Curso 2006-2007

Universidad ComplutenseJJ J N I II 1/42JJ J N I II 1/42

Tema 6Ondas en sólidos elásticos y fluidos

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 2/42JJ J N I II 2/42

Ondas longitudinales en sólidos

Suponemos |∆ψ| |∆x|

F

S= E ∆ψ

∆x

donde E es el módulo de Young.

Thomas YOUNG, 1773–1829

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En el límite ∆x → 0 tendremos que F = SE(∂ψ∂x

). Por tanto, la fuerza

neta que actúa sobre la porción es

(F + dF )− F = SE(∂ψ

∂x

)x+dx

− SE(∂ψ

∂x

)x

' SE ∂2ψ

∂x2dx

y como debe ser igual a ρSdx ∂2ψ∂t2

obtenemos

1

v2∂2ψ

∂t2=∂2ψ

∂x2v ≡

√Eρ

En acero ρ = 8 000 kg/m3 y E = 2× 1011N/m2 =⇒ v = 5 km/s.

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Ondas longitudinales en gases

El coeficiente de compresibilidad se define como

κc ∼ −∆V

V

1

∆P= −(∆x + ∆ψ)S −∆xS

∆xS

1

ψP−→ ψP = − 1

κc

∂ψ

∂x

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La fuerza neta que actúa sobre la porción de gas es

−(P + ψP + dψP )S + (P + ψP )S ' 1

κc

∂2ψ

∂x2S dx

y como debe ser igual a ρSdx∂2ψ

∂t2obtenemos

1

v2∂2ψ

∂t2=∂2ψ

∂x2v ≡

√1

ρκc

Experimentalmente se determina que las compresiones son adiabáticas, porlo que v =

√γP/ρ. El orden de magnitud es la velocidad del sonido en el

aire (0,35 km/s).

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Nociones de acústica

Las frecuencias audibles están en el rango de 20Hz a 20 kHz, lo que corres-ponde a longitudes de onda entre 15m a 15mm.

La presión acústica es

ψP = − 1

κc

∂ψ

∂x=

1

vκc

∂ψ

∂t=γP

v

∂ψ

∂t

y como la fuerza neta para producir esa variación de presión es ψPS, po-demos definir la impedancia característica Z0 = SγP/v. Se define la impe-dancia acústica como

z0 =Z0

S=γP

v= ρv

que para el aire es z0 = 400 kg/m2s1.

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 7/42JJ J N I II 7/42

Potencia e intensidad:

P(x, t) = Z0

(∂ψ

∂t

)2

=S

z0ψ2P I =

1

S〈P(x, t)〉

Para una onda monocromática

I =1

2

A2P

z0

Oídos sensibles detectan intensidades de I0 ≡ 1 pW/m2 y se produce dolorcuando la intensidad alcanza valores de 1W/m2. Las variaciones de presiónpara este caso son sólo de 3× 10−4atm.

Sensación sonora: 10 log(I/I0) db.

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Vibraciones atómicas en sólidos

xn − ω2−(yn + yn−1 − 2xn) = 0

yn − ω2+(xn+1 + xn − 2yn) = 0

siendo ω2− ≡ k/M y ω2

+ ≡ k/m.

xn = A exp[i(nκa− ωt)] yn = B exp[i(nκa− ωt)]

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∣∣∣∣ 2ω2− − ω2 −ω2

− (1 + e−iκa)−ω2

+ (1 + eiκa) 2ω2+ − ω2

∣∣∣∣ = 0

ω4 − 2(ω2+ + ω2

−)ω2 + 2ω2

+ω2− sen2

(κa

2

)= 0

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Ondas electromagnéticas en la ionosfera

ω =√ω2p + c2κ2

ωp ∼ 120MHz (frecuencia de plasma).

v = c

√1 +

(ωpcκ

)2

vg =c√

1 +(ωpcκ

)2

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Ondas superficiales en agua

Canal de profundidad h y onda senoidal ψ(z, t) = A cos(ωt − κz). Estamagnitud representa el desplazamiento de un punto de la superficie en lavertical respecto al nivel del agua en reposo.

La condición de incompresibilidad indica que las partículas fluidas del interiordeben moverse en planos verticales, con un movimiento bidimensional.

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ψy(y, z, t) = Ay(y) cos(ωt− κz)

ψz(y, z, t) = Az(y) sen(ωt− κz)

vy(y + ψy, z + ψz, t) =∂ψy∂t

vz(y + ψy, z + ψz, t) =∂ψz∂t

Con la aproximación ~v(y + ψy, z + ψz, t) ' ~v(y, z, t) tendremos

vy(y, z, t) = −ωAy(y) sen(ωt− κz)

vz(y, z, t) = ωAz(y) cos(ωt− κz)

Condición de incompresibilidad.

∂vy∂y

+∂vz∂z

= 0 =⇒ A′y − κAz(y) = 0

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Condición de viscosidad despreciable.

Si inicialmente el fluido está en reposo, la vorticidad es nula. Enconces, elteorema de Kelvin nos asegura que

∫A(t) ~ω·d ~A = 0, de donde

∮C(t) ~u·d ~= 0,

es decir, ∇× ~u = 0.

∂vy∂z− ∂vz∂y

= 0 =⇒ A′z − κAy(y) = 0

Condiciones de contorno.

Ay(0) = AAy(−h) = 0

=⇒

Ay(y) = A

senh[κ(y + h)]senhκh

Az(y) = Acosh[κ(y + h)]

senhκh

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Trayectorias

Relación de dispersión

Transformación de Galileo z′ = z − ωt/κ.

vy(y, z′) = ωAy(y) senκz′ vz(y, z

′) = ωAz(y) cosκz′ − ω

κ

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Aplicamos el teorema de Bernoulli a un línea de corriente en la superficie,por lo que P + (1/2)ρv2 + ρgψ = cte.

P (z′) = Patm − σ(∂2ψ

∂z′ 2

)= Patm + σκ2A cosκz′

Además v2 = v2y(0, z′) + v2z(0, z

′) y ρgψ = ρgA cosκz′. Por tanto,(σκ2 + ρgA− ρω2 A

κcothκh

)cosκz′ + Patm +

1

2ρω2

κ2= cte

ω =

√(gκ +

σκ3

ρ

)tanhκh

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Aguas profundas

Cuando h λ tendremos que κh 1, es decir, tanhκh ' 1. Por tanto,ω =

√gκ + (σ/ρ)κ3 , de donde

v =

√g

κ+σ

ρκ vg =

g

κ+ 3

σ

ρκ

2

√g

κ+σ

ρκ

Coinciden cuando κ ≡ κc =√ρg/σ (en agua λc = 2π/κc = 17mm).

Longitud de onda larga (κ κc). Entonces ω ' √gκ y dominan losefectos de gravedad.

v =

√g

κvg =

1

2

√g

κ< v

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Longitud de onda corta (κ κc). Dominan los efectos de tensión superfi-cial. Llegamos a que

v =

√σ

ρκ vg =

3

2

√σ

ρκ > v

Rizado. Dispersión anómala.

Aguas superficiales

Cuando h λ tendremos que κh 1, es decir, tanhκh ' κh. Ade-más, como λ debe ser grande, podemos despreciar los efectos de tensiónsuperficial, por lo que ω ' κ

√gh. El medio es no dispersivo:

v = vg =√gh

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Ondas en membranas

Malla cuadrada. En cada nodo insertamos una masa m y sometemos cadacuerda a una tensión Tx ó Ty en equilibrio.

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Fij = Txzi+1,j − zij

l−Tx

zij − zi−1,jl

+Tyzi,j+1 − zij

l−Ty

zij − zi,j−1l

= mzij

l → 0 y m → 0 pero ρs ≡ m/l2 =cte. σx ≡ Tx/l y σy ≡ Ty/l tambiénconstantes. zi,j(t)→ ψ(x, y, t)

ρs∂2ψ

∂t2= σx lım

l→0

(ψ(x + l, y, t) + ψ(x− l, y, t)− 2ψ(x, y, t)

l2

)+ σy lım

l→0

(ψ(x, y + l, t) + ψ(x, y − l, t)− 2ψ(x, y, t)

l2

)Definiendo vx ≡

√σx/ρs y vy ≡

√σy/ρs

∂2ψ

∂t2= v2x

∂2ψ

∂x2+ v2y

∂2ψ

∂y2

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Modos normales de una membrana rectangular

Si la tensión superficial es la misma en cada dirección, empleando las con-diciones de contorno

ψ(0, y, t) = ψ(Lx, y, t) = ψ(x, 0, t) = ψ(x, Ly, t) = 0

los modos normales son

ψ(x, y, t) = A sen

(nxπx

Lx

)sen

(nyπy

Ly

)cos(ωnxnyt+δ) nx, ny = 1, 2, . . .

ωnxny = v

√(nxπ

Lx

)2

+

(nyπ

Ly

)2

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Lx = 1,05L Ly = 0,95L β ≡ωnxnyL

πv

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Ondas en 2 y 3 dimensiones

La ecuación de ondas en un medio isótropo será

1

v2∂2ψ

∂t2= ∇2ψ

que admite soluciones en forma de onda viajera. En particular, ondas sinu-soidales o planas:

ψ(~r, t) = ψ0 sen(~κ · ~r − ωt)

o tambiénψ(~r, t) = ψ0e

i(~κ·~r−ωt)

Relación de dispersión ω = |~κ|v. ~κ es el vector de onda.

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Frente de onda. Lugar geométrico de los puntos con la misma fase en elmismo instante de tiempo: ϕ(~r, t0) = ~κ ·~r−ωt0 = cte (plano). ~κ es normala los frentes de onda y determina la dirección de propagación.

El período espacial de la onda plana en ladirección de propagación es λ = 2π/|~κ|.Para comprobarlo basta considerar dosfrentes de onda consecutivos, cuyas fasesse diferencian en 2π. Las ecuaciones deambos planos son ~κ · ~r = C y ~κ · ~r ′ =C + 2π, siendo C una constante. Restan-do ambas ecuaciones ~κ · (~r ′ − ~r) = 2π.

La distancia d entre ambos planos es el módulo de los vectores ~r ′ − ~r queson paralelos a ~κ. Por tanto |~κ|d = 2π =⇒ d = 2π/|~κ| = λ. El períodotemporal es T = 2π/ω.

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Ondas esféricas

En medios isótropos la perturbación dependerá sólo de la distancia a uncierto foco:

1

v2∂2ψ

∂t2=

1

r2∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)ψ(r, t) =

A

rsen(κr − ωt)

Los frentes de onda son ahora el lugar geométrico de los puntos que satis-facen la condición r = cte (superficie esférica). Por eso, la solución anteriores llamada onda esférica.

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Solución de Kirchhoff

Gustav Robert KIRCHHOFF, 1824–1887

Consideremos una onda que satisface la ecuación de ondas en un me-dio isótropo. Cada componente espectral χ(~r) de la onda [ψ(~r, t) =χ(~r) exp(iωt)] verifica la ecuación de Helmholtz (∇2 + κ2)χ = 0.

Sea ϕ = (1/r) exp(−iκr) y apliquemos el teore-ma de Green [A21], utilizando el volumen ence-rrado entre las superficies S y S ′ (ϕ es regular entodo el volumen considerado). Como

χ∇2ϕ− ϕ∇2χ = −ϕ(∇2 + κ2

)χ = 0

obtenemos:

∮S

(χ∂ϕ

∂n− ϕ ∂χ

∂n

)dA +

∮S′

(χ∂ϕ

∂n− ϕ ∂χ

∂n

)dA = 0 .

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 26/42JJ J N I II 26/42

En la superficie S ′ tenemos que n = −r, por lo que ∂/∂n = −∂/∂r:∮S′

(χ∂ϕ

∂n− ϕ ∂χ

∂n

)dA =

∮S′

−χ ∂

∂r

(1

re−iκr

)+

1

re−iκr

∂χ

∂r

dA

Si χ no es singular en torno a P , entonces sólo un término no se anulacuando el radio de S ′ tiende a cero, aquel que proviene de la derivada de1/r. Utilizando dA = r2 dΩ, obtenemos en dicho límite∮

S′

(χ∂ϕ

∂n− ϕ ∂χ

∂n

)dA =

∮S′χ

1

r2e−iκrr2 dΩ = 4πχP =⇒

4πχP =

∮S

1

r

∂χ

∂n− χ ∂

∂n

(1

r

)+ iκχ

1

r

∂r

∂n

e−iκr dA =⇒

ψP =1

4π

∮S

1

r

∂

∂n− ∂

∂n

(1

r

)+ iκ

1

r

∂r

∂n

χ(~r) eiω(t−r/v)︸ ︷︷ ︸

ψ(~r,t−r/v)

dA

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 27/42JJ J N I II 27/42

Introducimos la notación [ψ]t−r/v ≡ ψ(~r, t − r/v) = χ(~r) eiω(t−r/v), dondet− r/v recibe el nombre de tiempo de retardo. Entonces

ψP =1

4π

∮S

X dA

X ≡ 1

r

[∂ψ

∂n

]t−r/v− ∂

∂n

(1

r

)[ψ]t−r/v +

1

vr

∂r

∂n

[∂ψ

∂t

]t−r/v

El resultado es general para cualquier onda, incluso no armónica (véase M.Born y E. Wolf, Principles of Optics).

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Principio de Huygens

Christiaan HUYGENS, 1629–1695

La propagación de una onda luminosapuede determinarse suponiendo que, encada instante, en cada punto del frentede onda surge un nuevo frente de ondaesférico centrado en dicho punto; el nuevofrente de onda es la envolvente de todasestas ondas esféricas.

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Ley de Snell (refracción)

Willebrod SNELL, 1580–1626

El tiempo que tarda la onda en llegarde B a C es t0 = BC/v1. La ondaque se propaga en el medio 2 recorreuna distancia AD = v2t0. De la figuraresulta sen θ1 = BC/AC y sen θ2 =AD/AC.

sen θ1sen θ2

=v1v2

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Ley de la reflexión

Como BC/AD, los triángulos ACD yABC son iguales. Por tanto,

θ1 = θ2

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Efecto Doppler

Christian DOPPLER, 1803–1853

Consideremos un foco de ondas esféricasde frecuencia νF , que se mueve con ve-locidad ~vF . Las ondas son detectadas porun observador que se mueve con veloci-dad ~vO en la misma dirección. El aire estáen reposo y las ondas se propagan convelocidad v.

Admitiremos que v > vF . La separación entre dos frentes con la mismafase en la región frontal es vTF − vFTF , ya que los frentes se emitieron enpuntos que distan vFTF entre sí. Por ello, la longitud de onda en la regiónfrontal es λ = (v − vF )TF .

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Como el observador se aleja con velocidad ~vo, el tiempo que mide entre lallegada de dos frentes consecutivos, To, es mayor que si estuviera en reposorespecto al aire.

Consideremos la llegada del frente Aa la posición del observador en el ins-tante t y la llegada del frente B ala posición en el instante t + To. Ve-mos que vTo = λ + voTo, de dondeλ = (v − vo)To.

νo = νFv − vov − vF

Ejemplo.νantesνdespues

=νF

v − vov − vF

νFv − vov + vF

=v + vFv − vF

> 1

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Ondas no lineales

Las verdaderas leyes de la Naturaleza no pueden ser lineales (A. Einstein)

Observación de Scott Russell (Edimburgo, 1834)

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Propuesta de Korteweg y de Vries (1895)

∂ψ

∂t+ v0

(1 +

3

2

ψ

h

)∂ψ

∂x+

1

6v0h

2 ∂3ψ

∂x3= 0 v0 =

√gh

Aproximación lineal dispersiva

∂ψ

∂t+ v0

∂ψ

∂x+

1

6v0h

2 ∂3ψ

∂x3= 0 =⇒ ω = v0κ

(1− 1

6h2κ2

)

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Aproximación no lineal y no dispersiva

∂ψ

∂t+ v0

(1 +

3

2

ψ

h

)︸ ︷︷ ︸

”vefectiva”

∂ψ

∂x= 0

Balance entre la no linealidad y la dis-persión en la ecuación KdV

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Soluciones especiales de la ecuación KdV

Ondas cnoidales Onda solitaria

Onda solitaria

ψ(x, t) = ψ0 sech 2

(x− vt`

)v = v0

(1 +

ψ0

2h

)` =

√4h2

3ψ0

Las ondas solitarias de mayor amplitud son más estrechas y viajan con mayorvelocidad.Para visualizar una animación pinche sobre la imagen:

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Colisión de ondas solitarias. Solitones

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Solitón (Zabusky y Kruskal, 1965)

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 39/42JJ J N I II 39/42

Experimento de Fermi-Pasta-Ulam (Los Alamos, 1955)

mxn = k [(xn+1 − xn)− (xn − xn−1)] + α[(xn+1 − xn)2 − (xn − xn−1)2

]La energía no se reparte gradualmente entre los diversos modos de vibración.

Experimento de Zabusky y Kruskal (1965)

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Solitones topológicos

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 41/42JJ J N I II 41/42

Ecuación sine-Gordon

L =∑n

[1

2I θ2n −

1

2β (θn+1 − θn)2 −

1

2mgL(1− cos θn)

]

θn −v20a2

(θn+1 + θn−1 − 2θn) + ω20 sen θn = 0 , v20 =

βa2

I, ω2

0 =mgL

2I

Límite continuo: a→ 0 [A23]

∂2θ

∂t2− v20

∂2θ

∂x2+ ω2

0 sen θ = 0

Solución kink :

θ(x− vt) = 4 arctan

[exp

(± ω0

v0

x− vt√1− v2/v20

)]

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Korteweg-de Vries

ut = 6uux − uxxx

sine-Gordon

utt = uxx − senu

Schrödinger no lineal

iut = −uxx ± |u|2u