Capítulo 13

Fluidos no newtonianos.

Fluidos no newtonianos.

Muchos líquidos y mezclas de líquidos y sólidos no obedecen a la ley de Newton

a esos fluidos se les llama no- newtonianos.

Figura.- Diferentes fluidos y su clasificación. La ley de Newton establece que:

𝜏𝑤 = −𝜇 𝑑𝑢

𝑑𝑟

En donde μ es la viscosidad absoluta; 𝜏𝑤 es el esfuerzo cortante en la pared y 𝑑𝑢

𝑑𝑟 es

la velocidad de corte. En un fluido que sigue la ley de Newton se observa que:

- du / dy Es decir que la viscosidad es constante a cualquier velocidad.

𝜇 =𝜏𝑤

−𝑑𝑢𝑑𝑟

Todos los gases y un buen número de fluidos siguen la ley de Newton. Existen sin embargo, muchos fluidos que no siguen ese comportamiento. Entre los fluidos no newtonianos que con más frecuencia se encuentran en la industria alimentaria están: Fluidos Bingha. Son aquellos que necesitan de un cierto esfuerzo para comenzar a fluir. Como ejemplo tenemos muchas de las pastas. Margarina, mezclas de chocolates, grasas, jabones, etc.

0 - du / dy

Figura 1.- Reograma de un fluido Bingham

Como se ve estos fluidos presentan la característica de que para que fluyan se necesita

aplicar un esfuerzo inicial sobre el material, llamado esfuerzo de cedencia, τ0.

La ecuación que representa el comportamiento de estos fluidos es:

dr

du 0

Fluidos seudoplásticos. Son aquellos en lo que la viscosidad decrece al aumentar la velocidad de corte. Como ejemplos tenemos las soluciones poliméricas de alto peso molecular, la pulpa de papel, la mayonesa, las pinturas y gran número de fluidos que se procesan en la industria alimentaria. La mayoría de los fluidos relacionados con la industria alimentaria presentan este

comportamiento, ya sea simple o ligado con el Bingham. La forma en que se comportan

estos fluidos puede representarse mediante la ecuación siguiente, llamada ecuación de

las potencias.

1

1

n

dr

duK

dr

du

n

a

a

Siendo μa la viscosidad aparente

n el índice de comportamiento del fluido

K el índice de consistencia.

El comportamiento de estos fluidos en un reograma se observaría de la siguiente forma:

τ μa

dr

du

Figura 2.- Reograma de un fluido pseudoplástico.

Fluidos dilatantes. En ellos la viscosidad aumenta al aumentar el gradiente de velocidad

τ μa

dr

du

Figura 3.- Reograma de un fluido dilatante

1

1

n

dr

duK

dr

du

n

a

a

A estos fluidos se les puede aplicar la ley de las potencias, pero en ellos n es siempre mayor de 1. La mayoría de los fluidos no-newtonianos que se encuentran en la industria alimentaria son pseudoplásticos. Fluidos Herschel-Bulkley. Estos fluidos son una mezcla de los fluidos Bingham y los pseudoplásticos. Es

decir requieren de un esfuerzo para comenzar a fluir, pero una vez que lo hacen su comportamiento se asemeja más a l de un fluido pseudoplático.

𝜏𝑥𝑦 = −𝑚 (𝑑𝑢𝑥

𝑑𝑦)𝑛

+ 𝜏𝐻

El modelo de Herschel-Bullkley contiene tres parámetros empíricos; m, n y 𝜏𝐻, que se obtienen ajustando los datos experimentales que definen el reograma de la sustancia. Fluidos Casson. El modelo de Casson es del tipo semiempírico, aunque su fundamento es teórico su extensión y aplicación se han empleado diversos tipos de suspensiones. La ecuación de Casson es del tipo visco plástico, es decir, tiene un esfuerzo límite τC y presenta la forma matemática siguiente:

√𝜏𝑥𝑦 = −𝜂𝐶√(𝑑𝑢𝑥

𝑑𝑦) + √𝜏𝑐

La ecuación anterior tiene dos parámetros constantes, cuyos valores se obtienen de forma experimental. Este modelo se usa para describir el comportamiento del alimentos y materiales biológicos tales como: la sangre, el yogurt, el puré de tomate, el chocolate fundido, etc. así como el comportamiento de algunas suspensiones y líquidos de formas farmacéuticas. Fluidos dependientes del tiempo. También dentro de los no-newtonianos tenemos los fluidos reopécticos y los

tixotrópicos, que a diferencia de los demás, su comportamiento depende del esfuerzo cortante aplicado con el tiempo.

Tixotrópico

dr

du Reopéctico

Tiempo

Figura 4.- Reograma de fluidos reopécticos y tixotrópicos. Los fluidos reopécticos muestran un incremento de la viscosidad aparente respecto al tiempo. Son ejemplo de ello algunos coloides, soles, arcillas, bentonitas y suspensiones de yeso. Los fluidos tixotrópicos muestran una disminución de la viscosidad aparente con el tiempo, como ejemplo tenemos a las pinturas y la salsa cátsup. En la práctica se encuentran combinaciones de varios comportamientos. Viscosímetros. La viscosidad de los fluidos no newtonianos no se encuentra reportada en la literatura

por lo que debe obtenerse experimentalmente mediante el empleo de aparatos llamados

viscosímetros. Entre los más empleados están:

Figura 5.- Viscosímetro Brookfield.

Figura 6.- Reómetro de Stormer.

Viscosímetro rotacional Brookfield.

Los viscosímetros rotacionales son útiles en un amplio intervalo de viscosidades y

particularmente son valiosos para el estudio de sistemas no newtonianos. Normalmente

se emplean en el campo superior a los 50 poises.

.Los viscosímetros de rotación emplean la idea de que la fuerza requerida para rotar un

objeto inmerso en un fluido puede indicar la viscosidad del fluido. El más común de los

viscosímetros de rotación son los del tipo Brookfield que determina la fuerza requerida

para rotar un disco o cilindro en un fluido a una velocidad conocida. El viscosímetro

rotacional está compuesto de: cilindro

giratorio, cilindro estacionario (bob),

resorte de restitución, dial de lectura

directa, un sistema de engranaje y perillas

para el cambio de velocidades y un vaso

contenedor de muestra de fluido.

Son instrumentos de medición y control de

viscosidad, indispensables en el control

de calidad de innumerables productos.

Todos se suministran con certificado de

fábrica, juego de agujas, instructivo,

estuche y soporte. Todos los

viscosímetros Brookfield utilizan el

conocido principio de la viscosimetria

rotacional; miden la viscosidad captando el par de torsión necesario para hacer girar a

velocidad constante un husillo inmerso en la muestra de fluido. El par de torsión es

proporcional a la resistencia viscosa sobre el eje sumergido, y en consecuencia, a la

viscosidad del fluido.

Si el cilindro interior rota dentro del líquido a ciertas revoluciones por minuto (RPM) a este

movimiento se opone una fuerza que actúa sobre las paredes del cilindro.

𝐹 =𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝑅

Y el esfuerzo cortante sobre el cilindro es:

𝜏𝑤=𝑇

𝑅×

1

2𝜋𝑅𝐿=

𝑇

2𝜋𝐿𝑅2

El esfuerzo cortante o flujo de momentum está relacionado con la viscosidad por:

𝜏𝑊 = −𝜇𝜴 = 𝟐𝝅(𝑹𝑷𝑴)

Caídas de presión a régimen laminar par fluido Bingham.

El modelo de fluido Bingham puedes ser representado en términos de esfuerzos cortantes

(τ) contra velocidad cortante.

(𝛾) , o como viscosidad aparente (μa)contra velocidad de corte.

𝜏 = 𝜏𝑜 + 𝜇𝛾

𝜇𝑎 =𝜏

𝛾=

𝜏𝑜

𝛾+ 𝜇

La viscosidad absoluta se aproxima a la viscosidad aparente conforme se va

incrementando la velocidad de corte., de manera que un fluido Bigham se comporta como

un fluido newtoniano a altas velocidades.

Las pérdidas por fricción que causa el paso de estos fluidos por el interior de tuberías se

puede calcular por:

∑𝐹

𝑀=2𝑓𝐵𝐿

𝑢2

𝐷L

Para encontrar el factor de fricción Bingham a régimen laminar se puede usar la

expresión:

𝑓𝐵𝐿 =16

𝑅𝑒[1 +

𝑁𝐻𝑒

6 𝑅𝑒−

𝑁𝐻𝑒4

3𝑓𝐵𝐿3 𝐿𝑅𝑒7

]

En donde Re es el número de Reynolds, NHe es el número de Hedstrom. El factor de

fricción de Bingham para flujo laminar fBL está implícito y debe resolverse por iteraciones,

pero como el último término de la ecuación es normalmente pequeño, el valor de fBL

obtenido por omisión de este término es un buen punto para empezar la solución iterativa.

𝑁𝐻𝐸 =𝜌 𝜏𝑜𝐷

2

𝜇𝑎2

Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa

Problema 1.

Un fluido Bingham fluye a razón de 0.00158 m3/s por un ducto de 0.0348 m de diámetro

interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m3 y un τo = 157, una viscosidad aparente

de 0.05 P-s. ¿Cuál será la caída de presión por metro de tubo?

1.- Planteamiento.

1.1.- Caída de presión.

∑𝐹

𝑀=2𝑓𝐵𝐿

𝑢2

𝐷L

En donde:

𝑓𝐵𝐿 =16

𝑅𝑒[1 +

𝑁𝐻𝑒

6 𝑅𝑒−

𝑁𝐻𝑒4

3𝑓𝐵𝐿3 𝑅𝑒7

]

𝑁𝐻𝐸 =𝜌 𝜏𝑜𝐷

2

𝜇𝑎2

ReB= 4 Ca ρ/πDμa

2.- Cálculos.

2.1.- Velocidad.

𝑢 =0.00158

0.785(0.0348)2= 1.66

𝑚

𝑠

2.2.- Número de Reynolds.

𝑅𝑒 =4𝐶𝑎𝜌

𝜋𝐷𝜇𝑎

=4 × 0.00158 × 1250

𝜋 × 0.0348 × 0.05= 1445

2.3.- Número de Hedstrom.

𝑁𝐻𝐸 =𝜌 𝜏𝑜𝐷2

𝜇𝑎2 =

1250×(0.0348)2157

(0.05)2= 95066

2.4.- factor de fricción

Despreciando el último término.

𝑓𝐵𝐿 =16

𝑅𝑒[1 +

𝑁𝐻𝑒

6 𝑅𝑒] =

16

1445[1 +

95066

6 × 1445] = 0.1324

Colocando este valor en la ecuación:

𝑓𝐵𝐿 =16

𝑅𝑒[1 +

𝑁𝐻𝑒

6 𝑅𝑒−

𝑁𝐻𝑒4

3𝑓𝐵𝐿3 𝑅𝑒7

]=16

1445[1 +

95066

6×1445−

(95066)4

3(0.1324)3(1)(1445)7] = 0.1232

2.5.- Pérdidas por fricción.

∑𝐹

𝑀=2𝑓𝐵𝐿

𝑢2

𝐷L=2 × 0.1232 ×

(1.66)2

0.0348× 1 = 19.51

𝐽

𝑘𝑔

2.6.- Caída de presión.

∆𝑃 = 19.51𝐽

𝑘𝑔× 1250

𝑘𝑔

𝑚3= 24388𝑃𝑎 = 0.25

𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑐𝑚2

3.- Resultado. Se espera una caída de presión de 0.25 kg / cm2 por cada metro de tubo.

Caídas de presión a régimen turbulento para fluidos Bingham.

Las caídas de presión a régimen turbulento para los fluidos Bingham se calculan por

medio de la ecuación:

∆𝑃 = 2𝑓𝐵𝑢2𝜌

𝐷

En donde fB = es el factor de fricción de Bingham que se calcula por medio de:

𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿𝑚 + 𝑓𝐵𝑇

𝑚)1𝑚

Siendo m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵

Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa

En donde fBT es el factor de Bingham turbulento.

𝑓𝐵𝑇 = 10𝑎 𝑅𝑒−0.193

Y el factor 𝑎 = −1.378(1 + 0.146 exp(−2.9 × 10−5 𝑁𝐻𝐸

NHE es el número de Hedstrom.

𝑁𝐻𝐸 =𝜌 𝜏𝑜𝐷

2

𝜇𝑎2

El factor fBL es el factor de Bingham laminar

𝑓𝐵𝐿 =16

𝑅𝑒[1 +

𝑁𝐻𝐸

6 𝑅𝑒−

(𝑁𝐻𝐸)4

3(𝑓𝐵𝐿)3(𝑅𝑒)7]

Ejemplo 2.

Una pasta se bombea a través de una línea de tubería cuyo diámetro interno es de 0.4413

m con un caudal de 400 m3/h. El fluido se comporta como un fluido Bingham con las

siguientes propiedades (a la temperatura de operación): τo = 2 N /m2; μa = 0.03 Pa-s;

ρ=1500 kg /m3 ¿Cuál es el factor de fricción para este sistema y cuál es la caída de

presión esperada por metro de tubo?

1.- Traducción.

2.- Planteamiento.

2.1.- Caída de presión.

Para flujo turbulento y fluido Bingham.

∆𝑃 = 2𝑓𝐵𝑢2𝜌

𝐷

𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿𝑚 + 𝑓𝐵𝑇

𝑚)1𝑚

Siendo m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵

3.- Cálculos.

3.1.- Reynolds.

𝑅𝑒 =𝐶𝑎 4𝜌

𝜋𝐷 𝜇𝑎

=400 × 4 × 1500

3600 × 𝜋 × (0.4413) × 0.03= 16030

3.2.- Número de Hedstrom.

𝑁𝐻𝐸 =𝜌𝜏𝑜𝐷

2

𝜇𝑎2

=1500 × 2 × (0.4413)2

0.032= 649200

3.3.- Factor laminar.

Sustituyendo los valores en la ecuación del factor laminar de Bingham y resolviendo por

tanteos encontramos que:

𝑓𝐵𝐿 =16

𝑅𝑒[1 +

𝑁𝐻𝐸

6 𝑅𝑒−

(𝑁𝐻𝐸)4

3(𝑓𝐵𝐿)3(𝑅𝑒)7]

𝑓𝐵𝐿 = 0.007138

3.4.- Factor turbulento.

Factor 𝑎 = −1.378(1 + 0.146 exp(−2.9 × 10−5 𝑁𝐻𝐸)=-1.378

𝑓𝐵𝑇 = 10𝑎 𝑅𝑒−0.193

𝑓𝐵𝑇 = 10−1.378(16030)−0.193 = 0.006463

3.5.- Factor de fricción total.

𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿𝑚 + 𝑓𝐵𝑇

𝑚)1𝑚

m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵

𝑚 = 1.7 +40000

16030=4.2

𝑓𝐵=((0.007138)4.2 + (0.006463)4.2)1

4.2 =0.00805

3.6.- Caída de presión.

𝑢 =400

3600 × 0.785 × (0.4413)2= 0.7268

𝑚

𝑠

∆𝑃 = 2𝑓𝐵𝑢2𝜌

𝐷=2 × 0.00805

(0.7268)2×1500

0.4413= 28.9

𝑃𝑎

𝑚

4.- Resultado.

La caída de presión esperada es de 28.9 Pascales por cada metro de tubería.

Fluidos que siguen la ley de las potencias.

Debido a la alta viscosidad de los fluidos no-newtonianos, la mayoría del transporte por

tuberías se hace a flujo laminar. A flujo laminar se puede emplear la ecuación de Hagen y

Poiseuille.

R

P1

P2

L

Si por un ducto de longitud L y diámetro R fluye un fluido a régimen laminar entonces:

∆𝑃 𝐴 = 𝜏𝑤 𝑆

Y por lo tanto:

∆𝑃𝜋𝑟2 = 𝜏𝑤2𝜋𝑟𝐿

Y entonces resulta que:

𝜏𝑤 =∆𝑃𝑟

2𝐿=

∆𝑃𝐷

4𝐿 (1)

A flujo laminar la velocidad media está dada por:

𝑢𝑚 =∆𝑃𝐷2

32𝐿𝜇 (2) Hagen-Poiseuille . Pero de (1):

∆𝑃 =𝜏𝑤

𝐷4𝐿 (3 )

Sustituyendo (3) en (2)

𝑢𝑚 =𝜏𝑤4𝐿𝐷2

𝐷32𝐿𝜇=

𝜏𝑤

8𝜇𝐷 (4)

Y entonces:

𝜏𝑤 = 𝜇 (8𝑢𝑚

𝐷) (5)

Comparando esto con la ecuación de Newton.

𝜏𝑤 = −𝜇 𝑑𝑢

𝑑𝑟

Se observa que la rapidez de corte es :−𝑑𝑢

𝑑𝑟=

8𝑢𝑚

𝐷 (6)

Entonces la ecuación de Newton se puede reescribir como:

∆𝑃𝐷

4𝐿= 𝜇 (

8𝑢𝑚

𝐷) (7)

Para los fluidos no –newtonianos esa ecuación se puede reescribir como:

∆𝑃𝐷

4𝐿= 𝜇𝑎 (

8𝑢𝑚

𝐷)

En donde 𝜇𝑎 es la viscosidad aparente o sea la que presenta el fluido a una velocidad

determinada.

Para los fluidos no-newtonianos que siguen la ley de las potencias, la ecuación de Newton

se puede reescribir como:

n

D

uK

L

PD

8

4

Siendo

18

n

aD

uK

u = velocidad promedio

D = diámetro de la tubería

ΔP = caída de presión

L = longitud

μa= viscosidad aparente

Ejemplo 3.

En un aparato parecido al mostrado se obtuvieron los siguientes datos para un fluido no

newtoniano que tiene una densidad de 1015 kg / m3.

Caudal en galones /min Caída de presión en libras sobre pulgada

cuadrada

0.3911 1.35

1.57 2.59

1.87 3.09

2.035 3.2

2.16 3.3

2.33 3.55

Obtenga los valores de n y K para el fluido.

2.- Planteamiento.

2.1.- Ecuación de flujo.

Para un fluido que sigue el modelo de las potencias

n

D

uK

L

PD

8

4

3.- Cálculos.

3.1.- Caudales y velocidades.

DI = 0.0127 m A = 1.266 x 10-4 m2

s

m

sl

m

gal

lgalCa

35

3

10467.260

min

1000

785.3

min3911.0

s

m

A

Cau 1948.0

Procediendo de la misma manera con los demás datos se obtiene la siguiente tabla:

Ca en 5

3

10s

m

U en m/s

2.467 0.1948

9.9 0.7819

11.79 0.9312

12.83 1.0134

13.62 1.0758

14.69 1.1603

3.2.- Caídas de presión

222

2

246.9319

)0254.0(

81.9454.035.1

m

N

m

in

gk

N

lb

gk

in

blP

Procediendo de la misma forma con las demás presiones se puede obtener la siguiente

tabla:

2m

NP

ΔP en psi

9319.46 1.35

17879.5 2.59

21331.29 3.09

22090.5 3.2

22780.98 3.3

24506.82 3.55

3.3.- Datos de L

PD

4

y de

D

u8

sD

u

m

N

L

PD

17.122

0127.0

1948.088

58.2914

0127.046.9319

4 2

L

PD

4

D

u8

29.58 122.7

56.76 492.5

67.72 586.5

8

70.13 638.3

6

72.32 677.6

6

77.8 730.8

9

3.3.- Obtención de los parámetros de flujo.

De la ecuación:

n

D

uK

L

PD

8

4 Se obtiene que:

D

unK

L

PD 8loglog

4log

Esto indica que si los datos se grafican en papel logarítmico se debe obtener una

línea recta con pendiente n y ordenada al origen K.

De la gráfica se obtiene que:

5606.0225log335log

40log50log

n

log 50 =log K + 0.5606 log 335

K = 1.92035 ns

m

N2

4.- Resultados. El valor de n es de 0.5606 y el de K de 1.92035 ns

m

N2

Reynolds generalizado.

Para un fluido que se mueve a régimen laminar

n

D

u

D

LKP

84

Para asegurarse de que flujo es laminar debe obtenerse el número de Reynolds

generalizado definido por:

K

uDN

n

nn

zogeneralida 1

2

Re8

Ejemplo 4.

Un fluido sigue la ley exponencial y tiene una densidad de 1041 kg / m3. El fluido se

mueve a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interior a una

velocidad media de 0.0728 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son K = 15.23 N sn

/ m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas de presión.

1.- Diagrama de flujo.

L = 14.9 m ; D =0.0524 m; u =0.0728 m /s ; ΔP=?

2.- Planteamiento.

2.1.- Caída de presión si el flujo es laminar.

n

D

u

D

LKP

84

2.2.- Reynolds generalizado.

K

uDN

n

nn

zogeneralida 1

2

Re8

3.- Cálculos.

3.1.- Reynolds generalizado.

K

uDN

n

nn

zogeneralida 1

2

Re8

= 106.1)23.15()8(

)1041()0728.0()0524.0(6.0

6.14.0

El flujo es laminar.

3.2.- Caída de presión.

n

D

u

D

LKP

84=

2

4.0

453900524.0

0728.08

0524.0

)9.14)(4)(23.15(

m

N

ΔP=45390Pa=0.449 atm =0.4642 kg / cm2

4.- Resultado. La caída de presión es de 0.4642 kg / cm2.

Flujo turbulento en fluidos no newtonianos que siguen la ley de las potencias.

En el caso de fluidos no newtonianos que se mueven en régimen turbulento se utiliza la

ecuación siguiente para obtener las caídas de presión por fricción:

gcD

LufP

24

2

Donde f es el factor de fricción de Fanning, que es función del Reynolds generalizado y

de n. El valor de f puede obtenerse mediante la gráfica:

K

uDN

n

nn

zogeneralida 1

2

Re8

Figura 7.- Gráfica del Reynolds generalizado contra el factor de fricción.

Esa grafica se utiliza para tubos lisos. Cuando se tienen tuberías comerciales rugosas se

puede utilizar la gráfica de Moody, siempre y cuando se emplee el Reynolds generalizado

para obtener el factor de fricción.

Ejemplo 5.

Un puré se bombea isotérmicamente a través del sistema mostrado. ¿Cuáles serán las

pérdidas por fricción? La temperatura es constante e igual a 15 ° C. ¿Cuál es el trabajo

de la bomba si la eficiencia de esta es del 70%? El gasto másico es de 2000 kg / h. Datos

del fluidos: densidad 1100 kg / m3, K = 0.18 N s / m2, n = 0.645. La presión en el tanque

inicial es la atmosférica. La presión final de descarga es de 20 psig

1.- Diagrama de flujo.

1m

1

3 2 m 5 m

1 “ 3/4 “ 1 m

2

P2= 20 psig

2.- Planteamiento.

2.1.- Bernoulli

M

F

gc

gz

gc

uP

2

2

Para fluidos no newtonianos

K

uDN

n

nn

zogeneralida 1

2

Re8

2.- Cálculos.

2.1.- Velocidades

En la línea de 1 “

242 10065.54

)0254.01( mA

Caudal =s

m

s

h

kg

m

h

kgCa

34

3

1005.53600

1

11002000

s

mu 1

10065.5

1005.54

4

En la línea de ¾ de pulgada

242 10849.24

)0254.075.0( mA

s

mu 77.1

10849.2

1005.54

4

3.2.- Reynolds en las líneas

En la línea de una pulgada

K

uDN

n

nn

zogeneralida 1

2

Re8

1645.0

645.02645.0

)8(18.0

)1100()1()0254.0(1198

En la línea de tres cuartos.

K

uDN

n

nn

zogeneralida 1

2

Re8

1645.0

355.1645.0

)8(18.0

)1100()77.1()01905.0(

=2169

3.3.- Factores de fricción

Del diagrama

Para la línea de 1 pulgada ff =0.0133, fD =0.0532

Para la línea de 3/ 4 ff =0.00737; fD = 0.0245

3.4.- Pérdidas por fricción

En la línea de 1 pulgada

kg

gmk

M

F

2135.0)0254.0)(81.9(2

)2()1(0532.0

2

En la línea de tres cuartos

kg

gmk

M

F

232.1)01905.0)(81.9(2

)6()77.1(0245.0

2

Pérdidas totales por fricción

kg

gmk

M

F

445.1

3.5.- Energía de presión

kg

gmk

kg

m

matm

gk

in

bl

atm

in

blP

78.1211001

10333

7.14

120

3

2

2

2

3.5.- Energía cinética

kg

gmk

gc

uuEc

1596.0)81.9(2

)77.1(

2

22

1

2

2

3.6.- Energía potencial

kg

gmkEp

3

3.7.- Bernoulli

M

Po 445.178.121596.03

-Po / M = 11.38 kgm / kg

3.8.- Potencia

s

gmk

s

h

h

kg

kg

gmkPo

324.63600

1200038.11

HPPo 12.0)7.0(75

32.6

4.- Resultado. Las pérdidas por fricción son de 1.445 kgm / kg. La potencia requerida es

de 0.12 HP.

Perdidas por fricción por accesorios y válvulas en flujos no newtonianos. Un fluido que se desplaza a través de una tubería, presenta pérdidas por fricción que se originan por la fricción contra las paredes, por los cambios de dirección, por accesorios tales como válvulas, codos, expansiones, etc. Para el manejo de fluidos no newtonianos que con valores de números de Reynolds mayores a 500, la caída de presión por accesorios se calcularía como:

∆𝑃

𝜌=

∑𝐹

𝑀=K

𝑢2

2𝑔𝑐

En donde K se obtiene de tablas. Para fluidos no newtonianos que circulan a Reynolds menores de 500, los factores K se calculan mediante la expresión:

𝐾𝑁 =500𝐾

𝑅𝑒

Problema 6. En el sistema de flujo mostrado, el diámetro de la línea de hierro forjado es de 0.0348 m. El fluido no newtoniano se desplaza a 1.66 m/s y tiene una densidad de 1250 kg /m3, una K de 5.2Pa sn y n=0.45. Calcular la potencia de la bomba si su eficiencia es del 80%. El filtro presente en el sistema presenta una caída de presión de 100 kPa.

1.- Planteamiento. Para obtener la potencia de la bomba se debe efectuar un Bernoulli. 1.1.- Ec. De Bernoulli

∆𝑢2

2𝑔𝑐+ ∆𝑍

𝑔

𝑔𝑐+

∆𝑃

𝜌= −

∑𝐹

𝑀−

𝜏

𝑀

Para el caso propuesto ΔU =0 y ΔP=0 Por lo tanto:

∆𝑍𝑔

𝑔𝑐= −

∑𝐹

𝑀−

𝜏

𝑀

2.- Cálculos. 2.1.- Número de Reynolds generalizado.

𝑅𝑒𝑔 =𝜌 𝐷𝑛𝑢2−𝑛

𝐾 8𝑛−1=

1250 × (1.66)2−0.45 × (0.0348)0.45

5.2 × 80.45−1= 384

Por lo tanto ff = 16 /Re = 0.0494. 2.2.- Pérdidas por accesorios. Dado que el fluido se desplaza a régimen laminar a través de las tuberías, para determinar el factor K y así evaluar las pérdidas por accesorios se aplica la ecuación:

𝐾𝑁 =500𝐾

𝑅𝑒

𝐾𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 =500𝐾

𝑅𝑒=

500

384(0.5) = 0.65

𝐾𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 =500 × 7

384= 9.11

𝐾𝑐𝑜𝑑𝑜 =500 × 0.4

384= 0.52

2.3.- Pérdidas por fricción. Por tubo

∑𝐹

𝑀= 0.0494

2×(1.66)2

9.81×0.0348× 12=4.785

𝑘𝑔𝑚

𝑘𝑔

Por accesorios:

∑𝐹

𝑀=

(1.66)2

2 × 9.81(0.65 + 9.11 + 3 × 0.52)) = 1.58

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

2.4.- Pérdidas en el filtro. ∑𝐹

𝑀=

100 000

9.81 × 1250= 8.15

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

2.4.- Bernoulli.

(4.5 − 2)9.81

9.81= −4.785 − 1.58 − 8.15 −

𝜏

𝑚

𝜏

𝑀= −17.015

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

2.5.- Potencia de la bomba. Masa de fluido = 1.66X 1250 X 0.785 X (0.0348)2=1.97 kg /s

𝒫𝐻 = 17.015 𝑋 1.97 = 33.56

𝒫𝐵 =33.56

0.8 41.95

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑠= 0.6 𝐻𝑃.

3.- Resultado. Se necesita una bomba de ¾ de caballo. Cálculo de pérdidas de presión en Fluidos Bingham pseudopláticos. Estos fluidos también llamados de Herschel-Bulkley tienen un comportamiento en los reoagramas parecidos al siguiente:

La ecuación que define a estos fluidos se puede poner como:

𝜏 = 𝜏𝑜 + K γn La caída de presión para estos fluidos se puede obtener por:

∆𝑃 =2𝑓𝐻𝐵𝐿𝑢2

𝐷𝜌

En donde:

𝑓𝐻𝐵 =16

𝑅𝑒𝛹 factor de fricción de Herschel

El número de Reynolds para estos fluidos está definido por:

𝑅𝑒 =𝜌 𝐷𝑛𝑢2−𝑛

8𝑛−1𝐾[

4𝑛

1 + 3𝑛]𝑛

También se suele utilizar el número de Reynolds como:

𝑅𝑒 = 2 𝐻𝑒 [𝑛

1 + 3𝑛]2

[𝛹

𝜉𝑜]

2𝑛−1

En donde He es el número de Hedstrom generalizado.

𝐻𝑒 =𝜌 𝐷2

𝐾[𝜏𝑜

𝐾]

2𝑛−1

𝛹 = (1 + 3𝑛)𝑛(1 − 𝜉𝑜)1+𝑛𝜙

Φ=[(1−𝜉𝑜)2

(1+3𝜉𝑜)+

2𝜉𝑜(1−𝜉𝑜)

(1+2𝑛)+

𝜉𝑜2

(1+𝑛)]𝑛

𝜉𝑜 =2𝜏𝑜

𝜌𝑢2𝑓𝐻𝐵

=𝜏𝑜

𝜏𝑤

Para obtener el factor de Herschel-Bulkley se debe estimar ξ mediante iteraciones. Problema 7. Un fluido Herschel-Bulkley fleye a razón de 0.00158 m37s por un ducto de 0.0348 m de diámetro interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m3 , un τo = 157 , n = 0.45 , K = 5.2 Pa-s. ¿Cuál será la caída de presión que experimentará el flujo de ese fluido por metro de tubo? 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión.

∆𝑃 =2𝑓𝐻𝐵𝐿𝑢2

𝐷𝜌

En donde:

𝑓𝐻𝐵 =16

𝑅𝑒𝛹 factor de fricción de Herschel

3.- Cálculos. 3.1.- Velocidad.

𝑢 =0.00158

0.785(0.0348)2= 1.66

𝑚

𝑠

3.2.- Reynolds.

𝑅𝑒 =(0.0348)0.45(1.66)2−0.45 × 1250

(8)0.45−1(5.2)= 323.81

3.3.- Número de Hedstrom.

𝐻𝑒 = [(0.0348)2(1250)

5.2] [

157

5.2]

20.45

−1

= 36430

3.4.- Factores ξ y Ψ Para obtener estos factores se deben hacer tanteos. Si ξ =0.75 , Ψ =0.1602 y ξ calculada = 0.29958 Si ξ = 0.585

𝛹 = (1 + 3(0.45))0.45

(1 − 0.5)1+0.45 [(1 − 0.585)2

(1 + 3(0.45))+

2(0.585)(1 − 0.585)

(1 + 2(0.45)+

(0.585)2

1 + 0.45]

0.45

= 0.3247

Por lo tanto 323.81 = 2 X 36430[0.45

1+3(0.45)]2

[0.3247

𝜉]

2

0.45−1

Despejando ξ =0.599 Por lo tanto :

𝑓𝐻𝐵 =16

0.3247(323.81)= 0.156

3.4.- Caída de presión.

∆𝑃 = 20.156 × 1 × 1250 × (1.66)2

0.0348= 30881𝑃𝑎 = 3148

𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑚2= 0.31479

𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑐𝑚2

4.- Resultado. La caída de presión es de 30 881 Pa. Manejo de suspensiones y emulsiones. Cuando se bombean a través de una tubería horizontal las emulsiones y las suspensiones de sólidos con líquidos hay una tendencia a la separación o al asentamiento a menos que la velocidad de flujo se mantenga por arriba de un valor mínimo. En el caso de las emulsiones la separación de las fases se puede prever manteniendo la velocidad lo suficientemente alta para asegurar el flujo turbulento (Re >> 4000). En el caso de las suspensiones sólido-líquido hay dos velocidades de importancia. La velocidad mínima, que es aquella por debajo de la cual los sólidos se asientan y la velocidad a la cual los sólidos se mantienen dispersos o velocidad estándar. Para partículas no floculantes con diámetros medios entre 0.05 y 0.5 mm se tiene que:

633.0816.0

m

mS DDpgKV

K=74.5 x 10-3 para la velocidad estándar. K= 25.3 x 10-3 para la velocidad mínima.

m Densidad media de la suspensión.

)1( VSVm xx

En donde xV= fracción volumétrica de los sólidos en suspensión. μm = viscosidad de la suspensión (generalmente se toma la del líquido). ρS = densidad del sólido. = densidad del líquido. V= velocidad.

Dp = diámetro medio de las partículas. D = diámetro del tubo, g = aceleración de la gravedad. La caída de presión en estos casos se puede obtener mediante:

75.02

min

5.1

2121

'

S

SV

Dpg

u

V

Dgx

P

PP

ΔP= caída de presión como si pasara agua pura a la velocidad V. ΔP’=caída de presión de la suspensión que se mueve a la velocidad V. Umin = velocidad mínima. Problemas sugeridos de autoevaluación 1.- Un fluido con una velocidad de 0.3 m/s fluye a través de una tubería de 1.5 pulgadas de diámetro interno. En la tubería hay 30 m de tubo liso, una válvula de globo, 3 codos rectos y una descarga. ¿Cuál será la caída de presión en la línea? Datos: n=0.7, K=0.3 N sn/m2; densidad = 1200 kg /m3. R.-La caída de presión es de 2683 kg/m2. 2.- ¿Cuál será la caída de presión en 150 m de tubo de 1.5 pulgadas de acero inoxidable y liso por el que circula un fluido no –newtoniano con los siguientes parámetros: n= 0.85; K = 0.015 lbsn/ft2 y una densidad de 963 kg /m3, si el caudal es de 275 litros /minuto? R.- La caída de presión es de 274572 kg /m2. 3.- En un viscosímetro de cilindros concéntricos se investigó el comportamiento reológico a 20°C de una solución acuosa de un fluido obteniéndose los siguientes resultados:

Τ N/m2 3.36 4.36 5.94 7.59 9.48 14.56 19.24 23.67

du/dr s-1

7.33 9.67 13.94 18.72 24.63 43.55 69.93 84.5

¿De qué tipo de fluido se trata? Deduzca una expresión para su viscosidad aparente. R.- Se trata de un fluido no newtoniano seudoplástico. La viscosidad aparente está

dada por:𝜇𝑎 = 0.7002 (𝑑𝑢

𝑑𝑟)−0.1952

4.- Se va a bombear polietileno fundido a través de una tubería de acero de una pulgada cédula 40 a razón de 0.95 L /min. Calcule la caída de presión por unidad de longitud. Datos: n=0.49; densidad 939 kg /m3, K =329 N sn/m2. R.- la caída de presión es de 1.5 kg /cm2 por metro de tubo.

5.- Por una tubería lisa se transporta un fluido no-newtoniano con un Reynolds generalizado de 20 000 ¿Cuál será el valor del factor de fricción si K = 0.418 lb sn

/ft2 y n = 0.575? R.- El factor de fricción es de 0.0045. 6.- Se desea transportar jugo de manzanas a través del sistema mostrado. El flujo del jugo es de 0.65 kg /s y la temperatura de 15 ° C. Determine las pérdidas por fricción producidas y la potencia de la bomba si esta tiene una eficiencia del 70%. Datos del jugo: K =5 dinas/cm2 sn , densidad = 1.1 g /cm3, n = 0.645.

R.- La pérdidas por fricción son de 402 kgm /kg .Se requiere una bomba de 6 HP. 7.-Un fluido que obedece la ley exponencial y que tiene una densidad de 1041 kg / m3 fluye a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interno a una velocidad promedio de 0.0726 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son: K = 15.23 N sn/m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas por fricción. R.- la caída de presión es de 45 490 Pa, las pérdidas por fricción son de 43.6 J /kg. 8.- Un fluido pseudoplástico con 961 kg /m3 de densidad se desplaza a través de un tubo liso cuyo diámetro interno es de 0.0508 m a la velocidad de 6.1 m /s. Las propiedades del fluidos son: n =0.3; K = 2.744 N sn/m2. Calcule las pérdidas por fricción en un tubo de 30.5 m de largo. R.- La caída de presión es de 1.4 kg /cm2. 9.- ¿Cuál será la caída de presión en 100 m de tubo para un caudal de 100 L /min de CMC al 0.65% en agua que se transporta a través de una tubería de una pulgada de diámetro? Datos: n = 0.716; K = 0.00634 lb sn/ft2; densidad = 1000 kg /m3.

10.- ¿Cuál será la potencia de la bomba requerida para llevar puré de plátano desde un tanque a través de una tubería de media pulgada de diámetro interno y de 10 m de longitud equivalente? El nivel del puré en el tanque está a 6 m por arriba de la descarga del tanque. El flujo del puré es de 0.125 Kg /s. La descarga es a la atmósfera. Las propiedades del puré son: K= 60 (dinas/cm2) sn; densidad 977 kg /m3; n = 0.454. R.- La potencia teórica requerida es de 3.88 kgm /s. 11.-Una mezcla de chocolate fundido a 38 ° C se mueve por una tubería de 4 pulgadas a una velocidad de 0.7 m /s. El chocolate se comporta como un fluido Bingham con las propiedades siguientes: τ0 = 20 N / m2, μœ = 2 Pa.s; densidad = 1100 Kg /m3. ¿Cuál es el factor de fricción esperado para este sistema? R.- El factor de fricción es de 0.852.