Στατιστικές Κατανομές και Πιθανότητες. Θεωρία και...

download Στατιστικές Κατανομές και Πιθανότητες. Θεωρία και παραδείγματα.

of 60

  • date post

    28-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    4.514
  • download

    5

Embed Size (px)

description

Η στατιστική αποτελεί ένα επιστημονικό κλάδο όπου το πεδίο εφαρμογής της συγκαταλέγεται σε πλήθος άλλων επιστημών. Η συλλογή και η ανάλυση δεδομένων έχει γίνει πλέον επιτακτική πριν τη λήψη αποφάσεων.Στην παρουσιαση αυτή θα επιδείξουμε μερικες βασικές στατιστικές κατανομές που χρησιμοποιούνται ευρέως καθώς και μερικές πιο προχωρημένες. Οι κατανομές κατηγοριοποιούνται σε δυο βασικές ομάδες. 1) Διακριτές 2) Συνεχείς. Οι Συνεχείς χωρίζονται στις εξής υποομάδες α) Φραγμένες β) Μη Φραγμένες 3) Μη Αρνητικές.

Transcript of Στατιστικές Κατανομές και Πιθανότητες. Θεωρία και...

. . . . MSc (..../ ) Team Site: A.E.A.C. Co. Project Manager-Site Administrator e-mail: s_4goum@yahoo.com , My Blog. 16/07/2011

. . / . . . . . 1) 2) ( , , ), . 3) . 4) / .

. . 1) 2) . ) ) 3) . . [,]. . 1) (0,1,2,3, ), 2) (0%, 10%, 30%, 40%). . , 2.5 . ( ) 10.78%. . [,]. P ( a < x < b) = f ( x)dxa b

. 1) (15, 50, 60 ), 2) (1.75, 1.80, 1.90 ). . , 20 2 , 35 5 4 . 1.76, 1.77, 1.80 4 ( ). (-,+). (). [,] ( ). x> x->0, .

Easy Fit 5.1 excel. Easy Fit 5.1 50 , . , .

. 4 . Easy Fit 5.1 .

Easy Fit 5.1. : Beta, Johnson SB, Kumaraswamy, Pert, Power Function, Reciprocal, Triangular, Uniform, : Cauchy, Error, Gumbel Max Gumbel Min, Hyperbolic Secant, Johnson SU, Laplace (Double Exponential), Logistic, Normal, t-Student Burr, Levy, Gamma, Inverse Gaussian, F Distribution, Fatigue Life (Birnbaum-Saunders), Frechet, Chi-Squared, Dagum, Erlang, Exponential, Weibull, Rice, Rayleigh, Pearson, Pareto, Nakagami, Lognormal, Log-Logistic, Log-Gamma. : Bernoulli, Binomial Discrete Uniform, Geometric, Hypergeometric, Logarithmic, Negative Binomial, Poisson. : Generalized Extreme Value, Generalized Logistic, Generalized Pareto, Phased Bi-Exponential, Phased Bi-Weibull, Wakeby.

. . , , .

----------------

) [ (-, +)]

(Laplace-Gauss NORMAL DISTRIBUTION) . Gauss . , , ( =3) ( =0) , .

1 (...)

f ( x) =

1

* 2

1*( x ) 2 e 2 ,

~(,)

1

- Probability Density Function - Cumulative Distribution Function

12 t x * e 20

F(x)=

1 x , Laplace // (x)= 2

dt

F(x)=z=

x

,

>0 (scale parameter/ ),

R (location parameter/ ) NORMAL

< x < +

Probability Density Function0,32

0,28

0,24 0,2

f(x)

0,16

0,12 0,08

0,04

0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

xHis togram Norm al

~ (,2) [-, +] 68.28% [-2, +2] 95.44% [-3, +3] 99.75%

1) ~(8,9). P (5 X 10) . =8 2=9

z=

x

z= z=

58 = -1 3 10 8 = 0.66 3

P (5 X 10) = P (1 z 0,66) = P ( z 0,66) - P ( z 1) = P ( z 0,66) - (1 P ( z 1))

0,7454-(1-0,8413) = 0,8413 (. )

, (-, 0.66) (-, -1). (-1, 0.66)

2) ~(3,2) P ( X 1,5) = 0,7291. 2

z=

x

z=

1,5 3

z=

1,5

P ( X 1,5) = 0,7291.)

z= 0.61 (.

z 0), z= -0.61 -0.61=

1,5

=2,46 ( 0 (scale parameter), R (location parameter) < x < +

: . 2 .

: , ( ), ( )

>3)

2

( 0 (scale parameter ) , R (location parameter) arctan < x < +

CAUCHY

Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

xHistogram Cauchy

JOHNSON SU (JOHNSON SU DISTRIBUTION)

Norman Lloyd Johnson (1917-2004). Johnson SB Log-Normal . , , . , , ( =3) ( =0). , , . , Johnson SB, Johnson, SU Log-Normal .

f ( x) =

* 2 * z 2 + 1

*e

2 + 1)) 2 0.5 * ( + * ln( z + z

,

~ Jsu(,,,)

F ( x) = ( + * ln( z + z 2 + 1))

t x 1 x 2 z = , Laplace // (x)= *e dt

2

2

0

,,, ,>0. x (,+) , (shape parameter), (scale parameter), (location parameter)

JOHNSON SU

Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

xHistogram Johnson SU

LAPLACE DOUBLE EXPONENTIAL (LAPLACE DOUBLE EXPONENTIAL DISTRIBUTION)

Pierre-Simon Laplace. double exponential ( ) .. Laplace ( ).

* | x |

f ( x) = * e2

,

~ Laplace(,)

F ( x) =

1 * ( x) *e 2 1 * (x ) 1 *e 2

x

x>

, >0. x (,+) (scale parameter ) , (location parameter)

LAPLACE

Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

xHistogram Laplace

LOG-NORNAL 3- (LOG-NORNAL DISTRIBUTION 3)

Log-Normal . Log-Normal . 3 (, ) Log-Normal . ( / , , , ) )

3

: Log-Normal

f ( x) =

ln( x ) 0.5 * e

2, ~ LogN(,,)

( x ) * * 2 *

F ( x) =

ln( x )

t 1 Laplace // (x)= * e 2 dtx

2

2

0

, , >0. x ( ,+) (scale parameter ), (shape parameter), (location parameter)

: =0, Log-Normal 2- (Log-Normal 2). Log-Normal 2 =0

LOG-NORMAL

Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

x

Histogram

Lognormal (3P)

GAMMA 3- (GAMMA 3 DISTRIBUTION)

(waiting time models). , , Gamma .

(x )

f ( x) =

(x )

1

* ( )

*e

,

~ (,,)

F ( x) =

( x ) / ( ) ( )

x()

Gamma// x() = t a 1 * e t dt0

x

, , ,>0, R

x ( ,+)

(shape parameter), (scale parameter) , (location parameter)

: =0, Gamma 2- (Gamma 2). Gamma 2 =0 Gamma Erlang

GAMMA Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

x

Histogram

Gamma (3P)

WEIBULL 3- (WEIBULL 3 DISTRIBUTION)

Waloddi Weibull (1887-1979), . (Exponential) Rayleigh . , (=1) Rayleigh (=2). Weibull . 1 . (. ) Weibull , , ..

f ( x) =

x *

1

x *e

,

~ W(,,)

x F ( x) = 1 e

, , ,>0, R

x ( ,+)

(shape parameter), (scale parameter) , (location parameter)

: =0, Weibull 2- (Weibull 2). Weibull 2 =0

WEIBULL

Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

x

Histogram

Weibull (3P)

FATIGUE LIFE (BirnbaumSaunders) 3- (FATIGUE LIFE 3 DISTRIBUTION)

. , . Lognormal, Exponential and Weibull.

, , , .

x f ( x) =

1 x x * * 2* a *(x ) x

+

~ BS(,,)

1 x F ( x) = *

x 2 x

x2 e 2

t 1 Laplace // (x)= * e 2 dt

2

0

2 *

, , ,>0, R

x ( ,+)

(shape parameter), (scale parameter) , (location parameter)

: =0,

Fatigue Life

2- (Fatigue Life 2). Fatigue Life 2 =0

FATIGUE LIFE

Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

x

Histogram

Fatigue Life (3P)

ERLANG 3 (ERLANG 3 DISTRIBUTION)

Erlang Agner Krarup Erlang (1878 1929). Gamma Exponential . Agner Krarup Erlang . .

Erlang Gamma shape parameter Erlang (m) shape parameter Gamma () . Erlang Gamma. m=1 Erlang Exponential .

(x )

f ( x) =

(x ) *e m * ( m)

m 1

,

~ Erlang(m,,)

F ( x) =

( x ) / ( m) ( m)

x()

Gamma// x() = t a 1 * e t dt0

x

m, , m N * , >0, R

x ( ,+)

m (shape parameter), (scale parameter) , (location parameter)

: =0, Erlang 2 (Erlang 2). Erlang 2 =0

ERLANG

Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

x

Histogram

Erlang (3P)

(EXPONENTIAL DISTRIBUTION)

Poisson . (.. ), , , , .. . , .

f ( x) = * exp *( x )

,

~ Exp(,)

F ( x) = 1 exp * ( x )

, >0, R

x ( ,+)

(scale parameter) , (location parameter)

Probability Density Function0,32 0,28 0,24 0,2

f(x)

0,16 0,12 0,08 0,04 0 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

x

Histogram

Exponential (2P)

PEARSON TYPE 6 4- (PEARSON TYPE 6 4 DISTRIBUTION)

Karl Pearson (1857-1936) . , , , , . . Pearson Type6 5 .