Conceptos de Mecanica de Solidos - Diseo Mecnico Conceptos de Mecnica de los Slidos 0 0 0 l l l l l...

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    CURSO DE ESPECIALIZACIN

    ,QWURGXFFLy D 0pWRG G (OHPHQWR )LQLWRV&RQFHSWR G 0HFiQLF G OR 6yOLGRV

    Dr. Ing. Claudio E. Jouglard

    Notas del Curso dictado en el 2 cuatrimestre de 2002

  • ,QGLFH

    CONCEPTOS DE MECNICA DE LOS SLIDOS ............................................... 1

    1 Estados planos de tensiones y deformaciones ................................................... 1 1.1 Deformaciones y desplazamientos ............................................................... 1 1.2 Ecuaciones de equilibrio ............................................................................... 4 1.3 Relaciones tensin-deformacin .................................................................. 72 Trabajo y energa ................................................................................................ 9 2.1 Trabajo de una fuerza ................................................................................... 9 2.2 Energa de deformacin ................................................................................ 11 2.3 Ejemplo: Energa de deformacin para vigas ............................................... 143 Principios variacionales ....................................................................................... 17 3.1 Nociones de clculo variacional .................................................................... 17 3.2 Principios variacionales asociados a ecuaciones diferenciales .................... 18 3.3 Principio de mnima energa potencial .......................................................... 20 3.4 Principio de los trabajos virtuales .................................................................. 22 3.5 Ejemplo de aplicacin: vigas de ejes recto ................................................... 23Referencias ............................................................................................................ 25

  • &RQFHSWRG 0HFiQLF G OR 6yOLGRV

    Se mostrarn en este apunte algunos conceptos bsicos de mecnica de los slidos. Enprimer lugar describiremos estados planos de tensiones y deformaciones, luego se detallarnlos conceptos de trabajo y energa de deformacin y finalmente se darn algunas nociones declculo variacional y se describirn los principios variacionales ms usuales para la resolucinde problemas estructurales.

    1 ESTADOS PLANOS DE TENSIONES Y DEFORMACIONES

    Los conceptos fundamentales, definiciones y ecuaciones usadas en el anlisis de tensionesy deformaciones se tratan especficamente en la disciplina llamada teora de la elasticidad.Estos fundamentos son usados para resolver problemas de tensiones por mtodos clsicos analticos y tambin por el mtodo de elementos finitos. Por simplicidad slo abordaremosproblemas en dos dimensiones y en coordenadas cartesianas. Un tratamiento ms detallado ygeneralizado puede encontrarse en los libros clsicos de teora de la elasticidad [1].

    1.1 Deformaciones y desplazamientos.

    Las relaciones entre deformaciones y desplazamientos son un ingrediente clave en laformulacin de elementos finitos para problemas de anlisis de tensiones. Analizaremos en elcaso particular, muy usual en estructuras civiles, de las deformaciones de cuerpos sometidos adesplazamientos muy pequeos.

    Consideremos una barra de longitud l0 que es sometida a un estiramiento uniforme l en suextremo hasta alcanzar una longitud lf .

    l0

    lf

    l

    Figura 1. Deformacin longitudinal de una barra.

    La deformacin longitudinal de la barra es definida como el cociente entre elestiramiento y la longitud original, esto es

  • 2 Conceptos de Mecnica de los Slidos

    0

    0

    0 l

    ll

    l

    l f == (1)

    En general una barra puede estar sometida a estiramientos variables a lo largo de sulongitud. Luego es conveniente definir la deformacin a nivel infinitesimal considerando unsegmento diferencial de barra dx como se muestra en la figura 2. Si llamamos u(x) aldesplazamiento en la direccin longitudinal de un punto en la posicin x, entonces un puntosituado a una distancia dx sufrir un desplazamiento u+du.

    dx

    x

    u dx + dx

    u + du

    Figura 2. Deformacin longitudinal de un segmento diferencial de barra.

    Debido a los desplazamientos de sus extremos el segmento de barra dx se estira unacantidad (dx). Por la definicin de deformacin longitudinal, es el cociente de la variacinde longitud respecto a la longitud original, por lo tanto:

    dx

    dx= (2)

    Analizando la figura 2 tenemos

    duudxdxdxu ++=++ (3)

    resultando

    dudx = (4)

    Substituyendo en la ecuacin (2) resulta

    dx

    du= (5)

    Luego, esta expresin nos dice que la deformacin longitudinal de un segmento de barra dxdebe ser igual a la derivada del desplazamiento en la direccin longitudinal respecto de x.

    Este concepto se puede extender a dos dimensiones si consideramos un elemento de readiferencial de lados dx, dy sometido a un estiramiento uniforme u en la direccin x (Figura 3).En este caso la deformacin longitudinal en la direccin x se define como

    dx

    dxx

    = (6)

    Analizando la figura 3 tenemos un resultado similar al anterior, esto es

    dudx = (7)

  • Introduccin al Mtodo de Elementos Finitos 3

    Figura 3. Deformacin longitudinal de un elemento diferencial de area.

    Pero ahora el desplazamiento u en la direccin x ser en general una funcin de x,y, perodado que hemos supuesto que el desplazamiento es uniforme para el elemento de readiferencial, esto es, no varia en la direccin y, entonces se debe cumplir que

    dxx

    ududx

    == (8)

    Luego reemplazando en la ecuacin (6) resulta

    xu

    x = (9)

    Un anlisis similar en la direccin y nos d:

    y

    vy

    = (10)

    donde v es el desplazamiento en la direccin y.Adems de las deformaciones longitudinales en un elemento de rea tenemos tambin

    deformaciones angulares por corte. La deformacin por corte es definida como la variacinangular de un ngulo inicialmente recto. Consideremos un ngulo recto formado por lainterseccin de dos segmentos de longitud diferencial paralelos a los ejes coordenados que sedeforma como se muestra en la figura 4. Si llamamos 1 al ngulo formado por el segmentody con el eje y, y si llamamos 2 al ngulo formado por el segmento dx con el eje x, entoncesel ngulo de distorsin por corte viene dado por la suma 1 + 2.

    Como los desplazamientos son asumidos muy pequeos podemos aproximar al ngulo consu seno. Por lo tanto la deformacin por corte es:

    ( ) ( )dx

    vdvv

    dy

    uduusensenxy

    +++=++= 2121 (11)

    dx

    dy

    y

    x

    u

    dy

    dx + dx

    u + du

  • 4 Conceptos de Mecnica de los Slidos

    Figura 4. Distorsin de un ngulo recto.

    y notando que a lo largo de la direccin y tenemos

    dyy

    uuduu

    ++ (12)

    y a lo largo de la direccin x tenemos

    dxxv

    vdvv++ (13)

    por lo tanto resulta

    x

    v

    y

    uxy

    += (14)

    En resumen, las relaciones deformacin desplazamiento en dos dimensiones y encoordenadas cartesianas son:

    xv

    yu

    yvxu

    xy

    y

    x

    +

    =

    =

    =

    (15)

    Como fue citado anteriormente, formas especiales de estas relaciones, como por ejemplopara slidos de revolucin su extensin a tres dimensiones, pueden encontrarse en los librostradicionales de teora de la elasticidad.

    1.2 Ecuaciones de equilibrio.

    Existen muchos problemas de ingeniera donde podemos considerar a un cuerpotridimensional como si fuese un cuerpo plano de espesor h, y mediante hiptesis de

    dx

    vv + dv

    u

    1

    2

    x

    y

    dy

    u + du

  • Introduccin al Mtodo de Elementos Finitos 5

    comportamiento apropiadas podemos asumir que las cantidades de importancia varan en esteplano permaneciendo constantes a lo largo del espesor.

    As, por ejemplo, consideremos un cuerpo plano deformable en equilibrio sometido afuerzas de superficie t en su contorno y posiblemente tambin a fuerzas de volumen b en suinterior. Debido a estas fuerzas el cuerpo se deforma con desplazamientos u, v en lasdirecciones x, y respectivamente. En parte de su contorno estos desplazamientos pueden estarrestringidos (Fig. 5).

    Figura 5. Cuerpo plano cargado en equilibrio.

    Debido a las deformaciones en el interior del cuerpo se generan tensiones, esto es fuerzaspor unidad de rea, que deben estar en equilibrio con las fuerzas externas actuantes. Sitomamos un elemento de rea diferencial de espesor constante h sobre las caras de esteelemento actan tensiones x, y, xy, como se muestra en la figura 6.

    Figura 6. Tensiones y fuerzas de volumen en un elemento de rea diferencial.

    Las fuerzas de volumen bx, by tienen dimensiones de fuerzas por unidad de volumen ypueden provenir de la accin de la gravedad, aceleracin, un campo magntico cualquier

    x

    y

    t

    b

    dx

    dyu = uc

    dyyxy

    xy

    +

    dyy

    yy

    +

    dxxxy

    xy

    +

    dxx

    xx

    +

    x

    y

    dy

    dx

    xxy

    xy

    y

    by

    bx

  • 6 Conceptos de Mecnica de los Slidos

    otra accin. Se las considera positiva si actan en las direcciones positivas de los ejescoordenados. Sobre el elemento diferencial producen las fuerzas diferenciales bx dV y by dVsiendo dV el diferencial de volumen dV = h dx dy.

    Luego el equilibrio de fuerzas en la di