Difração de ondas por fenda única - University of São ...

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Eletromagnetismo Licenciatura: 22ª Aula (27/05/2014) Prof. Alvaro Vannucci Vimos na última aula: Se os campos das ondas que emergem das fendas 1 e 2 podem ser escritos: 1 0 2 0 cos( ) cos( ) E E kr t E E kr t ; sendo a diferença de fase das ondas no ponto P do anteparo, então o campo resultante E R (P) pode ser obtido através de um diagrama de fasores; de forma que: 2 2 0 0 ' 0 ( ) 2 (cos ) ( ) 4 cos ( sin ) cos ( sin ) 2 R d d E P E IP I I Quando uma onda EM em ar (vácuo), com comprimento de onda λ, penetra em um meio transparente, seu comprimento de onda passa a ser menor: ' n ; onde n é o indice de refração do meio. Difração de ondas por fenda única Observa-se experimentalmente que a radiação eletromagnética sofre uma espécie de espalhamento ao interagir com obstáculos que possuem dimensões de mesma ordem de grandeza do comprimento de onda da radiação incidente. Ou seja, observam-se franjas claras em regiões de um anteparo que deveriam estar escuras, caso algum tipo de “interferência ondulatória” não estivesse ocorrendo. A este fenômeno de espalhamento da radiação por obstáculos (ou fendas) damos o nome de Difração. A maneira mais simples de se investigar o fenômeno da difração é aplicando o “Princípio de Huygens” na situação em que as ondas que emergem do obstáculo seguem trajetórias paralelas até atingirem o anteparo (que está muito distante).

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Eletromagnetismo – Licenciatura: 22ª Aula (27/05/2014) Prof. Alvaro Vannucci

Vimos na última aula:

Se os campos das ondas que emergem das fendas 1 e 2

podem ser escritos:

1 0

2 0

cos( )

cos( )

E E kr t

E E kr t

; sendo a diferença de

fase das ondas no ponto P do anteparo, então o campo

resultante ER (P) pode ser obtido através de um diagrama

de fasores; de forma que:

2 2

0 0

'0( ) 2 (cos ) ( ) 4 cos ( sin ) cos ( sin )

2R

d dE P E I P I I

Quando uma onda EM em ar (vácuo), com comprimento de onda λ, penetra em um

meio transparente, seu comprimento de onda passa a ser menor: 'n

; onde n é

o indice de refração do meio.

Difração de ondas por fenda única

Observa-se experimentalmente que a radiação eletromagnética sofre uma espécie de

espalhamento ao interagir com obstáculos que possuem dimensões de mesma ordem

de grandeza do comprimento de onda da radiação incidente.

Ou seja, observam-se franjas claras em regiões de um anteparo que deveriam estar

escuras, caso algum tipo de “interferência ondulatória” não estivesse ocorrendo.

A este fenômeno de espalhamento da radiação por obstáculos

(ou fendas) damos o nome de Difração.

A maneira mais simples de se investigar o fenômeno da

difração é aplicando o “Princípio de Huygens” na situação em

que as ondas que emergem do obstáculo seguem trajetórias

paralelas até atingirem o anteparo (que está muito distante).

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Nesta situação em que L>>a, sendo a a largura da fenda, temos então a “Difração de

Frausshofer”.

Para se obter as condições de máximo\mínimo no anteparo,

vamos aplicar o “Princípio de Huygens”, que considera cada

frente de onda como sendo formada a partir de inúmeros

‘emissores secundários’ (virtuais) localizados na frente de

onda da anterior:

Tomando, por exemplo, as ondas que seriam originadas a

partir dos emissores secundários 1 e 3, separados de a\2,

temos que elas irão sofrer interferência destrutiva quando

a diferença de percurso:

2

a (que corresponde a uma diferença de fase = π)

Note que este mesmo raciocínio aplica-se a quaisquer

ondas emitidas por emissores secundários separados de

a\2 ( ondas emergindo dos emissores 3 e 5 ou 2 e 4, por ex.).

De forma que podemos inferir uma condição (critério) para a Interferência Destrutiva

(na difração de fenda única):

sin sin2 2 2

aa

(condição de mínimo)

No caso das ondas emergirem de pontos separados de a\4 (centros emissores 1 e 2,

por exemplo), teremos interferência destrutiva quando, novamente, a diferença de

percurso2

; ou seja: sin sin 2

4 2

aa

Se as fontes emissoras estiverem separados de a\6:

sin sin 36 2

aa

; e assim por diante...

Portanto, podemos inferir destes resultados um critério geral para que ocorra

“Interferência Destrutiva” no caso da fenda única:

sina m ; 1, 2, 3,...m

note que no caso de m = 0 ( = 0 ) a interferência é construtiva

Queremos agora determinar a expressão que irá nos fornecer o valor da intensidade

da radiação em cada ponto P do anteparo.

Para isso, vamos aplicar novamente o Princípio de Huygens de forma que a onda

emergente de cada centro emissor secundário terá como amplitude do campo

elétrico, E’, e que duas fontes adjacentes quaisquer sempre apresentarão a mesma

diferença de fase (‘ ).

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Se o número de centros emissores secundários for N (muito grande), então a soma de

todos os campos E’ no ponto P do anteparo será obtida facilmente através de um

diagrama de fasores correspondente:

Note que, sendo N muito grande, a diferença de fase

entre as ondas que emergem de centros emissores

adjacentes será muito pequena e, portanto, a

diferença de fase entre o 1º centro e o último será

determinada pela tangente ao arco de circunferência

da figura.

De forma que o campo resultante E será a corda deste arco; e vamos chamar de E0 o

campo resultante máximo que se obteria caso não houvesse diferença de fase alguma

( = 0°), e que vai corresponder ao comprimento do arco da figura.

Chamando de β o ângulo que o campo resultante E faz com o eixo horizontal; de α o

ângulo complementar; e de 2γ o ângulo de abertura do arco, temos então que (da

figura):

(i) 180 2 1802

(ii) 90 (do último resultado) 180

902 2

(iii) 90 (do último resultado) 2 (1)

Finalmente, do triângulo sombreado na figura: 2sin

E

R ;

e da relação entre o raio e o arco de circunferência: 0

0

21( )(2 )E RR E

Substituindo 1/R : 0

2sin

2

E

E

( usando eq. (1) )

0

0

0

2

sisin2sin ²

22

2

n

2

2E Ecomo II

E EIE

resultado válido para o caso de fenda única, onde sinka

Sendo que I0 corresponde à intensidade máxima nos pontos do anteparo nas quais a

diferença de fase das ondas que ali chegam é zero; e quando θ = 0°, teremos o máximo

central.

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Note que os pontos de mínimo (I=0) são os que correspondem a sin 02

; ou seja,

sin 2 sinsin

2 2 2

ka am m m a m

; que

corresponde à condição para interferência destrutiva, já obtida acima.

E sempre lembrar que este critério envolve valores de 1, 2, 3,...m Já que para

m = 0 0 sin 0 sin2 2 2

; de maneira que

2

0 02 ( 0)

2

I I I m I

(ponto de máximo); sendo sinka

Diagrama da intensidade no anteparao devido à difração da radiação por fenda única: