Ondas (Final)

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1.-Escribaunaexpresin quedefinaunaondatransversalquesedesplazaalo largo deunacuerda en la direccin +x, con una longitud de onda de 11.4 cm, una frecuencia de 385 Hz y unaamplitud de 2.13 cm.y = (2.13 cm) Sen|2 11.4 cm ] x (2 385 Hz) tjy = (2.13 cm) Sen|0.175 radcm ] x |770 rads ] tj2.-La ecuacin de una onda transversalque se desplaza poruna cuerda muy larga est dadapory= (6.0 cm) sin [(2.0radf m) x+ (4.0radf s) t]Calcule a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, d) la velocidad, e) la direccin depropagacin de la onda y f) la velocidad transversal mxima de una partcula de la cuerda.a) Amplitud de 6cm (se puede observar directamente en la ecuacin)b)Sabemos que: =2 k, sustituyendo tenemos: =2 2 radfm= 1 m; k se obtiene directamente dela ecuacin.c)Sabemos que:f =2 , sustituyendo tenemos:f =4 radfs2 = 2 Hz; se obtiene directamente dela ecuacin.d)Sabemos que: v = f = 2 Hz1 m = 2 mf se)Va en el sentido de x; se deduce al observar el signo del segundo termino en el argumento dela ecuacin de onda.f)Lavelocidadtranseversalestadadaporlaprimeraderivadadelaecuacindeondaconrespecto al tiempo vy =oyot= A Cos(kx +t), por lo tanto sera:vy = (4 radf s)(6 cm)Cos[(2 radf m) x +(4 radf s) t]vy = (0.24 mf s)Cos[(2 radf m) x +(4 radf s) t]vy, mx = A = (4 radf s)(0.06 m) = 0.24 mf svy, mx =0.24 "mfs"vy,mx =0.753982 mfs3.-La ecuacin de una onda transversal en una cuerda es:y = (1.8 mm) Sin[(23.8 radf m) x +(317 radf s) t]La cuerda est bajo una tensin de 16.3 N. Determine su densidad lineal de masa.Para determinarla densidad linealde masa usamos:v =FT = FTv2.La velocidad estadada por v = f k , de tal forma que =FT|k ]2= FTk22.Sustituimos FT, y k para obtener : =16.3 - (23.8)23172"kgfm" =0.0918804 kgfm- 0.092 kg/m - 92 g/m4.-Unobservadormideunaintensidadde1.13W/m2 aunadistanciadesconocidadeunafuente de ondas esfricas cuya salida de potencia se ignora. El observador camina 5.30 m acer-cndose a la fuente, y mide una intensidad de 2.41 W/m2 en este nuevo lugar.Calcule la salidade potencia de la fuente.Ls frmula de la intensidad de onda es:I =Pm4 r2 Pm = I4 r2Para este problema tenemos:Pm = I1 4 r2Pm = I2 4 (r 5.3 m)2Donde I1 = 1.13 W f m2, I2 = 2.41 W f m2 y r es la distancia inicial a la que se encuentra el obser-vador.Igualamos ambas ecuacines:I1 4 r2= I2 4 (r 5.3 m)2Despejamos r de la ecuacin:I1I2= | r5.3 mr ]2= |1 5.3 mr ]2= 1 10.6r+28.09r2I1I2 1 =28.0910.6 rr2| I1I2 1] r2+10.6 r 28.09 = 0Resolvemos la ecuacin para obtener el valor de r:2Tarea-Fisica 03-Ondas.nbLs frmula de la intensidad de onda es:I =Pm4 r2 Pm = I4 r2Para este problema tenemos:Pm = I1 4 r2Pm = I2 4 (r 5.3 m)2Donde I1 = 1.13 W f m2, I2 = 2.41 W f m2 y r es la distancia inicial a la que se encuentra el obser-vador.Igualamos ambas ecuacines:I1 4 r2= I2 4 (r 5.3 m)2Despejamos r de la ecuacin:I1I2= | r5.3 mr ]2= |1 5.3 mr ]2= 1 10.6r+28.09r2I1I2 1 =28.0910.6 rr2| I1I2 1] r2+10.6 r 28.09 = 0Resolvemos la ecuacin para obtener el valor de r:Solve_1.132.41 1 r2+10.6 r 28.09 =0, rr 3.14587, r 16.8119Descartamos elprimervalorya que no eslgico que alacercarse elobservador,la fuente seencuentreaunadistanciamayoralainicial.UsamoselsegundovalorylosustituimosenPm = I1 4 r2Pm == 1.13 - 4 - (16.81194121414946)2"W"Pm =4013.51 W5.- Determine la amplitud de la onda resultante cuando se combinan dos ondas senoidales quetienen igual frecuencia y que se desplazan en la misma direccin, si su amplitud es de 3.20 cm yde 4.19 cm, y si su fase difiere en /2 rad.Alencontrarsedesfasadaslasondasen f 2,utilizaremoslasiguientefr-mula:A = A12+A22+2 A1 A2Cos()A = (3.2)2+(4.19)2+2 - (3.2) - (4.19) - Cos[ f 2] "cm"A =5.2722 cm6.-Una cuerda de naylon de una guitarra tiene una densidad de masa linealde 7.16 g/m,y sehalla bajo una tensin de 152 N.Los soportes fijos estn separados por una distancia de 89.4cm.La cuerda vibra en elpatrn de onda estacionaria que aparece en la figura.Calcule a)larapidez, b) la longitud de onda y c) la frecuencia de las ondas componentes cuya superposicinda origen a esta vibracin.a)La velocidad se encuentra dada por:v =FTTarea-Fisica 03-Ondas.nb 3a)La velocidad se encuentra dada por:v =FTv =1527.16 103"mfs"v =145.702 mfsb)Podemosobservarenlaimagenquelavibracindelacuerdaconcuerdaconeltercerarmnico, por lo tanto la longitud de onda esta dada por: =2 L3 =2 - 89.43"cm". =59.6 cmc)Sabemos que: = vf =145.7020.596"Hz"f =244.466 Hz7.-Las vibraciones de un diapasn de 622 Hz generan ondas estacionarias en una cuerda sujetacon grapasen ambosextremos.Larapidezdeondaen lacuerdaes388 m/s.Laondaesta-cionaria tiene cuatro ciclos y una amplitud de 1.90 mm.a)Qu longitud tiene la cuerda? b)Escriba una ecuacin para obtener el desplazamiento de la cuerda en funcin de la posicin y eltiempo.a)Elnmero de armnico esta dado por dos veces elnmero de ciclos, en este caso son 4 ciclospor lo que corresponde al 8 armnico. La longitud de la cuerda esta dada por:L = n2Para obtener usamos: = vfDe esta forma tenemos que:L = nv2 f4Tarea-Fisica 03-Ondas.nba)Elnmero de armnico esta dado por dos veces elnmero de ciclos, en este caso son 4 ciclospor lo que corresponde al 8 armnico. La longitud de la cuerda esta dada por:L = n2Para obtener usamos: = vfDe esta forma tenemos que:L = nv2 fL =8 -388.2 - 622"m"L =2.49518 mb)La ecuacin de la onda es del tipo y(x, t) = A Sen(kx t), donde k y estan dadas por:k =2 =2 fv = 2 fk =2 - 622388."radfm"k =10.0725 radfm =2 - 622. "radfs" =3908.14 radfsLa ecuacin para esta onda es:y = (1.9 mm) Sen[(10.0725 radf m) x (3908.14 radf s) t]8.-Una onda con frecuencia de 493 Hztiene una rapidezde 353 m/s.a)A qu distancia seencuentran dos puntos cuya fase difiere en 55.00? b) Encuentre la diferencia de fase entre dosdesplazamientos en el mismo punto, pero en momentos que difiere 1.12 ms.a)Sabemos que esta dado por: = vfPodemos usar una regla de tres para establecer una relacin con la longitud de onda de estaforma:x55 =360 x =55 360 x =55360 -353493 - (100.) "cm"x =10.9393 cmb)Siconocemos elperiodo T, podemos saber eltiempo que tarda la onda en completar un ciclo.Podemos hacer una realacin con una simple regla de tres, sirecorre 2 rad en eltiempo quedura un ciclo (periodo T), entonces tenemos que:2 T=1.12103s = 2 1.12103sTDonde T =1

, sustituimos numricamente:Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 5b)Siconocemos elperiodo T, podemos saber eltiempo que tarda la onda en completar un ciclo.Podemos hacer una realacin con una simple regla de tres, sirecorre 2 rad en eltiempo quedura un ciclo (periodo T), entonces tenemos que:2 T=1.12103s = 2 1.12103sTDonde T =1

, sustituimos numricamente: =2 -1.12 1031493" rad" =1.10432 radO lo podemos convertir a grados si lo multiplicamos por 180 : == 1.10432 -180"" =198.778 9.-Una funcin simple est dada pory(x)= x( -x)en la regin O < x < .Se desea que estafuncin sea aproximada por una serie de funciones seno en la forma y(x) - a1 sin x+a3 sin 3x+a5sin 5x+ .a) Con un programa de graficacin, estime los valores de a1, a3 y a5 que ofrecen elmejorajustevisual.b)Useunprogramadematemticassimblicas(MapleoMathematica)para evaluar las integralesydonde n y m son enteros, pero no iguales entre s. c) Encuentre los valores exactos de los coefi-cientes an para n e {1, 2, 3, 4, 5}, evaluando para elloPor qu funciona este mtodo? Compare sus respuestas con el proceso de inspeccin visual.a)6Tarea-Fisica 03-Ondas.nbPlot_{x ( x), _k=13 52 k5Sin[(2 k 1) x], {x, 2,5 2 ,AxesLabel x, y, Ticks {Range_2,5 2,2, PlotRange 5y2(x) = _k=1352 k5Sin[(2 k 1) x]y1(x) = x( x)223 22 5 2x4224yPodemosobservarquean =52 k5,porlotanto,parak = 1, 2, 3tenemosquean (donden = _k=132 k 1)valdr:a1 =52 - 15a1 =52a3 =52 - 25a3 =564a5 =52 - 35a5 =5486Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 7b)In = _0Sin[n- x]2dxin =2 Sin[2 n ]4 nI0 == _0Sin[n- x] Cos[m- x] dxi0 =n+n Cos[m] Cos[n ] +mSin[m] Sin[n ]m2n2c)a1 =12 Sin[2 ]4_0x ( x) Sin[x] dxa1 =8a2 =12 Sin[4 ]8_0x ( x) Sin[2 x] dxa2 =0a3 =12 Sin[6 ]12_0x ( x) Sin[3 x] dxa3 =827 a4 =12 Sin[8 ]16_0x ( x) Sin[4 x] dxa4 =0a5 =12 Sin[10 ]20_0x ( x) Sin[5 x] dxa5 =8125 No tengo la menor idea de cual es la razn por la que este mtodo funciona.Paracompararconelprocesodeinspeccinvisual,observamoslagrficageneradaconlosvalores de an obtenidos en c):8Tarea-Fisica 03-Ondas.nbNo tengo la menor idea de cual es la razn por la que este mtodo funciona.Paracompararconelprocesodeinspeccinvisual,observamoslagrficageneradaconlosvalores de an obtenidos en c):Plot_{x ( x),8Sin[x] +827 Sin[3 x] +8125 Sin[5 x], {x, 2,5 2 ,AxesLabel x, y, Ticks {Range_2 , 2 ,2, PlotRange 5y2(x) =8 Sin[x] +827 Sin[3 x] +8125 Sin[5 x]y1(x) = x( x)223 22 x4224yVisualmente apenas hay una diferencia perceptible entre ambos mtodos, sin embargo es claroque el segundo es mucho ms preciso.10.-Demostrar explcitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuacin de onda:(a)y(x,t) = (x +vt)3; (b) y(x, t) = Aeik(x-vt), en donde A y k son constantes e i=1 ; (c) y(x, t) = lnk(x+vt).La ecuacin de onda es:o2yox2=1v2o2yot2Para comprobar que una funcin satisface la ecuacin de onda tenemos que llegar al siguienteresultado: o2yox2o2yot2=1v2Eseresultado seobtienealdividirlasegundaderivadaparcialdeycon respecto ax,porlasegunda derivada parcialde y con respecto a t; para poder ser considerada una solucin de laecuacin de onda el resultado siempre tendr que ser 1v2. a) y(x, t) = (x +vt)3 oyox= 3 (x +vt)2 o2yox2= 6 (x +vt) oyot= 3 v(x +vt) 2 o2yot2= 6 v2(x +vt) Hacemos la divisin: o2yox2o2yot2=6 (x+vt)6 v2(x+vt)=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. b) y(x, t) = Aeik(xvt), donde A y k son constantes e i = 1 . oyox= A i k eik(xvt)o2yox2= A i2k2eik(xvt) oyot= A i k v eik(xvt)o2yot2= A i2k2v2eik(xvt) Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=A i2k2eik(xvt)A i2k2v2eik(xvt)=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. c) y(x, t) = ln k(x +vt) = ln k +ln(x +vt) oyox=1x+vt o2yox2= 1(x+vt)2 oyot=vx+vt o2yot2= v2(x+vt)2 Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=1(x+vt)2v2(x+vt)2=1v2El resultado es 1v2, por lo tanto esta f