ROTACIÓN 1. Una bola de béisbol se lanza a 88 mi/h y con una velocidad de giro de 1.500 rev/min. Si la distancia entre el punto de lanzamiento y el receptor es de 61 pies, estimar las revoluciones completadas por la bola desde que se lanza hasta que se captura, despreciando los efectos del rozamiento.

Datos: v, ω y x. Calcular: n

Solución:

𝑣𝑣 =𝑥𝑥𝑡𝑡

�⃗�𝑣

𝜔𝜔

𝜔𝜔 =𝑛𝑛 2𝜋𝜋𝑡𝑡

𝑛𝑛 =𝑥𝑥𝜔𝜔

2𝜋𝜋𝑣𝑣 = 12

ROTACIÓN 2. Una cinta de vídeo VHS estándar, de longitud L = 246 m, dura 2,0 horas. Al comienzo, el carrete que contiene la cinta tiene un radio externo de R = 45 mm, mientras que su radio interno es r = 12 mm. En cierto punto de su recorrido, ambos carretes tienen la misma velocidad angular. Calcular esta velocidad angular en radianes por segundo y revoluciones por minuto.

Datos: L, t, R y r. Calcular: ω

Solución:

𝑣𝑣 =𝐿𝐿𝑡𝑡

𝜔𝜔

𝜔𝜔 =2𝐿𝐿

𝑅𝑅 + 𝑟𝑟 𝑡𝑡 = 1,2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠 = 11 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑣𝑣 = 𝜔𝜔𝑅𝑅 + 𝑟𝑟

2

ROTACIÓN

3. Para el sistema de cuatro partículas de la figura, donde m1 = m4 = 3 kg y m2 = m3 = 4 kg (a) hallar el momento de inercia Iy alrededor del eje y que pasa por m3 y m4; (b) hallar Ieje alrededor del eje que pasa por m1 y m3. La longitud del lado del cuadrado es L = 2 m

Datos: m1, m2, m3, m4 y L. Calcular: Iy, Im1-m3

Solución:

𝐼𝐼𝑦𝑦 = ∑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖2 = 𝑚𝑚1𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿2 = 28 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚2

𝐼𝐼𝑚𝑚1−𝑚𝑚𝑚 = ∑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖2 = 𝑚𝑚2( 2)2+𝑚𝑚4( 2)2= 14 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚2

ROTACIÓN

4. Una placa rectangular uniforme tiene masa m y lados a y b. (a) Calcular su momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la placa y que pasa por uno de sus vértices. (b) ¿Cuál es el momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masas y que sea perpendicular a la placa?

Datos: m, a y b. Calcular: Io-z, Icm-z

Solución: O y

x

z b

a

𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 = ∫ 𝑟𝑟2𝑟𝑟𝑚𝑚 = ∬ 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 𝜎𝜎𝑟𝑟𝑦𝑦𝑟𝑟𝑧𝑧

r dz dy

r2=y2+z2

dm = σ dA = σ dy dz

𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝜎𝜎∫ 𝑦𝑦2𝑟𝑟𝑦𝑦∫ 𝑟𝑟𝑧𝑧 + 𝜎𝜎∫ 𝑟𝑟𝑦𝑦∫ 𝑧𝑧2𝑟𝑟𝑧𝑧 =𝑚𝑚𝑟𝑟𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑚

3 𝑟𝑟 +𝑟𝑟𝑚

3 𝑎𝑎 =13𝑚𝑚(𝑟𝑟2 + 𝑎𝑎2)

𝜎𝜎 =𝑚𝑚𝐴𝐴 =

𝑚𝑚𝑟𝑟𝑎𝑎

𝐼𝐼𝑐𝑐𝑜𝑜 = 𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 − 𝑚𝑚𝑟𝑟2 =1

12𝑚𝑚(𝑟𝑟2 + 𝑎𝑎2) cm

d2 = (a/2)2+(b/2)2

O

ROTACIÓN

5. Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un cono sólido homogéneo circular recto de altura H, radio de la base R y masa M, respecto de su eje de simetría.

Datos: H, R y M. Calcular: Io-z

Solución: 𝑟𝑟𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝑟𝑟𝜌𝜌 = 𝜌𝜌𝜋𝜋𝑟𝑟2𝑟𝑟𝑧𝑧

𝑅𝑅𝐻𝐻 =

𝑟𝑟𝐻𝐻 − 𝑧𝑧 𝑟𝑟 =

𝑅𝑅𝐻𝐻 (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧)

𝑟𝑟𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝑟𝑟𝜌𝜌 = 𝜌𝜌𝜋𝜋𝑅𝑅2

𝐻𝐻2 (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧)2𝑟𝑟𝑧𝑧 𝑟𝑟𝐼𝐼 = 12𝑟𝑟2𝑟𝑟𝑚𝑚 = 1

2𝜌𝜌𝜋𝜋 𝑅𝑅

4

𝐻𝐻4 (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧)4𝑟𝑟𝑧𝑧

𝐼𝐼 = ∫ 𝑟𝑟𝐼𝐼 =1

10𝜌𝜌𝜋𝜋𝑅𝑅4𝐻𝐻

𝑀𝑀 = ∫ 𝑟𝑟𝑚𝑚 =13 𝜌𝜌𝜋𝜋𝑅𝑅

2𝐻𝐻 𝜌𝜌 =3𝑀𝑀𝜋𝜋𝑅𝑅2𝐻𝐻

𝐼𝐼 =3

10𝑀𝑀𝑅𝑅2

ROTACIÓN

6. Un disco uniforme de masa M y radio R gira alrededor del eje que pasa por su centro con una velocidad angular ω. Sobre una superficie horizontal, el coeficiente de rozamiento cinético entre el disco y la superficie es μc. (a) Determinar el momento dƬ ejercido por la fuerza de rozamiento sobre un elemento circular de radio r y anchura dr. (b) Hallar el momento resultante ejercido por el rozamiento sobre el disco. (e) Determinar el tiempo necesario para que el disco se detenga.

Datos: M, R, ω y μc. Calcular: dƬ, Ƭ, t

Solución:

𝜔𝜔

𝑟𝑟𝜏𝜏 = 𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑜𝑜𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝜇𝜇𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑟𝑟𝑚𝑚 =2𝜇𝜇𝑐𝑐𝑀𝑀𝑘𝑘𝑅𝑅2 𝑟𝑟2𝑟𝑟𝑟𝑟

𝜎𝜎 =𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟𝐴𝐴 =

𝑀𝑀𝜋𝜋𝑅𝑅2

r dr

𝑟𝑟𝑚𝑚 = 𝜎𝜎 𝑟𝑟𝐴𝐴 𝜏𝜏 = ∫ 𝑟𝑟𝜏𝜏 =

23𝑅𝑅𝜇𝜇𝑐𝑐𝑀𝑀𝑘𝑘

𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼

(a)

(b)

(c) 𝛼𝛼 =𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑡𝑡 =

3𝑅𝑅𝜔𝜔4𝑘𝑘𝜇𝜇𝑐𝑐

𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑜𝑜𝑟𝑟

𝑟𝑟𝐴𝐴 = 2𝜋𝜋𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟

ROTACIÓN

7. Un anillo de 1,5 m de diámetro pivota sobre un punto de su circunferencia de modo que gira alrededor de un eje horizontal que es perpendicular al plano del anillo. El anillo se deja caer de forma que inicialmente su centro está a la misma altura que el eje. (a) Si se deja oscilar libremente desde el reposo, ¿cuál es su velocidad angular máxima? (b) ¿Qué velocidad angular debe imprimirse inicialmente para que dé justamente una revolución completa (360º)? Datos: D. Calcular: ωmax y ω0

Solución:

(a) Hipótesis: ωmax se alcanza en el punto más bajo (2)

𝑣𝑣𝑐𝑐𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝑅𝑅 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑅𝑅 =12𝑚𝑚𝑣𝑣𝑐𝑐𝑚𝑚,2

2 +12 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑚𝑚𝜔𝜔2

2 𝜔𝜔 = 𝑘𝑘/𝑅𝑅 = 3,6 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠

La energía mecánica se conserva

(b) Hipótesis: La energía cinética en el punto más alto es nula. El punto inicial es (1)

𝑣𝑣𝑐𝑐𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝑅𝑅 12𝑚𝑚𝑣𝑣𝑐𝑐𝑚𝑚,1

2 +12 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑚𝑚𝜔𝜔1

2 = 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑅𝑅 𝜔𝜔 = 𝑘𝑘/𝑅𝑅 = 3,6 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠

ROTACIÓN

8. Un bloque de 4 kg descansa sobre una plataforma horizontal, con un coeficiente de rozamiento cinético de 0,25, y está conectado a otro bloque colgante de 2 kg mediante una cuerda que pasa por una polea de radio 8 cm y masa de 0,6 kg. Determinar la aceleración lineal de cada bloque y la tensión de la cuerda.

Datos: m1, m2, r y m. Calcular: a, T1 y T2

Solución:

𝑚𝑚2𝑘𝑘 − 𝑇𝑇2 = 𝑚𝑚2𝑟𝑟

Se aplica la segunda ley de Newton:

m1

m2

m

r

𝑇𝑇1 − 𝜇𝜇𝑐𝑐𝑚𝑚1𝑘𝑘 = 𝑚𝑚1𝑟𝑟

(𝑇𝑇2−𝑇𝑇1)𝑟𝑟 =12𝑚𝑚𝑟𝑟

2𝛼𝛼

𝑟𝑟 = 𝛼𝛼𝑟𝑟

𝑟𝑟 = 1,6 𝑚𝑚/𝑠𝑠2

𝑇𝑇1 = 16,0 𝑁𝑁

𝑇𝑇2 = 16,4 𝑁𝑁

ROTACIÓN

9. Un cilindro homogéneo de 60 kg y 18 cm de radio rueda sin deslizarse sobre un suelo horizontal a 15 m/s. ¿Qué cantidad mínima de trabajo se necesita para producir este movimiento?

Datos: M, R y v. Calcular: W

Solución:

𝑊𝑊 = ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 =12𝑀𝑀𝑣𝑣𝑐𝑐𝑚𝑚

2 +12 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑚𝑚𝜔𝜔

2

𝑣𝑣𝑐𝑐𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝑅𝑅

𝑊𝑊 = 10 𝑘𝑘𝑘𝑘

ROTACIÓN

10. Un yo-yo de 0,1 kg está formado por dos discos sólidos de radio 10 cm unidos entre sí, por una barra sin masa de radio 1 cm, y una cuerda enrollada a la barra. Un extremo de la cuerda se mantiene fijo y está bajo la tensión constante T cuando se suelta el yo-yo. Determinar la aceleración del yo-yo y la tensión T.

Datos: M, R, y v. Calcular: W

Solución:

𝑚𝑚𝑘𝑘 − 𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑟𝑟

𝑟𝑟 = 𝛼𝛼𝑟𝑟

R

r

T

mg

r R

𝑇𝑇𝑟𝑟 =12𝑚𝑚𝑅𝑅

2𝛼𝛼 𝑟𝑟 = 0,2 𝑚𝑚/𝑠𝑠2

𝑇𝑇 = 1,0 𝑁𝑁

ROTACIÓN

11. Un cilindro macizo uniforme de madera rueda sin deslizar sobre un plano inclinado de ángulo β. El coeficiente de rozamiento estático es μe. Calcular (a) la aceleración del centro de masas del cilindro; (b) la fuerza de rozamiento que actúa sobre el cilindro y (c) el valor máximo del ángulo de inclinación del plano para el cual el cilindro rueda sin deslizamiento.

Datos: β y μe. Calcular: acm, f, βmax.

Solución: 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛𝛽𝛽 − 𝑓𝑓 = 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑐𝑐𝑚𝑚

𝑟𝑟𝑐𝑐𝑚𝑚 = 𝛼𝛼𝑅𝑅

𝑓𝑓𝑅𝑅 =12𝑚𝑚𝑅𝑅

2𝛼𝛼

𝑟𝑟𝑐𝑐𝑚𝑚 =𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛𝛽𝛽

1 + 12

𝑓𝑓 =𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛𝛽𝛽

1 + 12

−1

Condición de rodadura:

𝑓𝑓 ≤ 𝜇𝜇𝑒𝑒𝑁𝑁 = 𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 𝑡𝑡𝑘𝑘𝛽𝛽 ≤ (1 +12

−1

𝜇𝜇𝑒𝑒 = 3𝜇𝜇𝑒𝑒

ROTACIÓN 11. En una bolera se lanza una bola de masa M y radio R de tal modo que en el instante en que toca el suelo se mueve con velocidad v0 sin rodar. La bola se desliza durante un tiempo t1 a lo largo de una distancia s1 antes de empezar a rodar sin deslizamiento. (a) Si μc es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento, calcular s1, t1 y la velocidad de rodadura v1. (b) Calcular la relación entre la energía cinética final e inicial de la bola. (c) Hallar estas magnitudes para v0 = 8 m/s y μc = 0,06. Datos: M, R, v0 y μc. Calcular: s1, t1, v1 y Ecf/Eci. Solución: 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝜇𝜇𝑐𝑐𝑚𝑚𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑟𝑟

𝑓𝑓𝑐𝑐𝑅𝑅 =52𝑚𝑚𝑅𝑅

2𝛼𝛼

𝑡𝑡1 =2𝑣𝑣0

7𝜇𝜇𝑐𝑐𝑘𝑘

Inicialmente, hay deslizamiento:

𝑣𝑣1 = 𝜔𝜔𝑅𝑅 = 𝛼𝛼𝑡𝑡1𝑅𝑅

𝑣𝑣 = 𝑣𝑣0 − 𝑟𝑟𝑡𝑡

𝜔𝜔 = 𝛼𝛼𝑡𝑡

Cuando la bola comienza a rodar:

𝑟𝑟 = 𝛼𝛼𝑅𝑅

𝑠𝑠1 =12𝑣𝑣02

49𝜇𝜇𝑐𝑐𝑘𝑘

𝑣𝑣1 =57 𝑣𝑣0

𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐/𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖 =57

Aplicación numérica

𝑡𝑡1 = 3,9 𝑠𝑠

𝑠𝑠1 = 27 𝑚𝑚

𝑣𝑣1 = 5,7 𝑚𝑚/𝑠𝑠