DCSM Sup MPSI Cours: Oscillations mécaniques

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Oscillations mécaniques 1. Oscillateur harmonique non amorti à une dimension

1.1. Définition

Un point dont le mouvement peut être décrit à l'aide d'une seule variable scalaire (variable espace x(t) ou variable angulaire θ(t)), constitue un système à un degré de liberté. On appelle oscillateur harmonique non amorti à une dimension tout système à un degré de liberté dont la variable scalaire x(t) qui caractérise son évolution vérifie l'équation différentielle suivante:

La solution générale de cette équation différentielle est de la forme: x(t) = xm cos(ω0t-ϕ). C'est une fonction sinusoïdale de pulsation ω0. La variable x(t) oscille autour de la position x=0 avec la période T0=2π/ω0; ω0 est appelée pulsation propre des oscillations libres non amorties de l'oscillateur harmonique. L'énergie mécanique d'un oscillateur harmonique non amorti se conserve; l'énergie cinétique est égale à Ec=1/2 m(dx/dt)2 et l'énergie potentielle: Ep=1/2kx2. L'énergie mécanique est égale à 1/2kxm

2. 1.2. Portait de phase d'un oscillateur harmonique non amorti. L'évolution d'un système mécanique à un seul degré de liberté x(t) peut être étudiée dans le plan (x; dx/dt) appelé plan de phase. Pour un oscillateur de pulsation ω0 on utilise la variable réduite x/ω0 homogène à x. On appelle trajectoire de phase la courbe décrite au cours du temps par le point d'abscisse x(t) et d'ordonnée dx/dt, ou dx/ ω0dt, à partir d'un point M0 représentatif des conditions initiales. L'ensemble des trajectoire décrites pour un ensemble de conditions initiales différentes est appelé portrait de phase Une trajectoire de phase fermée correspond à un mouvement périodique: au bout d'une période, la courbe repasse par le même point et le mouvement se répète infiniment, identique à lui même. Les trajectoires de phase fermées sont décrites dans le sens des aiguilles d'une montre. Pour un oscillateur harmonique: x(t) = xm cos(ω0t-ϕ) et dx/dt= - ω0xm sin(ω0t-ϕ).. On reconnaît en éliminant le temps, l'équation cartésienne d'une ellipse dans le plan (x, dx/dt):

Les trajectoires de phase dans le plan (x, dx/ ω0 dt) d'un oscillateur harmonique de pulsation propre ω0 sont des cercles concentriques centrés sur l'origine des coordonnées dont le rayon représente l'amplitude des oscillations: ceci est caractéristique des oscillations sinusoïdales. Exemples: Pendule simple pour des oscillations de faible amplitude; point matériel dans un puits d'énergie potentiel

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2. Oscillateur harmonique amorti (frottements fluides) • L'oscillateur harmonique est un cas idéal où il n'y a pas de forces dissipatives appliquées au

système. On faut donc tenir compte des forces de frottement qui amortissent les oscillations.. On etudiera ici uniquement les frottements visqueux : f=-α v;

• Equation différentielle

• Equation caractéristique Les solutions sont de la forme x(t)=A exp(rt)

⇒

• Résolution 3 cas Δ > 0 ; Δ = 0 et Δ < 0

⇒ Δ > 0 Q < Qc = 1/2 Régime apériodique

Le régime apériodique est caractérisé par un retour vers l’équilibre (solution du

régime permanent x=0) quand t→+∞ sans oscillation (fig.) ⇒ Δ = 0 Q = Qc = 1/2 Régime critique

Le retour vers la position x=0 (solution du régime permanent, position d’équilibre)

se fait sans oscillation, comme dans le cas du régime apériodique. Mais à conditions initiales identiques, le retour vers cette position x=0 est plus rapide dans le cas du régime apériodique (Δ>0). Le régime critique est le régime apériodique le plus rapide.

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⇒ Δ < 0 Q > Qc = 1/2 Régime pseudo-périodique

On observe des oscillations mais elles sont amorties: régime pseudo périodique (fig.)

Portrait de phase (voir figures) Les différentes trajectoires de phase d'un oscillateur harmonique amorti convergent toutes vers l'origine des coordonnées Dans le cas d'un régime oscillant (Q>Qc=1/2), les trajectoires de phase sont des courbes qui s'enroulent en spirale pour converger vers l'origine, point attracteur de cet oscillateur. Dans le cas d'un régime apériodique ou critique, les trajectoires de phase tendent vers l'origine, , point attracteur , sans s'enrouler autour. Les trajectoires de phase d'un oscillateur harmonique amorti tendent vers le point origine O. Ce point origine, qui correspond à une position d'équilibre stable pour le système, apparaît comme "attracteur" pour l'oscillateur.

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• Analogie électrique

Electricité Mécanique

q : Charge du condensateur X : élongation

I : courant V : vitesse

R : résistance α : coefficient de la force de frottement f=-αv

L : inductance m : masse

1/C : inverse de la capacité du condensateur

K : raideur du ressort

τ

ω02

Equation différentielle

R L

C

U

i