Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 1 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Πανεπιστήmicroιο Αιγαίουurl httpwwwaegeangr

Ανάλυση Ι

Μέρος 2ο

Αντώνης Τσολοmicroύτης

Πανεπιστήmicroιο Αιγαίου

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών

832 00 Γοργύρα

Σάmicroος

copy Copyright Πανεπιστήmicroιο Αιγαίου Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών

All rights reserved

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 2 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Ενότητα 1η

Συνέχεια συναρτήσεων

11 Είδη ασυνέχειας

Για το δεξιό πλευρικό όριο limtrarrx+ f (t) και το αριστερό πλευρικό όριο limtrarrxminus f (t) συmicro-

ϐολίζονται αντίστοιχα f (x+) και f (xminus)

Ορισmicroός 111 Για τη συνάρτηση f (a b) rarr R λέmicroε ότι έχει ασυνέχεια πρώτου είδους

στο x isin (a b) όταν είναι ασυνεχής στο x αλλά τα f (x+) και f (xminus) υπάρχουν (και ανήκουν

στο R)

Αν τουλάχιστον ένα από τα πλευρικά όρια της f στο x δεν υπάρχει τότε λέmicroε ότι η fέχει ασυνέχεια δεύτερου είδους στο x

Παρατήρηση 112 Για να έχει η f ασυνέχεια πρώτου είδους στο x δύο πράγmicroατα microπορούν

να συmicroβαίνουν

bull είτε f (x+) 6= f (xminus)

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 3 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

bull είτε f (x+) = f (xminus) 6= f (x)

Παραδείγmicroατα

(α΄) Η συνάρτηση f R rarr R microε

f (x) =

1 αν x isin Q0 αν x isin Q

έχει ασυνέχειες δεύτερου είδους σε όλα τα σηmicroεία του R

(ϐ΄) Η συνάρτηση f R rarr R microε

f (x) =

x αν x isin Q0 αν x isin Q

έχει ασυνέχειες δεύτερου είδους σε όλα τα σηmicroεία του R 0 και είναι συνεχής στο

x = 0

(γ΄) Η συνάρτηση f R rarr R microε

f (x) =

sin 1x αν x 6= 0

0 αν x = 0

έχει ασυνέχεια δεύτερου είδους στο x = 0 και είναι συνεχής σε όλα τα σηmicroεία του

R 0

12 Μονοτονία και συνέχεια

Θεώρηmicroα 121 Αν f αύξουσα στο (a b) τότε τα f (x+) και f (xminus) υπάρχουν για κάθε

x isin (a b) Συγκεκριmicroένα ισχύει

supalttltx

f (t) = f (xminus) le f (x) le f (x+) = infxlttltb

f (t)

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 4 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Οmicroοίως αν f ϕθίνουσα στο (a b) τότε τα f (x+) και f (xminus) υπάρχουν για κάθε x isin (a b)και ισχύει

infalttltx

f (t) = f (xminus) ge f (x) ge f (x+) = supxlttltb

f (t)

Απόδειξη Αν η f είναι αύξουσα τότε το σύνολο E = f (t) a lt t lt x είναι άνω

ϕραγmicroένο από το f (x) ΄Αρα έχει supremum ΄Εστω A = supalttltx f (t) Για κάθε ε gt 0υπάρχει δ gt 0 ώστε A minus ε le f (x minus δ) le A le A + ε Αλλά η f είναι αύξουσα συνεπώς

A minus ε le f (x) le A + ε για κάθε x isin (x minus δ x + δ) Συνεπώς A = f (xminus)

Πρόταση 122 Οι microονότονες συνερτήσεις δεν έχουν ασυνέχειες δεύτερου είδους

Θεώρηmicroα 123 ΄Εστω f microονότονη συνάρτηση στο (a b) Το σύνολο των σηmicroείων ασυνέ-

χειας της f είναι το πολύ αριθmicroήσιmicroο

Απόδειξη ΄Εστω E το σύνολο των σηmicroείων ασυνέχειας της f και έστω πως η f είναι

αύξουσα ΄Αρα f (xminus) lt f (x+) για κάθε x isin E Αν πάρουmicroε τώρα έναν ϱητό αριθmicroό rx

ώστε f (xminus) lt rx lt f (x+) τότε η συνάρτηση r E rarr Q microε r(x) = rx είναι ένα προς ένα

Πρόταση 124 Υπάρχει συνάρτηση f R rarr R η οποία είναι συνεχής στο RQ ασυνεχής

στο Q και αύξουσα

Απόδειξη ΄Εστω (rn)infinn=1 microία αρίθmicroηση του Q (δηλαδή Q = rn n isin N) Η

συνάρτηση

f (x) =sum

n rnltx

12n

είναι microια τέτοια συνάρτηση

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 5 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Ασκήσεις

΄Ασκηση 1 ΄Εστω f αύξουσα συνάρτηση στο (a b) ∆είξτε ότι f (x+) = infxlttltb f (t)

΄Ασκηση 2 ΄Εστω f ϕθίνουσα συνάρτηση στο (a b) ∆είξτε ότι

infalttltx

f (t) = f (xminus) και infxlttltb

f (t) = f (x+)

΄Ασκηση 3 ΄Εστω E το σύνολο των σηmicroείων ασυνέχειας microιας αύξουσας συνάρτησης f (a b) rarr R ∆είξτε ότι αν x isin E τότε f (xminus) lt f (x+)

Για ένα τέτοιο x διαλέγουmicroε ϱητό αριθmicroό rx ώστε f (xminus) lt rx lt f (x+) ∆είξτε ότι η

συνάρτηση r E rarr Q microε r(x) = rx είναι συνάρτηση ένα προς ένα

΄Ασκηση 4 ΄Εστω f R rarr R συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε αν το G είναι οποιοδήποτε

ανοιχτό υποσύνολο του R τότε και το f (G) είναι ανοιχτό στο R ∆είξτε ότι η f είναι

microονότονη

΄Ασκηση 5 ΄Εστω (rn)infinn=1 microία αρίθmicroηση του Q (δηλαδή Q = rn n isin N) ∆είξτε ότι η

συνάρτηση

f (x) =sum

n rnltx

12n

είναι ασυνεχής ακριβώς στα σηmicroεία του Q (Υπόδειξη ∆είξτε ότι για κάθε n isin N ισχύει

f (rn) + 12n le f (rn+))

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 6 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Ενότητα 2η

Ολοκλήρωση

21 Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ορισmicroός 211 Με τον όρο διαmicroέριση ενός κλειστού διαστήmicroατος [a b] εννοούmicroε ένα πεπε-

ϱασmicroένο σύνολο σηmicroείων P = a = x0 le x1 le middot middot middot le xn = b Γράφουmicroε ∆xi = xi minus ximinus1

για i = 1 2 n Η ποσότητα λ(P) λέγεται laquoλεπτότητα της διαmicroέρισης P raquo

Για microία ϕραγmicroένη συνάρτηση f [a b] rarr R ϑέτουmicroε Mi = supxisin[ximinus1xi ] f (x) και

mi = infxisin[ximinus1xi ] f (x) (οι τιmicroές αυτές microπορεί να είναι και σύν ή πλην άπειρο) Ορίζουmicroε

τώρα το κάτω και άνω άθροισmicroα Darboux της συνάρτησης f στο διάστηmicroα [a b] ως προς

τη διαmicroέριση P να είναι οι ποσότητες

κάτω άθροισmicroα Darboux

U(fP) =nsum

i=1

Mi∆xi

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 7 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

άνω άθροισmicroα Darboux

L(fP) =nsum

i=1

mi∆xi

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής η περιγραφή του κάτω αθροίσmicroατος Darboux είναι το

συνολικό εmicroβαδό των παραλληλογράmicroων που έχουν ϐάσεις τα διαστήmicroατα της διαmicroέρισης

P και ύψος το microεγαλύτερο δυνατό ώστε τα παραλληλόγραmicromicroα αυτά να ϐρίσκονται εξrsquo

ολοκλήρου κάτω από το γράφηmicroα της f Οmicroοίως το άνω άθροισmicroα Darboux είναι το

συνολικό εmicroβαδό των παραλληλογράmicroων που έχουν ϐάσεις τα διαστήmicroατα της διαmicroέρισης

P και ύψος το ελάχιστο δυνατό ώστε το γράφηmicroα της f να ϐρίσκεται εξrsquo ολοκλήρου microέσα

στα παραλληλόγραmicromicroα

Στη συνέχεια ορίζουmicroε το κάτω και άνω ολοκλήρωmicroα Darboux να είναι οι ποσότητες

κάτω ολοκλήρωmicroα Darboux

-int b

af (x) dx = inf

PU(fP)

άνω ολοκλήρωmicroα Darboux

-

int b

af (x) dx = inf

PU(fP)

Αν συmicroπίπτουν οι δύο αυτές τιmicroές λέmicroε ότι η κοινή τιmicroή είναι το ολοκλήρωmicroα Darboux της

συνάρτησης f στο διάστηmicroα [a b] Την κοινή αυτή τιmicroή τη συmicroβολίζουmicroε microε

int ba f (x) dx

Παρατήρηση 212 Φανερά τα άνω και κάτω ολοκληρώmicroατα υπάρχουν αν η f είναι ϕραγ-

microένη συνάρτηση (στο R) Συγκεκριmicroένα αν m le f (x) le M για κάθε x isin [a b] (όπου m και

M είναι δύο πραγmicroατικοί αριθmicroοί) τότε

m(b minus a) le L(fP) le U(fP) le M(b minus a)

για κάθε διαmicroέριση P του διαστήmicroατος [a b]

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 8 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

22 Το ολοκλήρωmicroα Riemann

Αν για τη διαmicroέριση P = x0 x1 xn ϑεωρήσω και microία επιλογή laquoενδιάmicroεσωνraquo σηmicroείων

S = s1 s2 sn microε si isin (ximinus1 xi) για = 1 2 n τότε microπορούmicroε να ορίσουmicroε το

άθροισmicroα Riemann

R(fP S) =nsum

i=1

f (si)∆xi

Φανερά για κάθε διαmicroέριση P και για κάθε επιλογή σηmicroείων S ισχύει

L(fP) le R(fP S) le U(fP)

Ορισmicroός 221 Μια διαmicroέριση P1 λέγεται εκλέπτυνση της διαmicroέρισης P2 όταν P2 sube P1

Το ολοκλήρωmicroα Riemann microπορεί να περιγραφεί διαισθητικά λέγοντας ότι είναι laquoη

οριακή τιmicroή των R(fP S) καθώς η διαmicroέριση P εκλεπτύνεται και η λεπτότητά της λ(P)τείνει στο microηδένraquo Αυστηρά ο ορισmicroός είναι ο εξής

Ορισmicroός 222 ΄Εστω f [a b] rarr R Η f λέγεται Riemann ολοκληρώσιmicroη microε ολοκλή-

ϱωmicroα τον αριθmicroό ` isin R αν για κάθε ε gt 0 υπάρχει δ gt 0 ώστε για κάθε διαmicroέρισηP του [a b]microε λ(P) lt δ και για κάθε επιλογή ενδιάmicroεσων σηmicroείων S στην P ισχύει |R(fP S)minus `| lt ε

Παρατηρήστε ότι ενώ στον ορισmicroό του ολοκληρώmicroατος Darboux έπρεπε η συνάρτηση fνα είναι ϕραγmicroένη (γιατί ήταν απαραίτητο ) στον ορισmicroό του ολοκληρώmicroατος Riemannδεν Ϲητήσαmicroε κάτι τέτοιο Μπορεί όmicroως να δεί κανείς εύκολα ότι αν microια συνάρτηση είναι

ολοκληρώσιmicroη κατά Riemann τότε είναι και ϕραγmicroένη (δες ΄Ασκηση 11)

Επόmicroενος στόχος είναι να δείξουmicroε ότι το ολοκλήρωmicroα Darboux και το ολοκλήρωmicroα

Riemann ταυτίζονται

Λήmicromicroα 223 Αν η διαmicroέριση Plowast του διαστήmicroατος [a b] είναι εκλέπτυνση της διαmicroέρισης

P τότε ισχύει

L(fP) le L(fPlowast) και U(fPlowast) le U(fP)

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 9 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Απόδειξη Είναι εύκολο να δείξει κανείς το Ϲητούmicroενο αν η Plowast έχει ένα microόνο σηmicroείο

επιπλεόν της P

Θεώρηmicroα 224 Για κάθε ϕραγmicroένη συνάρτηση f [a b] rarr R ισχύει

-

int b

af (x) dx le

-int b

af (x) dx

Απόδειξη Αν Plowast = P1 cup P2 για δύο διαmicroερίσεις P1 και P2 του [a b] τότε έχουmicroε

L(fP1) le L(fPlowast) le U(fPlowast) le U(fP2)

Συνεπώς L(fP) le U(fP2) για όλες τις διαmicroερίσεις P1 και P2 του [a b]

Θεώρηmicroα 225 Μια συνάρτηση f είναι Riemann ολοκληρώσιmicroη στο [a b] αν και microόνο αν

για κάθε ε gt υπάρχει διαmicroέριση P του [a b] ώστε

U(fP)minus L(fP) lt ε (21)

Απόδειξη Αν ισχύει η (21) τότε-

int ba f =

-int ba f αφού για κάθε διαmicroέριση P του [a b]

ισχύει

L(fP) le-

int b

af le

-int b

af le U(fP)

΄Εστω ` η κοινή τιmicroή τους Συνεπώς

L(fP) le ` le U(fP) (22)

Τώρα έχουmicroε ότι για κάθε επιλογή ενδιάmicroεσων σηmicroείων

L(fP) le R(fP S) le U(fP) (23)

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 10 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Συνεπώς ο ορισmicroός του ολοκληρώmicroατος Riemann microαζί microε τις (22) και (23) δίνουν το

αποτέλεσmicroα

Αντίστροφα επιλέγουmicroε ενδιάmicroεσα σηmicroεία S1 και S2 ώστε R(fP S1) L(fP) και

R(fP S2) U(fP) Από τον ορισmicroό της ολοκληρωσιmicroότητας Riemann ϑα έχω ότι

L(fP) U(fP)

Θεώρηmicroα 226 Το ολοκλήρωmicroα Darboux και το ολοκλήρωmicroα Riemann ταυτίζονται ∆η-

λαδή αν η ϕραγmicroένη συνάρτηση f [a b] rarr R είναι Darboux ολοκληρώσιmicroη τότε είναι και

Riemann ολοκληρώσιmicroη και αν η συνάρτηση f [a b] rarr R είναι Riemann ολοκληρώσιmicroη

τότε είναι ϕραγmicroένη και Darboux ολοκληρώσιmicroη Και στις δύο περιπτώσεις οι τιmicroές των δύο

ολοκληρωmicroάτων συmicroπίπτουν

Απόδειξη Η πρώτη κατεύθυνση έπεται άmicroεσα αφού ϑα ισχύει (21) Για την δεύτερη

κατεύθυνση η συνάρτηση πρέπει να είναι ϕραγmicroένη (΄Ασκηση 11) και είναι και Darbouxολοκληρώσιmicroη εξαιτίας της (21)

Από την (23) έπεται ότι τα ολοκληρώmicroατα έχουν κοινή τιmicroή

Θεώρηmicroα 227 Αν η συνάρτηση f [a b] rarr R είναι microονότονη τότε είναι και Riemannολοκληρώσιmicroη

Απόδειξη Τα mi και Mi στην (21) υπολογίζονται εύκολα

Θεώρηmicroα 228 ΄Εστω συνάρτηση f [a b] rarr R ϕραγmicroένη microε πεπερασmicroένο πλήθος ασυ-

νεχειών Τότε η f είναι Riemann ολοκληρώσιmicroη

Απόδειξη Αν το x isin (a b) είναι σηmicroείο ασυνέχειας έστω διαmicroέριση P = a = x0 lex1 le middot middot middot le xn = b του [a b] και i ώστε xi lt x lt xi+1 Το παραλληλόγραmicroο microε ϐάση το

διάστηmicroα [xi xi+1] στο οποίο ϐρίσκεται η ασυνέχεια και ύψος είτε το mi είτε το Mi έχει

εmicroβαδό microικρότερο από το γινόmicroενο του xi+1minus xi επί το ϕράγmicroα της f Συνεπώς το εmicroβαδό

αυτό είναι microικρό αν η P έχει microικρή λεπτότητα Στο υπόλοιπο πεδίο ορισmicroού δηλαδή

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 11 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

στο συmicroπαγές σύνολο [a xi ] cup [xi+1 b] η f είναι οmicroοιόmicroορφα συνεχής και συνεπώς microια

διαmicroέριση microε microικρή λεπτότητα δίνει καλή εκτίmicroηση για τις διαφορές f (xj) minus f (xjminus1) που

εmicroφανίζονται στην (21) Με αυτόν τον τρόπο επιβεβαιώνουmicroε την (21)

Θεώρηmicroα 229 ΄Εστω m le f le M ολοκληρώσιmicroη συνάρτηση στο διάστηmicroα [a b] και

φ [m M ] rarr R συνεχής Τότε η σύνθεση h(x) = φ(f (x)

)είναι Riemann ολοκληρώσιmicroη

Το επόmicroενο ϑεώρηmicroα παρουσιάζει τις ϐασικές ιδιότητες του ολοκληρώmicroατος η απόδειξη

των οποίων αφήνεται ως άσκηση

Θεώρηmicroα 2210 ΄Εστω f g ολοκληρώσιmicroες συναρτήσεις στο διάστηmicroα [a b] Τότε ισχύουν

τα ακόλουθα

(α΄)

int ba (f + g)(x) dx =

int ba f (x) dx +

int ba g(x) dx

(ϐ΄) για κάθε c isin R ισχύει

int ba (cf )(x) dx = c

int ba f (x) dx

(γ΄) για κάθε c isin [a b] ισχύει

int ba f (x) dx =

int ca f (x) dx +

int bc f (x) dx

(δ΄) αν |f (x)| le M για κάθε x isin [a b] τότε

∣∣∣int ba f (x) dx

∣∣∣ le M(b minus a)

(ε΄)

∣∣∣int ba f (x) dx

∣∣∣ le int ba |f (x)|dx (τριγωνική ανισότητα)

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 12 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Ασκήσεις

΄Ασκηση 6 Υπολογιστε τα ολοκληρώmicroατα

int ba cos x dx

int ba sin x dx και

int ba ex dx microε χρήση

του ορισmicroού του ολοκληρώmicroατος Riemann

΄Ασκηση 7 Υπολογίστε το ολοκλήρωmicroα της συναρτησης f [0 2] rarr R κάνοντας χρήση του

ορισmicroού του ολοκληρώmicroατος Riemann όπου

f (x) =

x2 0 le x le 13(x minus 2)2 1 lt x le 2

΄Ασκηση 8 ∆είξτε ότι αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο [a b] και f ge 0 τότε αν

int ba f (x) dx =

0 πρέπει απαραίτητα f (x) = 0 για κάθε x isin [a b]

΄Ασκηση 9 ∆είξτε ότι η συνάρτηση

f (x) =

x αν x isin Q0 αλλιώς

δεν είναι ολοκληρώσιmicroη σε κανένα διάστηmicroα [a b] sube R

΄Ασκηση 10 ΄Εστω f ϕραγmicroένη και ολοκληρώσιmicroη συνάρτηση στο [a b] ∆είξτε ότι

(α΄) αν |f (x)| ge ε gt 0 για κάθε x isin [a b] τότε η 1f είναι ολοκληρώσιmicroη στο [a b]

(ϐ΄) αν f (x) ge 0 για κάθε x isin [a b] τότε ηradic

f είναι ολοκληρώσιmicroη στο [a b]

΄Ασκηση 11 Αποδείξτε ότι οι Riemann ολοκληρώσιmicroες συναρτήσεις είναι απαραίτητα ϕραγ-

microένες

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 13 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Ενότητα 3η

Σειρές

31 Σειρές και αναδιατάξεις

Ορισmicroός 311 ΄Εστω η ακολουθία an isin R Ονοmicroάζουmicroε laquoσειράraquo της an την ποσότητα

infinsumn=1

an = limnrarrinfin

(a1 + a2 + middot+ an)

εφόσον αυτό το όριο υπάρχει στο R Σε αυτή την περίπτωση λέmicroε ότι laquoη σειρά συγκλίνειraquo Αν

το όριο δεν υπάρχει στο R ή είναι +infin ή minusinfin λέmicroε ότι η σειρά της an laquoαποκλίνειraquo

Παρακάτω ϑα αναπτύξουmicroε κριτήρια microε τη ϐοήθεια των οποίων ϑα microπορούmicroε σε πολλές

περιπτώσεις να αποφασίζουmicroε αν microία σειρά συγκλίνει ή όχι Πριν όmicroως από αυτό ϑα

πρέπει να ελέγξουmicroε αν η σειρά microε την οποία προσθέτουmicroε τους όρους της an έχει ή δεν

έχει σηmicroασία Η σειρά microε την οποία προσθέτουmicroε πεπερασmicroένο πλήθος όρων ως γνωστόν

δεν έχει σηmicroασία και δίνει πάντα το ίδιο αποτέλεσmicroα (microάλιστα η πρόσθεση microε διαφορετική

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 14 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

σειρά πεπερασmicroένου πλήθους αριθmicroών αποτελεί τον γνωστό microας laquoέλεγχο της πράξηςraquo όπως

διδάσκεται στην πρωτοβάθmicroια εκπαίδευση) Εδώ ϑα δούmicroε ότι το γεγονός ότι προσθέτουmicroε

ένα άπειρο πλήθος όρων (στην πράγmicroατικότητα ο υπολογισmicroός microας εmicroπεριέχει ένα όριο)

ενδέχετε να παίζει αποφασιστικό ϱόλο στο πιό ϑα είναι το αποτέλεσmicroα

Ορισmicroός 312 ΄Εστω kn N rarr N microια 1-1 απεικόνιση Αν για microια ακολουθία an ϑέσω

aprimen = akn τότε η νέα ακολουθία aprimen είναι microιά laquoαναδιάταξηraquo των όρων της an Οmicroοίως η σειράsuminfinn=1 aprimen λέγεται laquoαναδιάταξηraquo της σειράς

suminfinn=1 aprimen

Παρατηρήστε ότι η ακολουθία aprimen έχει ακριβώς τους ίδιους όρους microε την an αφού η kn

είναι 1-1 και επί Η διαφορά της aprimen από την an είναι ότι η πρώτη παρουσιάζει τους όρους

της an microε άλλη σειρά Για παράδειγmicroα έστω an ακολουθία στο R και

kn =

n minus 1 n άρτιος

n + 1 n περιττός

Τότε έχουmicroε

όροι της an a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11

όροι της aprimen a2 a1 a4 a3 a6 a5 a8 a7 a10 a9 a12

Παράδειγmicroα 313 ΄Εστω η σειρά

infinsumn=1

(minus1)n

n= 1minus 1

2+

13minus 1

4+

15minus 1

6+ middot middot middot

Μια αναδιάταξη είναι η

1 +13minus 1

2+

15

+17minus 1

4+

19

+111minus 1

6+ middot middot middot

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 15 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

όπου κάθε αρνητικός όρος εmicroφανίζεται microετά από δύο ϑετικούς Φανερά ισχύει

s =infinsum

n=1

(minus1)n

nlt 1minus 1

2+

13

=56

΄Εστω t το άθροισmicroα της αναδιάταξης Ανά τρείς οι όροι της αναδιάταξης είναι της microορφής

14k minus 3

+1

4k minus 1minus 1

2kgt 0

΄Αρα αν sprimen το άθροισmicroα των n πρώτων όρων της αναδιατεταγmicroένης σειράς τότε sprime3 lt sprime6 lt sprime9

΄Αρα lim sup sprimen gt sprime3 = 56

Θεώρηmicroα 314 (Riemann) ΄Εστω ότι η σειράsuminfin

n=1 an συγκλίνει αλλά ηsuminfin

n=1 |an| απο-

κλίνει και έστω a b ώστε minusinfin le a le b le infin Τότε υπάρχει αναδιάταξηsuminfin

n=1 aprimen ώστε

lim sup sprimen = b και lim inf sprimen = a

Απόδειξη Ξεχωρίζουmicroε τους ϑετικούς και τους αρνητικούς όρους της an σε δύο ακο-

λουθίες pn gt 0 και qn gt 0 ώστε pn = an αν an gt 0 και qn = minusan αν an lt 0 Ισχύειsumpn =

sumqn =

sum|an| = infin διότι

sumpn +

sumqn =

sum|an| και

sumpn minus

sumqn =

suman Τέ-

λος προσθέτουmicroε αρκετούς όρους της pn microέχρι να υπερβούmicroε για πρώτη ϕορά το b Μετά

αφαιρούmicroε όρους της qn microέχρι να πέσει η τιmicroή του αθροίσmicroατος για πρώτη ϕορά κάτω

από το a Μετά ξαναπροσθέτουmicroε επόmicroενους όρους από την pn microέχρι να υπερβούmicroε για

πρώτη ϕορά στο b κλπ Το γεγονός ότι pn rarr 0 και qn rarr 0 συνεπάγεται ότι lim sup sprimen = bκαι lim inf sprimen = a

Πόρισmicroα 315 Αν ηsuminfin

n=1 an συγκλίνει καιsuminfin

n=1 |an| = infin τότε για κάθε x isin R υπάρχει

αναδιάταξη aprimen της an ώστεsuminfin

n=1 aprimen = x

Απόδειξη ΄Ιδια απόδειξη microε το Θεώρηmicroα 314 microε a = b

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 16 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

32 Κριτήρια σύγκλισης

Θεώρηmicroα 321 (Κριτήριο ϱίζας) ΄Εστω η σειράsuminfin

n=1 an Θέτουmicroε α = lim supnrarrinfinnradic|an|

(α΄) Αν α lt 1 τότε η σειράsuminfin

n=1 an συγκλίνει (και microάλιστα απολύτως)

(ϐ΄) Αν α gt 1 τότε η σειράsuminfin

n=1 an αποκλίνει

(γ΄) Αν α = 1 δεν υπάρχει συmicroπέρασmicroα

Απόδειξη

(α΄) Αν α lt 1 έστω r isin R ώστε α lt r lt 1 Τότε από το Θεώρηmicroα 313β του πρώτου

microέρους των σηmicroειώσεων υπάρχει N isin N ώστε για κάθε n ge N ισχύειnradic|an| lt r

δηλαδή |an| lt rn Αυτό microας επιτρέπει να συγκρίνουmicroε την σειρά της |an | microε τη

γεωmicroετρική σειρά microε λόγο r

(ϐ΄) Αν α gt 1 τότε υπάρχει υπακολουθίαknradic|akn | που συγκλίνει στο α gt 1 ΄Αρα |akn | gt 1

για άπειρο πλήθος όρων συνεπώς η an δε συγκλίνει στο microηδέν

(γ΄)suminfin

n=1 1n2 lt infin =suminfin

n=1 1n

Θεώρηmicroα 322 (Κριτήριο λόγου) ΄Εστω η σειράsuminfin

n=1 an microε an 6= 0 για κάθε n isin N

Θέτουmicroε α = lim supnrarrinfin |an+1an|

(α΄) Αν α lt 1 τότε η σειράsuminfin

n=1 an συγκλίνει (και microάλιστα απολύτως)

(ϐ΄) Αν υπάρχει υπακολουθία kn ώστε |akn+1akn | ge 1 τότε η σειράsuminfin

n=1 an αποκλίνει

(γ΄) Αν α = 1 δεν υπάρχει συmicroπέρασmicroα

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 17 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Απόδειξη

(α΄) Αν α lt 1 έστω r isin R ώστε α lt r lt 1 Τότε από το Θεώρηmicroα 313β του πρώτου

microέρους των σηmicroειώσεων υπάρχει N isin N ώστε για κάθε n ge N ισχύει |an+1an | lt r

δηλαδή |an| lt rnminusN |aN | Αυτό microας επιτρέπει να συγκρίνουmicroε την σειρά της |an| microε

τη γεωmicroετρική σειρά microε λόγο r

(ϐ΄) Αν υπάρχει υπακολουθία kn ώστε |akn+1akn | ge 1 τότε η an δε συγκλίνει στο microηδέν

(γ΄)suminfin

n=1 1n2 lt infin =suminfin

n=1 1n

Το επόmicroενο κριτήριο σύγκλισης είναι ένα κριτήριο γενικότερο του κριτηρίου Dirichletγια τις εναλλάσσουσες σειρές Χρειαζόmicroαστε το ακόλουθο λήmicromicroα

Λήmicromicroα 323 (΄Αθροιση κατά παράγοντες) ΄Εστω δύο ακολουθίες an bn microε n = 0 1 2 Θέτουmicroε An =

sumnk=0 ak και Aminus1 = 0 Αν 0 le p le q τότε ισχύει

qsumn=p

anbn =qminus1sumn=p

An(bn minus bn+1) + Aqbq minus Apminus1bp

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 18 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Απόδειξη

qsumn=p

anbn =qsum

n=p

(An minus Anminus1)bn =qsum

n=p

Anbn minusqsum

n=p

Anminus1bn

=qminus1sumn=p

Anbn + Aqbq minusqminus1sum

n=pminus1

Anbn+1

=qminus1sumn=p

Anbn + Aqbq minusqminus1sumn=p

Anbn+1 minus Apminus1bp

=qminus1sumn=p

An(bn minus bn+1) + Aqbq minus Apminus1bp

Θεώρηmicroα 324 ΄Εστω ότι η ακολουθία An =sumn

k=1 ak είναι ϕραγmicroένη και έστω bn ϕθί-

νουσα και microηδενική ακολουθία Τότε η σειράsuminfin

n=1 anbn συγκλίνει

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 19 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Απόδειξη ΄Εστω πως |An| le M και bn le bN le ε2M για κάθε n ge N isin N∣∣∣∣∣qsum

n=1

minuspminus1sumn=1

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣qsum

n=p

anbn

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣qminus1sumn=p

An(bn minus bn+1) + Aqbq minus Apminus1bp

∣∣∣∣∣le

sumn = pqminus1|An|(bn minus bn+1) + |Aq|bq + |Apminus1|bp

le M

(qminus1sumn=p

(bn minus bn+1) + bq + bp

)le 2Mbp le 2MbN le ε

∆ηλαδή η ακολουθία

(sumpn=1 anbn

)p

είναι ακολουθία Cauchy

Θεώρηmicroα 325 (Κριτήριο Dirichlet) Αν |cn| ϕθίνουσα και microηδενική ακολουθία microε c2mminus1 ge0 και c2m le 0 τότε η σειρά

sumcn συγκλίνει

Απόδειξη Παρατηρούmicroε ότιsuminfin

n=1 cn =suminfin

n=1(minus1)n|cn| και χρησιmicroοποιούmicroε το Θεώ-

ϱηmicroα 324 microε An =sumn

k=1(minus1)kκαι bn = |cn|

Το κριτήριο Dirichlet το χρησιmicroοποιούmicroε συχνά σε σειρές που η ακολουθία που τις

ορίζει αλλάζει συνεχώς πρόσηmicroο όπως για παράδειγmicroα στηνsuminfin

n=1(minus1)nn

Το τελευταίο κριτήριο που ϑα microας απασχολήσει είναι το ακόλουθο

Θεώρηmicroα 326 (Κριτήριο συmicroπύκνωσης του Cauchy) Αν η ακολουθία an είναι ϕθί-

νουσα και microε microη-αρνητικούς όρους τότε η σειράsuminfin

n=1 an συγκλίνει αν και microόνο αν η σειράsuminfinn=1 2na2n συγκλίνει

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 20 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Απόδειξη ΄Εστω sn =sumn

k=1 ak και tn =sumn

k=1 2ka2k Αφού an ge 0 αρκεί να δείξουmicroε

ότι η sn είναι ϕραγmicroένη αν και microόνο αν η tn είναι ϕραγmicroένη

΄Εστω tn ϕραγmicroένη Για κάθε n isin N έστω k isin N ώστε n le 2k Τότε

sn le a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + middot middot middot+ (a2k + a2k+1 + middot middot middot+ a2k+1minus1)le a1 + 2a2 + 22a22 + middot middot middot+ 2ka2k = tk

Συνεπώς η sn είναι ϕραγmicroένη Αν αντιστρόφως η sn είναι ϕραγmicroένη τότε για κάθε k isin Nϐρίσκουmicroε n ge 2k

οπότε

sn le a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + middot middot middot+ (a2kminus1+1 + middot middot middot+ a2n )

le 12

a1 + a2 + 2a4 + 22a23 + middot middot middot+ 2kminus1a2k

=12

tk

΄Αρα και η tk είναι ϕραγmicroένη

Το κριτήριο συmicroπύκνωσης του Cauchy αποτελεί τον ποιό εύκολο τρόπο για να ελεγξει

κανείς τη σύγκλιση της σειράςsuminfin

n=1 1npγια p isin R Οmicroοίως είναι χρήσιmicroο σε σειρές που

έχουν λογαρίθmicroους Για παράδειγmicroα η σειράsuminfin

n=1 1(n log n) αποκλίνει αν και microόνο

αν αποκλίνει ηsuminfin

n=1 2n(2n log 2n) =suminfin

n=1 1(n log 2) Η τελευταία αποκλίνει αν και

microόνο αν αποκλίνει ηsuminfin

n=1 2n(2n log 2) η οποία πράγmicroατι αποκλίνει

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 21 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Ασκήσεις

΄Ασκηση 12 Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές

infinsumn=1

(radicn2 + 1minus n

) infinsumn=1

n3

en

infinsumn=1

1n log

(1 + 1

n

)infinsum

n=2

np

(1radic

n minus 1minus 1radic

n

) infinsumn=1

radicn + 1minus

radicn

n

infinsumn=1

(nradic

n minus 1)n

infinsumn=1

1log n

infinsumn=1

1n log n

infinsumn=1

1n(log n)p

infinsumn=1

1n(log n)(log log n)

infinsumn=1

1n(log n)(log log n)2

΄Ασκηση 13 ΄Εστω an isin R+ ώστε η σειράsuminfin

n=1 an να συγκλίνει ∆είξτε οτι οι ακόλουθες

σειρές συγκλίνουν

(α΄)suminfin

n=1 a2n

(ϐ΄)suminfin

n=1an

1+an

(γ΄)suminfin

n=1a2

n1+a2

n

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 22 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Ενότητα 4η

Ακολουθίες συναρτήσεων

41 Ακολουθίες συναρτήσεων

Ορισmicroός 411 ΄Εστω fn ακολουθία συναρτήσεων ορισmicroένων σε ένα σύνολο E sube R Αν

η ακολουθία αριθmicroών fn(x) συγκλίνει για κάθε x isin E ορίζουmicroε τη συνάρτηση f (x) =limnrarrinfin fn(x) microε πεδίο ορισmicroού το E και λέmicroε ότι laquoη fn συγκλίνει κατά σηmicroείο στην f raquo

Γράφουmicroε δε fn rarr f

Οmicroοίως αν η σειράsuminfin

n=1 fn(x) συγκλίνει για κάθε x isin E ορίζουmicroε την f (x) =suminfin

n=1 fn(x)mdash την σειρά των fn

Τα ερωτήmicroατα που ϑα microας απασχολήσουν σε αυτή την ενότητα είναι υπο ποιές προϋπο-

ϑέσεις ιδιότητες που έχουν οι fn διατηρούνται και στην οριακή συνάρτηση f Για παρά-

δειγmicroα αν όλες οι fn είναι συνεχείς συναρτήσεις είναι συνεχής και η οριακή συνάρτηση

f Αυτό το ερώτηmicroα ϐλέπει κανείς εύκολα πως είναι ισοδύναmicroο microε microια εναλλαγή ορίων

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 23 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

για να είναι η οριακή συνάρτηση f συνεχής στο σηmicroείο x ϑα πρέπει να ισχύει

limtrarr x

limnrarrinfin

fn(t) = limnrarrinfin

limtrarr x

fn(t) (41)

Ακολουθούν microερικά παραδείγmicroατα microε τα οποία γίνεται ϕανερό ότι η έννοια της σύγ-

κλισης όπως ορίστηκε στον Ορισmicroό 411 δεν αρκεί για να είmicroαστε σίγουροι ότι ιδιότητες

των fn κληρονοmicroούνται και στην οριακή συνάρτηση f

Παράδειγmicroα 412 (α΄) ΄Εστω η ακολουθία συναρτήσεων

fn(x) =n

n + |x minus 1|

Για αυτή την ακολουθία η εναλαγή των ορίων για n rarr infin και x rarr 1 όπως αυτή

περιγράφεται στην (41) δεν ισχύει

(ϐ΄) ΄Εστω gn(x) = x2(1 + x2)nmicroε x isin R και fn(x) =

sumnk=1 gk(x) Εύκολα ελέγχουmicroε

ότι fn rarr f microε

f (x) =

0 αν x = 01 + x2

αν x 6= 0

Φανερά όλες οι fn είναι συνεχείς συναρτήσεις αλλά η οριακή f είναι ασυνεχής

(γ΄) ΄Εστω η ακολουθία συναρτήσεων fn(x) =(sin(nx)

)radic

x Ισχύει fn rarr f = 0 αλλά

f primen 9 f prime = 0 αφού f primen(0) = limradic

n = infin Σε αυτό το παράδειγmicroα ϐλέπουmicroε ότι η

σύγκλιση δεν διατηρήται όταν παραγωγίζουmicroε

(δ΄) ΄Εστω η ακολουθία συναρτήσεων fn(x) = n2x(1minusx2)nγια x isin [0 1] Εύκολα ϐλέπει

κανείς ότι fn rarr 0 αλλά

int 1

0fn(x) dx 9

int 1

00 dx = 0

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 24 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

42 Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

Θα ορίσουmicroε τώρα microια ισχυρότερη έννοια σύγκλισης ακολουθίας συναρτήσεων η οποία

όταν ισχύει δεν επιτρέπει να εmicroφανιστούν laquoανωmicroαλίεςraquo όπως οι παραπάνω

Ορισmicroός 421 (Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση) ΄Εστω fn ακολουθία συναρτήσεων ορισmicroένη σε

ένα υποσύνολο E του R Λέmicroε ότι η fn συγκλίνει laquoοmicroοιόmicroορφαraquo την f στο E και γράφουmicroε

fn rArr f όταν για κάθε ε gt 0 υπάρχει N = N(ε) isin N ώστε για κάθε n ge N να ισχύει

|fn(x)minus f (x)| le ε για κάθε x isin E

Οmicroοίως ηsuminfin

n=1 fn συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα στο E αν και microόνο αν η ακολουθία των microερικών

αθροισmicroάτων sn(x) =sumn

k=1 fk(x) συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα

Θεώρηmicroα 422 ΄Εστω fn ορισmicroένη στο σύνολο E sube R Η fn συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα αν και

microόνο αν για κάθε ε gt 0 υπάρχει N isin N ώστε για κάθε n m ge N να ισχύει

|fn(x)minus f (x)| le ε

∆ηλαδή αν και microόνο αν η fn είναι laquoοmicroοιόmicroορφα Cauchyraquo

Απόδειξη Αν fn rArr f τότε υπάρχει N isin N ώστε για κάθε n ge N να ισχύει |fn(x) minusf (x)| le ε2 για κάθε x isin E Συνεπώς αν n m ge N ϑα ισχύει

|fn(x)minus fm(x)| le |fn(x)minus f (x)|+ |f (x)minus fm(x)| le ε

Αντιστρόφως έστω x isin E Τότε η ακολουθία αριθmicroών fn(x) είναι ακολουθία Cauchyστο R και συνεπώς συγκλίνει Το όριο αυτό επειδή προφανώς εξαρτάται από το επιλεγmicroένο

x το ονοmicroάζουmicroε f (x) ∆ηλαδή ορίσαmicroε microια συνάρτηση f (x) = limnrarrinfin fn(x) για κάθε

x isin E ΄Οmicroως τώρα αν |fn(x)minus fm(x)| le ε για κάθε n m isin N και για κάθε x isin E αφήνουmicroε

το m να πάει στο άπειρο και οδηγούmicroαστε έτσι στην |fn(x) minus f (x)| le ε για κάθε n ge Nκαι για κάθε x isin E

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 25 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Θεώρηmicroα 423 fn rArr f αν και microόνο αν supxisinE |fn(x)minus f (x)| rarr 0 καθώς n rarrinfin

Απόδειξη fn rArr f αν και microόνο αν supxisinE |fn(x)minus f (x)| le ε για n laquoαρκετάraquo microεγάλο

Θεώρηmicroα 424 (Weierstraszlig) ΄Εστω fn E rarr R και |fn(x)| le Mn για κάθε x isin E και για

κάθε n isin N όπου Mn isin R Τότε αν η σειράsuminfin

n=1 Mn συγκλίνει τότε η σειρά συναρτήσεωνsuminfinn=1 fn συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα

Απόδειξη Για κάθε ε gt 0 υπάρχει N isin N ώστε για κάθε n m isinge N να ισχύειsummk=n+1 Mk le ε ΄Αρα για κάθε x isin E και για κάθε n m ge N ισχύει∣∣∣∣∣

msumk=n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣ lemsum

k=n+1

|fk(x)| lemsum

k=n+1

Mk le ε

΄Αρα ∣∣∣∣∣msum

k=1

fk(x)minusnsum

k=1

fk(x)

∣∣∣∣∣ le ε

σηλαδή η ακολουθία συναρτήσεων

(sumnk=1 fk(x)

)n

είναι οmicroοιόmicroορφα Cauchy και συνεπώς

συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα microε ϐάση το Θεώρηmicroα 422

421 Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση και συνέχεια

Θεώρηmicroα 425 ΄Εστω fn E rarr R συνεχείς συναρτήσεις f E rarr R και fn rArr f Τότε και

η f είναι συνεχής συνάρτηση στο E

Απόδειξη ΄Εστω x isin E οριακό σηmicroείο του E Πρέπει να δείξω ότι limtrarrx f (t) = f (x)Υπάρχει n0 isin N ώστε |fn0(z)minus f (z)| le ε3 για κάθε z isin E ΄Οmicroως η fn0 είναι συνεχής στο

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 26 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

E άρα υπάρχει δ gt 0 ώστε αν |t minus x| lt δ συνεπάγεται |fn0(t) minus fn0(x)| le ε3 Συνεπώς

για |t minus x| lt δ ϑα έχουmicroε

|f (t)minus f (x)| le |f (t)minus fn0(t)|+ |fn0(t)minus fn0(x)|+ |fn0(x)minus f (x)|

le ε

3+

ε

3+

ε

3le ε

422 Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση και παραγώγιση

Αν microιά ακολουθία παραγωγίσιmicroων συναρτήσεων fn συγλίνει οmicroοιόmicroορφα σε microία παραγω-

γίσιmicroη συνάρτηση f δεν είναι σωστό ότι f primen rarr f Για παράδειγmicroα οι fn(x) =(sin(nx)

)radic

nσυγκλίνουν οmicroοιόmicroορφα στην f (x) = 0 αλλά ελέγχουmicroε εύκολα ότι f primen(0) 9 0

Θεώρηmicroα 426 ΄Εστω fn παραγωγίσιmicroες συναρτήσεις στο διάστηmicroα (a b) ώστε για κάποιο

x0 isin (a b) η ακολουθία

(fn(x0)

)n

συγκλίνει Αν f primen rArr g στο (a b) τότε fn rArr f και f primen = g

Απόδειξη ΄Εστω ε gt 0 και N isin N ώστε |fn(x0) minus fm(x0)| le ε2 και |f primen(t) minus f primem(t)| leε(

2(b minus a))

για κάθε t isin (a b) Από την τελευταία ανισότητα και το Θεώρηmicroα Μέσης

τιmicroής για τη συνάρτηση fn minus fm έχουmicroε∣∣(fn(x)minus fm(x))minus(fn(t)minus fm(t)

)∣∣ le |x minus t|ε2(b minus a)

le ε

2

Συνεπώς

|fn(x)minus fm(x)| le∣∣(fn(x)minus fm(x)

)minus(fn(x0)minus fm(x0)

)∣∣+ |fn(x0)minus fm(x0)|

le ε

2+

ε

2

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 27 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

∆ηλαδή η fn συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα στην f Μένει να δείξουmicroε ότι f prime = g ΄Εστω x isin (a b)Ορίζουmicroε τις

φn(t) = fn(t)minusfn(x)

tminusx αν t 6= xf primen(x) αν t = x

και φ(t) = f (t)minusf (x)

tminusx αν t 6= xf prime(x) αν t = x

Καθώς t rarr x ισχύει φn(t) rarr f primen(x) και φ(t) rarr f prime(x)Τώρα φn(t) minus φm(t)| le ε

(2(b minus a)

)συνεπώς η φn συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα Αλλά

ϕανερά φn rarr φ (κατά σηmicroείο) συνεπώς φn rArr φ

Τέλος επειδή οι φn είναι συνεχείς ϑα είναι συνεχής και η φ οπότε ϑα ισχύει

g(x) = limnrarrinfin

f primen(x) = limnrarrinfin

limtrarrx

φn(t) = limtrarrx

limnrarrinfin

φn(t) = limtrarrx

φ(t) = f prime(x)

423 Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση και ολοκλήρωmicroα

Θεώρηmicroα 427 Αν fn rArr f στο διάστηmicroα [a b] και οι fn είναι Riemann ολοκληρώσιmicroες

στο [a b] τότε και η f είναι Riemann ολοκληρώσιmicroη και ισχύει

limnrarrinfin

int b

afn(x) dx =

int b

af (x) dx

Απόδειξη Αφού η fn συγλίνει οmicroοιόmicroορφα άρα είναι και οmicroοιόmicroορφα Cauchy (Θεώ-

ϱηmicroα 422) Επειδή τώρα από την τριγωνική ανισότητα (2210) ισχύει∣∣∣∣int b

afn minus

int b

afm

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣int b

a(fn minus fm)

∣∣∣∣ le int b

a|fn minus fm | le sup

xisin[ab]

|fn(x)minus fm(x)|(b minus a)

έπεται ότι η ακολουθία πραγmicroατικών αριθmicroών

(int ba fn

)n

είναι ακολουθία Cauchy άρα

υπάρχει το ` = limnrarrinfinint b

a fn

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 28 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Θα δείξουmicroε τώρα ότι η f είναι ολοκληρώσιmicroη ΄Εστω ε gt 0 τότε υπάρχει n0 isin N ώστε

|fn0(x) minus f (x)| le ε για κάθε x isin [a b] Η fn0 είναι ολοκλνρώσιmicroη οπότε υπάρχει δ gt 0ώστε για κάθε διαmicroέριση P του [a b] και για κάθε επιλογή ενδιάmicroεσων σηmicroείων S ισχύει∣∣∣∣R(fn0 P S)minus

int b

afn0

∣∣∣∣ le ε

΄Ετσι

|R(fP S)minus `| le |R(fP S)minusR(fn0 P S)|+∣∣∣∣R(fn0 P S)minus

int b

afn0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣int b

afn0 minus `

∣∣∣∣Από τα προηγούmicroενα microένει να δείξουmicroε ότι η ποσότητα |R(fP S) minus R(fn0 P S)| είναι

laquomicroικρήraquo

|R(fP S)minusR(fn0 P S)| =∣∣∣sum(

f (si)minus fn0(si)∆xi

∣∣∣le

sum∣∣(f (si)minus fn0(si)∣∣∆xi

lesum

ε∆xi

le εsum

∆xi

le ε

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 29 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Ενότητα 5η

∆υναmicroοσειρές

51 ∆υναmicroοσειρές

Μια ειδική κατηγορία σειρών συναρτήσεωνsuminfin

n=1 fn(x) είναι εκείνες όπου η η fn είναι

της microορφής fn(x) = cn(x minus a)n όπου cn a isin R Οι σειρές αυτής της microορφής δηλαδήsuminfin

n=0 cn(x minus a)nλέγονται δυναmicroοσειρές microε κέντρο το a

Ορισmicroός 511 Λέmicroε ότι microία συνάρτηση f laquoαναπτύσεται σε δυναmicroοσειρά γύρω από το a microε

ακτίνα R gt 0raquo αν υπάρχουν cn isin R ώστε

f (x) =infinsum

n=0

cn(x minus a)nγια κάθε x isin (a minus R a + R)

Θεώρηmicroα 512 ΄Εστω η δυναmicroοσειράsuminfin

n=0 cnxnη οποία συγκλίνει για κάθε |x| lt R

Ορίζουmicroε f (x) =suminfin

n=0 cnxn Τότε για κάθε ε gt 0 η δυναmicroοσειρά συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 30 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

στο [minusR + ε Rminus ε] Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα (minusR R) και f prime(x) =suminfinn=1 ncnxnminus1

για κάθε |x| lt R

Απόδειξη Επειδή η σειράsuminfin

n=0 cn(R minus ε)nσυγκλίνει απολύτως αφού

lim supnrarrinfin

nradic|cn(R minus ε2)n| le 1

(αλλιώς η σειρά ϑα αποκλίνει στο R minus ε2) και άρα

lim supnrarrinfin

nradic|cn(R minus ε)n| =

|R minus ε|∣∣R minus ε2

∣∣ lim supnrarrinfin

nradic|cn(R minus ε2)n|

le∣∣∣∣ R minus ε

R minus ε2

∣∣∣∣lt 1

Αλλά για κάθε x isin [minusR + ε R minus ε] ισχύει |cnxn| le |cn(R minus epsilon)n| Αυτό microε τη ϐοή-

ϑεια του Θεωρήmicroατος Weierstraszlig (Θεώρηmicroα 424) δίνει ότι η σειράsuminfin

n=0 cnxnσυγκλίνει

οmicroοιόmicroορφα στο [minusR + ε R minus ε]Φανερά λοιπόν η f είναι συνεχής στο [minusR + ε Rminus ε] για κάθε ε gt 0 και συνεπώς είναι

συνεχής σε όλο το διάστηmicroα (minusR R)Για την παραγώγιση τώρα έστω gn(x) =

sumnk=0 ckxk

οπότε gprimen(x) =sumn

k=1 kckxkminus1

Από την υπόθεση η gn συγκλίνει κατά σηmicroείο στην f Η gprimen(x) συγκλίνει αν και microόνο αν

η gn(x) συγκλίνει διότι

lim supnrarrinfin

nradic|ncnxnminus1| = lim sup

nrarrinfin

nradic|cnxn|

για κάθε x isin [minusR + ε R minus ε] ΄Αρα η gprimen συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα στην g Εφόσον gn(0) =c0 rarr f (0) = c0 από το Θεώρηmicroα 426 συνεπάγεται ότι η gn συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα στην

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 31 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

f και f prime = g οπότε

f prime(x) = limnrarrinfin

gprimen(x) =infinsum

n=1

ncnxnminus1

Με επαγωγή και υπό τις παραπάνω προϋποθέσεις ισχύει

f (k)(x) =infinsum

n=k

n(n minus 1) middot middot middot (n minus k + 1)cnxnminusk

για κάθε |x| lt R ΄Ετσι microπορούmicroε να συmicroπαιράνουmicroε ότι f (k)(0) = kck και άρα

ck =f (k)(0)

k

Από την τελευταία προκύπτει laquoτο ανάπτυγmicroα MacLaurinraquo

f (x) =infinsum

n=0

f (k)(0)k

xk

Ανάλογο αποτέλεσmicroα microε τη διαφόριση δυναmicroοσειρών ισχύει και για την ολοκλήρωσή

τους επειδή

lim sup n

radic|cnxn+1|

n + 1= lim sup n

radic|cnxn|

έπεται ότι η σειρά

Nsumn=1

int t

acnxn =

Nsumn=1

cn

n + 1xn+1

∣∣∣taminusrarr

infinsumn=1

cn

n + 1xn+1

∣∣∣ta

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 32 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

για a t isin (minusR R) Επίσης η

Nsumn=1

int t

acnxn =

int t

a

Nsumn=1

cnxn

συγκλίνει στο

int ta

suminfinn=1 cnxn

αφού στο [a t] ηsumN

n=1 cnxnσυγκλίνει οmicroοιόmicroορφα στηνsuminfin

n=1 cnxn(από το Θεώρηmicroα 427 και από την οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση της σειράς στο

[minusR + ε R minus ε] για κάθε ε gt 0)

΄Αρα int t

a

infinsumn=1

cnxn =infinsum

n=1

cn

n + 1xn+1

∣∣∣ta

Θεώρηmicroα 513 (Taylor) Υποθέτω ότι η συνάρτηση f (x) =suminfin

n=0 cnxnόπου η σειρά συγ-

κλίνει για κάθε |x| lt R Εάν a isin (minusR R) τότε η f microπορεί να αναπτυχθεί σε δυναmicroοσειρά

γύρω από το x = a η οποία συγκλίνει για κάθε x isin R microε |x minus a| lt R minus |a| Επιπλέον για

αυτά τα x ισχύει

f (x) =infinsum

n=0

f (n)(a)n

(x minus a)n

Απόδειξη Με τη ϐοήθεια του δυωνυmicroικού αναπτύγmicroατος έχουmicroε

f (x) =infinsum

n=0

cn

((x minus a) + a

)n

=infinsum

n=0

cn

nsumm=0

(n

m

)anminusm(x minus a)m

=infinsum

m=0

( infinsumn=m

(n

m

)cnanminusm

)(x minus a)m

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 33 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Στις παραπάνω σχέσεις εκτελέσαmicroε microιά αλλαγή στη σειρά των αθροισmicroάτων ως προς n και

ως προς m Αυτή η δυνατότητα δικαιολογείται από το επόmicroενο λήmicromicroα (Λήmicromicroα 514) και

δεδοmicroένου ότι η σειρά

infinsumn=0

nsumm=0

∣∣∣∣cn

(n

m

)anminusm(x minus a)m

∣∣∣∣συγκλίνει απόλυτα αφού ταυτίζεται microε την

suminfinn=0 |cn|

(|x minus a| + |a|

)n η οποία συγκλίνει

αν |x minus a|+ |a| lt R

Λήmicromicroα 514 Θεωρούmicroε microια διπλή ακολουθία aij και υποθέτουmicroε ότιsuminfin

j=1 |aij| = bi isinR για i = 1 2 και ότι η σειρά

suminfini=1 bi συγκλίνει Τότε ισχύει

infinsumi=1

infinsumj=1

aij =infinsum

j=1

infinsumi=1

aij

Η απόδειξη αυτού του λήmicromicroατος microπορεί να γίνει και microε πιό απλό τρόπο αλλά εδώ ϑα

ακόλουθήσουmicroε το όmicroορφο τέχνασmicroα που παρουσιάζει ο Walter Rudin στο ϐιβλίο laquoΑρχές

Μαθηmicroατικής Αναλύσεωςraquo

Απόδειξη Ορίζουmicroε τις συναρτήσεις fi E rarr R για i isin N E = 0 cup 1 12 1

3 να

δίνονται από τους τύπους

fi(0) =infinsum

j=1

aij και fi

(1n

)=

nsumj=1

aij

Είναι ϕανερό ότι κάθε microιά από τις fi είναι συνεχής στο 0 ΄Εστω g(x) =suminfin

i=1 fi(x) για

κάθε x isin E Παρατηρούmicroε ότι |fi(1n)| lesumn

j=1 |aij| le bi και |fi(0)| lesuminfin

j=1 |aij| = bi

Συνεπώς |fi(x)| le bi για κάθε x isin E Επειδή τώρα ηsuminfin

i=1 bi συγκλίνει από την υπόθεση

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 34 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

έπεται από το Θεώρηmicroα Weierstraszlig (Θεώρηmicroα 424) ότι ηsuminfin

i=1 fi συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα

στην g Συνεπώς η g είναι συνεχής συνάρτηση άρα ισχύουν οι ακόλουθες

infinsumi=1

infinsumj=1

aij =infinsum

i=1

fi(0) = g(0) = limnrarrinfin

g( 1

n

)= lim

nrarrinfin

infinsumi=1

fi

( 1n

)= lim

nrarrinfin

infinsumi=1

nsumj=1

aij = limnrarrinfin

infinsumi=1

(ai1 + ai2 + middot middot middot+ ain)

= limnrarrinfin

( infinsumi=1

ai1 +infinsum

i=1

ai2 + middot middot middot+infinsum

i=1

ain

)

= limnrarrinfin

nsumj=1

infinsumi=1

aij

=infinsum

j=1

infinsumi=1

aij

Ασκήσεις

΄Ασκηση 14 Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις ακολουθίες

(α΄) fn(x) =x2

(1 + x2)n για x isin R

(ϐ΄) fn(x) =n2x

n2 + nx + 1 για x isin [0 a] όπου a isin [0infin) cup infin

(γ΄) fn(x) = xradic

n3eminusnx2 για x isin R

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 35 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 15 ΄Εστω f fn A rarr R και fn rArr f ∆είξτε ότι αν όλες οι fn είναι ϕραγmicroένες

συναρτήσεις τότε και η f είναι ϕραγmicroένη συνάρτηση

΄Ασκηση 16 Ελέξτε ως προς τη σύγκλιση τις ακολουθίες συναρτήσεων

(α΄) fn(x) = xn(1minus x)nγια x isin [0 1]

(ϐ΄)

fn(x) = 1

n αν x = 0 ή x isin Qq + 1

n αν x = pq isin Q p

q ανάγωγο κλάσmicroα microε p isin Z και q isin N

΄Ασκηση 17 Θεωρούmicroε τη σειρά συναρτήσεων

f (x) =infinsum

n=1

11 + n2x

(α΄) Για ποιά x isin R συγκλίνει απολύτως

(ϐ΄) Σε ποιά υποδιαστήmicroατα του R συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα

(γ΄) Είναι η f συνεχής στα σηmicroεία που συγκλίνει

(δ΄) Είναι η f ϕραγmicroένη

΄Ασκηση 18 ∆είξτε ότι η σειρά συναρτήσεων

infinsumn=1

(minus1)n x2 + n

n2

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 36 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα σε κάθε ϕραγmicroένο διάστηmicroα [a b] αλλά όχι απόλυτα για κανένα

x isin R

΄Ασκηση 19 ΄Εστω fn(x) = x(1+nx2) microε x isin R ∆είξτε ότι υπάρχει συνάρτηση f ορισmicroένη

στο R ώστε fn rArr f και f prime(x) = lim f primen(x) για κάθε x ακριβώς στο R 0

΄Ασκηση 20 ΄Εστω ακολουθία συνεχών συναρτήσεων fn στο R και συνάρτηση f στο R ώστε

fn rArr f ∆είξτε ότι αν xn x isin R και xn rarr x τότε fn(xn) rarr f (x)

΄Ασκηση 21 Αποδείξτε ότι η σειρά

infinsumn=1

(minus1)n

radicn

sin(1 +

x

n

)συγκλίνει οmicroοιόmicroορφα σε κάθε διάστηmicroα [minusA A] για κάθε A isin R

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 37 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

Λύσεις των Ασκήσεων

΄Ασκηση 1 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 1

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 38 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 2 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 2

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 39 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 3 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 3

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 40 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 4 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 4

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 41 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 5 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 5

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 42 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 6 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 6

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 43 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 7 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 7

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 44 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 8 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 8

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 45 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 9 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 9

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 46 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 10 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 10

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 47 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 11 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 11

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 48 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 12 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 12

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 49 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 13 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 13

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 50 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 14 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 14

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 51 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 15 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 15

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 52 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 16 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 16

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 53 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 17 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 17

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 54 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 18 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 18

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 55 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 19 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 19

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 56 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 20 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 20

Είδη ασυνέχειας

Μονοτονία και συνέχεια

Ορισmicroός ολοκληρώmicroατος

Ολοκλήρωmicroα Riemann

Σειρές amp αναδιατάξεις

Κριτήρια σύγκλισης

Ακολουθίες συναρτήσεων

Οmicroοιόmicroορφη σύγκλιση

∆υναmicroοσειρές

Οδηγός Ασκήσεων

Πρώτη Σελίδα

JJ II

J I

Σελίδα 57 από 36

Πίσω

Όλη η οθόνη

Κλείσε

Έξοδος

΄Ασκηση 21 Υπό κατασκευή ΄Ασκηση 21