Limites e ContinuidadeGlaucio Terra

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Departamento de Matematica

IME - USP

MAT111 – p. 1/21

Revisão

MAT111 – p. 2/21

Limite de uma Função num Ponto

DEFINIÇÃO Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. deacumulação de A, L ∈ R.

limx→a

f(x) = L

significa: ∀ǫ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ A, 0 < |x − a| <

δ → |f(x) − L| < ǫ

MAT111 – p. 3/21

Regras para Calcular Limites

• limx→a

c = c

• limx→a

x = a

• limx→a

(f ± g)(x) = limx→a

f(x) ± limx→a

g(x)

• limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

f(x) · limx→a

g(x)

• limx→a

f(x)g(x)

=limx→a

f(x)

limx→a

g(x)

• limx→a

(

f(x)n)

=(

limx→a

f(x))n

• limx→a

n

√

f(x) = n

√

limx→a

f(x)

MAT111 – p. 4/21

Continuidade

DEFINIÇÃO Sejam f : A ⊂ R → R, a ∈ A. Diz-seque f é contínua em a se lim

x→af(x) = f(a). Isto é

equivalente a:

∀ǫ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ A, |x−a| < δ ⇒ |f(x)−f(a)| < ǫ

MAT111 – p. 5/21

Continuidade

DEFINIÇÃO Sejam f : A ⊂ R → R, a ∈ A. Diz-seque f é contínua em a se lim

x→af(x) = f(a). Isto é

equivalente a:

∀ǫ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ A, |x−a| < δ ⇒ |f(x)−f(a)| < ǫ

Diz-se que f é contínua se for contínua em todosos pontos do seu domínio.

MAT111 – p. 5/21

Propriedades das FunçõesContínuas

TEOREMA

• Somas, diferenças, produtos e quocientes defunções contínuas são funções contínuas.

MAT111 – p. 6/21

Propriedades das FunçõesContínuas

TEOREMA

• Somas, diferenças, produtos e quocientes defunções contínuas são funções contínuas.

• A composta de funções contínuas é umafunção contínua.

MAT111 – p. 6/21

Exemplos de Funções Contínuas

• Funções polinomiais;

MAT111 – p. 7/21

Exemplos de Funções Contínuas

• Funções polinomiais;• Funções racionais;

MAT111 – p. 7/21

Exemplos de Funções Contínuas

• Funções polinomiais;• Funções racionais;• Funções trigonométricas;

MAT111 – p. 7/21

Exemplos de Funções Contínuas

• Funções polinomiais;• Funções racionais;• Funções trigonométricas;• Funções raízes.

MAT111 – p. 7/21

Limites Laterais, Limites no Infinito,Limites Infinitos

MAT111 – p. 8/21

Pontos de Acumulação

DEFINIÇÃO Sejam A ⊂ R e a ∈ R. Diz-se que a

é:• ponto de acumulação de A se, ∀ δ > 0,

V ′δ(a) ∩ A 6= ∅.

MAT111 – p. 9/21

Pontos de Acumulação

DEFINIÇÃO Sejam A ⊂ R e a ∈ R. Diz-se que a

é:• ponto de acumulação de A se, ∀ δ > 0,

V ′δ(a) ∩ A 6= ∅.

• ponto de acumulação à direita de A se,∀ δ > 0, (a, a + δ) ∩ A 6= ∅.

MAT111 – p. 9/21

Pontos de Acumulação

DEFINIÇÃO Sejam A ⊂ R e a ∈ R. Diz-se que a

é:• ponto de acumulação de A se, ∀ δ > 0,

V ′δ(a) ∩ A 6= ∅.

• ponto de acumulação à direita de A se,∀ δ > 0, (a, a + δ) ∩ A 6= ∅.

• ponto de acumulação à esquerda de A se,∀ δ > 0, (a − δ, a) ∩ A 6= ∅.

MAT111 – p. 9/21

Limites Laterais

Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. de acumulação àdireita de A, L ∈ R.

limx→a+

f(x) = L

significa:

MAT111 – p. 10/21

Limites Laterais

Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. de acumulação àdireita de A, L ∈ R.

limx→a+

f(x) = L

significa: ∀ǫ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ A, x ∈ (a, a + δ) →|f(x) − L| < ǫ.

MAT111 – p. 10/21

Analogamente, se a for pto. de acumulação àesquerda de A,

limx→a−

f(x) = L

significa: ∀ǫ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ A, x ∈ (a − δ, a) →|f(x) − L| < ǫ

MAT111 – p. 11/21

Limite de uma função num pontoe limites laterais

MAT111 – p. 12/21

Limite de uma função num pontoe limites laterais

TEOREMA Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. deacumulação à esquerda e à direita de A, L ∈ R.Então, são equivalentes:

MAT111 – p. 12/21

Limite de uma função num pontoe limites laterais

TEOREMA Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. deacumulação à esquerda e à direita de A, L ∈ R.Então, são equivalentes:

• limx→a

f(x) = L;

MAT111 – p. 12/21

Limite de uma função num pontoe limites laterais

TEOREMA Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. deacumulação à esquerda e à direita de A, L ∈ R.Então, são equivalentes:

• limx→a

f(x) = L;

• limx→a+

f(x) = L e limx→a−

f(x) = L.

MAT111 – p. 12/21

Limites no Infinito

MAT111 – p. 13/21

Limites no Infinito

DEFINIÇÃO Sejam A ⊂ R ilimitadosuperiormente, f : A → R, L ∈ R.

limx→+∞

f(x) = L

significa:

MAT111 – p. 13/21

Limites no Infinito

DEFINIÇÃO Sejam A ⊂ R ilimitadosuperiormente, f : A → R, L ∈ R.

limx→+∞

f(x) = L

significa:∀ǫ > 0,∃M > 0,∀x ∈ A, x > M → |f(x) − L| < ǫ

MAT111 – p. 13/21

Analogamente, se A for ilimitado inferiormente,

limx→−∞

f(x) = L

significa:∀ǫ > 0,∃M > 0,∀x ∈ A, x < −M → |f(x)−L| < ǫ

MAT111 – p. 14/21

Regras para Cálculo de LimitesLaterais e Limites no Infinito

MAT111 – p. 15/21

Regras para Cálculo de LimitesLaterais e Limites no Infinito

Valem as mesmas regras já vistas para o cálculodo limite de uma função num ponto, bastandosubstituir-se “lim

x→a” por “ lim

x→a+

” ou “ limx→a−

” ou

“ limx→+∞

” ou “ limx→−∞

”.

MAT111 – p. 15/21

Limites Infinitos

MAT111 – p. 16/21

Limites Infinitos

DEFINIÇÃO Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. deacumulação de A.

limx→a

f(x) = +∞

significa:

MAT111 – p. 16/21

Limites Infinitos

DEFINIÇÃO Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. deacumulação de A.

limx→a

f(x) = +∞

significa: ∀M > 0,∃δ > 0,∀x ∈ A, 0 < |x − a| <

δ → f(x) > M

MAT111 – p. 16/21

Limites Infinitos

DEFINIÇÃO Sejam f : A ⊂ R → R, a pto. deacumulação de A.

limx→a

f(x) = +∞

significa: ∀M > 0,∃δ > 0,∀x ∈ A, 0 < |x − a| <

δ → f(x) > M

limx→a

f(x) = −∞

significa: ∀M > 0,∃δ > 0,∀x ∈ A, 0 < |x − a| <

δ → f(x) < −M

MAT111 – p. 16/21

Limites Infinitos

OBSERVAÇÃO: limx→a

f(x) = ±∞ significa, em

particular, ∄limx→a

f(x)

MAT111 – p. 17/21

Propriedades dos Limites Infinitos

1. Se limx→a

f(x) = +∞ e g for limitada

inferiormente numa vizinhança de a, entãolimx→a

(f + g)(x) = +∞.

MAT111 – p. 18/21

Propriedades dos Limites Infinitos

1. Se limx→a

f(x) = +∞ e g for limitada

inferiormente numa vizinhança de a, entãolimx→a

(f + g)(x) = +∞.

2. Se limx→a

f(x) = +∞ e ∃c > 0 tal que g > c

numa vizinhança de a, entãolimx→a

(f · g)(x) = +∞.

MAT111 – p. 18/21

Exercícios

MAT111 – p. 19/21

Exercício 1

Calcule:

limx→+∞

5x4 + x3 − x2 + 1

2x4 + 6x2 + 3

MAT111 – p. 20/21

Exercício 2

Calcule:

limx→+∞

5x4 + x3 − x2 + 1

x3 + 6x2 + 3

MAT111 – p. 21/21