Difração de ondas por fenda única - University of São ...

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Eletromagnetismo Licenciatura: 22ª Aula (27/05/2014) Prof. Alvaro Vannucci Vimos na última aula: Se os campos das ondas que emergem das fendas 1 e 2 podem ser escritos: 1 0 2 0 cos( ) cos( ) E E kr t E E kr t ; sendo a diferença de fase das ondas no ponto P do anteparo, então o campo resultante E R (P) pode ser obtido através de um diagrama de fasores; de forma que: 2 2 0 0 ' 0 ( ) 2 (cos ) ( ) 4 cos ( sin ) cos ( sin ) 2 R d d E P E IP I I Quando uma onda EM em ar (vácuo), com comprimento de onda λ, penetra em um meio transparente, seu comprimento de onda passa a ser menor: ' n ; onde n é o indice de refração do meio. Difração de ondas por fenda única Observa-se experimentalmente que a radiação eletromagnética sofre uma espécie de espalhamento ao interagir com obstáculos que possuem dimensões de mesma ordem de grandeza do comprimento de onda da radiação incidente. Ou seja, observam-se franjas claras em regiões de um anteparo que deveriam estar escuras, caso algum tipo de “interferência ondulatória” não estivesse ocorrendo. A este fenômeno de espalhamento da radiação por obstáculos (ou fendas) damos o nome de Difração. A maneira mais simples de se investigar o fenômeno da difração é aplicando o “Princípio de Huygens” na situação em que as ondas que emergem do obstáculo seguem trajetórias paralelas até atingirem o anteparo (que está muito distante).
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Vimos na última aula:
Se os campos das ondas que emergem das fendas 1 e 2
podem ser escritos:
; sendo a diferença de
fase das ondas no ponto P do anteparo, então o campo
resultante ER (P) pode ser obtido através de um diagrama
de fasores; de forma que:
2 2
0 0
2 R


Quando uma onda EM em ar (vácuo), com comprimento de onda λ, penetra em um
meio transparente, seu comprimento de onda passa a ser menor: ' n
; onde n é
Observa-se experimentalmente que a radiação eletromagnética sofre uma espécie de
espalhamento ao interagir com obstáculos que possuem dimensões de mesma ordem
de grandeza do comprimento de onda da radiação incidente.
Ou seja, observam-se franjas claras em regiões de um anteparo que deveriam estar
escuras, caso algum tipo de “interferência ondulatória” não estivesse ocorrendo.
A este fenômeno de espalhamento da radiação por obstáculos
(ou fendas) damos o nome de Difração.
A maneira mais simples de se investigar o fenômeno da
difração é aplicando o “Princípio de Huygens” na situação em
que as ondas que emergem do obstáculo seguem trajetórias
paralelas até atingirem o anteparo (que está muito distante).
Nesta situação em que L>>a, sendo a a largura da fenda, temos então a “Difração de
Frausshofer”.
Para se obter as condições de máximo\mínimo no anteparo,
vamos aplicar o “Princípio de Huygens”, que considera cada
frente de onda como sendo formada a partir de inúmeros
‘emissores secundários’ (virtuais) localizados na frente de
onda da anterior:
Tomando, por exemplo, as ondas que seriam originadas a
partir dos emissores secundários 1 e 3, separados de a\2,
temos que elas irão sofrer interferência destrutiva quando
a diferença de percurso:
Note que este mesmo raciocínio aplica-se a quaisquer
ondas emitidas por emissores secundários separados de
a\2 ( ondas emergindo dos emissores 3 e 5 ou 2 e 4, por ex.).
De forma que podemos inferir uma condição (critério) para a Interferência Destrutiva
(na difração de fenda única):
sin sin 2 2 2
a a
(condição de mínimo)
No caso das ondas emergirem de pontos separados de a\4 (centros emissores 1 e 2,
por exemplo), teremos interferência destrutiva quando, novamente, a diferença de
percurso 2
4 2
a a
sin sin 3 6 2
a a
; e assim por diante...
Portanto, podemos inferir destes resultados um critério geral para que ocorra
“Interferência Destrutiva” no caso da fenda única:
sina m ; 1, 2, 3,...m
note que no caso de m = 0 ( = 0 ) a interferência é construtiva
Queremos agora determinar a expressão que irá nos fornecer o valor da intensidade
da radiação em cada ponto P do anteparo.
Para isso, vamos aplicar novamente o Princípio de Huygens de forma que a onda
emergente de cada centro emissor secundário terá como amplitude do campo
elétrico, E’, e que duas fontes adjacentes quaisquer sempre apresentarão a mesma
diferença de fase (‘ ).
Se o número de centros emissores secundários for N (muito grande), então a soma de
todos os campos E’ no ponto P do anteparo será obtida facilmente através de um
diagrama de fasores correspondente:
Note que, sendo N muito grande, a diferença de fase
entre as ondas que emergem de centros emissores
adjacentes será muito pequena e, portanto, a
diferença de fase entre o 1º centro e o último será
determinada pela tangente ao arco de circunferência
da figura.
De forma que o campo resultante E será a corda deste arco; e vamos chamar de E0 o
campo resultante máximo que se obteria caso não houvesse diferença de fase alguma
( = 0°), e que vai corresponder ao comprimento do arco da figura.
Chamando de β o ângulo que o campo resultante E faz com o eixo horizontal; de α o
ângulo complementar; e de 2γ o ângulo de abertura do arco, temos então que (da
figura):

90 2 2
E
R ;
e da relação entre o raio e o arco de circunferência: 0
0

resultado válido para o caso de fenda única, onde sinka
Sendo que I0 corresponde à intensidade máxima nos pontos do anteparo nas quais a
diferença de fase das ondas que ali chegam é zero; e quando θ = 0°, teremos o máximo
central.
Note que os pontos de mínimo (I=0) são os que correspondem a sin 0 2
; ou seja,

corresponde à condição para interferência destrutiva, já obtida acima.
E sempre lembrar que este critério envolve valores de 1, 2, 3,...m Já que para
m = 0 0 sin 0 sin 2 2 2
; de maneira que



(ponto de máximo); sendo sinka