontion w 7−→ [[α]]M,w,g,'est-à-dire la fontion qui à tout monde w de W assoie l'extension de α dans w.Par exemple pour un prédiat unaire omme dormir, son intension sera la fon-tion qui pour tout w renvoie le sous-ensemble de A qui ontient tous les individusqui dorment dans e monde w. Ou pour dire les hoses un peu plus pratiquement :'est la fontion qui nous fait onnaître l'ensemble des dormeurs de haque monde

w.(37) Intension de dormir :W −→ ℘(A)w 7−→ l'ensemble des dormeurs de A dans w, ie [[dormir]]M,w,gRemarquons que le résultat que nous donne ette fontion n'est autre que

F (w,dormir). Cela veut dire que le sens de dormir nous est donné par la fon-tion F , e qui est normal puisque F est la fontion qui interprète les noms deprédiats (ie les onstantes non logiques). Mais il ne faut pas assimiler les deuxhoses, ar la notion d'intension telle qu'elle est dé�nie i-dessus vaut pour toute14Cf. l'annexe A.5.3, p. 221.


148 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéexpression interprétable, pas seulement pour les onstantes non logiques. Certes,pour le moment nous n'avons pas à notre disposition une grande variété de tellesexpressions dans lo (mais ela va hanger dès le hapitre 5) : de e que nous sa-vons interpréter, en sus des formules et des prédiats, il nous reste les onstantesd'individus et les variables.L'intension d'une onstante d'individu, ou d'un nom propre, n'est pas très spé-taulaire, tant que l'on se plae sous l'hypothèse de rigidité de es désignateurs( 4.2.1). L'hypothèse nous dit que, par exemple, la onstante a (ou le nom Alie)dénote toujours l'individu Alie, quel que soit le monde où l'on se plae. En termesd'intension, ela signi�e don que l'intension de a est la fontion w 7−→ Alie, 'est-à-dire une fontion onstante (ie dont le résultat est indépendant de l'argument).Une telle fontion onstitue un objet intensionnel quelque peu � dégénéré � ou ap-pauvri, mais qui est, somme toute, assez onforme à l'intuition que l'on peut avoirsur la sémantique des noms propres, à savoir qu'ils n'ont pas vraiment de sens(du moins qu'ils n'ont pas de sens au même titre que les substantifs par exemple).[Notons qu'il est important de ne pas onfondre pour autant l'intension d'un nompropre ave son extension. Ce ne sont pas les mêmes types d'objets : l'extensiond'un nom propre est un objet du monde (ie de A) alors que son intension reste unefontion de W vers A℄.Quant à l'intension d'une variable, en quoi onsiste-t-elle ? Appliquons la dé-�nition 4.5 à x par exemple : ela nous donne la fontion qui à tout monde wassoie l'extension de x dans w relativement à M et g, 'est-à-dire [[x]]M,w,g. Etpar dé�nition, ette extension vaut g(x). Don l'intension d'une variable x est lafontion w 7−→ g(x). Il s'agit là enore d'une fontion onstante puisque le résultatne dépend pas de l'argument w. Cela ne devrait pas être déroutant ar les variablesnon plus n'ont pas vraiment de sens : elles se ontentent de pointer plus ou moinsarbitrairement sur un objet du domaine et e pointage n'est pas déterminé parl'état du monde possible au sujet duquel le louteur dit quelque hose.Cela nous amène à une observation importante. D'abord : l'intension, 'est-à-dire le sens, d'une expression ne dépend pas du mondepossible dans lequel on se plae pour évaluer ette expression.Car le sens est bien e qui est onstant d'un monde à l'autre : par exemple le sensdu mot dormir (ou du prédiat dormir dans lo) ne hange pas selon qui dort ou nedort pas dans telle ou telle situation. Dormir 'est dormir quel que soit le mondeque l'on envisage. Et 'est bien e qui est re�été par la formalisation des intensionsen tant que fontion sur les mondes, 'est-à-dire des abstrations sur les w. Enrevanhe, d'après la dé�nition 4.5 : l'intension d'une expression dépend d'un modèle et d'une fontion d'assigna-tion.Cela veut dire qu'une expression donnée pourra ne pas avoir le même sens d'unmodèle à l'autre ou d'une fontion d'assignation à une autre [selon que l'on hange


4.4. Intension et extension 149de modèle ou de fontion g℄. C'est assez faile à omprendre pour e qui est del'assignation. Supposons une fontion g qui assigne à la variable x la valeur Alie.Dans e as l'intension de la formule (38)a, tradution de la phrase (38)b, est lafontion qui retourne 1 pour tous les mondes w dans lesquels Alie fait partie desdormeurs.(38) a. dormir(x)b. Elle dort.Et si g(x) = Dina, alors l'intension de (38)a est une autre fontion, elle quiretourne 1 pour tous les mondes w dans lesquels 'est Dina qui fait partie desdormeurs.Notation 4.1Soit M un modèle intensionnel (M = 〈A,W, F 〉), g une fontion d'assignation etα une expression interprétable de lo. L'intension de α relativement à M et g senotera [[α]]M,g.Ressemble à notre manière de noter la dénotation (ie extension) de α dans lehapitre 2. Mais, attention, ii le modèle est intensionnel : il ontient W et surtout Fest une fontion à deux arguments. Par onséquent, [[α]]M,g peut apparaître ommeune ériture � inomplète � ; et 'est voulu. C'est pare qu'à partir du momentoù l'on onsidère [[α]]M,g omme une fontion sur les mondes, [[α]]M,w,g se présenteomme une simple variante d'ériture pour [[α]]M,g(w), où l'argument w est disposéomme à l'habitude en mathématiques, 'est-à-dire entre parenthèses après le nomde la fontion.De plus, pour dire que la formule φ est vraie dans w, relativement à M etg, on dispose maintenant d'une notation équivalente à [[φ]]M,w,g = 1, et qui est :w ∈ [[φ]]M,g, à partir du moment où l'on s'autorise à � onfondre � la dénominationd'un ensemble et elle de sa fontion aratéristique.Exerie 4.4Démontrez préisément que les éritures [[φ]]M,w,g = 1 et w ∈ [[φ]]M,g disent lamême hose.***NB : ajouter + haut l'introdution des termes propriété, relation intension-nelle et. + qq mots sur l'intension d'une ι-desription.4.4.2 DisussionJe vais me permettre de faire ii une digression qui pourra sembler laborieuseà ertains, mais qui permet de on�rmer le fondement de l'analyse présentée i-dessus, 'est-à-dire la dé�nition du sens (de l'intension) omme une fontion desindies vers les dénotations. Cette analyse est souvent (dans les manuels) étayée parun argument pédagogique, mais qui peut sembler ontroversable de prime abord.


150 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalitéTab. 4.1 � Extensions et intensions des di�érentes atégories de loCatégories Extension Intensiond'expressions (dénotation) (sens)formule φ une valeur de vérité une fontion W 7→ {0 ; 1}(phrase) 0 ou 1 ou un sous-ensemble de W= une propositionterme, onstante un individu de A une fontion W 7→ A(N propre, GN dé�ni) = un onept d'individuprédiat unaire un ensemble d'individus une fontion W 7→ ℘(A)(N, Adj, GV) (∈ ℘(A)) = une propriétéprédiat binaire un ensemble de ouples une fontion W 7→ ℘(A×A)(V transitif,...) d'individus (∈ ℘(A×A)) = une relationMon objetif ii est de reprendre et argument de manière su�samment préise etétendue a�n de dissiper toute ontroverse à son sujet.Vous savez tous e qu'est un anard (au sens premier, ie l'oiseau palmipède et.e que nous traduirons dans lo par, disons, anard1). Partant, je pense que vousserez bien d'a

ord que si vous renontrez un anard, vous saurez le reonnaître,vous saurez dire � 'est un anard �. Qu'est-e que ela signi�e ? pourquoi en est-ilainsi ? omment ela se fait-il ? Si vous savez reonnaître un anard en tant que a-nard, 'est que vous avez un ertain savoir, une onnaissane. Et ette onnaissaneest d'ordre lexial : vous onnaissez le sens (ou la dé�nition, e qui revient un peuau même) du mot français anard. Remarque : reonnaître un individu omme unanard, ela veut dire que l'on sait qu'il appartient à la dénotation de anard.L'argument en question est le suivant : quel que soit le monde dans lequel vouspouvez vous trouver, si vous y renontrez un anard, vous reonnaîtrez qu'il s'agitd'un anard. Cela déoule du fait que le sens, don l'intension, d'une expression estindépendant des mondes possibles, 'est-à-dire que le sens du mot anard reste lemême dans tous les mondes (e qui hange d'un monde à l'autre 'est la dénotationdu mot).Mais et argument est-il vraiment valide ? a-t-on vraiment le droit de dire ela ?Pour s'en assurer, essayons de le falsi�er, 'est-à-dire de trouver un ontre-exemple.Comme l'argument est de la forme � quel que soit le monde possible... �, il su�t detrouver ('est-à-dire de réussir à imaginer) un monde dans lequel vous renontrezun individu qui dans e monde est anard, mais que vous ne reonnaissez pas entant que tel. C'est volontairement que je m'adresse ii à vous, leteurs, ar danset exerie il s'agit de vous imaginer tel que vous êtes réellement (ie pas ommeun martien, un homme des avernes ou un nouveau né), du moins vous ave vosompétenes de louteur du français.Un ontre-exemple serait un monde dans lequel les anards sont, par exemple,des réatures de trois mètres de haut, ave une peau épaisse et grise, un appendienasal allongé, de grandes oreilles en éventail, et. Certes vous ne reonnaîtrez pas


4.4. Intension et extension 151là un anard. Et omment vous vous rendriez ompte de votre erreur ? Il faudraitpar exemple qu'un habitant de e monde vous dise que ette réature est un anard(sous-entendu dans e monde, bien sûr). Mais que pouvons nous onlure de ettesituation ? C'est que �nalement, malgré les apparenes, les habitants de e mondene parle pas français. Ils parlent un étrange dialete, ou jargon, où anard signife enfait éléphant. Et ela e n'est pas du vrai français, le français que nous onnaissonsvous et moi. Car un des paramètres qui dé�nissent e qu'est une langue, 'est eque signi�ent les mots. Ainsi même si les habitants de e monde étrange nommentanard les éléphants et s'ils nomment, par exemple, himpanzés les palmipèdesommuns, nous saurons toujours nommer (don reonnaître) anard (en français)les anards, e que les habitants du monde nomment himpanzés (mais ils n'utilisentpas les mêmes mots que nous).Conlusion : l'argument est orret. Le sens ne hange pas de monde en monde,et 'est pour ela qu'on saura toujours nommer les hoses (dans la langue quel'on onnaît et manie) quel que soit le monde où l'on se trouve. � Donnez-moi(préisément) un monde, je vous donnerai la dénotation de toute expression �.L'idée sous-jaente est que nous savons toujours (et � partout �) appliquer lesdé�nitions sémantiques des mots que l'on onnaît.Ce que notre théorie n'expliite pas e sont les ritères qui onditionnent lesfontions-intensions ; ie es ritères qui nous apprennent à reonnaître les anardset autres hoses. Autrement dit les dé�nitions sémantiques des mots. Nous tenonssimplement ompte des e�ets de la dé�nition.**** Postulats de signi�ation ***4.4.3 Expression des intensions dans le langageNous allons ii aborder un problème qui avait déjà été identi�é, et en grandepartie expliqué, par Frege (1892b) : le problème de e qu'il appelait les dénotationsindiretes. La notion d'intension introduite préédemment va nous permettre deformaliser une solution à e problème, en reprennant notamment le système quepropose Montague (1973).4.4.3.1 Le problème des omplétivesPour nous sensibiliser au problème des dénotations indiretes, ommençons parnous interroger sur la manière dont on pourrait traduire, et don analyser, om-positionnellement des phrases qui ontiennent une subordonnée omplétive omme(39) :(39) Jean pense que Marie est en olère.En admettant que Marie est en olère se traduise simplement par olère(m), eten tenant ompte du fait que penser est un verbe transitif, on peut tout d'abordêtre tenté de proposer la tradution suivante :


152 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalité(40) penser(j, olère(m))Mais on sait que ela n'est qu'une tentation à laquelle on ne devrait pas oseréder, ar la syntaxe de lo ne nous autorise pas, pour l'instant, à érire (40). Ene�et olère(m) est une formule et pour ette raison elle ne peut pas apparaître entant qu'argument d'un prédiat binaire omme penser.Cependant, s'il le faut, nous pouvons toujours envisager d'amender la syntaxede lo en ajoutant une règle qui autorise (40) et ainsi permette de traduire le sensde (39). Une telle règle serait de la forme : si α est un terme, si P est un ertainprédiat binaire (omme penser, roire, dire, vouloir...) et si φ est une formule, alorsP (α, φ) est une formule bien formée de lo. Cela nous permettrait d'érire dans loe qu'on appelle des expression du seond ordre, 'est-à-dire qui enhâssent desformules omme arguments de prédiats.Mais si nous nous a

ordons le droit d'érire (40), nous devons aussit�t véri�erla justesse de ses onditions de vérité. A priori, nous pouvons interpréter (40) par larègle sémantique (Sem.1b) (p. 94) ; ses onditions de vérité s'établiront alors ommesuit :� [[penser(j, olère(m))]]M,w,g = 1� ssi 〈[[j]]M,w,g, [[olère(m)]]M,w,g〉 ∈ [[penser]]M,w,g.Nous savons que [[j]]M,w,g = Jean, mais que vaut [[olère(m)]]M,w,g ? Cela dépendde w, mais e qui est sûr 'est que 'est une valeur de vérité, 0 ou 1, puisqu'il s'agitd'une formule. Par onséquent (40) est vraie dans w ssi 〈Jean, 1〉 ou 〈Jean, 0〉(selon que Marie est ou non en olère dans w) appartient à la dénotation de penserdans w. Or ela présuppose qu'un prédiat omme penser dénoterait une relationentre des individus (omme Jean) et des valeurs de vérité (0 ou 1). ****** Bien sûr on pourrait ontourner e problème en disant qu'un prédiatomme penser ne dénote pas diretement une relation entre e que dénotent sesdeux arguments, mais entre ***4.4.3.2 Dénotation indirete : ∧ et ∨Frege (1892b) avait déjà identi�é le problème en démontrant que dans ertainsontextes (grammatiaux) ertaines expressions de la langue avaient une dénotationinhabituelle, indirete.***Si α est une expression de lo, ∧α est l'expression de lo qui dénote le sens deα. [[∧α]]M,w,g = [[α]]M,g(41) penser(j, ∧olère(m))4.4.3.3 Analyse (lexiale) des attitudes propositionnellesroire, penser

[[roire(x, ∧φ)]]M,w,g = 1 ssi Doxw([[x]]M,w,g) ⊂ [[∧φ]]M,w,g.vouloir, souhaiter[[vouloir(x, ∧φ)]]M,w,g = 1 ssi Bulw([[x]]M,w,g) ⊂ [[∧φ]]M,w,g.


4.4. Intension et extension 1534.4.3.4 Appliations : de re et de dito(42) Adèle roit qu'un vampire l'a mordue (pendant la nuit).De dito :(43) roire(a, ∧∃x [vampire(x) ∧mordre(x, a)])De re :(44) ∃x [vampire(x) ∧ roire(a, ∧mordre(x, a))]Un as (un peu moins simple) ave un GN dé�ni.(45) ×dipe voulait épouser sa mère.On va l'analyser en supposant ette reformulation (putative) : ×dipei voulaitqu'ili épouse sai mère.Pro�tons-en pour onfronter les deux analyses (ie tradutions) des dé�nis vuesen 3.3.3 (hapitre 3, pages 115ss). Commençons par l'analyse ι.Sa(x) mère : ιymère(y, x)Il(x) épouse sa(x) mère : épouser(x, ιymère(y, x))De dito :(46) vouloir(÷, ∧épouser(x, ιymère(y, x))) ∧ x = ÷Remarquez ('est fondamentale) que ιymère(y, x) dénote, dans tout monde w,l'unique individu deA qui est la mère de x dans w. Don ∧[épouser(x, ιymère(y, x))∧x = ÷] dénote l'ensemble de tous les mondes w dans lesquels ×dipe épouse ellequi est sa mère dans w.Pour la leture de re, 'est plus déliat. On ne peut pas � sortir � tout simple-ment ιymère(y, x) du omplément de vouloir. D'abord que mettrait-on à sa plae ?On ne peut pas mettre y, omme trae de la desription dé�nie, ar e y ne se-rait pas lié par ιy, et don il pourrait référer à n'importe quel individu. Ce n'estpas e que l'on veut. De plus n'oublions pas que ιymère(y, x) est un terme, pasune formule. Il n'a don pas vraiment d'autonomie, il ne peut pas être onneterà une formuel par ∧, et il doit toujours être un argument d'un prédiat. Or nousn'avons pas notre disposition un prédiat d'a

ueil pour e terme. Par onséquent,la formule suivante est fautive (elle syntaxiquement inorrete dans lo) :(47) * ιymère(y, x) ∧ vouloir(÷, ∧épouser(x, y)) ∧ x = ÷Pour les mêmes raisons, l'expression suivante est inadéquate, même si le derniery est lié par ι. En fait, e n'est toujours pas une formule15 :15Mais 'est une expression bien formée de lo. Simplement e n'est pas une formule, ça ne


154 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalité(48) ιy [mère(y, x) ∧ vouloir(÷, ∧épouser(x, y)) ∧ x = ÷]En fait, le meilleur moyen de s'en tirer, 'est, pour la leture de re, de reformuler(45) en : � elle qui est la mère d'×dipe est elle qu'×dipe veut épouser �.(49) ιymère(y, x) = ιz vouloir(÷, ∧épouser(x, z)) ∧ x = ÷Essayons ave l'approhe présuppositionnelle/anaphorique. Le GN sa mère (enparlant d'×dipe) délenhe la présupposition (très triviale) qu'×dipe a une mère(et une seule) : ∃ymère(y,÷)16. Cette présupposition ne �gure pas dans le repré-sentation sémantique de (45). Que nous reste-t-il pour faire référene à la mèred'×dipe dans la sémantique de (45) ? Simplement une variable (un pronom), parexemple y.La leture de re est alors immédiate :(50) vouloir(÷, ∧épouser(x, y)) ∧ x = ÷La leture de dito est plus problématique : il faut réinjeter dans le omplémentde vouloir l'information que y est la mère d'×dipe. On peut proposer :(51) vouloir(÷, ∧[épouser(x, y) ∧mère(y, x)]) ∧ x = ÷Mais e n'est pas su�sant ar par présupposition, on sait que y est identi�éeave elle qui est réellement (du moins pour le louteur) la mère d'×dipe. Mais en'est pas e que dit la leture de dito : la personne qu'×dipe souhaite épouser,n'est pas forément sa vraie mère. (51) n'est don pas la bonne tradution de laleture de dito. Il faut mettre toute la présupposition dans le ompélement devouloir. Voir Heim (1992).(52) vouloir(÷, ∧[∃y[mère(y, x) ∧ épouser(x, y)]]) ∧ x = ÷4.5 Retour aux modalités4.5.1 ProblèmeTrès peu de formules de la forme 2φ sont vraies (seules les tautologies les plus� insigni�antes � marhent). Inversement presque toutes les formules de la forme3φ sont trivialement vraies.4.5.2 Variété de modalitésAléthiques, ironstanielles (ou radiales), épistémiques, déontiques (et.).peut être ni vrai ni faux. Ce terme dénote l'unique individu qui est à la fois la mère d'×dipe etqu'×dipe veut épouser. On y est presque mais e n'est pas enore la solution.16Pour simpli�er les notation, je vais négliger ii la ondtion d'uniité. En fait la présuppositionomplète doit être : ∃y ∀x[mère(x,÷) ↔ x = y]


4.5. Retour aux modalités 1554.5.3 Bases modales et relations d'a

essiblitérelations d'a

essibilité et bases modalesModèle (intensionnel) de Kripke : M = 〈A,W, R,I


156 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalité(53) Si Pierre attrape un rhume, la Tour Ei�el sera vendue aux japonais ou sila Tour Ei�el est vendue aux japonais, Pierre attrapera un rhume.Comme (53) est (apparemment) une tautologie alors on est obligé de onlureque dans n'importe quel monde (par exemple le notre) au moins l'un des deuxtermes de la disjontion est vrai. Mais 'est évidemment absurde : on a envie dedire, et à juste titre, que dans notre monde, es deux termes sont faux.Un autre problème, lié à elui-i, apparaît quand on s'intéresse à la négationd'une phrase onditionnelle. Imaginons un détetive menant une enquête et parve-nant à une onlusion qu'il énone ainsi :(54) Si e n'est pas le majordome qui a fait le oup, alors 'est le jardinier.Jusqu'ii, pas de problème. Mais imaginons ensuite un ollègue du détetiverétorquant : � Non, her ami, je ne suis pas d'a

ord �. On voit e qu'il veut direpar là : il nie l'a�rmation du premier détetive et le fond de son énoné revient à :(55) Il est faux que si e n'est pas le majordome qui a fait le oup, alors 'est lejardinier.Expliitons enore : en réfutant l'impliation (54), le seond détetive veut direque si on trouve la preuve de l'innoene du majordome, on ne devra pas pourautant en onlure la ulpabilité du jardinier. C'est bien là le sens de (55).Seulement regardons e qui se passe si on analyse (54) en [¬φ→ ψ] et don (55)en ¬[¬φ→ ψ] (ave φ pour � le majordome a fait le oup � et ψ pour � le jardiniera fait le oup �). Dans e as (55) est vraie dans w ssi ¬[¬φ→ ψ] est vraie, don ssi[¬φ→ ψ] est fausse. Et ette impliation est fausse préisément dans les mondes où¬φ est vraie (ie φ est fausse) et ψ est fausse. Par onséquent, selon ette analyse, lepropos du seond détetive serait équivalent à � le majordome et le jardinier sonttous les deux innoents � ('est à dire [¬φ ∧ ¬ψ]), mais, omme nous venons de levoir, e n'est pas du tout e qu'il veut dire. En fait, e que montre notre glose de(55) i-dessus, 'est que la négation d'une phrase onditionnelle est enore une sortede onditionnelle (f. � si on trouve la preuve de l'innoene du majordome, on nedevra pas et. �). En revanhe la négation d'une impliation matérielle (¬[φ→ ψ])n'est jamais une impliation, mais e que l'on pourrait appeler une a�rmationonjontive ([φ ∧ ¬ψ]). Il nous faut don en onlure que l'impliation matériellene traduit pas adéquatement le sens d'une phrase onditionnelle du français18.L'impliation matérielle pose également problème pour interpréter les ondi-tionnelles ontrefatuelles. Une onditionnelle ontrefatuelle est une phrase de la18Il y a autre argument, dérivé de elui-i et que l'on doit à Stalnaker (1968, 1975) (ommel'exemple (54) d'ailleurs). On peut montrer failement l'absene de onséquene logique de [φ∨ψ]vers [¬φ → ψ] ; les ontre-exemples sont les as où φ et ψ sont toutes les deux fausses. Pourtanton est tenté de onsidérer que le l'inférene suivante : � C'est le majordome ou le jardinier qui afait le oup. Don (|=) si e n'est pas le majordome, 'est le jardinier � est valide ou du moinsrationnelle. ****


4.5. Retour aux modalités 157forme si P , Q dans laquelle le louteur signale que l'antéédent P est faux (dansle monde où l'on doit évaluer la onditionnelle). On les dit ontrefatuelles arelles expriment une impliation qui a ours en dehors des faits établis, 'est-à-direhors du monde w par rapport auquel la phrase est présentée omme vraie. Lesontrefatuelles sont spéi�quement grammatialisées en français : l'antéédent està l'imparfait ou au plus-que-parfait et le onséquent au onditionnel. Exemple :(56) Si les kangourous n'avaient pas de queue, ils tomberaient à la renverse.4.5.5.2 Analyse modale des onditionnellesKratzer (1991a)


158 Chapitre 4. Temps et mondes � l'intensionnalité


Chapitre 5λ-alul et théorie des types

Enjeu : dé�nir un système d'analyse sémantique ompositionnel.Il va s'agir de dé�nir un ensemble de règles qui permettent d'obtenir � auto-matiquement � la tradution d'une phrase dans lo. On s'appuie sur le prinipede ompisitionnalité, et omme e prinipe dit que le sens d'une phrase dépend dusens de ses parties et de leur mode ombinaison syntaxique, le système de règlesdevra opérer sur des phrases analysées syntaxiquement, 'est-à-dire des arbres. Onse situe don ii à l'interfae syntaxe�sémantique.5.1 Tout est fontion (ou presque)5.1.1 Des trous dans les formulesNous savons traduire en lo une phrase simple du français omme ((1-a)a).Nous le savons ar nous omprenons ((1-a)a), 'est-à-dire que nous perevons sesonditions de vérité, et nous onnaissons maintenant su�samment bien lo poursymboliser es onditions dans une formule ((1-a)b).(1) a.b. Alie regarde Bruno.. regarder(a,b)En fait et exemple montre que, pour l'instant, nous traduisons du français vers lode la même manière qu'un polyglotte traduira par exemple une phrase de l'italienvers l'anglais. Nous a

édons au sens de la phrase de départ puis nous reformulons esens dans le langage ible, en l'o

urrene ii lo. Cependant il ne faut pas perdre devue que les tradutions que nous e�etuons ii ne sont qu'a

essoires, et e qui nousintéresse en sémantique 'est avant tout de dérire le sens des expressions. Pour direles hoses autrement, la tradution vers lo ne doit pas tellement être vue ommeune reformulation d'un sens dans une autre langue, mais plut�t omme une manièrede dévoiler ('est-à-dire d'expliiter) le sens. Ainsi traduire dans lo orrespond àette étape d'a

ès au sens mentionnée i-dessus ; ela onsiste simplement à faire del'analyse sémantique. Une théorie de desription formelle et su�samment élaboréed'une langue naturelle omme le français devra don expliiter, et détailler, lesméanismes mis à l'÷uvre dans l'analyse sémantique d'une phrase.159


160 Chapitre 5. λ-alul et théorie des typesL'analyse sémantique pilote le proessus de onstrution du sens d'une phrase etdoit don respeter notre prinipe de ompositionnalité (2.4, p. 39) qui, rappelons-le, dit que l'interprétation (ie le sens) d'une phrase dépend de l'interprétation deses parties et de leur mode de ombinaison syntaxique. Cela implique d'abord quel'analyse sémantique doit tenir ompte de la syntaxe1 et don opérer sur des phrasesanalysées syntaxiquement, 'est-à-dire, par exemple, des arbres.Ainsi, si l'on dispose d'une règle syntaxique qui dit qu'une phrase se réériten un groupe nominal suivi d'un groupe verbal, P → GN GV, alors le sens de Pdoit dépendre du sens de GN et de GV. Et ela a une impliation supplémentaireimportante : un GN et un GV doivent don en soi avoir un sens et don orrespondreà des expressions reonnues et interprétables dans lo. Et de même pour tous lesonstituants syntaxiques de la phrase.Reprenons l'exemple ((1-a)) ave son analyse syntaxique, que l'on peut, aumoins en première approximation, représenter par l'arbre de onstituants ((2)).Le prinipe de ompositionnalité nous dit que haque onstituant de la phrase estinterprétable. C'est pourquoi nous pouvons déorer l'arbre en assoiant à haunde ses n÷uds une expression de lo (qui est, par dé�nition, interprétable). Noussavons e qui déore le n÷ud P : 'est la formule ((1-a)b) ; et nous prévoyonsassez naturellement que les GN, Alie et Bruno, seront déorés respetivement desonstantes a et b, et le verbe regarde du prédiat binaire regarder. Mais quelleexpression de lo pouvons-nous assoier au groupe verbal GV? Nous venons devoir que par ompositionnalité e GV est interprétable : il devrait don pouvoir setraduire en soi dans lo.P regarder(a,b)(2) GNAliea GV ; ?Vregarderegarder GNBrunobHypothèses :GV ; regarder(b)GV ; regarder(x,b)GV ; regarder( ,b)1Il s'agit là bien sûr de la syntaxe du français, pas de la syntaxe de lo que nous avons vuedans les hapitres préédents


5.1. Tout est fontion (ou presque) 161P dormir(a)(3) GNAliea GV dormirVdortdormir5.1.2 Sémantique fontionnelle des prédiats[[dormir]]M,w,g = F (w,dormir) = A −→ {0 ; 1}x 7−→ { 1 si x dort dans w

0 sinonExemple, ave Alie,Bruno,Charles,Dina ∈ A :[[F(dort)]]M,w,g = [[dormir]]M,w,g =

AlieBrunoCharlesDina. . .

10 Alie, Bruno et Dina dorment dans w, et Charles ne dort pas.Si on �xe un des arguments d'un prédiat à deux plaes, on obtient sémanti-quement un prédiat à une plae. Ex : la dénotation du VP regarde Bruno hangeselon le NP sujet qu'on lui assoie.[[F(regarde Bruno)]]M,w,g =


10 C'est la fontion qui dit qui regarde Bruno dans w ; ii seule Alie regardeBruno.On fera la même hose pour regarder( , a) (fontion � qui regarde Alie ? �) :[[F(regarde Alie)]]M,w,g =


10 Idem pour regarder( , ) (� qui regarde Charles ? �), pour regarder( ,d)(� qui regarde Dina ? �) et.[[F(regarde Charles)]]M,w,g =


10


162 Chapitre 5. λ-alul et théorie des typesQuand on fait varier le seond argument, on obtient une nouvelle fontion.On a don une série de fontions.A haque valeur possible du seond argument, regarder (dans w) assoie unefontion qui dit qui regarde � ette valeur �. On peut résumer ela dans une grandefontion qui à haque individu y de A assoie la fontion qui dit qui regarde y :[[regarder]]M,w,g =

Alie � qui regarde Alie ? �Bruno � qui regarde Bruno ? �Charles � qui regarde Charles ? �Dina � qui regarde Dina ? �. . .

C'est-à-dire :[[regarder]]M,w,g =



10


10


10 [

. . .]

Conlusion : sémantiquement, un prédiat à deux arguments est d'abord unefontion à un argument qui retourne une fontion à un argument.[[regarder]]M,w,g = F (w, regarder)

= A −→(

A −→ {0 ; 1})y 7−→ ( x 7−→ { 1 si x regarde y dans w

0 sinon )Notation 5.1Soit A et B deux ensembles non vides. L'ensemble de toutes les fontions de A versB se note BA.Don l'extension de dormir dans w est un élément de {0 ; 1}A. Et l'extensionde regarder est un élément de ({0 ; 1}A)A.


5.2. Le λ-alul 163Résumé du � but du jeu � : les expressions de base du langage sont non sa-turées, elles sont inomplètes, et en les assemblant les unes ave les autres, ellesse omplètent mutuellement jusqu'à produire des expressions omplexes �nalementsaturées : des phrases (ou des formules, dans lo).Il y a di�érentes manières de formaliser l'inomplétude d'une expression2. Ii,en suivant notamment Montague (1973), nous avons hoisi d'utiliser le oneptmathématique de fontion.5.2 Le λ-alulDans ette setion je présenterai le méanisme général du λ-alul, tel qu'onpeut l'utiliser en analyse sémantique.5.2.1 La λ-abstrationBref, il nous faut un moyen formel et préis de marquer les � trous � desexpressions inomplètes. Quelque hose qui permette l'équivalent de dormir( ),mais de façon plus sérieuse.Le λ-alul permet ela.Le prinipe général est le suivant :Dé�nition 5.1 (λ-abstration)Si α est une expression bien formée de lo et si v est une variable de lo, alors λvαest une expression bien formée de lo.On dit que λvα est un λ-terme3.C'est une nouvelle règle qui vient s'ajouter à la syntaxe de lo.λx dormir(x)λyλx regarder(x, y)Bien sûr nous pouvons aussi onstruire λxλy regarder(x, y) *** Ainsi la quantitéet la variété d'expressions bien formées que l'on peut onstruire dans lo augmenteénormément par ette seule règle. Par exemple : λx∃y[oiseau(y) ∧ regarder(x, y)]Dé�nition 5.2 (Interprétation des λ-termes)

[[λv α]]M,w,g est la fontion d 7→ [[α]]M,w,g[d/v] .NB : λx dormir(x) a le même sens que dormir et λyλx regarder(x, y) queregarder. Mais les λ-termes sont plus préis que les simples onstantes de prédiatar elles antiipent sur l'analyse syntatio-sémantique de la phrase. Un λ-termepeut être vu omme une petite mahine à analyser le sens d'un onstituant om-plexe.2Et par exemple, une alternative sérieuse est donnée par le méanisme d'uni�ation ; f. **ref**.3On trouve souvent la variante de notation suivante pour les λ-termes : λv.α ou λv·α.


164 Chapitre 5. λ-alul et théorie des typesRemarquons que la règle de λ-abstration nous permet de onstruire par exemplele λ-terme λx a à partir de la onstante d'individu a. Même si ette expressionpeut paraître bizarre, elle parfaitement interprétable. D'après la dé�nition 5.2,[[λx a]]M,w,g = d 7→ [[a]]M,w,g[d/x] et omme la dénotation d'une onstante ne dépendpas de la fontion d'assignation donnée mais uniquement de la fontion d'inter-prétation F du modèle, nous avons [[λx a]]M,w,g = d 7→ F (w, a), 'est-à-dire unefontion onstante, qui retourne toujours la même valeur.Cas partiulier : λvφ, où φ est une formule (et pas simplement une expressionde lo. λvφ dénote un ensemble.5.2.2 L'appliation fontionnelleDé�nition 5.3 (Appliation fontionnelle)Si α est une expression qui dénote une fontion et si β est une expression de loalors pour appliquer α à β, on érit [α(β)]. C'est une expression bien formée de lo.

[α(β)] indique que l'on fournit β omme argument à α. Les rohets de lanotation sont importants :**reprendre :** Il est important de remarquer également que, par ette syntaxe,nous ne pouvons plus réer d'expression de la forme α(β, γ), omme par exemple :aimer(j, a). En revanhe, nous pouvons réer [[α(β)](γ)] en appliquant deux foisde suite la règle 2. C'est ainsi que se note srupuleusement un prédiat binairemuni de ses deux arguments (pareillement : [[[α(β)](γ)](δ)] pour un prédiat ter-naire, et.). Evidemment de ette manière, on obtient très rapidement des érituressurhargées, lourdes et peu agréables à manipuler. Il est ourant de s'autoriserquelques simpli�ations graphiques. D'abord, lorsque ela ne produit auune am-biguïté possible, on supprimera les rohets générés par la règle 2 (ainsi que par lesrègles 4 et 3). Par exemple, on préférera érire homme(j) ∧ aimer(a)(j) plut�t que[[homme(j)]∧ [[aimer(a)](j)]]. Mais attention : il s'agit d'être très vigilant et de biens'assurer que la suppression de rohets est sémantiquement ino�ensive ; il n'est pastoujours si évident de repérer au premier oup d'÷il les rohets dispensables (voirà et e�et l'exerie 5.1, p. 165).Ensuite, la seonde simpli�ation d'ériture nous autorise à revenir aux nota-tions plus traditionnelles des prédiats relationnels en regroupant les argumentssous forme de liste entre une seule paire de parenthèses. Ainsi on pourra reformuleraimer(a)(j) en aimer(j, a). Mais là enore, il faut faire très attention à l'inversionde l'ordre des arguments entre les deux éritures. L'expliation de ela devrait ap-paraître assez naturellement si l'on se reporte aux représentations graphiques desfontions à plusieurs arguments présentées en ***, où l'on voit bien que l'argu-ment le plus externe de la fontion (dans la notation [aimer(a)](j)) est le premierargument de la notation relationnelle (aimer(j, a)).Convention de notation 5.2Dans lo, on s'autorisera, quand 'est possible et utile, à simpli�er l'ériture[[α(β)](γ)] en α(γ, β) (ou seulement [α(γ, β)] si 'est néessaire), et plus générale-ment [[[[α(β1)](β2)] . . . ](βn)] en α(βn, . . . , β2, β1) (ou [α(βn, . . . , β2, β1)]).


5.2. Le λ-alul 165Les rohets sont importants : supposons que α est une expression fontionnelle,alors dans l'ériture λxλyα(β)(γ), on ne saura pas si, par exemple, β est l'argumentde la fontion α ou de la fontion λyα ou de la fontion λxλyα.Exerie 5.1 (Suppression des rohets)Dans les formules suivantes, sahant que aimer est un prédiat à deux arguments,supprimez les rohets à haque fois que 'est possible, en appliquant la règle desimpli�ation.1. [[aimer(x)](y)]2. λx[[aimer(x)](y)]3. [λx[aimer(x)](y)]4. 3[[aimer(x)](y)] 5. [∧[aimer(x)](y)]6. ∧[[aimer(x)](y)]7. [λx[[aimer(y)](x)](z)]8. λx[λy[aimer(y)](x)]Exerie 5.2 (Variante de notation)La onvention de notation présentée ii pour l'appliation fontionnelle, [α(β)],n'est pas universelle, mais on la retrouve hez ertains auteurs, par exemple Gamut(1991b)4. Je hoisis de l'utiliser dans et ouvrage ar elle permet de repérer assezfailement quelle expression est l'argument de quelle fontion, et en partiulierquel argument vient saturer quelle variable λ-abstraite. Cependant, on trouve trèssouvent dans la littérature la règle d'appliation fontionnelle diretement formuléeen α(β). Dans e as, les auteurs les plus prudents, omme par exemple Chierhia& MConnell-Ginet (1990) et Partee et al. (1990), prennent alors soin de dé�nir larègle de λ-abstration sous la forme de λv[α]5.1. Réérivez les expressions de l'exerie 5.1 en utilisant ette variante de nota-tion.2. Quel problème ela pose-t-il ? Comment devrait-on enore modi�er la syntaxede lo pour éviter e genre de problème ?Dé�nition 5.4 (Interprétation de l'appliation fontionnelle)[[α(γ)]]M,w,g = [[α]]M,w,g([[γ]]M,w,g)Conséquene : Si α = λvβ et si [[γ]]M,w,g = d, alors [[λvβ(γ)]]M,w,g = [[β]]M,w,g(d) =[[β]]M,w,g[d/v], selon la dé�nition 5.2.5.2.3 La β-rédutionOu λ-onversion (en fait la λ-onversion est une opération plus générale que laβ-rédution : la β-rédution est un as partiulier de λ-onversion).

[λxα(γ)]β= [γ/x]αEn pratique :� on supprime la paire de rohet de l'appliation fontionnelle ;4Sauf que Gamut (1991b) utilisent des parenthèses à la plae de nos rohets : (α(β)).5Partee et al. (1990) utilisent des parenthèses à la plae des rohets : λv(α).

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