Capítulo 13 Fluidos no newtonianos. · Muchos líquidos y mezclas de líquidos y sólidos no...
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Capítulo 13
Fluidos no newtonianos.
Fluidos no newtonianos.
Muchos líquidos y mezclas de líquidos y sólidos no obedecen a la ley de Newton
a esos fluidos se les llama no- newtonianos.
Figura.- Diferentes fluidos y su clasificación. La ley de Newton establece que:
𝜏𝑤 = −𝜇 𝑑𝑢
𝑑𝑟
En donde μ es la viscosidad absoluta; 𝜏𝑤 es el esfuerzo cortante en la pared y 𝑑𝑢
𝑑𝑟 es
la velocidad de corte. En un fluido que sigue la ley de Newton se observa que:
- du / dy Es decir que la viscosidad es constante a cualquier velocidad.
𝜇 =𝜏𝑤
−𝑑𝑢𝑑𝑟
Todos los gases y un buen número de fluidos siguen la ley de Newton. Existen sin embargo, muchos fluidos que no siguen ese comportamiento. Entre los fluidos no newtonianos que con más frecuencia se encuentran en la industria alimentaria están: Fluidos Bingha. Son aquellos que necesitan de un cierto esfuerzo para comenzar a fluir. Como ejemplo tenemos muchas de las pastas. Margarina, mezclas de chocolates, grasas, jabones, etc.
0 - du / dy
Figura 1.- Reograma de un fluido Bingham
Como se ve estos fluidos presentan la característica de que para que fluyan se necesita
aplicar un esfuerzo inicial sobre el material, llamado esfuerzo de cedencia, τ0.
La ecuación que representa el comportamiento de estos fluidos es:
dr
du 0
Fluidos seudoplásticos. Son aquellos en lo que la viscosidad decrece al aumentar la velocidad de corte. Como ejemplos tenemos las soluciones poliméricas de alto peso molecular, la pulpa de papel, la mayonesa, las pinturas y gran número de fluidos que se procesan en la industria alimentaria. La mayoría de los fluidos relacionados con la industria alimentaria presentan este
comportamiento, ya sea simple o ligado con el Bingham. La forma en que se comportan
estos fluidos puede representarse mediante la ecuación siguiente, llamada ecuación de
las potencias.
1
1
n
dr
duK
dr
du
n
a
a
Siendo μa la viscosidad aparente
n el índice de comportamiento del fluido
K el índice de consistencia.
El comportamiento de estos fluidos en un reograma se observaría de la siguiente forma:
τ μa
dr
du
Figura 2.- Reograma de un fluido pseudoplástico.
Fluidos dilatantes. En ellos la viscosidad aumenta al aumentar el gradiente de velocidad
τ μa
dr
du
Figura 3.- Reograma de un fluido dilatante
1
1
n
dr
duK
dr
du
n
a
a
A estos fluidos se les puede aplicar la ley de las potencias, pero en ellos n es siempre mayor de 1. La mayoría de los fluidos no-newtonianos que se encuentran en la industria alimentaria son pseudoplásticos. Fluidos Herschel-Bulkley. Estos fluidos son una mezcla de los fluidos Bingham y los pseudoplásticos. Es
decir requieren de un esfuerzo para comenzar a fluir, pero una vez que lo hacen su comportamiento se asemeja más a l de un fluido pseudoplático.
𝜏𝑥𝑦 = −𝑚 (𝑑𝑢𝑥
𝑑𝑦)𝑛
+ 𝜏𝐻
El modelo de Herschel-Bullkley contiene tres parámetros empíricos; m, n y 𝜏𝐻, que se obtienen ajustando los datos experimentales que definen el reograma de la sustancia. Fluidos Casson. El modelo de Casson es del tipo semiempírico, aunque su fundamento es teórico su extensión y aplicación se han empleado diversos tipos de suspensiones. La ecuación de Casson es del tipo visco plástico, es decir, tiene un esfuerzo límite τC y presenta la forma matemática siguiente:
√𝜏𝑥𝑦 = −𝜂𝐶√(𝑑𝑢𝑥
𝑑𝑦) + √𝜏𝑐
La ecuación anterior tiene dos parámetros constantes, cuyos valores se obtienen de forma experimental. Este modelo se usa para describir el comportamiento del alimentos y materiales biológicos tales como: la sangre, el yogurt, el puré de tomate, el chocolate fundido, etc. así como el comportamiento de algunas suspensiones y líquidos de formas farmacéuticas. Fluidos dependientes del tiempo. También dentro de los no-newtonianos tenemos los fluidos reopécticos y los
tixotrópicos, que a diferencia de los demás, su comportamiento depende del esfuerzo cortante aplicado con el tiempo.
Tixotrópico
dr
du Reopéctico
Tiempo
Figura 4.- Reograma de fluidos reopécticos y tixotrópicos. Los fluidos reopécticos muestran un incremento de la viscosidad aparente respecto al tiempo. Son ejemplo de ello algunos coloides, soles, arcillas, bentonitas y suspensiones de yeso. Los fluidos tixotrópicos muestran una disminución de la viscosidad aparente con el tiempo, como ejemplo tenemos a las pinturas y la salsa cátsup. En la práctica se encuentran combinaciones de varios comportamientos. Viscosímetros. La viscosidad de los fluidos no newtonianos no se encuentra reportada en la literatura
por lo que debe obtenerse experimentalmente mediante el empleo de aparatos llamados
viscosímetros. Entre los más empleados están:
Figura 5.- Viscosímetro Brookfield.
Figura 6.- Reómetro de Stormer.
Viscosímetro rotacional Brookfield.
Los viscosímetros rotacionales son útiles en un amplio intervalo de viscosidades y
particularmente son valiosos para el estudio de sistemas no newtonianos. Normalmente
se emplean en el campo superior a los 50 poises.
.Los viscosímetros de rotación emplean la idea de que la fuerza requerida para rotar un
objeto inmerso en un fluido puede indicar la viscosidad del fluido. El más común de los
viscosímetros de rotación son los del tipo Brookfield que determina la fuerza requerida
para rotar un disco o cilindro en un fluido a una velocidad conocida. El viscosímetro
rotacional está compuesto de: cilindro
giratorio, cilindro estacionario (bob),
resorte de restitución, dial de lectura
directa, un sistema de engranaje y perillas
para el cambio de velocidades y un vaso
contenedor de muestra de fluido.
Son instrumentos de medición y control de
viscosidad, indispensables en el control
de calidad de innumerables productos.
Todos se suministran con certificado de
fábrica, juego de agujas, instructivo,
estuche y soporte. Todos los
viscosímetros Brookfield utilizan el
conocido principio de la viscosimetria
rotacional; miden la viscosidad captando el par de torsión necesario para hacer girar a
velocidad constante un husillo inmerso en la muestra de fluido. El par de torsión es
proporcional a la resistencia viscosa sobre el eje sumergido, y en consecuencia, a la
viscosidad del fluido.
Si el cilindro interior rota dentro del líquido a ciertas revoluciones por minuto (RPM) a este
movimiento se opone una fuerza que actúa sobre las paredes del cilindro.
𝐹 =𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
𝑅
Y el esfuerzo cortante sobre el cilindro es:
𝜏𝑤=𝑇
𝑅×
1
2𝜋𝑅𝐿=
𝑇
2𝜋𝐿𝑅2
El esfuerzo cortante o flujo de momentum está relacionado con la viscosidad por:
𝜏𝑊 = −𝜇𝜴 = 𝟐𝝅(𝑹𝑷𝑴)
Caídas de presión a régimen laminar par fluido Bingham.
El modelo de fluido Bingham puedes ser representado en términos de esfuerzos cortantes
(τ) contra velocidad cortante.
(𝛾) , o como viscosidad aparente (μa)contra velocidad de corte.
𝜏 = 𝜏𝑜 + 𝜇𝛾
𝜇𝑎 =𝜏
𝛾=
𝜏𝑜
𝛾+ 𝜇
La viscosidad absoluta se aproxima a la viscosidad aparente conforme se va
incrementando la velocidad de corte., de manera que un fluido Bigham se comporta como
un fluido newtoniano a altas velocidades.
Las pérdidas por fricción que causa el paso de estos fluidos por el interior de tuberías se
puede calcular por:
∑𝐹
𝑀=2𝑓𝐵𝐿
𝑢2
𝐷L
Para encontrar el factor de fricción Bingham a régimen laminar se puede usar la
expresión:
𝑓𝐵𝐿 =16
𝑅𝑒[1 +
𝑁𝐻𝑒
6 𝑅𝑒−
𝑁𝐻𝑒4
3𝑓𝐵𝐿3 𝐿𝑅𝑒7
]
En donde Re es el número de Reynolds, NHe es el número de Hedstrom. El factor de
fricción de Bingham para flujo laminar fBL está implícito y debe resolverse por iteraciones,
pero como el último término de la ecuación es normalmente pequeño, el valor de fBL
obtenido por omisión de este término es un buen punto para empezar la solución iterativa.
𝑁𝐻𝐸 =𝜌 𝜏𝑜𝐷
2
𝜇𝑎2
Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa
Problema 1.
Un fluido Bingham fluye a razón de 0.00158 m3/s por un ducto de 0.0348 m de diámetro
interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m3 y un τo = 157, una viscosidad aparente
de 0.05 P-s. ¿Cuál será la caída de presión por metro de tubo?
1.- Planteamiento.
1.1.- Caída de presión.
∑𝐹
𝑀=2𝑓𝐵𝐿
𝑢2
𝐷L
En donde:
𝑓𝐵𝐿 =16
𝑅𝑒[1 +
𝑁𝐻𝑒
6 𝑅𝑒−
𝑁𝐻𝑒4
3𝑓𝐵𝐿3 𝑅𝑒7
]
𝑁𝐻𝐸 =𝜌 𝜏𝑜𝐷
2
𝜇𝑎2
ReB= 4 Ca ρ/πDμa
2.- Cálculos.
2.1.- Velocidad.
𝑢 =0.00158
0.785(0.0348)2= 1.66
𝑚
𝑠
2.2.- Número de Reynolds.
𝑅𝑒 =4𝐶𝑎𝜌
𝜋𝐷𝜇𝑎
=4 × 0.00158 × 1250
𝜋 × 0.0348 × 0.05= 1445
2.3.- Número de Hedstrom.
𝑁𝐻𝐸 =𝜌 𝜏𝑜𝐷2
𝜇𝑎2 =
1250×(0.0348)2157
(0.05)2= 95066
2.4.- factor de fricción
Despreciando el último término.
𝑓𝐵𝐿 =16
𝑅𝑒[1 +
𝑁𝐻𝑒
6 𝑅𝑒] =
16
1445[1 +
95066
6 × 1445] = 0.1324
Colocando este valor en la ecuación:
𝑓𝐵𝐿 =16
𝑅𝑒[1 +
𝑁𝐻𝑒
6 𝑅𝑒−
𝑁𝐻𝑒4
3𝑓𝐵𝐿3 𝑅𝑒7
]=16
1445[1 +
95066
6×1445−
(95066)4
3(0.1324)3(1)(1445)7] = 0.1232
2.5.- Pérdidas por fricción.
∑𝐹
𝑀=2𝑓𝐵𝐿
𝑢2
𝐷L=2 × 0.1232 ×
(1.66)2
0.0348× 1 = 19.51
𝐽
𝑘𝑔
2.6.- Caída de presión.
∆𝑃 = 19.51𝐽
𝑘𝑔× 1250
𝑘𝑔
𝑚3= 24388𝑃𝑎 = 0.25
𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑐𝑚2
3.- Resultado. Se espera una caída de presión de 0.25 kg / cm2 por cada metro de tubo.
Caídas de presión a régimen turbulento para fluidos Bingham.
Las caídas de presión a régimen turbulento para los fluidos Bingham se calculan por
medio de la ecuación:
∆𝑃 = 2𝑓𝐵𝑢2𝜌
𝐷
En donde fB = es el factor de fricción de Bingham que se calcula por medio de:
𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿𝑚 + 𝑓𝐵𝑇
𝑚)1𝑚
Siendo m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵
Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa
En donde fBT es el factor de Bingham turbulento.
𝑓𝐵𝑇 = 10𝑎 𝑅𝑒−0.193
Y el factor 𝑎 = −1.378(1 + 0.146 exp(−2.9 × 10−5 𝑁𝐻𝐸
NHE es el número de Hedstrom.
𝑁𝐻𝐸 =𝜌 𝜏𝑜𝐷
2
𝜇𝑎2
El factor fBL es el factor de Bingham laminar
𝑓𝐵𝐿 =16
𝑅𝑒[1 +
𝑁𝐻𝐸
6 𝑅𝑒−
(𝑁𝐻𝐸)4
3(𝑓𝐵𝐿)3(𝑅𝑒)7]
Ejemplo 2.
Una pasta se bombea a través de una línea de tubería cuyo diámetro interno es de 0.4413
m con un caudal de 400 m3/h. El fluido se comporta como un fluido Bingham con las
siguientes propiedades (a la temperatura de operación): τo = 2 N /m2; μa = 0.03 Pa-s;
ρ=1500 kg /m3 ¿Cuál es el factor de fricción para este sistema y cuál es la caída de
presión esperada por metro de tubo?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Caída de presión.
Para flujo turbulento y fluido Bingham.
∆𝑃 = 2𝑓𝐵𝑢2𝜌
𝐷
𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿𝑚 + 𝑓𝐵𝑇
𝑚)1𝑚
Siendo m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵
3.- Cálculos.
3.1.- Reynolds.
𝑅𝑒 =𝐶𝑎 4𝜌
𝜋𝐷 𝜇𝑎
=400 × 4 × 1500
3600 × 𝜋 × (0.4413) × 0.03= 16030
3.2.- Número de Hedstrom.
𝑁𝐻𝐸 =𝜌𝜏𝑜𝐷
2
𝜇𝑎2
=1500 × 2 × (0.4413)2
0.032= 649200
3.3.- Factor laminar.
Sustituyendo los valores en la ecuación del factor laminar de Bingham y resolviendo por
tanteos encontramos que:
𝑓𝐵𝐿 =16
𝑅𝑒[1 +
𝑁𝐻𝐸
6 𝑅𝑒−
(𝑁𝐻𝐸)4
3(𝑓𝐵𝐿)3(𝑅𝑒)7]
𝑓𝐵𝐿 = 0.007138
3.4.- Factor turbulento.
Factor 𝑎 = −1.378(1 + 0.146 exp(−2.9 × 10−5 𝑁𝐻𝐸)=-1.378
𝑓𝐵𝑇 = 10𝑎 𝑅𝑒−0.193
𝑓𝐵𝑇 = 10−1.378(16030)−0.193 = 0.006463
3.5.- Factor de fricción total.
𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿𝑚 + 𝑓𝐵𝑇
𝑚)1𝑚
m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵
𝑚 = 1.7 +40000
16030=4.2
𝑓𝐵=((0.007138)4.2 + (0.006463)4.2)1
4.2 =0.00805
3.6.- Caída de presión.
𝑢 =400
3600 × 0.785 × (0.4413)2= 0.7268
𝑚
𝑠
∆𝑃 = 2𝑓𝐵𝑢2𝜌
𝐷=2 × 0.00805
(0.7268)2×1500
0.4413= 28.9
𝑃𝑎
𝑚
4.- Resultado.
La caída de presión esperada es de 28.9 Pascales por cada metro de tubería.
Fluidos que siguen la ley de las potencias.
Debido a la alta viscosidad de los fluidos no-newtonianos, la mayoría del transporte por
tuberías se hace a flujo laminar. A flujo laminar se puede emplear la ecuación de Hagen y
Poiseuille.
R
P1
P2
L
Si por un ducto de longitud L y diámetro R fluye un fluido a régimen laminar entonces:
∆𝑃 𝐴 = 𝜏𝑤 𝑆
Y por lo tanto:
∆𝑃𝜋𝑟2 = 𝜏𝑤2𝜋𝑟𝐿
Y entonces resulta que:
𝜏𝑤 =∆𝑃𝑟
2𝐿=
∆𝑃𝐷
4𝐿 (1)
A flujo laminar la velocidad media está dada por:
𝑢𝑚 =∆𝑃𝐷2
32𝐿𝜇 (2) Hagen-Poiseuille . Pero de (1):
∆𝑃 =𝜏𝑤
𝐷4𝐿 (3 )
Sustituyendo (3) en (2)
𝑢𝑚 =𝜏𝑤4𝐿𝐷2
𝐷32𝐿𝜇=
𝜏𝑤
8𝜇𝐷 (4)
Y entonces:
𝜏𝑤 = 𝜇 (8𝑢𝑚
𝐷) (5)
Comparando esto con la ecuación de Newton.
𝜏𝑤 = −𝜇 𝑑𝑢
𝑑𝑟
Se observa que la rapidez de corte es :−𝑑𝑢
𝑑𝑟=
8𝑢𝑚
𝐷 (6)
Entonces la ecuación de Newton se puede reescribir como:
∆𝑃𝐷
4𝐿= 𝜇 (
8𝑢𝑚
𝐷) (7)
Para los fluidos no –newtonianos esa ecuación se puede reescribir como:
∆𝑃𝐷
4𝐿= 𝜇𝑎 (
8𝑢𝑚
𝐷)
En donde 𝜇𝑎 es la viscosidad aparente o sea la que presenta el fluido a una velocidad
determinada.
Para los fluidos no-newtonianos que siguen la ley de las potencias, la ecuación de Newton
se puede reescribir como:
n
D
uK
L
PD
8
4
Siendo
18
n
aD
uK
u = velocidad promedio
D = diámetro de la tubería
ΔP = caída de presión
L = longitud
μa= viscosidad aparente
Ejemplo 3.
En un aparato parecido al mostrado se obtuvieron los siguientes datos para un fluido no
newtoniano que tiene una densidad de 1015 kg / m3.
Caudal en galones /min Caída de presión en libras sobre pulgada
cuadrada
0.3911 1.35
1.57 2.59
1.87 3.09
2.035 3.2
2.16 3.3
2.33 3.55
Obtenga los valores de n y K para el fluido.
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación de flujo.
Para un fluido que sigue el modelo de las potencias
n
D
uK
L
PD
8
4
3.- Cálculos.
3.1.- Caudales y velocidades.
DI = 0.0127 m A = 1.266 x 10-4 m2
s
m
sl
m
gal
lgalCa
35
3
10467.260
min
1000
785.3
min3911.0
s
m
A
Cau 1948.0
Procediendo de la misma manera con los demás datos se obtiene la siguiente tabla:
Ca en 5
3
10s
m
U en m/s
2.467 0.1948
9.9 0.7819
11.79 0.9312
12.83 1.0134
13.62 1.0758
14.69 1.1603
3.2.- Caídas de presión
222
2
246.9319
)0254.0(
81.9454.035.1
m
N
m
in
gk
N
lb
gk
in
blP
Procediendo de la misma forma con las demás presiones se puede obtener la siguiente
tabla:
2m
NP
ΔP en psi
9319.46 1.35
17879.5 2.59
21331.29 3.09
22090.5 3.2
22780.98 3.3
24506.82 3.55
3.3.- Datos de L
PD
4
y de
D
u8
sD
u
m
N
L
PD
17.122
0127.0
1948.088
58.2914
0127.046.9319
4 2
L
PD
4
D
u8
29.58 122.7
56.76 492.5
67.72 586.5
8
70.13 638.3
6
72.32 677.6
6
77.8 730.8
9
3.3.- Obtención de los parámetros de flujo.
De la ecuación:
n
D
uK
L
PD
8
4 Se obtiene que:
D
unK
L
PD 8loglog
4log
Esto indica que si los datos se grafican en papel logarítmico se debe obtener una
línea recta con pendiente n y ordenada al origen K.
De la gráfica se obtiene que:
5606.0225log335log
40log50log
n
log 50 =log K + 0.5606 log 335
K = 1.92035 ns
m
N2
4.- Resultados. El valor de n es de 0.5606 y el de K de 1.92035 ns
m
N2
Reynolds generalizado.
Para un fluido que se mueve a régimen laminar
n
D
u
D
LKP
84
Para asegurarse de que flujo es laminar debe obtenerse el número de Reynolds
generalizado definido por:
K
uDN
n
nn
zogeneralida 1
2
Re8
Ejemplo 4.
Un fluido sigue la ley exponencial y tiene una densidad de 1041 kg / m3. El fluido se
mueve a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interior a una
velocidad media de 0.0728 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son K = 15.23 N sn
/ m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas de presión.
1.- Diagrama de flujo.
L = 14.9 m ; D =0.0524 m; u =0.0728 m /s ; ΔP=?
2.- Planteamiento.
2.1.- Caída de presión si el flujo es laminar.
n
D
u
D
LKP
84
2.2.- Reynolds generalizado.
K
uDN
n
nn
zogeneralida 1
2
Re8
3.- Cálculos.
3.1.- Reynolds generalizado.
K
uDN
n
nn
zogeneralida 1
2
Re8
= 106.1)23.15()8(
)1041()0728.0()0524.0(6.0
6.14.0
El flujo es laminar.
3.2.- Caída de presión.
n
D
u
D
LKP
84=
2
4.0
453900524.0
0728.08
0524.0
)9.14)(4)(23.15(
m
N
ΔP=45390Pa=0.449 atm =0.4642 kg / cm2
4.- Resultado. La caída de presión es de 0.4642 kg / cm2.
Flujo turbulento en fluidos no newtonianos que siguen la ley de las potencias.
En el caso de fluidos no newtonianos que se mueven en régimen turbulento se utiliza la
ecuación siguiente para obtener las caídas de presión por fricción:
gcD
LufP
24
2
Donde f es el factor de fricción de Fanning, que es función del Reynolds generalizado y
de n. El valor de f puede obtenerse mediante la gráfica:
K
uDN
n
nn
zogeneralida 1
2
Re8
Figura 7.- Gráfica del Reynolds generalizado contra el factor de fricción.
Esa grafica se utiliza para tubos lisos. Cuando se tienen tuberías comerciales rugosas se
puede utilizar la gráfica de Moody, siempre y cuando se emplee el Reynolds generalizado
para obtener el factor de fricción.
Ejemplo 5.
Un puré se bombea isotérmicamente a través del sistema mostrado. ¿Cuáles serán las
pérdidas por fricción? La temperatura es constante e igual a 15 ° C. ¿Cuál es el trabajo
de la bomba si la eficiencia de esta es del 70%? El gasto másico es de 2000 kg / h. Datos
del fluidos: densidad 1100 kg / m3, K = 0.18 N s / m2, n = 0.645. La presión en el tanque
inicial es la atmosférica. La presión final de descarga es de 20 psig
1.- Diagrama de flujo.
1m
1
3 2 m 5 m
1 “ 3/4 “ 1 m
2
P2= 20 psig
2.- Planteamiento.
2.1.- Bernoulli
M
F
gc
gz
gc
uP
2
2
Para fluidos no newtonianos
K
uDN
n
nn
zogeneralida 1
2
Re8
2.- Cálculos.
2.1.- Velocidades
En la línea de 1 “
242 10065.54
)0254.01( mA
Caudal =s
m
s
h
kg
m
h
kgCa
34
3
1005.53600
1
11002000
s
mu 1
10065.5
1005.54
4
En la línea de ¾ de pulgada
242 10849.24
)0254.075.0( mA
s
mu 77.1
10849.2
1005.54
4
3.2.- Reynolds en las líneas
En la línea de una pulgada
K
uDN
n
nn
zogeneralida 1
2
Re8
1645.0
645.02645.0
)8(18.0
)1100()1()0254.0(1198
En la línea de tres cuartos.
K
uDN
n
nn
zogeneralida 1
2
Re8
1645.0
355.1645.0
)8(18.0
)1100()77.1()01905.0(
=2169
3.3.- Factores de fricción
Del diagrama
Para la línea de 1 pulgada ff =0.0133, fD =0.0532
Para la línea de 3/ 4 ff =0.00737; fD = 0.0245
3.4.- Pérdidas por fricción
En la línea de 1 pulgada
kg
gmk
M
F
2135.0)0254.0)(81.9(2
)2()1(0532.0
2
En la línea de tres cuartos
kg
gmk
M
F
232.1)01905.0)(81.9(2
)6()77.1(0245.0
2
Pérdidas totales por fricción
kg
gmk
M
F
445.1
3.5.- Energía de presión
kg
gmk
kg
m
matm
gk
in
bl
atm
in
blP
78.1211001
10333
7.14
120
3
2
2
2
3.5.- Energía cinética
kg
gmk
gc
uuEc
1596.0)81.9(2
)77.1(
2
22
1
2
2
3.6.- Energía potencial
kg
gmkEp
3
3.7.- Bernoulli
M
Po 445.178.121596.03
-Po / M = 11.38 kgm / kg
3.8.- Potencia
s
gmk
s
h
h
kg
kg
gmkPo
324.63600
1200038.11
HPPo 12.0)7.0(75
32.6
4.- Resultado. Las pérdidas por fricción son de 1.445 kgm / kg. La potencia requerida es
de 0.12 HP.
Perdidas por fricción por accesorios y válvulas en flujos no newtonianos. Un fluido que se desplaza a través de una tubería, presenta pérdidas por fricción que se originan por la fricción contra las paredes, por los cambios de dirección, por accesorios tales como válvulas, codos, expansiones, etc. Para el manejo de fluidos no newtonianos que con valores de números de Reynolds mayores a 500, la caída de presión por accesorios se calcularía como:
∆𝑃
𝜌=
∑𝐹
𝑀=K
𝑢2
2𝑔𝑐
En donde K se obtiene de tablas. Para fluidos no newtonianos que circulan a Reynolds menores de 500, los factores K se calculan mediante la expresión:
𝐾𝑁 =500𝐾
𝑅𝑒
Problema 6. En el sistema de flujo mostrado, el diámetro de la línea de hierro forjado es de 0.0348 m. El fluido no newtoniano se desplaza a 1.66 m/s y tiene una densidad de 1250 kg /m3, una K de 5.2Pa sn y n=0.45. Calcular la potencia de la bomba si su eficiencia es del 80%. El filtro presente en el sistema presenta una caída de presión de 100 kPa.
1.- Planteamiento. Para obtener la potencia de la bomba se debe efectuar un Bernoulli. 1.1.- Ec. De Bernoulli
∆𝑢2
2𝑔𝑐+ ∆𝑍
𝑔
𝑔𝑐+
∆𝑃
𝜌= −
∑𝐹
𝑀−
𝜏
𝑀
Para el caso propuesto ΔU =0 y ΔP=0 Por lo tanto:
∆𝑍𝑔
𝑔𝑐= −
∑𝐹
𝑀−
𝜏
𝑀
2.- Cálculos. 2.1.- Número de Reynolds generalizado.
𝑅𝑒𝑔 =𝜌 𝐷𝑛𝑢2−𝑛
𝐾 8𝑛−1=
1250 × (1.66)2−0.45 × (0.0348)0.45
5.2 × 80.45−1= 384
Por lo tanto ff = 16 /Re = 0.0494. 2.2.- Pérdidas por accesorios. Dado que el fluido se desplaza a régimen laminar a través de las tuberías, para determinar el factor K y así evaluar las pérdidas por accesorios se aplica la ecuación:
𝐾𝑁 =500𝐾
𝑅𝑒
𝐾𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 =500𝐾
𝑅𝑒=
500
384(0.5) = 0.65
𝐾𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 =500 × 7
384= 9.11
𝐾𝑐𝑜𝑑𝑜 =500 × 0.4
384= 0.52
2.3.- Pérdidas por fricción. Por tubo
∑𝐹
𝑀= 0.0494
2×(1.66)2
9.81×0.0348× 12=4.785
𝑘𝑔𝑚
𝑘𝑔
Por accesorios:
∑𝐹
𝑀=
(1.66)2
2 × 9.81(0.65 + 9.11 + 3 × 0.52)) = 1.58
𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑘𝑔
2.4.- Pérdidas en el filtro. ∑𝐹
𝑀=
100 000
9.81 × 1250= 8.15
𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑘𝑔
2.4.- Bernoulli.
(4.5 − 2)9.81
9.81= −4.785 − 1.58 − 8.15 −
𝜏
𝑚
𝜏
𝑀= −17.015
𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑘𝑔
2.5.- Potencia de la bomba. Masa de fluido = 1.66X 1250 X 0.785 X (0.0348)2=1.97 kg /s
𝒫𝐻 = 17.015 𝑋 1.97 = 33.56
𝒫𝐵 =33.56
0.8 41.95
𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑠= 0.6 𝐻𝑃.
3.- Resultado. Se necesita una bomba de ¾ de caballo. Cálculo de pérdidas de presión en Fluidos Bingham pseudopláticos. Estos fluidos también llamados de Herschel-Bulkley tienen un comportamiento en los reoagramas parecidos al siguiente:
La ecuación que define a estos fluidos se puede poner como:
𝜏 = 𝜏𝑜 + K γn La caída de presión para estos fluidos se puede obtener por:
∆𝑃 =2𝑓𝐻𝐵𝐿𝑢2
𝐷𝜌
En donde:
𝑓𝐻𝐵 =16
𝑅𝑒𝛹 factor de fricción de Herschel
El número de Reynolds para estos fluidos está definido por:
𝑅𝑒 =𝜌 𝐷𝑛𝑢2−𝑛
8𝑛−1𝐾[
4𝑛
1 + 3𝑛]𝑛
También se suele utilizar el número de Reynolds como:
𝑅𝑒 = 2 𝐻𝑒 [𝑛
1 + 3𝑛]2
[𝛹
𝜉𝑜]
2𝑛−1
En donde He es el número de Hedstrom generalizado.
𝐻𝑒 =𝜌 𝐷2
𝐾[𝜏𝑜
𝐾]
2𝑛−1
𝛹 = (1 + 3𝑛)𝑛(1 − 𝜉𝑜)1+𝑛𝜙
Φ=[(1−𝜉𝑜)2
(1+3𝜉𝑜)+
2𝜉𝑜(1−𝜉𝑜)
(1+2𝑛)+
𝜉𝑜2
(1+𝑛)]𝑛
𝜉𝑜 =2𝜏𝑜
𝜌𝑢2𝑓𝐻𝐵
=𝜏𝑜
𝜏𝑤
Para obtener el factor de Herschel-Bulkley se debe estimar ξ mediante iteraciones. Problema 7. Un fluido Herschel-Bulkley fleye a razón de 0.00158 m37s por un ducto de 0.0348 m de diámetro interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m3 , un τo = 157 , n = 0.45 , K = 5.2 Pa-s. ¿Cuál será la caída de presión que experimentará el flujo de ese fluido por metro de tubo? 1.- Traducción.
2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión.
∆𝑃 =2𝑓𝐻𝐵𝐿𝑢2
𝐷𝜌
En donde:
𝑓𝐻𝐵 =16
𝑅𝑒𝛹 factor de fricción de Herschel
3.- Cálculos. 3.1.- Velocidad.
𝑢 =0.00158
0.785(0.0348)2= 1.66
𝑚
𝑠
3.2.- Reynolds.
𝑅𝑒 =(0.0348)0.45(1.66)2−0.45 × 1250
(8)0.45−1(5.2)= 323.81
3.3.- Número de Hedstrom.
𝐻𝑒 = [(0.0348)2(1250)
5.2] [
157
5.2]
20.45
−1
= 36430
3.4.- Factores ξ y Ψ Para obtener estos factores se deben hacer tanteos. Si ξ =0.75 , Ψ =0.1602 y ξ calculada = 0.29958 Si ξ = 0.585
𝛹 = (1 + 3(0.45))0.45
(1 − 0.5)1+0.45 [(1 − 0.585)2
(1 + 3(0.45))+
2(0.585)(1 − 0.585)
(1 + 2(0.45)+
(0.585)2
1 + 0.45]
0.45
= 0.3247
Por lo tanto 323.81 = 2 X 36430[0.45
1+3(0.45)]2
[0.3247
𝜉]
2
0.45−1
Despejando ξ =0.599 Por lo tanto :
𝑓𝐻𝐵 =16
0.3247(323.81)= 0.156
3.4.- Caída de presión.
∆𝑃 = 20.156 × 1 × 1250 × (1.66)2
0.0348= 30881𝑃𝑎 = 3148
𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑚2= 0.31479
𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑐𝑚2
4.- Resultado. La caída de presión es de 30 881 Pa. Manejo de suspensiones y emulsiones. Cuando se bombean a través de una tubería horizontal las emulsiones y las suspensiones de sólidos con líquidos hay una tendencia a la separación o al asentamiento a menos que la velocidad de flujo se mantenga por arriba de un valor mínimo. En el caso de las emulsiones la separación de las fases se puede prever manteniendo la velocidad lo suficientemente alta para asegurar el flujo turbulento (Re >> 4000). En el caso de las suspensiones sólido-líquido hay dos velocidades de importancia. La velocidad mínima, que es aquella por debajo de la cual los sólidos se asientan y la velocidad a la cual los sólidos se mantienen dispersos o velocidad estándar. Para partículas no floculantes con diámetros medios entre 0.05 y 0.5 mm se tiene que:
633.0816.0
m
mS DDpgKV
K=74.5 x 10-3 para la velocidad estándar. K= 25.3 x 10-3 para la velocidad mínima.
m Densidad media de la suspensión.
)1( VSVm xx
En donde xV= fracción volumétrica de los sólidos en suspensión. μm = viscosidad de la suspensión (generalmente se toma la del líquido). ρS = densidad del sólido. = densidad del líquido. V= velocidad.
Dp = diámetro medio de las partículas. D = diámetro del tubo, g = aceleración de la gravedad. La caída de presión en estos casos se puede obtener mediante:
75.02
min
5.1
2121
'
S
SV
Dpg
u
V
Dgx
P
PP
ΔP= caída de presión como si pasara agua pura a la velocidad V. ΔP’=caída de presión de la suspensión que se mueve a la velocidad V. Umin = velocidad mínima. Problemas sugeridos de autoevaluación 1.- Un fluido con una velocidad de 0.3 m/s fluye a través de una tubería de 1.5 pulgadas de diámetro interno. En la tubería hay 30 m de tubo liso, una válvula de globo, 3 codos rectos y una descarga. ¿Cuál será la caída de presión en la línea? Datos: n=0.7, K=0.3 N sn/m2; densidad = 1200 kg /m3. R.-La caída de presión es de 2683 kg/m2. 2.- ¿Cuál será la caída de presión en 150 m de tubo de 1.5 pulgadas de acero inoxidable y liso por el que circula un fluido no –newtoniano con los siguientes parámetros: n= 0.85; K = 0.015 lbsn/ft2 y una densidad de 963 kg /m3, si el caudal es de 275 litros /minuto? R.- La caída de presión es de 274572 kg /m2. 3.- En un viscosímetro de cilindros concéntricos se investigó el comportamiento reológico a 20°C de una solución acuosa de un fluido obteniéndose los siguientes resultados:
Τ N/m2 3.36 4.36 5.94 7.59 9.48 14.56 19.24 23.67
du/dr s-1
7.33 9.67 13.94 18.72 24.63 43.55 69.93 84.5
¿De qué tipo de fluido se trata? Deduzca una expresión para su viscosidad aparente. R.- Se trata de un fluido no newtoniano seudoplástico. La viscosidad aparente está
dada por:𝜇𝑎 = 0.7002 (𝑑𝑢
𝑑𝑟)−0.1952
4.- Se va a bombear polietileno fundido a través de una tubería de acero de una pulgada cédula 40 a razón de 0.95 L /min. Calcule la caída de presión por unidad de longitud. Datos: n=0.49; densidad 939 kg /m3, K =329 N sn/m2. R.- la caída de presión es de 1.5 kg /cm2 por metro de tubo.
5.- Por una tubería lisa se transporta un fluido no-newtoniano con un Reynolds generalizado de 20 000 ¿Cuál será el valor del factor de fricción si K = 0.418 lb sn
/ft2 y n = 0.575? R.- El factor de fricción es de 0.0045. 6.- Se desea transportar jugo de manzanas a través del sistema mostrado. El flujo del jugo es de 0.65 kg /s y la temperatura de 15 ° C. Determine las pérdidas por fricción producidas y la potencia de la bomba si esta tiene una eficiencia del 70%. Datos del jugo: K =5 dinas/cm2 sn , densidad = 1.1 g /cm3, n = 0.645.
R.- La pérdidas por fricción son de 402 kgm /kg .Se requiere una bomba de 6 HP. 7.-Un fluido que obedece la ley exponencial y que tiene una densidad de 1041 kg / m3 fluye a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interno a una velocidad promedio de 0.0726 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son: K = 15.23 N sn/m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas por fricción. R.- la caída de presión es de 45 490 Pa, las pérdidas por fricción son de 43.6 J /kg. 8.- Un fluido pseudoplástico con 961 kg /m3 de densidad se desplaza a través de un tubo liso cuyo diámetro interno es de 0.0508 m a la velocidad de 6.1 m /s. Las propiedades del fluidos son: n =0.3; K = 2.744 N sn/m2. Calcule las pérdidas por fricción en un tubo de 30.5 m de largo. R.- La caída de presión es de 1.4 kg /cm2. 9.- ¿Cuál será la caída de presión en 100 m de tubo para un caudal de 100 L /min de CMC al 0.65% en agua que se transporta a través de una tubería de una pulgada de diámetro? Datos: n = 0.716; K = 0.00634 lb sn/ft2; densidad = 1000 kg /m3.
10.- ¿Cuál será la potencia de la bomba requerida para llevar puré de plátano desde un tanque a través de una tubería de media pulgada de diámetro interno y de 10 m de longitud equivalente? El nivel del puré en el tanque está a 6 m por arriba de la descarga del tanque. El flujo del puré es de 0.125 Kg /s. La descarga es a la atmósfera. Las propiedades del puré son: K= 60 (dinas/cm2) sn; densidad 977 kg /m3; n = 0.454. R.- La potencia teórica requerida es de 3.88 kgm /s. 11.-Una mezcla de chocolate fundido a 38 ° C se mueve por una tubería de 4 pulgadas a una velocidad de 0.7 m /s. El chocolate se comporta como un fluido Bingham con las propiedades siguientes: τ0 = 20 N / m2, μœ = 2 Pa.s; densidad = 1100 Kg /m3. ¿Cuál es el factor de fricción esperado para este sistema? R.- El factor de fricción es de 0.852.