Πιθανότητες ΑΑ΄΄ ΛΛσσκκείοσ fileΠιθανότητες Εφαρμογές...

ΠΠιιθθααννόόττηηττεεςς ΑΑ΄́ ΛΛσσκκεείίοοσσ

Στέλιος Μιταήλογλοσ – Δημήτρης Πατσιμάς

www.askisopolis.gr

http://www.askisopolis.gr/

www.askisopolis.gr

1

Πιθανότητες

Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας

1. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις τρεις φορέςτην ίδια ένδειξη;

2. Δίνονται τα σύνολα {x / x 8} , Α = {x / x } ά καιΒ = { x , / x διαιρέτης του 8}.α) Να γράψετε τα σύνολα Ω, Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε

στο ίδιο διάγραμμα Venn.β) Να προσδιορίσετε τα σύνολα , και τα Α΄, Β΄ ως προς βασικό σύνολο Ω.γ) Αν επιλέξετε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε την πιθανότητα:

i. να ανήκει στο Α ii. να μην ανήκει στο Βiii. να ανήκει στο Α και στο Β iv. να ανήκει στο Α ή στο Β.

3. Δίνεται ο πίνακας:

Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνωπίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων:

Α: ο διψήφιος να είναι περιττός.Β: ο διψήφιος να είναι περιττός και πολλαπλάσιο του 9.Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του 3.

4. Εξετάσθηκαν 150 κάτοικοι μιας περιοχής ως προς το έτος γέννησης τους.Ο τετραψήφιος αριθμός του έτους γέννησης τους έχει πρώτο ψηφίο το 1 και δεύτερο το 9.Το τρίτο ψηφίο ήταν 5 ή 6 ή 7 και το τέταρτο ψηφίο του ήταν 2 ή 3.

α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών τετραψήφιωναριθμών.

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένωνΑ: Το τέταρτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το 2.Β: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι 5 ή 7.Γ: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε 6 ούτε 7.

γ) Να βρείτε τον αριθμό των κατοίκων που έχουν γεννηθεί το 1963.

5. Από το σύνολο {25 , 36 , 65 , 92 } που περιέχει ως στοιχεία μέτρα γωνιών, επιλέγουμετυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς. Αν αυτοί εκφράζουν τα μέτρα δύο γωνιών ενόςτριγώνου, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο;

6. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2x 1 , όπου το α καθορίζεται από τη ρίψη ενόςαμερόληπτου ζαριού, Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:Α: η εξίσωση f x 0 είναι αδύνατη στο .

Β: η εξίσωση f x 0 έχει ρίζα το 1.

7. Δίνεται η εξίσωση 2x x 0 , όπου τα α, β καθορίζονται από τη ρίψη δύο αμερόληπτωνζαριών. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

14 18 22

21 27 33

42 45 49

www.askisopolis.gr

2

8. Επιλέγουμε τυχαία τρεις από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι ρίζεςτης εξίσωσης 2 2x 16 x 5x 6 0 .

9. Σε μια συνεστίαση τα34

των παρευρισκομένων ανδρών και τα56

των γυναικών είναι

παντρεμένοι. Αν είναι γνωστό ότι όλα τα αντρόγυνα παρευρίσκονται στη συνεστίαση, ναβρείτε την πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία, να είναι:α) ανύπαντρο β) ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη γυναίκα.

10.Σε ένα ράφι ενός βιβλιοπωλείου βρίσκονται βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής. Αν τα βιβλίαΜαθηματικών είναι 5 περισσότερα από τα βιβλία Φυσικής και Ρ(Μ), Ρ(Φ) οι αντίστοιχεςπιθανότητες τυχαίας εκλογής βιβλίου Μαθηματικών και Φυσικής αντίστοιχα, να βρείτε τον

ελάχιστο αριθμό βιβλίων που πρέπει να υπάρχει στο ράφι, ώστε να ισχύει: 34

.

Κανόνες Λογισμού των πιθανοτήτων

11.Η πιθανότητα να κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου η ομάδα Α είναι διπλάσια από τηπιθανότητα να μην το κερδίσει. Να βρείτε τη πιθανότητα η ομάδα Α να κερδίσει τοπρωτάθλημα.

12.Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από 30 ισοπίθανα απλάενδεχόμενα. Αν Α ενδεχόμενο του πειράματος για το οποίο ισχύει: 23P A 5P A 3 0 , να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α.

13.Έστω Α,Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες P A 0,7 ,

P B 0,5 και P A B 0,4 . Να υπολογίσετε τη πιθανότητα του ενδεχομένου:Κ: πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β.Λ: δεν πραγματοποιείται το Α.Μ: πραγματοποιείται μόνο το Α.Ν: πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.Σ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.

14.Ένα κουτί περιέχει 40 κορδέλες, από τις οποίες οι 10 είναι πράσινες και οι υπόλοιπεςάσπρες ή κόκκινες. Επιλέγουμε μία κορδέλα τυχαία. Η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι2 5

1

, ενώ να είναι άσπρη είναι 11

.

α) Να βρεθεί η πιθανότητα η κορδέλα να είναι πράσινη.β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ.γ) Να βρεθεί πόσες άσπρες και πόσες κόκκινες κορδέλες περιέχει το κουτί;δ) Να βρείτε πόσες πράσινες κορδέλες πρέπει να προσθέσουμε στο κουτί ώστε η

πιθανότητα να επιλέξουμε άσπρη κορδέλα να γίνει 59

.

15.Ο καθηγητής των Μαθηματικών διαπίστωσε ότι στο μάθημα της Γεωμετρίας, από τους 24μαθητές ενός τμήματος, 18 είχαν κανόνα, 14 είχαν διαβήτη και 20 είχαν κανόνα ή διαβήτη.Αν επιλέξουμε στην τύχη έναν μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να έχει κανόνα και διαβήτη;

www.askisopolis.gr

3

16.Μια τάξη έχει 12 αγόρια και 15 κορίτσια. Τα23

των αγοριών και τα35

των κοριτσιών έχουν

ποδήλατο. Αν επιλέξουμε τυχαία μέσα από την τάξη ένα άτομο, να βρεθεί η πιθανότητα ναείναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο.

17.Από τους 25 μαθητές ενός τμήματος, οι 23 μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 μαθαίνουν Γαλλικά καιυπάρχουν 7 μαθητές που μαθαίνουν και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητήμέσα από την τάξη. Να βρείτε τη πιθανότητα να μην μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες.

18.Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 30% δεν έχει αερόσακο, το 20% δεν έχεικαινούργια λάστιχα και το 5% δεν έχει ούτε αερόσακο ούτε καινούργια λάστιχα. Επιλέγουμετυχαία ένα αυτοκίνητο της έκθεσης. Να βρείτε τη πιθανότητα να έχει αερόσακο καικαινούργια λάστιχα.

19. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(ΑΒ),

Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο σύνολο : 1 1 3 11 1, , , ,2 8 10 4 15

.

Να βρείτε τις πιθανότητεςα) P(Β), P(ΑB) και P(ΑΒ) ,β) να μην πραγματοποιηθεί το Α,γ) να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β,δ) να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α,Β ,ε) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β.

20.Οι υπάλληλοι μιας εταιρείας είναι 12 άντρες και 18 γυναίκες. Οι 6 από τους άντρες και οι8 από τις γυναίκες είναι πάνω από 30 ετών. Επιλέγουμε τυχαία ένα υπάλληλο τηςεταιρείας.

α) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένωνΑ : ο υπάλληλος είναι πάνω από 30 ετών,Β : ο υπάλληλος δεν είναι πάνω από 30 ετών καιΓ : ο υπάλληλος είναι άντρας.

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΓ).

21.Σε μία βιβλιοθήκη υπάρχουν διάφορα βιβλία .Αν επιλέξουμε τυχαία ένα βιβλίο απότη βιβλιοθήκη η πιθανότητα να είναι βιβλίο Αγγλικών είναι 0,7. Η πιθανότητα ένα βιβλίονα είναι Αγγλικών είναι πενταπλάσια από την πιθανότητα να είναι Μαθηματικών.Τέλος, η πιθανότητα ένα βιβλίο Αγγλικών ή Μαθηματικών είναι 0,8.

α) Επιλέγουμε ένα βιβλίο στην τύχη.i) Ποια είναι η πιθανότητα το βιβλίο να είναι Αγγλικό Μαθηματικό βιβλίο;ii) Ποια είναι η πιθανότητα το βιβλίο να είναι μόνο Μαθηματικών ή μόνο αγγλικών;

β) Αν η βιβλιοθήκη έχει 112 βιβλία Αγγλικών αλλά όχι Μαθηματικών, να βρείτεi) Πόσα είναι τα συνολικά βιβλία της βιβλιοθήκης;ii) Πόσα είναι τα Αγγλικά Μαθηματικά βιβλία;

22.Εξετάσαμε 100 αποφοίτους Λυκείου σχετικά με το αν πέρασαν τη βάση στιςΠανελλαδικές εξετάσεις στα Μαθηματικά και στη Φυσική. Στα Μαθηματικά πέρασαν τηβάση 30 απόφοιτοι. Στη Φυσική πέρασαν τη βάση 25απόφοιτοι, ενώ και στα δύομαθήματα πέρασαν τη βάση 15 απόφοιτοι. Επιλέγουμε τυχαία ένα απόφοιτο.

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων(ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα.

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής:i) Να πέρασε τη βάση μόνο στη Φυσική.ii) Να πέρασε τη βάση σε ένα τουλάχιστον μάθημα από τα δύο .

www.askisopolis.gr

4

iii) Να μην πέρασε τη βάση σε κανένα μάθημα .iv) Να πέρασε τη βάση το πολύ σε ένα μάθημα.

23.Σε μια ομάδα που αποτελείται από 14 άνδρες και 26 γυναίκες, 8 από τους άνδρες και 4από τις γυναίκες παίζουν γκολφ. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά.

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας τωνσυνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε:

i) να είναι άνδρας ή να παίζει γκολφ.ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει γκολφ.

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα καινα παίζει γκολφ.

24.Από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότιτο 80% των μαθητών ακούει Ελληνική ή Ξένη Μουσική. Επιλέγουμε ένα μαθητή στηντύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα:Α: ο μαθητής ακούει Ελληνική ΜουσικήΒ: ο μαθητής ακούει Ξένη ΜουσικήΑν από το σύνολο των μαθητών το 60% ακούει Ελληνική Μουσική και το 45% ακούειΞένη Μουσική τότε:

α) Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα:i) ο μαθητής να μην ακούει Ελληνική ούτε Ξένη Μουσική.ii) ο μαθητής να ακούει Ελληνική και Ξένη Μουσική.

iii) ο μαθητής να ακούει μόνο Ελληνική Μουσική.β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του α) ερωτήματος.

25.Σε ένα ενυδρείο , το 14

των ψαριών δεν είναι τροπικά ούτε είναι κόκκινα, ενώ το 13

των

ψαριών είναι τροπικό και έχει κόκκινο χρώμα. Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Ορίζουμε ταενδεχόμενα:Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό καιΒ: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο .

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα τουπροβλήματος.

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ένα ψάρι:i) να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα ;ii) να είναι τροπικό αλλά να μην έχει κόκκινο χρώμα ή να έχει μόνο κόκκινο χρώμα ;

γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι τα μισά από τα ψάρια είναι κόκκινα , να βρείτε την πιθανότητα έναψάρι:i) να είναι κόκκινο ii) να είναι τροπικό

26.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν 1P A4 ,

1P A B6

και 1P B A2

, να βρείτε τη πιθανότητα P A B .

27.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με P A 0,7 ,

P B 0,4 και P A B B A 0,3 . Να βρείτε τη πιθανότητα να μηνπραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.

28.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι

P A B P A P B . Να αποδείξετε ότι: P A B P A P B .

www.askisopolis.gr

5

29.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με A B . Αν 1P A2

και 3P B4 , να βρείτε τις πιθανότητες:

α) P A B β) P B A γ) P B A

30.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με 2P A3 και

1P B A6

. Να βρείτε τις πιθανότητες:

α) P A A B β) P A B A

31.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με 3 1P A , P B4 6 και

5P A B6

.

α) Να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.β) Να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.

Ανισοτικές σχέσεις

32. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες P A 0,7

και P B 0,6 . Να αποδείξετε ότι:α) Τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβασταβ) 0,3 P A B 0,6

33.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες 2P A3

και 1P B2 . Να αποδείξετε ότι:

α) 1 1P A B6 2 β) 1P A B

3

34.Έστω Α,Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με 1P A9 και

4P AP B

9P A 1

. Να βρείτε τις πιθανότητες P A ,P B .

35.Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι

3P A 2P BP A B

5

. Να αποδείξετε ότι P A P B .

www.askisopolis.gr

6

Λύσεις

1. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις τρεις φορέςτην ίδια ένδειξη;

Λύση

Έστω Κ το ενδεχόμενο το αποτέλεσμα της ρίψης να είναι Κεφαλή και Γ να είναι γράμματα.Επειδή το πείραμα έχει επαναλήψεις και μόνο δύο δυνατά αποτελέσματα σε κάθε επανάληψη, για ναβρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος κάνουμε δενδροδιάγραμμα.

Ο δειγματικός χώρος είναι: Ω={ ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}με Ν(Ω) = 8.Έστω Α το ενδεχόμενο να φέρουμε και τις τρείς φορές το ίδιο αποτέλεσμα, τότε:Α={ ΚΚΚ, ΓΓΓ} με Ν(Α) = 2.

Επειδή τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

N A 2 1P AN 8 4

.

2. Δίνονται τα σύνολα {x / x 8} , Α = ά{x / x } καιΒ = { x , / x διαιρέτης του 8}.α) Να γράψετε τα σύνολα Ω, Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε

στο ίδιο διάγραμμα Venn.β) Να προσδιορίσετε τα σύνολα , και τα Α΄, Β΄ ως προς βασικό σύνολο Ω.γ) Αν επιλέξετε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε την πιθανότητα:

i. να ανήκει στο Α ii. να μην ανήκει στο Βiii. να ανήκει στο Α και στο Β iv. να ανήκει στο Α ή στο Β.

Λύση

α) Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},Α = {0, 2, 4, 6, 8},Β = {1, 2, 4, 8}

β) A B 0,1,2,4,6,8 , A B 2,4,8 , A 1,3,5,7 , B 0,3,5,6,7

γ) i. Είναι Ν(Α) = 5 και Ν(Ω) = 9, οπότε

N A 5P AN 9

Αρχή

Κ

Γ

Κ

Κ

Γ

Γ

Κ

Κ

Κ

Κ

Γ

Γ

Γ

Γ

www.askisopolis.gr

7

ii. Είναι Ν(Β΄) = 5 άρα

N B 5P BN 9

iii.

N A B 3 1P A BN 9 3

iv.

N A B 6 2P A BN 9 3




Λύση

Έχουμε 21,27,33,45,19 , 27,45 και 14,18,22,42 οπότε( ) 5( )( ) 9

, ( ) 2( )( ) 9

και ( ) 4( )( ) 9

.


α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατώντετραψήφιων αριθμών.


γ) Να βρείτε τον αριθμό των κατοίκων που έχουν γεννηθεί το 1963.Λύση

α) Ω={1952,1953,1962,1963,1972,1973}

β) Α={1952,1962,1972} ,Β={1952,1953,1972,1973},Γ={1952,1953}Ν(Α)=3, Ν(Β)= 4 , Ν(Γ) =2 και Ν(Ω)= 6

( ) 3 1( )( ) 6 2

, ( ) 2 1( )( ) 6 3

και ( ) 2 1( )( ) 6 3

14 18 22

21 27 33

42 45 49

www.askisopolis.gr

7


N B 5P BN 9

iii.

N A B 3 1P A BN 9 3

iv.

N A B 6 2P A BN 9 3




Λύση

Έχουμε 21,27,33,45,19 , 27,45 και 14,18,22,42 οπότε( ) 5( )( ) 9

, ( ) 2( )( ) 9

και ( ) 4( )( ) 9

.





α) Ω={1952,1953,1962,1963,1972,1973}


( ) 3 1( )( ) 6 2

, ( ) 2 1( )( ) 6 3

και ( ) 2 1( )( ) 6 3

14 18 22

21 27 33

42 45 49

www.askisopolis.gr

7


N B 5P BN 9

iii.

N A B 3 1P A BN 9 3

iv.

N A B 6 2P A BN 9 3




Λύση

Έχουμε 21,27,33,45,19 , 27,45 και 14,18,22,42 οπότε( ) 5( )( ) 9

, ( ) 2( )( ) 9

και ( ) 4( )( ) 9

.





α) Ω={1952,1953,1962,1963,1972,1973}


( ) 3 1( )( ) 6 2

, ( ) 2 1( )( ) 6 3

και ( ) 2 1( )( ) 6 3

14 18 22

21 27 33

42 45 49

www.askisopolis.gr

8

5. Από το σύνολο {25 , 36 , 65 , 92 } που περιέχει ως στοιχεία μέτρα γωνιών, επιλέγουμετυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς. Αν αυτοί εκφράζουν τα μέτρα δύο γωνιών ενόςτριγώνου, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο;

Λύση

Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ζεύγη γωνιών του Ω, οπότε:

25 ,36 , 25 ,65 , 25 ,92 , 36 ,65 , 36 ,92 , 65 ,92 με Ν(Ω) = 6

Για να είναι το τρίγωνο που έχει δύο από αυτές τις γωνίες ορθογώνιο πρέπει αυτές να έχουν άθροισμα90 . Επειδή 25 65 90 , το ζητούμενο ενδεχόμενο Α είναι: 25 ,65 με Ν(Α) = 1 και

A 1P A

N 6

6. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2x 1 , όπου το α καθορίζεται από τη ρίψη ενόςαμερόληπτου ζαριού, Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:Α: η εξίσωση f x 0 είναι αδύνατη στο .

Β: η εξίσωση f x 0 έχει ρίζα το 1.Λύση

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} με Ν(Ω) = 6.Για να είναι η εξίσωση αδύνατη πρέπει: 0 4 4 0 4 4 1 , άρα Α={2,3,4,5,6} με

Ν(Α) = 5 και A 5P A

N 6

.

Για να έχει η εξίσωση ρίζα το 1 πρέπει: f 1 0 2 1 0 1 , άρα Β = {1} με Ν(Β) = 1

και B 1P B

N 6

.

7. Δίνεται η εξίσωση 2x x 0 , όπου τα α, β καθορίζονται από τη ρίψη δύο αμερόληπτωνζαριών. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Λύση

Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότιΝ(Ω) = 36.Η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικέςκαι άνισες όταν

20 4 0 2

2 44

Έστω α η ρίψη του 1ου ζαριού και β ηρίψη του 2ου ζαριού.

Αν α = 1 τότε 14

αδύνατο.

Αν α = 2 τότε 1 αδύνατο.

Αν α = 3 τότε23 9

4 4 άρα β = 1 ή 2 και ευνοϊκές ζαριές είναι οι (3,1) και (3,2).

2ο Ζάρι1οζάρι

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

www.askisopolis.gr

9


4 άρα β = 1 ή 2 ή 3 και ευνοϊκές ζαριές είναι οι (4,1), (4,2) και (4,3)

Αν α = 5 τότε25 25

4 4 άρα β = 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 και ευνοϊκές ζαριές είναι οι (5,1), (5,2), (5,3),

(5,4), (5,5) και (5,6).


4 άρα β = 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 και ευνοϊκές ζαριές είναι οι (6,1), (6,2), (6,3),

(6,4), (6,5) και (6,6).

Αν Α είναι το σύνολο των ευνοϊκών περιπτώσεων, τότε Ν(Α) = 2 +3 + 6 + 6 = 17, άρα 17P A36

8. Επιλέγουμε τυχαία τρεις από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι ρίζεςτης εξίσωσης 2 2x 16 x 5x 6 0 .

Λύση

2 2 2 2x 16 x 5x 6 0 x 1 0 ή x 5x 6 0 2x 1 25 4 1 6 25 24 1

x 1 1,2

5 1 325 1x

25 1 2

2

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλες τις μη διατεταγμένες τριάδες πουδημιουργούν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, άρα: Ω = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}.Από τις τριάδες αυτές ευνοϊκές είναι εκείνες που αποτελούνται από λύσεις της εξίσωσης, άρα η

(1, 2, 3). Αν Α το ζητούμενο ενδεχόμενο, τότε Ν(Α) = 1 και 1P A4 .

9. Σε μια συνεστίαση τα34

των παρευρισκομένων ανδρών και τα56

των γυναικών είναι

παντρεμένοι. Αν είναι γνωστό ότι όλα τα αντρόγυνα παρευρίσκονται στη συνεστίαση, ναβρείτε την πιθανότηταένα άτομο που επιλέγεται τυχαία, να είναι:α) ανύπαντρο β) ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη γυναίκα.

Λύση

Έστω x οι άνδρες και y οι γυναίκες που παρευρίσκονται στη συνεδρίαση. Επειδή όλα τα αντρόγυναπαρευρίσκονται στη συνεστίαση, ισχύει ότι:

5 y3 5 20 106x y x y y34 6 18 94

α) Έστω Α το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγεται τυχαία να είναι ανύπαντρο. Επειδή ανύπαντροι

είναι το 14

των ανδρών και το 16

των γυναικών, είναι:

1 1 1 10 1 5 3 8 4N A x y y y y y y y4 6 4 9 6 18 18 18 9

www.askisopolis.gr

10

Για το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου, δηλαδή για το πλήθος των

παρευρισκομένων, ισχύει: 10 10 9 19N x y y y y y y9 9 9 9

, οπότε η πιθανότητα του

ενδεχομένου Α είναι:

4N A 9P AN

y

199

y

419 .

β) Έστω Β το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγεται τυχαία να είναι ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη

γυναίκα, τότε: 1 5 1 10 5 5 15 20 10N B x y y y y y y y4 6 4 9 6 18 18 18 9 .

10N B 9P BN

y

199

y

1019 .

10.Σε ένα ράφι ενός βιβλιοπωλείου βρίσκονται βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής. Αν τα βιβλίαΜαθηματικών είναι 5 περισσότερα από τα βιβλία Φυσικής και Ρ(Μ), Ρ(Φ) οι αντίστοιχεςπιθανότητες τυχαίας εκλογής βιβλίου Μαθηματικών και Φυσικής αντίστοιχα, να βρείτε τον

ελάχιστο αριθμό βιβλίων που πρέπει να υπάρχει στο ράφι, ώστε να ισχύει: 34

.

Λύση

Έστω x τα βιβλία Φυσικής, τότε τα βιβλία Μαθηματικών είναι x + 5.Για το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου ισχύει ότι: N x x 5 2x 5 .

3 x 3 x 5 4x 3x 15 x 154 2x 5 4 2x 5

άρα minx 15 .

Τότε minx 5 20 , οπότε ο ελάχιστος αριθμός βιβλίων που πρέπει να υπάρχει στο ράφι είναι 15

βιβλία Φυσικής και 20 βιβλία Μαθηματικών, δηλαδή 35 βιβλία.

Κανόνες Λογισμού των πιθανοτήτων

11.Η πιθανότητα να κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου η ομάδα Α είναι διπλάσια από τηπιθανότητα να μην το κερδίσει. Να βρείτε τη πιθανότητα η ομάδα Α να κερδίσει τοπρωτάθλημα.

Λύση

Έστω Α το ενδεχόμενο να κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου η ομάδα Α, τότε:

2P A 2P A P A 2 1 P A P A 2 2P A 3P A 2 P A3

.

12. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από 30 ισοπίθανα απλάενδεχόμενα. Αν Α ενδεχόμενο του πειράματος για το οποίο ισχύει:

23P A 5P A 3 0 , να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α.Λύση

2 2 23P A 5P A 3 0 3P A 5 1 P A 3 0 3P A 5 5P A 3 0

www.askisopolis.gr

11

23P A 5P A 2 0 .

25 4 3 2 49 , 1,2

5 7P A6 5 7P A 2

6 απορρίπτεται ή

A A5 7 2 1 1 1P A A 106 6 3 N 3 30 3

13.Έστω Α,Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες P A 0,7 ,

P B 0,5 και P A B 0,4 . Να υπολογίσετε τη πιθανότητα του ενδεχομένου:Κ: πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β.Λ: δεν πραγματοποιείται το Α.Μ: πραγματοποιείται μόνο το Α.Ν: πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.Σ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.

Λύση

P K P A B P A P B P A B 0,7 0,5 0,4 0,8

P P A 1 P A 1 0,7 0,3

P M P A B P A P A B 0,7 0,4 0,3

Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ασυμβίβαστα, ισχύει ότι: P N P A B B A P A B P B A 0,3 P B P A B 0,3 0,5 0,4 0,4

P P A B 1 P A B 1 0,8 0,2

14.Ένα κουτί περιέχει 40 κορδέλες, από τις οποίες οι 10 είναι πράσινες και οι υπόλοιπεςάσπρες ή κόκκινες. Επιλέγουμε μία κορδέλα τυχαία. Η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι2 5

1

, ενώ να είναι άσπρη είναι 11

.

α) Να βρεθεί η πιθανότητα η κορδέλα να είναι πράσινη.β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ.γ) Να βρεθεί πόσες άσπρες και πόσες κόκκινες κορδέλες περιέχει το κουτί;δ) Να βρείτε πόσες πράσινες κορδέλες πρέπει να προσθέσουμε στο κουτί ώστε η

πιθανότητα να επιλέξουμε άσπρη κορδέλα να γίνει 59

.

Λύση

Έστω Π: Το ενδεχόμενο η κορδέλα να είναι πράσινη,Α: Το ενδεχόμενο η κορδέλα να είναι άσπρηΚ: Το ενδεχόμενο η κορδέλα να είναι κόκκινη

α)

10 140 4

.

β) Τα ενδεχόμενα Α και Π είναι ασυμβίβαστα οπότε:

www.askisopolis.gr

12

2 5 1 30 3 61 1 40 1

3 3 6 3 1 4 3 6 3 3 12 24 9 27 34 1

γ) 3 1 2 13 1 4 2

,

1 2 40 202 40

.

2 3 5 1K3 1 4

,

1 4 40 104 40

.

Άρα το κουτί έχει 20 άσπρες μπάλες και 10 κόκκινες μπάλες

δ) Έστω ότι προσθέτουμε x άσπρες μπάλες .Τότε:

5 20 x 200 5x 180 9x 4x 20 x 49 40 x

.

Άρα πρέπει να προσθέσουμε 4 άσπρες μπάλες.

15. Ο καθηγητής των Μαθηματικών διαπίστωσε ότι στο μάθημα της Γεωμετρίας, από τους 24μαθητές ενός τμήματος, 18 είχαν κανόνα, 14 είχαν διαβήτη και 20 είχαν κανόνα ή διαβήτη.Αν επιλέξουμε στην τύχη έναν μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να έχει κανόνα και διαβήτη;

Λύση

Έστω Α το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέγεται να έχει κανόνα και Β να έχει διαβήτη, τότε:Ν(Ω) = 24, Ν(Α) = 18, Ν(Β) = 14 και N A B 20 .Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: P A B P A P B P A B

18 14 20 12 1P A B P A P B P A B24 24 24 24 2

16. Μια τάξη έχει 12 αγόρια και 15 κορίτσια. Τα23

των αγοριών και τα35

των κοριτσιών έχουν

ποδήλατο. Αν επιλέξουμε τυχαία μέσα από την τάξη ένα άτομο, να βρεθεί η πιθανότητα ναείναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο.

Λύση

Έστω Α το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγεται να είναι κορίτσι και Β να έχει ποδήλατο, τότε:

N 12 15 27 , N A 15 , 2 3N B 12 15 8 9 173 5 και 3N A B 15 9

5

Το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγεται να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο είναι το A B , οπότε:

15 17 9 23P A B P A P B P A B27 27 27 27

17. Από τους 25 μαθητές ενός τμήματος, οι 23 μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 μαθαίνουν Γαλλικά καιυπάρχουν 7 μαθητές που μαθαίνουν και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητήμέσα από την τάξη. Να βρείτε τη πιθανότητα να μην μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες.

Λύση

www.askisopolis.gr

13

Έστω Α το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέγεται να μαθαίνει Αγγλικά και Β Γαλλικά, τότε: N 25 , N A 23 , N B 8 και N A B 7 .

Το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες είναι το A B .

Είναι 23 8 7 24P A B P A P B P A B25 25 25 25

και

24 1P A B 1 P A B 125 25

.

18. Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 30% δεν έχει αερόσακο, το 20% δεν έχεικαινούργια λάστιχα και το 5% δεν έχει ούτε αερόσακο ούτε καινούργια λάστιχα. Επιλέγουμετυχαία ένα αυτοκίνητο της έκθεσης. Να βρείτε τη πιθανότητα να έχει αερόσακο καικαινούργια λάστιχα.

Λύση

Έστω Α το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο που επιλέγεται να έχει αερόσακο και Β να έχει καινούργιαλάστιχα, τότε:

30P A100

, 20P B100

και 5P A B100

.

Το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο που επιλέγεται να έχει αερόσακο και καινούργια λάστιχα είναι τοA B .

Είναι 30 30 30 70P A 1 P A P A 1100 100 100 100

,

20 20 20 80P B 1 P B P B 1100 100 100 100

και

5 5 5 95P A B 1 P A B P A B 1100 100 100 100

Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: P A B P A P B P A B

70 80 95 55 11P A B P A P B P A B100 100 100 100 20

.

19.Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(ΑΒ),

Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο σύνολο : 1 1 3 11 1, , , ,2 8 10 4 15

.

Να βρείτε τις πιθανότητεςα) P(Β), P(ΑB) και P(ΑΒ) ,β) να μην πραγματοποιηθεί το Α,γ) να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β,δ) να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α,Β ,ε) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β.

Λύση

α) Επειδή 0 ( ), ( ), ( ) 1 και ( ) αφού

A B A A B , έχουμε : 1 3 1, P B ,15 10 2

β)

www.askisopolis.gr

14

1 1 3 15 2 9 8 42 15 10 30 30 30 30 15

οπότε 4 111 115 15

γ) 4 1 3 115 15 15 5

δ) ,

ί

15

1 3 1 6 9 2 135 10 15 30 30 30 30

ε) 1 141 115 15

.

20.Οι υπάλληλοι μιας εταιρείας είναι 12 άντρες και 18 γυναίκες. Οι 6 από τους άντρες και οι8 από τις γυναίκες είναι πάνω από 30 ετών. Επιλέγουμε τυχαία ένα υπάλληλο τηςεταιρείας.

α) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένωνΑ : ο υπάλληλος είναι πάνω από 30 ετών,Β : ο υπάλληλος δεν είναι πάνω από 30 ετών καιΓ : ο υπάλληλος είναι άντρας.

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΓ).Λύση

α)

6 8 14 7A20 30 15

.

7 81 115 15

12 630 15

β) 1 και

14 12 6 1P A 1 P A P P A 130 30 30 3

21.Σε μία βιβλιοθήκη υπάρχουν διάφορα βιβλία .Αν επιλέξουμε τυχαία ένα βιβλίο απότη βιβλιοθήκη η πιθανότητα να είναι βιβλίο Αγγλικών είναι 0,7. Η πιθανότητα ένα βιβλίονα είναι Αγγλικών είναι πενταπλάσια από την πιθανότητα να είναι Μαθηματικών.Τέλος, η πιθανότητα ένα βιβλίο Αγγλικών ή Μαθηματικών είναι 0,8.

α) Επιλέγουμε ένα βιβλίο στην τύχη.i) Ποια είναι η πιθανότητα το βιβλίο να είναι Αγγλικό Μαθηματικό βιβλίο;ii) Ποια είναι η πιθανότητα το βιβλίο να είναι μόνο Μαθηματικών ή μόνο αγγλικών;

β) Αν η βιβλιοθήκη έχει 112 βιβλία Αγγλικών αλλά όχι Μαθηματικών, να βρείτεi) Πόσα είναι τα συνολικά βιβλία της βιβλιοθήκης;ii) Πόσα είναι τα Αγγλικά Μαθηματικά βιβλία;

Λύση

Έστω Α: Το ενδεχόμενο το βιβλίο να είναι Αγγλικών,Β: Το ενδεχόμενο το βιβλίο να είναι Μαθηματικό βιβλίο

www.askisopolis.gr

15

α) i) 5 0,7 5 0,14 .

0,7 0,14 0,8 0,04

ii) ,

ί

0,7 0,04 0,14 0,04 0,76

β) i) 112 και 0,7 0,14 0,56 , άρα

112 1120,56 200

0,56

βιβλία

Άρα η βιβλιοθήκη έχει συνολικά 200 βιβλία.

ii)

0,04 0,04 200200

8 Βιβλία.

Άρα η βιβλιοθήκη έχει συνολικά 8 Αγγλικά Μαθηματικά βιβλία.

22.Εξετάσαμε 100 αποφοίτους Λυκείου σχετικά με το αν πέρασαν τη βάση στιςΠανελλαδικές εξετάσεις στα Μαθηματικά και στη Φυσική. Στα Μαθηματικά πέρασαν τηβάση 30 απόφοιτοι. Στη Φυσική πέρασαν τη βάση 25 απόφοιτοι, ενώ και στα δύομαθήματα πέρασαν τη βάση 15 απόφοιτοι. Επιλέγουμε τυχαία ένα απόφοιτο.


β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής:i) Να πέρασε τη βάση μόνο στη Φυσική.ii) Να πέρασε τη βάση σε ένα τουλάχιστον μάθημα από τα δύο .iii) Να μην πέρασε τη βάση σε κανένα μάθημα .iv) Να πέρασε τη βάση το πολύ σε ένα μάθημα.

Λύση

α) Έστω Α : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να πέρασε τη βάση στα ΜαθηματικάΒ : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να πέρασε τη βάση στη Φυσική

A B : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να πέρασε τηβάση και στα δύο μαθήματα

β) ( ) 30( ) 0,3( ) 100

, ( ) 25( ) 0,25( ) 100

,

( ) 15( ) 0,15( ) 100

i) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να πέρασε τη βάση μόνο στη Φυσική είναι το . Είναι:

( ) ( ) ( ) 0,25 0,15 0,1

ii) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να πέρασε τη βάση σε ένα τουλάχιστον μάθημα από ταδύο είναι το . Είναι:( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,25 0,1 0,45

www.askisopolis.gr

15

α) i) 5 0,7 5 0,14 .

0,7 0,14 0,8 0,04

ii) ,

ί

0,7 0,04 0,14 0,04 0,76

β) i) 112 και 0,7 0,14 0,56 , άρα

112 1120,56 200

0,56

βιβλία


ii)

0,04 0,04 200200

8 Βιβλία.





Λύση



β) ( ) 30( ) 0,3( ) 100

, ( ) 25( ) 0,25( ) 100

,

( ) 15( ) 0,15( ) 100


( ) ( ) ( ) 0,25 0,15 0,1


www.askisopolis.gr

15

α) i) 5 0,7 5 0,14 .

0,7 0,14 0,8 0,04

ii) ,

ί

0,7 0,04 0,14 0,04 0,76

β) i) 112 και 0,7 0,14 0,56 , άρα

112 1120,56 200

0,56

βιβλία


ii)

0,04 0,04 200200

8 Βιβλία.





Λύση



β) ( ) 30( ) 0,3( ) 100

, ( ) 25( ) 0,25( ) 100

,

( ) 15( ) 0,15( ) 100


( ) ( ) ( ) 0,25 0,15 0,1


www.askisopolis.gr

16

iii)Το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην πέρασε τη βάση σε κανένα μάθημα είναι το( ) . Είναι: ( ) 1 ( ) 1 0,45 0,55

iv) Το ενδεχόμενο να πέρασε τη βάση το πολύ σε ένα μάθημα είναι το ( ) .Είναι: ( ) 1 ( ) 1 0,1 0,9





Λύση

Έστω Α: το ενδεχόμενο το άτομο να είναι άντρας καιΒ: το ενδεχόμενο το άτομο να παίζει γκολφ

α) i) A B = το ενδεχόμενο να είναι άντρας ή να παίζειγκολφ

ii) Β - Α : να μην είναι άνδρας και να παίζει γκολφ.

β) Το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει γκολφ είναι τοίδιο με το να μην είναι άντρας και να παίζει γκολφ , δηλαδή το Β - Α.

( ) 4( ) 0,1( ) 40

.




Λύση

α) i) (A ) ii) iii) Α-Β

www.askisopolis.gr

16







Λύση





( ) 4( ) 0,1( ) 40

.




Λύση


www.askisopolis.gr

16







Λύση





( ) 4( ) 0,1( ) 40

.




Λύση


www.askisopolis.gr

17

β) Είναι Ρ(Α)=60%=0,6 , Ρ(Β)=45%=0,45, ( ) 80% 0,8

( ) 1 ( ) 1 0,8 0,2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,45 0,8 0,25

( ) ( ) ( ) 0,6 0,25 0,35 .



των


α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλωντα δεδομένα του προβλήματος.


γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι τα μισά από τα ψάρια είναι κόκκινα , να βρείτε τηνπιθανότητα ένα ψάρι:i) να είναι κόκκινο ii) να είναι τροπικό

Λύση

α) ( ) : το ψάρι δεν είναι τροπικό ούτε είναι κόκκινο : είναι τροπικό και έχει κόκκινο χρώμα

β) i) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να είναι τροπικό ή να έχεικόκκινο χρώμα είναι το .

Είναι 1( )4

, 1( )3

και

1 3( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 14 4

ii) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 9 4 5( ) ( )4 3 12 12 12

γ) i)

( )( )( )( )

2( )

12

ii)

3 1 1 9 6 4 74 2 3 12 12 12 12

www.askisopolis.gr

17

β) Είναι Ρ(Α)=60%=0,6 , Ρ(Β)=45%=0,45, ( ) 80% 0,8

( ) 1 ( ) 1 0,8 0,2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,45 0,8 0,25

( ) ( ) ( ) 0,6 0,25 0,35 .



των





Λύση



Είναι 1( )4

, 1( )3

και

1 3( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 14 4

ii) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 9 4 5( ) ( )4 3 12 12 12

γ) i)

( )( )( )( )

2( )

12

ii)

3 1 1 9 6 4 74 2 3 12 12 12 12

www.askisopolis.gr

17

β) Είναι Ρ(Α)=60%=0,6 , Ρ(Β)=45%=0,45, ( ) 80% 0,8

( ) 1 ( ) 1 0,8 0,2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,45 0,8 0,25

( ) ( ) ( ) 0,6 0,25 0,35 .



των





Λύση



Είναι 1( )4

, 1( )3

και

1 3( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 14 4

ii) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 9 4 5( ) ( )4 3 12 12 12

γ) i)

( )( )( )( )

2( )

12

ii)

3 1 1 9 6 4 74 2 3 12 12 12 12

www.askisopolis.gr

18

26. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν 1P A4

,

1P A B6

και 1P B A2

, να βρείτε τη πιθανότητα P A B .

Λύση

1 1 1 1 3 2 1P A B P A P A B P A B P A B6 6 4 6 12 12 12

6

1 1 1 1 1 1 6 1 7P B A P B P A B P B P B2 2 12 2 2 12 12 12 12

3

1 7 1 3 6 9 3P A B P A P B P A B4 12 12 12 12 12 4

27. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με P A 0,7 ,

P B 0,4 και P A B B A 0, 3 . Να βρείτε τη πιθανότητα να μηνπραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.

Λύση

P A 0,7 1 P A 0,7 1 0,7 P A P A 0,3 Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ασυμβίβαστα, ισχύει ότι: P A B B A 0,3 P A B P B A 0,3

P A P A B P B P A B 0,3 0,3 0,4 2P A B 0,3

0,4 2P A B P A B 0,2 Από τον προσθετικό νόμο έχουμε:

P A B P A P B P A B 0,3 0,4 0,2 0,5 .

Το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες είναι το A B .

P A B 1 P A B 1 0,5 0,5 .

28. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι

P A B P A P B . Να αποδείξετε ότι: P A B P A P B .Λύση

P A B 1 P A B 1 P A P B P A B

P A B 1 P A P B P A P B 1 P A P B 1 P A

P A B 1 P A 1 P B P A P B

www.askisopolis.gr

19

29. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με A B . Αν 1P A2

και 3P B4

, να βρείτε τις πιθανότητες:

α) P A B β) P B A γ) P B AΛύση

α) Επειδή A B είναι A B B , άρα 3P A B P B4

.

β) Επειδή B A B A είναι P B A P B A P B P A B .

Όμως επειδή A B είναι A B A , άρα 2

3 1 1P B A P B P A4 2 4

γ) 4 2

3 1 3 1 1 1P B A P B P A P B A 1 P A 14 4 4 1 2 4

30. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με 2P A3

και

1P B A6

. Να βρείτε τις πιθανότητες:

α) P A A B β) P A B A Λύση

α) Είναι A B B A και από το διπλανό διάγραμμα Vennδιαπιστώνουμε ότι τα ενδεχόμενα Α(κόκκινο) και B A (πράσινο)δεν έχουν κοινά στοιχεία (είναι ασυμβίβαστα), άρα A A B και P A A B 0 .

β) Επειδή τα ενδεχόμενα Α και B A όπως είδαμε είναιασυμβίβαστα, έχουμε:

2

2 1 5P A B A P A P B A P A P B A3 6 6

.

31.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με 3 1P A , P B4 6

και

5P A B6

.

α) Να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.β) Να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.

Λύση

α) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα θα ίσχυε ότι: P A B P A P B

www.askisopolis.gr

20

3 22

5 3 1 10 9 26 4 6 12 12 12

που είναι άτοπο. Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

β) Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: P A B P A P B P A B

3 2 2

3 1 5 1P A B P A P B P A B4 6 6 12

Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το A B B A .Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ασυμβίβαστα, ισχύει ότι: P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B

3 1P A B B A 24 6

1

12 6

34

Ανισοτικές σχέσεις

32. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες P A 0,7

και P B 0,6 . Να αποδείξετε ότι:α) Τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβασταβ) 0,3 P A B 0,6

Λύση

α) Αν τα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα, τότε: P A B P A P B 0,7 0,6 1,3 1 άτοπο.Άρα τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

β) Επειδή A B B είναι P A B P B P A B 0,6


P A B P A P B P A B 0,7 0,6 P A B 1,3 P A B

Είναι 0,3 P A B 0,3 1,3 P A B P A B 1,3 0,3 P A B 1 ισχύει.

33. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες 2P A3

και 1P B2

. Να αποδείξετε ότι:

α) 1 1P A B6 2

β) 1P A B3

Λύση

α) Επειδή A B B είναι 1P A B P B P A B2


2 3

2 1 7P A B P A P B P A B P A B P A B3 2 6

www.askisopolis.gr

21

Είναι 1 1 7 7 1P A B P A B P A B P A B 16 6 6 6 6 ισχύει.

β) Γνωρίζουμε ότι A B A B , άρα

1 1 1P A B P A B 1 P A B3 3 3

1 2 21 P A B P A P B P A B3 3 3

23

P B P A B

P A B P B που ισχύει αφού A B B

34. Έστω Α,Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με 1P A9

και

4P AP B

9P A 1

. Να βρείτε τις πιθανότητες P A ,P B .

Λύση

Επειδή τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, ισχύει ότι P A B P A P B .Όμως P A B 1 άρα

1P A94P A

P A P B 1 P A 1 9P A 1 P A 4P A 9P A 19P A 1

22 29P A P A 4P A 9P A 1 0 9P A 6P A 1 0 3P A 1 0 .

Όμως 23P A 1 0 , άρα 2 13P A 1 0 3P A 1 0 3P A 1 P A3

.

Τότε 143P B

9

3 13 1

423

2 31

35. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι

3P A 2P BP A B

5

. Να αποδείξετε ότι P A P B .

Λύση

Επειδή A B A είναι 3P A 2P BP A B P A P A

5

3P A 2P B 5P A 2P B 2P A P B P A (1).

Επειδή A B B είναι 3P A 2P BP A B P B P B

5

3P A 2P B 5P B 3P A 3P B P A P B (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) ισχύει ότι P A P B .

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Πιθανότητες ΑΑ΄΄ ΛΛσσκκείοσ fileΠιθανότητες Εφαρμογές...

Documents

Transcript of Πιθανότητες ΑΑ΄΄ ΛΛσσκκείοσ fileΠιθανότητες Εφαρμογές...