2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

40
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου

Transcript of 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Page 1: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου

Page 2: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

2

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά

τουλάχιστον κάτω από τις ίδιες συνθήκες) δεν μπορούμε εκ των προτέρων να

προβλέψουμε το αποτέλεσμά του. Αντίθετα τα πειράματα εκείνα κατά τα οποία η γνώση

των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνται καθορίζουν και το τελικό αποτέλεσμα

λέγονται αιτιοκρατικά. Δειγματικός χώρος Ω ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων, που

μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης. Αν ω1, ω2, ω3,…,ων είναι τα δυνατά

αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης

είναι ν1 2 3Ω = ω , ω , ω ,…,ω . Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή

περισσότερα αποτελέσματα του πειράματος. Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενα ενός

πειράματος τύχης τον ίδιο το δειγματικό χώρο Ω και το κενό σύνολο .∅ Επομένως

ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. • Ένα ενδεχόμενο ονομάζεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο, δηλαδή ένα δυνατό

αποτέλεσμα και σύνθετο όταν έχει περισσότερα στοιχεία.

• Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Για αυτό το λόγο τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του.

• Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α συμβολίζεται Ν(Α).

Page 3: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

3

• Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης θεωρείται ότι είναι ένα ενδεχόμενο, το

οποίο πραγματοποιείται πάντα, γι’ αυτό το λόγο το Ω ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο.

Το πλήθος των στοιχείων ( )Ν Ω =ν, φανερώνει το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων

του πειράματος τύχης.

• Το κενό σύνολο ∅ ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο, αφού δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος τύχης και είναι Ν( ) = 0.∅

• Η παράσταση του δειγματικού χώρου, των ενδεχομένων και των πράξεων τους γίνεται με τα διαγράμματα Venn. Σ’ αυτά με ορθογώνιο συμβολίζεται ο δειγματικός χώρος Ω,

ενώ με (περίπου) κυκλικά σχήματα τα ενδεχόμενα.

Π Ρ Α Ξ Ε Ι Σ Ε Ν Δ Ε Χ Ο Μ Ε Ν ΩΝ - Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ 1) ΤΟΜΗ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Η τομή δύο ενδεχομένων Α και Β συμβολίζεται

Α Β∩ και είναι το σύνολο που αποτελείται από τα

κοινά στοιχεία των Α και Β. Άρα το ενδεχόμενο

Α Β∩ πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται

συγχρόνως τα Α και Β.

Το ενδεχόμενο Α Β∩ διαβάζεται: « Α τομή Β » ή « Α και Β »

Είναι: Α Β = x Ω / x Α και x Β∈ ∈ ∈∩

Ιδιότητες: Για την τομή δύο ενδεχομένων Α και Β ισχύουν οι εξής ιδιότητες: 1) Α Β ⊆ Α∩ 2) Α Β ⊆ Β∩ 3) Αν Α ⊆ Β τότε .Α Β = Α∩

A∩B

BA

Ω

Page 4: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

4

2) ΕΝΩΣΗ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ

Η ένωση δύο ενδεχομένων Α και Β συμβολίζεται Α Β∪ και είναι το σύνολο που αποτελείται από τα

κοινά και μη κοινά στοιχεία των Α και Β.

Άρα το ενδεχόμενο Α Β∪ πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β.

Το ενδεχόμενο Α Β∪ διαβάζεται: « Α ένωση Β » ή « Α ή Β »

Είναι: Α Β = x Ω / x Α ή x Β∈ ∈ ∈∪

Ιδιότητες: Για την ένωση δύο ενδεχομένων Α, Β ισχύουν οι εξής ιδιότητες: 1) Α ⊆ Α Β∪ 2) Β ⊆ Α Β∪ 3) Αν Α ⊆ Β τότε Α Β = Β∪

3) ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΕΝΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟΥ Το συμπληρωματικό ή αντίθετο ενδεχόμενο του Α

συμβολίζεται Α΄ και είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α.

Άρα το ενδεχόμενο Α΄ πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α.

Το ενδεχόμενο Α΄ διαβάζεται: «συμπληρωματικό του Α» ή «συμπλήρωμα του Α»

ή « αντίθετο του Α » ή « όχι Α »

Είναι: Α = x Ω / x Α ΄ ∈ ∉

Ιδιότητες: Για το συμπληρωματικό ενδεχόμενο Α΄ ισχύουν οι εξής ιδιότητες: 1) Α Α = ∅∩ ΄ 2) Α Α = Ω∪ ΄ 3) ′∅ = Ω

4) Ω = ∅΄ 5) ( )Α = Α΄ ΄ 6) Α =Β⇔Α Β=∅∩΄ και Α Β= Ω∪

A∪ B

A B

Ω

A

′ΑΩ

Page 5: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

5

4) ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Η διαφορά του Β από το Α συμβολίζεται Α Β− και είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του

Α που δεν ανήκουν στο Β. Άρα το ενδεχόμενο Α Β−

πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α αλλά

όχι το Β.

Το ενδεχόμενο Α Β− διαβάζεται: « διαφορά του Β από το Α »

ή « μόνο το Α » ή « Α αλλά όχι Β »

Είναι: Α Β = x Ω / x Α και x Β− ∈ ∈ ∉

Ιδιότητες: Για τη διαφορά Α Β− ( )ή Β Α− ισχύουν οι εξής ιδιότητες: 1) ΄Α − Β = Α Β∩ 2) Α − ∅ = Α 3) Α − Ω = ∅ 4) Ω − Α = Α

5) Α − Β ⊆ Α 6) ΄Α − Β ⊆ Β 7) Β − Α ⊆ Β 8) ΄Β − Α ⊆ Α

Σημείωση: Για δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει:

Α Β Β Α΄ ΄− = −

Πράγματι ( )΄ ΄ ΄ ΄ ΄ ΄ ΄Α − Β = Α Β = Α Β = Β Α = Β − Α∩ ∩ ∩

ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα ή

ξένα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα όταν δεν έχουν κανένα

κοινό στοιχείο, δηλαδή όταν ισχύει Α Β = ∅∩ .

Παραδείγματα: Χρήσιμα παραδείγματα ασυμβιβάστων ενδεχομένων είναι τα:

1) Α και Α΄ 2) Α – Β και Β – Α

3) Α – Β και Α Β∩ 4) Β – Α και Α Β∩

A - B

A B

Ω

Α

Β

Ω

Page 6: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

6

Ε Ν Ν Ο Ι Α Τ Η Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Α Σ

Σ Χ Ε Τ Ι Κ Η Σ Υ Χ Ν Ο Τ Η Τ Α ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο το πεπερασμένο σύνολο 1 2 3 ν .Ω = ω ,ω ,ω ,…,ω

Αν σε ν εκτελέσεις του πειράματος τα απλά ενδεχόμενα 1 2 3 νω , ω , ω , … , ω

πραγματοποιούνται 1 2 3, , , , νκ κ κ … κ φορές αντίστοιχα, τότε ονομάζουμε σχετικές

συχνότητες των ενδεχομένων 1 2 3 νω , ω , ω , … , ω τους αριθμούς:

3 ν1 21 2 3 ν .κ κκ κf = , f = , f = , . . . , f =ν ν ν ν

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι σχετικές συχνότητες έχουν τις παρακάτω ιδιότητες:

• i 0 f 1 , i =1 , 2 , 3 ,..., ν ≤ ≤ (αφού i0 ≤ κ ≤ ν )

• 1 2 3 ν1 2 3 ν

κ + κ + κ + ....κ νf + f + f + ....f = = = 1ν ν

ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Αν ο αριθμός των δοκιμών ενός πειράματος τύχης αυξάνεται απεριόριστα, τότε οι σχετικές

συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων του πειράματος σταθεροποιούνται γύρω

από κάποιους αριθμούς (όχι πάντοτε ίδιους). ΟΡΙΣΜΟΣ

Πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α, ονομάζεται ένας αριθμός που δείχνει το μέτρο της

«προσδοκίας» με την οποία αναμένουμε την πραγματοποίηση του ενδεχομένου. ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αν τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ( στοιχεία του Ω ) είναι ισοπίθανα

ονομάζουμε πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχομένου Α τον αριθμό:

Πλήθος ευνοικών περιπτώσεων Ν(Α)Ρ(Α) = =Πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ν(Ω)

Page 7: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

7

Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι:

1) Ν(Ω)Ρ(Ω) = =1Ν(Ω)

2) Ν( ) 0Ρ( ) = = = 0Ν(Ω) ν

∅∅

3) Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ( ) 1≤ Ρ Α ≤ , αφού 0 ( ) ( )≤ Ν Α ≤ Ν Ω .

Παρατήρηση:

Όταν έχουμε ένα δειγματικό χώρο 1 2 3 νΩ = ω ,ω ,ω ,…,ω και χρησιμοποιούμε τη φράση

« παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω » εννοούμε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα του

Ω είναι ισοπίθανα και άρα μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κλασικό ορισμό για τον

υπολογισμό της πιθανότητας οποιουδήποτε ενδεχομένου του Ω.

ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Έστω 1 2 3 νΩ = ω ,ω ,ω ,…,ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων.

Σε κάθε απλό ενδεχόμενο iω , i = 1, 2, 3,..., ν αντιστοιχίζουμε ένα πραγματικό αριθμό,

τον οποίο συμβολίζουμε με i( ),Ρ ω έτσι ώστε να ισχύουν:

• i0 Ρ(ω ) 1≤ ≤ , i =1, 2, 3,..., ν

• ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 νΡ(Ω) = Ρ ω +Ρ ω +Ρ ω +...+Ρ ω =1

Τον αριθμό i( )Ρ ω ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου i .ω

Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου 1 2 3 κΑ = α ,α ,α ,….,α ≠ ∅ ορίζουμε το άθροισμα

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ,κΡ Α = Ρ α + Ρ α + Ρ α +…+ Ρ α ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ∅

ορίζουμε τον αριθμό Ρ(∅ )= 0 .

Παρατήρηση:

Αν i 1Ρ(ω ) =ν

, i = 1, 2 , 3,..., ν με 1 2 3 νΩ = ω ,ω ,ω ,…,ω , τότε έχουμε τον κλασικό

ορισμό της πιθανότητας. Στην πράξη ιδιαίτερα στην περίπτωση που δεν ισχύει ο κλασικός

ορισμός της πιθανότητας, ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α λαμβάνεται το όριο της

σχετικής του συχνότητας (όταν ο αριθμός των δοκιμών τείνει στο άπειρο). Δηλαδή ισχύει:

ii i νν

κΡ(ω ) = lim f = limν→ ∞→ ∞

, i = 1, 2 , 3,..., ν .

Page 8: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

8

ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1

Απλός προσθετικός νόμος:

Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού

χώρου Ω ισχύει:

Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

Απόδειξη

Έστω ότι ( )Ν Α =κ και ( )Ν Β =λ. Επειδή τα ενδεχόμενα Α

και Β είναι ασυμβίβαστα ισχύει ( )Ν Α Β =κ+λ,∪ δηλαδή

Ν(ΑUΒ) Ν(Α) + Ν(Β).= Είναι:

Ν(ΑUΒ) Ν(Α) + Ν(Β) Ν(Α) Ν(Β)Ρ(ΑUΒ) = =

Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω)= + =

= Ρ (Α) + Ρ (Β)

Σημείωση: Αν Α , Β , Γ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , ανά δύο

ασυμβίβαστα, τότε ισχύει: ( ) ( ) ( )Ρ(ΑUΒUΓ) = Ρ Α +Ρ Β +Ρ Γ .

2

Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

Ρ(Α ) = 1 Ρ(Α)΄ −

Απόδειξη

Είναι Α Α = ∅∩ ΄ (1) και Α Α = Ω∪ ΄ (2).

Τα ενδεχόμενα Α και Α΄ είναι ασυμβίβαστα (1), οπότε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε:

(2)Ρ( ) = Ρ( ) Ρ( ) Ρ( ) = Ρ( ) Ρ( )Α Α Α + Α Ω Α + Α ⇔⇔∪ ΄ ΄ ΄

1 = Ρ( ) Ρ( ) Ρ( ) = 1 Ρ( ).Α + Α ⇔ Α − Α⇔ ΄ ΄

Α

Ω

Β

Α

ΑΩ

Page 9: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

9

3

Προσθετικός νόμος:

Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β)− ∩

Απόδειξη

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε:

Ν (ΑUΒ ) Ν (Α) + Ν (Β ) Ν (Α Β )= − ∩ (1) , αφού στο

στο άθροισμα Ν(Α) + Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων του

Α Β∩ υπολογίζεται δύο φορές. Είναι:

Ν (ΑUΒ ) Ν (Α ) + Ν (Β ) Ν (Α Β )Ρ (ΑUΒ ) = =

Ν (Ω ) Ν (Ω )−

=∩

Ν (Α) Ν (Β) Ν (Α Β)

Ρ(Α) + Ρ(Β) (Α Β)Ν (Ω) Ν (Ω) Ν(Ω)

+ == − − Ρ∩

4

Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

Αν Α Β⊆ , τότε .Ρ (Α ) Ρ (Β )≤

Απόδειξη

Είναι Α Β⊆ , οπότε ( ) ( )Ν Α Ν Β .≤

Έχουμε διαδοχικά:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )Ν Α Ν Β

Ν Α Ν Β Ρ Α Ρ Β .Ν Ω Ν Ω

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Προσοχή: Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν ( ) ( )Ρ Α ≤ Ρ Β αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι .Α ⊆ Β Π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού για τα ενδεχόμενα

1 , 2Α = και 3 , 4 , 5Β = ισχύει 2 3( ) ( )6 6

= Ρ Α ≤ Ρ Β = , ενώ Α ⊆ Β .

Παρατήρηση: Ισχύουν:

α) ( )( )Ρ Α Β ≤ Ρ Α∩ , αφού Α Β ⊆ Α∩ β) ( )( )Ρ Α Β ≤ Ρ Β∩ , αφού Α Β ⊆ Β∩ γ) ( )( )Ρ Α ≤ Ρ Α Β∪ , αφού Α ⊆ Α Β∪ δ) ( )( )Ρ Β ≤ Ρ Α Β∪ , αφού Β ⊆ Α Β∪ ε) ( )( )Ρ Α Β ≤Ρ Α Β∩ ∪ , αφού Α Β⊆Α Β∩ ∪ στ) ( )( )Ρ Α − Β ≤ Ρ Α , αφού Α − Β ⊆ Α ζ) ( )( ) ΄Ρ Α − Β ≤ Ρ Β , αφού ΄Α − Β ⊆ Β

Ω

Β Α

ΩΑ

ΒΑ Β∪

Page 10: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

10

5

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

Ρ(Α ) = Ρ(Α) Ρ(Α )Β Β−− ∩

Απόδειξη

Είναι: ( ) ( )Α − Β Α Β = ∅∩ ∩ (1) και

( ) ( )Α − Β Α Β = Α∪ ∩ (2).

Τα ενδεχόμενα Α − Β και Α Β∩ είναι ασυμβίβαστα (1),

οπότε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: ( )

(2)Ρ ( ) ( ) = Ρ ( ) Ρ ( )Α − Β Α Β Α − Β + Α Β ⇔∪ ∩ ∩

Ρ ( ) = Ρ ( ) Ρ ( )Α Α − Β + Α Β ⇔⇔ ∩

Ρ ( ) Ρ ( ) Ρ ( )⇔ Α − Β = Α − Α Β∩

6

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

( )Ρ (Α Β ) (Β Α ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) 2Ρ(Α Β )−− −∪ ∩

Απόδειξη

Τα ενδεχόμενα Α − Β και Β − Α είναι ασυμβίβαστα,

οπότε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε:

( )Ρ ( ) ( ) Ρ ( ) Ρ ( )Α − Β Β − Α = Α − Β + Β − Α =∪

Ρ ( ) Ρ ( ) Ρ ( ) Ρ ( )= Α − Α Β + Β − Α Β =∩ ∩

Ρ ( ) Ρ ( ) 2Ρ ( ).= Α + Β − Α Β∩

Παρατήρηση: Επειδή τα ενδεχόμενα – , , –Α Β Α Β Β Α∩ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα

και ικανοποιούν τη σχέση ( – ) ( ) ( – ) ,Α Β Α Β Β Α = Α Β∪ ∩ ∪ ∪ ισχύει:

( )( – ) ( ) ( – ) ( – ) ( ) ( – )Ρ Α Β Α Β Β Α =Ρ Α Β +Ρ Α Β +Ρ Β Α∪ ∩ ∪ ∩

( )Ρ Α Β =Ρ(Α–Β)+Ρ(Α Β)+Ρ(Β–Α)∪ ∩

Παρατήρηση: Επίσης ισχύει:

Ρ (Β ) = Ρ (Β) Ρ (Α )Α Β− − ∩

ΩΑ

ΒΑ − Β

( ) ( )Α − Β Β − Α∪

ΑΒ

Ω

Page 11: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

11

Π Ι Ν Α Κ Α Σ

Τ Υ Π Ω Ν Ε Κ Φ Ρ Α Σ Ε Ω Ν Κ Α Ι Δ Ι Α Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ω Ν

ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Venn

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Δειγματικός Χώρος

Βασικό Σύνολο

( ) 1Ρ Ω =

Απλό αποτέλεσμα πειράματος

Στοιχείο α του Ω

Ενδεχόμενο

Υποσύνολο του Ω

Α ⊆ Ω

0 ( ) 1≤ Ρ Α ≤

Βέβαιο Ενδεχόμενο

Το Βασικό

Σύνολο Ω

( ) 1Ρ Ω =

Αδύνατο Ενδεχόμενο

Το Κενό Σύνολο

( ) 0Ρ ∅ =

Το Α δεν πραγματοποιείται

Α :

Συμπλήρωμα του Α

(Αντίθετο του Α)

( ) 1 ( )Ρ Α = − Ρ Α΄

Πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β

( μόνο το Α )

Α − Β = Α Β∩ ΄

( ) ( )( ) ( )

Ρ Α−Β =Ρ Α Β =

=Ρ Α −Ρ Α Β

∩∩

΄

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Α

Α

Β

Α

Α − Β

α

Α

Ω

Page 12: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

12

Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β

( Α ή Β )

Α Β∪

( )( ) ( ) ( )

Ρ Α Β =

=Ρ Α +Ρ Β −Ρ Α Β

∪∩

Πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β

( Α και Β )

Α Β∩

( )( ) ( ) ( )

Ρ Α Β =

=Ρ Α +Ρ Β −Ρ Α Β

∩∪

Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β

( ή Α ή Β )

( ) ( )Α − Β Β − Α∪ ή

( ) ( )΄ ΄Α Β Α Β∩ ∪ ∩

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) 2

Ρ Α−Β Β−Α =

=Ρ Α−Β +Ρ Β−Α =

=Ρ Α +Ρ Β − Ρ Α Β

⎡ ⎤⎣ ⎦∪

Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β (ούτε το Α ούτε το Β)

( )΄ ΄ ΄Α Β = Α Β∩ ∪

1ος Νόμος De Morgan

[ ]( ) ( )

1 ( )

΄΄ ΄Ρ Α Β =Ρ Α Β =

= −Ρ Α Β

∩ ∪

Δεν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β (το πολύ ένα από Α και Β)

( )΄ ΄ ΄Α Β = Α Β∪ ∩

2ος Νόμος De Morgan

[ ]( ) ( )

1 ( )

΄ ΄ ΄Ρ Α Β =Ρ Α Β =

= −Ρ Α Β

∪ ∩

Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα

Α, Β και Γ ( Α ή Β ή Γ )

Α Β Γ∪ ∪

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

Ρ Α Β Γ =Ρ Α +Ρ Β

+Ρ Γ −Ρ Α Β −Ρ Β Γ

−Ρ Γ Α +Ρ Α Β Γ

∪ ∪∩ ∩

∩ ∩ ∩

ΩΑ

Α

Α

Α

Α

Α

Β

Β

Β

Β

Β

Β

Α Β∪

Α Β∩

΄ ΄Α Β∩

΄ ΄Α Β∪

Α Β Γ∪ ∪

Ω

Ω

Ω

Ω

Γ

Ω

Page 13: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

13

Π Α Ρ ΑΔ Ε Ι Γ Μ Α Τ Α

1.

Δύο φίλοι παίζουν τένις με την εξής συμφωνία:

“κερδίζει αυτός που θα πάρει πρώτος τρία σετ ή δύο συνεχόμενα σετ”.

Έστω α η περίπτωση να νικήσει ο πρώτος και β να νικήσει ο δεύτερος σε ένα σετ.

α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. β) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:

Α : « να τελειώσει ο αγώνας σε δύο σετ ».

Β : « να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ».

γ) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:

Α Β∩ , Α Β− και Β΄. Λύση

α) Από το παραπάνω δεντροδιάγραμμα βρίσκουμε το δειγματικό χώρο του πειράματος,

που είναι Ω = αα , αβαα , αβαβα , αβαββ , αββ , ββ , βαα , βαβαα , βαβαβ , βαββ.

β) Είναι Α = αα , ββ

Β = αβαββ , αββ , ββ , βαβαβ , βαββ .

γ) Είναι = ββΑ Β∩

= ααΑ − Β

Β΄= αα , αβαα , αβαβα , βαα , βαβαα .

α

α

β α

β β

α α

β

β β

α α

β α

α

β β

5ο σετ1ο σετ 2ο σετ 3ο σετ 4ο σετ

Page 14: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

14

2.

Έστω Ω ο δειγματικός χώρος των μαθητών - μαθητριών ενός Γενικού Λυκείου. Θεωρούμε τα ενδεχόμενά του:

Α : « μαθητές - μαθήτριες της 1ης τάξης »

Β : « μαθητές - μαθήτριες της 2ης τάξης »

Γ : « μαθητές - μαθήτριες της 3ης τάξης »

Χ : « μαθητές » και

Ψ : « μαθήτριες ».

Να εκφραστούν με λόγια τα σύνολα:

α) Χ Γ∩ β) Ψ (Α Β)΄∩ ∪ γ) ( )Β Γ Χ∩ ∪ δ) ( )Ψ Α Β .∪−

Λύση α) To ενδεχόμενο Χ αποτελείται από τους μαθητές του Γενικού Λυκείου .

To ενδεχόμενο Γ αποτελείται από τους μαθητές και τις μαθήτριες της 3ης τάξης. Επομένως το ενδεχόμενο Χ Γ∩ αποτελείται από τους μαθητές της 3ης τάξης του Γενικού Λυκείου.

β) To ενδεχόμενο Ψ αποτελείται από τις μαθήτριες του Γενικού Λυκείου .

Το ενδεχόμενο Α Β∪ αποτελείται από τους μαθητές και τις μαθήτριες της 1ης και 2ης τάξης, οπότε το ενδεχόμενο ( )Α Β∪ αποτελείται από τους μαθητές και τις μαθήτριες της 3ης τάξης. Επομένως το ενδεχόμενο ( )Ψ Α Β∩ ∪ αποτελείται από τις μαθήτριες της 3ης τάξης του Γενικού Λυκείου.

γ) Το ενδεχόμενο ,Β Γ = ∅∩ αφού δεν υπάρχει μαθητής – μαθήτρια που να φοιτά

συγχρόνως στην 2η και 3η τάξη. Άρα τo ενδεχόμενο ( )Β Γ Χ = ∅ Χ = Χ∩ ∪ ∪ αποτελείται από τους μαθητές του Γενικού Λυκείου. δ) To ενδεχόμενο Ψ αποτελείται από τις μαθήτριες του Γενικού Λυκείου .

Το ενδεχόμενο Α Β∪ αποτελείται από τους μαθητές και τις μαθήτριες της 1ης και 2ης τάξης. Επομένως το ενδεχόμενο ( )Ψ − Α Β∪ αποτελείται από τις μαθήτριες της 3ης τάξης του Γενικού Λυκείου.

Page 15: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

15

3.

Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι συγχρόνως και ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α : « το αποτέλεσμα του ζαριού να είναι μικρότερο του 4 » και

Β : « γράμματα στο νόμισμα και περιττό αποτέλεσμα στο ζάρι ».

Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω , να υπολογιστούν οι

πιθανότητες των ενδεχομένων:

α) Α β) Β γ) Α Β∩ δ) Α Β∪

Λύση

Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του

πειράματος χρησιμοποιούμε τον πίνακα

“ δ ι π λ ή ς ε ι σ ό δ ο υ ” που φαίνεται στο

διπλανό σχήμα.

Ο δειγματικός χώρος Ω είναι: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6Ω = Κ Κ Κ Κ Κ Κ Γ Γ Γ Γ Γ Γ με ( ) 12.Ν Ω =

Αφού επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας.

α) Το ενδεχόμενο Α είναι:

1, 2, 3, 1, 2, 3Α = Κ Κ Κ Γ Γ Γ με ( ) 6,Ν Α = άρα ( ) 6 1( ) .( ) 12 2

Ν ΑΡ Α = = =Ν Ω

β) Το ενδεχόμενο Β είναι:

1, 3, 5Β = Γ Γ Γ με ( ) 3,Ν Β = άρα ( ) 3 1( ) .( ) 12 4

Ν ΒΡ Β = = =Ν Ω

γ) Το ενδεχόμενο Α Β∩ είναι:

1, 3Α Β = Γ Γ∩ με ( ) 2,Ν Α Β =∩ άρα ( ) 2 1( ) .( ) 12 6

Ν Α ΒΡ Α Β = = =Ν Ω∩∩

δ) Το ενδεχόμενο Α Β∪ είναι:

1, 2, 3, 1, 2, 3, 5Α Β= Κ Κ Κ Γ Γ Γ Γ∪ με ( ) 7,Ν Α Β =∪ άρα ( ) 7( ) .( ) 12

Ν Α ΒΡ Α Β = =Ν Ω∪∪

Σημείωση:

Η πιθανότητα ( )Ρ Α Β∪ υπολογίζεται και με τον προσθετικό νόμο ως εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 3 2 7

12 12 12 12Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β = + − =∪ ∩ .

Ζάρι

Νόμισμα

1

2

3

4

5

6

Κ

Κ1

Κ2

Κ3

Κ4

Κ5

Κ6

Γ

Γ1

Γ2

Γ3

Γ4

Γ5

Γ6

Page 16: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

16

4.

Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … ,1000 και τα ενδεχόμενά του:

Α : « αριθμός πολλαπλάσιο του 4 » και

Β : « αριθμός πολλαπλάσιο του 6 » .

Επιλέγουμε στην τύχη έναν αριθμό. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Α β) Β γ) Α Β∩ δ) Α Β∪ ε) Α Β−

Λύση

Αφού επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας.

α) Είναι .4, 8, 12, 16,...,1000Α= Τα στοιχεία του ενδεχομένου Α είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1α = 4, διαφορά ω = 4 και νιοστό όρο να =1000.

Είναι ( )ν 1α α ν –1 ω ,= + οπότε έχουμε 1000 4 4(ν 1) 4ν 1000 ν 250.= + − ⇔ = ⇔ =

Είναι ( ) 250,Ν Α = άρα ( ) 250( ) 0,25 .( ) 1000

Ν ΑΡ Α = = =Ν Ω

β) Είναι .6, 12, 18, 24,...,996Β= Τα στοιχεία του ενδεχομένου Β είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1β = 6, διαφορά ω = 6 και νιοστό όρο νβ 996.=

Είναι ( )ν 1β β ν –1 ω ,= + οπότε έχουμε 996 6 6(ν 1) 6 ν 996 ν 166.= + − ⇔ = ⇔ =

Είναι ( ) 166,Ν Β = άρα ( ) 166( ) 0,166 .( ) 1000

Ν ΒΡ Β = = =Ν Ω

γ) Το ενδεχόμενο Α Β∩ αποτελείται από τους αριθμούς, οι οποίοι είναι ταυτόχρονα πολλαπλάσια του 4 και του 6, δηλαδή από τα πολλαπλάσια του 12. Επομένως είναι

.12, 24, 36,...,996Α Β=∩ Τα στοιχεία του ενδεχομένου Α Β∩ είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1γ =12 διαφορά ω =12 και νιοστό όρο νγ 996.=

Είναι ( )ν 1γ γ ν –1 ω ,= + οπότε έχουμε 996 12 12(ν 1) 12ν 996 ν 83.= + − ⇔ = ⇔ =

Είναι ( ) 83,Ν Α Β =∩ άρα ( ) 83( ) 0,083 .( ) 1000

Ν Α ΒΡ Α Β = = =Ν Ω∩∩

δ) Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) 250 166 83 333 0,333.1000 1000 1000 1000

Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β = + − = =∪ ∩

ε) Είναι ( ) ( ) ( ) 250 83 167 0,167.1000 1000 1000

Ρ Α − Β = Ρ Α − Ρ Α Β = − = =∩

Page 17: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

17

5.

Έστω ένας τριψήφιος αριθμός 2 4 x . Επιλέγουμε τυχαία το ψηφίο των μονάδων Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) « ο αριθμός διαιρείται με το 3 και με το 5 »

β) « ο αριθμός διαιρείται με το 3 ή με το 5 »

γ) « ο αριθμός διαιρείται μόνο με το 3 »

δ) « ο αριθμός διαιρείται ή με το 3 ή με το 5 »

ε) « ο αριθμός δεν διαιρείται ούτε με το 3 ούτε με το 5 »

στ) « ο αριθμός διαιρείται με έναν το πολύ από τους αριθμούς 3 και 5 » .

Λύση

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249Ω =

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α : « ο αριθμός διαιρείται με το 3 » και

Β : « ο αριθμός διαιρείται με το 5 » .

Αφού επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Το ενδεχόμενο Α είναι:

240, 243, 246, 249Α = με ( ) 4,Ν Α = άρα ( ) 4( ) 0,4 .( ) 10

Ν ΑΡ Α = = =Ν Ω

Το ενδεχόμενο Β είναι:

240, 245Β = με ( ) 2,Ν Β = άρα ( ) 2( ) 0,2.( ) 10

Ν ΒΡ Β = = =Ν Ω

α) Το ενδεχόμενο Α Β∩ είναι:

240Α Β =∩ με ( ) 1,Ν Α Β =∩ άρα ( ) 1( ) 0,1.( ) 10

Ν Α ΒΡ Α Β = = =Ν Ω∩∩

β) Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,2 0,1 0,5.Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β = + − =∪ ∩

γ) Είναι ( ) ( ) ( ) 0,4 0,1 0,3.Ρ Α − Β = Ρ Α − Ρ Α Β = − =∩

δ) Είναι ( )Ρ ( ) ( ) Ρ( ) Ρ( ) 2Ρ( ) 0,4 0,2 2 0,1 0,4Α − Β Β − Α = Α + Β − Α Β = + − ⋅ = .∪ ∩

ε) Είναι ( ) ( )Ρ Ρ ( ) 1 Ρ( ) 0,51 0,5΄ ΄ ΄Α Β = Α Β = − Α Β = − = .∩ ∪ ∪

στ) Είναι ( )Ρ ( ) 1 Ρ( ) 0,91 0,1΄Α Β = − Α Β = − = .∩ ∩

Page 18: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

18

6.

Θεωρούμε το δειγματικό χώρο 1 2 3 4Ω = ω , ω , ω , ω .

α) Αν ( )11Ρ ω =2

, ( )21Ρ ω =4

, ( )31Ρ ω =8

, να βρεθεί η ( )4 .Ρ ω

β) Αν ( ) ( )1 41Ρ ω Ρ ω6

= = και ( ) ( )⋅2 33Ρ ω Ρ ω= , να βρεθούν οι ( )2Ρ ω και ( ).3Ρ ω

γ) Αν 1 2Α ω , ω ,= 2 4Β ω , ω ,= ( )11Ρ ω ,4

= ( ) 1Ρ Α2

= και ( ) 7Ρ Β12

= , να

η ( ).3Ρ ω

Λύση

α) Είναι:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 4 1 2 3Ρ ω Ρ ω Ρ ω Ρ ω 1 Ρ ω 1 Ρ ω Ρ ω Ρ ω + + + = ⇔ = − − − ⇔

( ) ( )4 41 1 1 1Ρ ω 1 Ρ ω .2 4 8 8

⇔ = − − − ⇔ =

β) Είναι:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 3 36 61 1Ρ ω Ρ ω Ρ ω Ρ ω 1 3 Ρ ω Ρ ω 1 + + + = ⇔ + ⋅ + + = ⇔

( ) ( ) ( )3 3 36 6 3 61 1 2 14 Ρ ω 1 4 Ρ ω Ρ ω .⇔⇔ ⋅ = − − ⇔ ⋅ = =

• ( ) ( )2 3 6 21 1Ρ ω Ρ ω .= 3⋅ = 3 ⋅ =

γ) Είναι:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2 21 1 1 1 1Ρ Α Ρ ω + Ρ ω Ρ ω Ρ ω Ρ ω .2 4 2 4 4

−= ⇔ = + ⇔ = ⇔ =

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 4 47 1 7 1 1Ρ Β Ρ ω + Ρ ω Ρ ω Ρ ω Ρ ω .

12 4 12 4 3−= ⇔ = + ⇔ = ⇔ =

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 3 1 2 4Ρ ω Ρ ω Ρ ω Ρ ω 1 Ρ ω 1 Ρ ω Ρ ω Ρ ω + + + = ⇔ = − − − ⇔

( ) ( )3 31 1 1 1Ρ ω 1 Ρ ω .4 4 3 6

⇔ = − − − ⇔ =

Page 19: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

19

7.

Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … ,50 . Αν ισχύει ( ) κκ 1Ρ = ,3

κ = 1, 2, 3, 4 , ... , 50 , να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) ( )Ρ 0

β) ( )Ρ Α με Α = 2 , 4 , 6 , 8 , … ,50 .

Λύση

α) Είναι:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ 0 Ρ 1 Ρ 2 Ρ 3 Ρ 4 Ρ 50 1+ + + + + ... + = .

Χρησιμοποιώντας τον τύπο κ1Ρ(κ) = , κ = 1, 2 , 3, 4 ,....,503

έχουμε:

2 3 4 50 2 3 4 501 1 1 1 1 1 1 1 1 1(0) ... 1 (0) 1 ...3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ρ + + + + + + = ⇔ Ρ = − + + + + + (1).

Η παράσταση 2 3 4 5 0

1 1 1 1 1. . .3 3 3 3 3

+ + + + + είναι άθροισμα 50 διαδοχικών

όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 11α =3 και λόγο 1λ .

3=

Από τον τύπο ( )ν1

ν

α λ 1S

λ 1−

=−

έχουμε 50

50 50

50 50

50

1 1 1 1 313 3 3 3 3 1S 1 2 2 31

3 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠=

−⋅ − ⋅−= =

⋅− −,

οπότε από την (1) έχουμε 50 50

50 503 1 3 1(0) 1 (0)2 3 2 3

− +Ρ = − ⇔ Ρ =⋅ ⋅

.

β) Είναι:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 501 1 1 1Ρ Α = Ρ 2 +Ρ 4 +Ρ 6 +…+Ρ 50 .....3 3 3 3

= + + + + , που είναι άθροισμα

25 διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 2

1α =3

και λόγο 2λ 1=3

,

οπότε

25 50

2 2 2 50 50

25 50

2 2

1 1 1 1 313 3 3 3 3 1Ρ(Α) = S = = = .1 8 8 31

3 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

−⋅ − ⋅−

⋅− −

Page 20: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

20

8.

Θεωρούμε το δειγματικό χώρο 1 2 3 4Ω = ω , ω , ω , ω ενός πειράματος τύχης. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ , ώστε οι αριθμοί λ1 ,

4− 1 ,

2 λ 1

4λ και λ ,

16

να παριστάνουν αντίστοιχα τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων ,1ω ,2ω

3ω και .4ω

Λύση

Για να είναι ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4λ 1 1 λΡ ω 1 , Ρ ω , Ρ ω και Ρ ω 4 2λ 4λ 16

= − = = = πρέπει και αρκεί:

• ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4Ρ ω Ρ ω Ρ ω Ρ ω 1+ + + = και

• ( )i0 Ρ ω 1≤≤ για κάθε i =1, 2 , 3 , 4.

Έχουμε λοιπόν: • ( ) ( ) ( ) ( )

16λ

1 2 3 42 2λ 1 1 λΡ ω Ρ ω Ρ ω Ρ ω 1 1 =1 4λ +8+4+λ = 0

4 2λ 4λ 16

+ + + = ⇔ − + + + ⇔− ⇔

2 23λ 12 0 λ 4 λ 2 ή λ 2 .− = ⇔ = ⇔ = = −

• Για λ 2= είναι:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42 1 1 1 1 1 2 1Ρ ω 1 , Ρ ω , Ρ ω και Ρ ω ,4 2 2 2 4 4 2 8 16 8

= − = = = = = = =⋅ ⋅

άρα η τιμή λ 2= είναι δεκτή.

• Για λ 2= − είναι:

( ) [ ]21 1Ρ ω 0 ,1

2 ( 2) 4= = − ∉

⋅ −, άρα η τιμή λ 2= − απορρίπτεται.

Page 21: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

21

9.

Ένα κουτί περιέχει 5 κίτρινες, x πράσινες και y γαλάζιες μπάλες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα από το κουτί. Αν η πιθανότητα να πάρουμε πράσινη ή γαλάζια

μπάλα είναι 34

, ενώ η πιθανότητα να πάρουμε κίτρινη ή γαλάζια είναι 35

, τότε:

α) Να βρείτε τα x , y καθώς επίσης και πόσες μπάλες έχει το κουτί. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να πάρουμε κίτρινη ή πράσινη μπάλα.

Λύση

Ο δειγματικός χώρος Ω περιέχει ( ) x y 5Ν Ω = + + ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Κ : « να πάρουμε κίτρινη μπάλα » , με ( ) 5Ν Κ = ,

Π : « να πάρουμε πράσινη μπάλα » , με ( ) xΝ Π = και

Γ : « να πάρουμε γαλάζια μπάλα » , με ( ) yΝ Γ = .

Είναι Ν(Κ) 5 Ν(Π) xΡ(Κ) = = , Ρ(Π) = = Ν(Ω) x + y + 5 Ν(Ω) x + y + 5

και yΡ(Γ) = .x + y + 5

α) Το ενδεχόμενο « να πάρουμε πράσινη ή γαλάζια μπάλα » είναι το Π Γ∪ με

πιθανότητα ( ) 34

Ρ Π Γ =∪ . Τα ενδεχόμενα Π και Γ είναι ασυμβίβαστα, οπότε: 3 x y 3 x + yΡ(ΠUΓ) Ρ(Π) + Ρ(Γ) +

4 x + y + 5 x + y + 5 4 x + y + 5= ⇔ = ⇔ = ⇔

3x + 3y +15 4x + 4y x + y 15 (1) .= ⇔ =

Το ενδεχόμενο « να πάρουμε κίτρινη ή γαλάζια μπάλα » είναι το Κ Γ∪ με

πιθανότητα ( ) 35

Ρ Κ Γ =∪ . Τα ενδεχόμενα Κ και Γ είναι ασυμβίβαστα, οπότε: 3 5 y 3 5 + yΡ(ΚUΓ) Ρ(Κ) + Ρ(Γ) +

5 x + y + 5 x + y + 5 5 x + y + 5= ⇔ = ⇔ = ⇔

3x + 3y +15 25 + 5y 3x y 10 (2) .= ⇔ − 2 =

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) και βρίσκουμε x 8= και y 7,=

άρα το κουτί περιέχει 5 8 7 20 + + = μπάλες.

β) Τα ενδεχόμενα Κ και Π είναι ασυμβίβαστα, άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου

Κ Π∪ είναι:

( ) ( ) 5 8 13( ) ( ) ( )( ) ( ) 20 20 20

Ν Κ Ν ΠΡ Κ Π = Ρ Κ + Ρ Π = + = + =Ν Ω Ν Ω

∪ .

Page 22: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

22

10.

Στο σύλλογο των καθηγητών ενός Λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία ένα καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή.

Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι:

α) Γυναίκα ή φιλόλογος β) Γυναίκα και όχι φιλόλογος

γ) Άνδρας φιλόλογος δ) Άνδρας ή φιλόλογος (Πανελλήνιες εξετάσεις 2003)

Λύση

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Γ : « γυναίκα καθηγήτρια »

Φ : « φιλόλογος »

Είναι Ρ(Γ) = 0,55 και Ρ(Φ) = 0,40. Επειδή οι γυναίκες φιλόλογοι είναι το 30 % ισχύει ( ) 0,30.Ρ Γ Φ =∩

Το ενδεχόμενο « άνδρας καθηγητής » είναι το Γ΄ με πιθανότητα:

( ) 1 ( ) 1 0,55 0,45΄Ρ Γ = − Ρ Γ = − = .

Είναι:

α) Το ενδεχόμενο « γυναίκα ή φιλόλογος » είναι το Γ Φ∪ με πιθανότητα:

( ) ( )( ) ( ) 0,55 0,40 0,30 0,65Ρ Γ Φ = Ρ Γ + Ρ Φ − Ρ Γ Φ = + − =∪ ∩ , δηλαδή 65%.

β) Το ενδεχόμενο « γυναίκα και όχι φιλόλογος » είναι το ΄Γ Φ∩ με πιθανότητα:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,55 0,30 0, 25΄Ρ Γ Φ = Ρ Γ − Φ = Ρ Γ − Ρ Γ Φ = − =∩ ∩ , δηλαδή 25%.

γ) Το ενδεχόμενο « άνδρας φιλόλογος » είναι το ΄Γ Φ∩ με πιθανότητα:

( ) ( ) ( ) ( ) 0, 40 0,30 0,10΄Ρ Γ Φ = Ρ Φ − Γ = Ρ Φ − Ρ Γ Φ = − =∩ ∩ , δηλαδή 10%.

δ) Το ενδεχόμενο « άνδρας ή φιλόλογος » είναι το ΄Γ Φ∪ με πιθανότητα:

( ) ( )( ) ( ) 0,45 0,40 0,30 0,75΄ ΄ ΄Ρ Γ Φ = Ρ Γ + Ρ Φ − Ρ Γ Φ = + − =∪ ∩ , δηλαδή 75%.

Page 23: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

23

11.

Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β είναι 7

10, ενώ η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από αυτά είναι 17

20,

να βρείτε:

α) Την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β.

β) Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το Α είναι 25

, να βρείτε τις Ρ(Α)

και Ρ(Β).

Λύση

• Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β είναι το ( ) ( )Α − Β Β − Α∪ , οπότε έχουμε: ( ) ( ) ( )7 7

( ) ( ) ( ) 210 10

Ρ Α − Β Β − Α = ⇔ Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β =∪ ∩ (1).

• Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β είναι το Α Β∪ , οπότε έχουμε:

( ) ( )17 17( ) ( )

20 20Ρ Α Β = ⇔ Ρ Α + Ρ Β −Ρ Α Β =∪ ∩ (2).

α) Αν από τη σχέση (2) αφαιρέσουμε τη σχέση (1) έχουμε ( ) 17 7 320 10 20

Ρ Α Β = − =∩ (3).

β) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α είναι το Α − Β , οπότε έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(3)2 2 3 8 11

5 5 20 20 20Ρ Α − Β = ⇔ Ρ Α − Ρ Α Β = ⇔ Ρ Α − = ⇔ Ρ Α =∩ (4).

Από τη σχέση (2) έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(3),(4)17 11 3 17 17 3 11

20 20 20 20 20 20 20Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β = ⇔ + Ρ Β − = ⇔ Ρ Β = + − ⇔∩

( ) 920

⇔ Ρ Β =

Page 24: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

24

12.

Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , για τα οποία ισχύει η

σχέση ( ) ( ) ( )Ρ Α Β = Ρ Α Ρ Β .∩ ⋅

α) Αν ισχύουν ( ) 1Ρ Α Β = ,

6∩ ( ) 2

Ρ Α Β =3

∪ και ( ) ( )Ρ Α Ρ Β ,> τότε να βρείτε:

i) Τις πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Β .

ii) Την πιθανότητα ( )Ρ Α Β΄∩ .

β) Αν ισχύει ( )Ρ Α Β = 1∪ , να αποδείξετε ότι ( )Ρ Α = 1 ή ( )Ρ Β = 1.

Λύση

Είναι ( ) ( ) ( )1 16 6

Ρ Α Β = ⇔ Ρ Α ⋅ Ρ Β =∩ (1).

α) i) Επίσης ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 13 6

Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β ⇔ = Ρ Α + Ρ Β − ⇔∪ ∩

( ) ( ) 56

Ρ Α + Ρ Β =⇔ (2).

Από (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) είναι ρίζες

της εξίσωσης 2 5 1x x + = 0.

6 6− Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες τις 1

x2

= και 1x .

3=

Ισχύει όμως ( ) ( )Ρ Α > Ρ Β , άρα ( ) 12

Ρ Α = και ( ) 1.

3Ρ Β =

ii) Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1.

2 6 3′Ρ Α Β = Ρ Α − Β = Ρ Α − Ρ Α Β = − =∩ ∩

β) Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β ⇔ = Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α ⋅ Ρ Β ⇔∪ ∩

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 0 1 1 0⇔ Ρ Α − + Ρ Β − Ρ Α Β = ⇔ Ρ Α − − Ρ Β ⋅ Ρ Α − = ⇔∩

( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 0 1 0 ή 1 0⇔ Ρ Α − ⋅ Ρ Β − = ⇔ Ρ Α − = Ρ Β − =

Επομένως Ρ(Α) =1 ή Ρ(Β) =1.

Page 25: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

25

13.

Έστω δειγματικός χώρος Ω που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.

Αν ( ) Ν Ω = 60 και Α , Β είναι δύο ενδεχόμενα του Ω , τα οποία ικανοποιούν τη

σχέση ( ) ( ) ( ) ( )⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 2

25 Ρ Α 9 Ρ Β 20 Ρ Α 6 Ρ Β 5 (1)⋅ + = ⋅ + ⋅ − , τότε:

α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β).

β) Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων των ενδεχομένων Α και Β .

γ) Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι 13

, να

βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α Β).∩

Λύση α) Η σχέση (1) ισοδύναμα γράφεται:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 225 20 4 9 6 1 0 ⋅ Ρ Α − ⋅ Ρ Α + + Ρ Β − ⋅ Ρ Β + = ⇔⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

2 2

2Ρ Α5 Ρ Α 2 0

5 Ρ Α 2 3 Ρ Β 1 013 Ρ Β 1 0 Ρ Β

5

3

=⋅ − =⇔ ⋅ − + ⋅ − = ⇔ ⇔

⋅ − = =

⎧⎪⎧⎪ ⎪

⎨ ⎨⎪ ⎪⎩

⎪⎩

β) Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κλασικό ορισμό.

Είναι ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

60 245

Ν ΑΡ Α = ⇔ Ν Α = Ρ Α ⋅ Ν Ω Ν Α = ⋅ ⇔ Ν Α =

Ν Ω⇔

και ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

60 20.3

Ν ΒΡ Β = ⇔ Ν Β = Ρ Β ⋅ Ν Ω Ν Β = ⋅ ⇔ Ν Β =

Ν Ω⇔

Επομένως τα ενδεχόμενα Α και Β έχουν 24 και 20 ισοπίθανα στοιχεία αντίστοιχα. γ) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β είναι το ( ) ( )Α − Β Β − Α∪ , οπότε έχουμε: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1

23 3

Ρ Α − Β Β − Α = ⇔ Ρ Α + Ρ Β − ⋅ Ρ Α Β = ⇔∪ ∩

( ) ( )2 1 1 12

5 3 3 5⇔ + − ⋅ Ρ Α Β = ⇔ Ρ Α Β =∩ ∩ .

Page 26: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

26

14.

Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με (P(Α) PΒ)< και οι πιθανότητες

( )Ρ Α και ( )Ρ Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης 28ω 6ω + 1 = 0− , τότε: α) Να βρείτε τις πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Β .

β) Αν η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι 14

, να

αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.

i) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το Α.

ii) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α και Β.

Λύση

α) Η εξίσωση 28ω 6ω+1= 0− έχει διακρίνουσα 2Δ 4 8 1 4>0=(−6) − ⋅ ⋅ = , οπότε έχει δύο

ρίζες πραγματικές και άνισες τις 6 ± 2 1 1ω = ω = ή ω =

12 4 2⇔ .

Είναι ( ) ( )Ρ Α < Ρ Β , οπότε έχουμε ( ) 14

Ρ Α = και ( ) 1.

2Ρ Β =

β) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β είναι το ( ) ,΄ ΄ ΄Α Β = Α Β∩ ∪ οπότε έχουμε:

( )( ) ( ) ( )1 1 31

4 4 4Ρ Α Β = − Ρ Α Β = ⇔ Ρ Α Β = ⇔′ ⇔∪ ∪ ∪

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 30.

4 4 2 4⇔ Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β = ⇔ + − Ρ Α Β = ⇔ Ρ Α Β =∩ ∩ ∩

Άρα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. i) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α είναι το Α − Β , οπότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) .

14

Ρ Α − Β = Ρ Α − Ρ Α Β = Ρ Α =∩

ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α και Β είναι το ( ) .΄Α Β∩

Όμως τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. Έχουμε λοιπόν ,Α Β=∅∩

επομένως ( ) ,΄ ΄Α Β = ∅ = Ω∩ οπότε ( ) ( ) .1Ρ Α Β = Ρ Ω =⎛ ⎞′⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 27: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

27

15.

Αν Α , Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β⊆ και οι πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Β είναι οι τιμές του x , στις οποίες η συνάρτηση

( ) 3 25f x = 2x x x +1

2− + − παρουσιάζει τοπικά ακρότατα (θέσεις τοπικών ακροτάτων),

τότε να βρείτε:

α) Τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β).

β) Τις πιθανότητες ( ) ( )Ρ Α Β , Ρ Α Β∩ ∪ και ( )Ρ Α Β΄∩ .

Λύση α) Για κάθε x R∈ είναι ( ) 2f x = 6x 5x 1′ − + − .

Είναι ( ) 2 2 1 1f x 0 6x 5x 1 0 6x 5x +1 0 x ή x

3 2′ = ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = = .

( ) 2 2 1 1f x 0 6x 5x 1 0 6x 5x + 1 0 x

3 2′ > ⇔ − + − > ⇔ − < ⇔ < < .

Το πρόσημο της f ′ , η μονοτονία και τα τοπικά

ακρότατα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα.

Παρατηρούμε ότι οι θέσεις των τοπικών ακρότατων

είναι 1

x3

= και 1

x .2

=

x −∞

1

3

1

2 +∞

f ′ − 0 + 0 − f

τ.ε τ.μ

Είναι ,Α ⊆ Β οπότε ( ) ( )Ρ Α ≤ Ρ Β . Άρα είναι ( ) 13

Ρ Α = και ( ) 1.

2Ρ Β =

β) Από το διπλανό διάγραμμα Venn παρατηρούμε ότι : Α Β = Α∩ και .Α Β = Β∪

Άρα ( ) ( ) 13

Ρ Α Β = Ρ Α =∩ και ( ) ( ) 12

Ρ Α Β = Ρ Β =∪

Είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0′Ρ Α Β = Ρ Α − Β = Ρ Α − Ρ Α Β = Ρ Α − Ρ Α =∩ ∩

ΒΑ

Ω

Page 28: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

28

16.

Αν Α , Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με 2Ρ(Α)

5= και

3Ρ(Β) ,

4=

τότε: α) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.

β) Να αποδείξετε ότι 3 2Ρ(Α Β)

20 5≤ ≤∩ .

γ) Να αποδείξετε ότι .1

Ρ(Α Β)4

− ≤

Λύση α) Έστω ότι τα ενδεχόμενα Α , Β είναι ασυμβίβαστα, τότε από τον απλό προσθετικό

νόμο έχουμε 2 3 23( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

5 4 20Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β ⇔ Ρ Α Β = + ⇔ Ρ Α Β = >∪ ∪ ∪

που είναι άτοπο. Άρα τα ενδεχόμενα Α , Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

β) • Είναι Α Β ⊆ Α∩ , οπότε 2( ) ( ) ( )

5Ρ Α Β ≤ Ρ Α ⇔ Ρ Α Β ≤∩ ∩ (1).

• Επίσης αρκεί να αποδείξουμε ότι 3( )

20Ρ Α Β ≥∩ (2). Η σχέση (2) λόγω του

προσθετικού νόμου ισοδύναμα γράφεται:

3 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( )20 5 4 20

Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β ≥ ⇔ + − Ρ Α Β ≥ ⇔∪ ∪

2 3 3 8 15 3

( ) ( ) ( ) 1,5 4 20 20

+ −⇔ Ρ Α Β ≤ + − ⇔ Ρ Α Β ≤ ⇔ Ρ Α Β ≤∪ ∪ ∪

που ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη σχέση (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι 3 2Ρ(Α Β) .

20 5≤ ≤∩

γ) Είναι ′ ′Α − Β = Α Β ⊆ Β∩ , οπότε έχουμε:

3 1

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) .4 4

′Ρ Α − Β ≤ Ρ Β ⇔ Ρ Α − Β ≤ − Ρ Β ⇔ Ρ Α − Β ≤ − ⇔ Ρ Α − Β ≤

Page 29: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

29

Παρατηρήσεις:

1) Για να αποδείξουμε μια ανισότητα με πιθανότητες δουλεύουμε με έναν από τους

παρακάτω τρόπους:

α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα:

αν Α ⊆ Β τότε ( ) ( )Ρ Α ≤ Ρ Β

β) Δουλεύουμε με ισοδυναμίες, ξεκινάμε δηλαδή από τη σχέση που θέλουμε να

αποδείξουμε και καταλήγουμε σε μια ισοδύναμη σχέση που ισχύει.

2) Για να αποδείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα, συνήθως

δουλεύουμε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Δηλαδή υποθέτουμε ότι είναι

ασυμβίβαστα και καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως η αρχική μας υπόθεση είναι

λανθασμένη, οπότε τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

17.

Για τα ενδεχόμενα Α και Β δειγματικού χώρου Ω ισχύουν οι σχέσεις Β Α⊆ και

24 [Ρ(Α)] Ρ(Α) Ρ(Β) 4 Ρ(Α) Ρ(Β) < 0⋅ − + − ⋅ ⋅ (1) . Να αποδείξετε ότι:

α) Ρ(Α) Ρ(Β)≠ και Α Β≠

β) 10 < Ρ(Α) <

4 και .

1Ρ(Α Β) <

4∩

Λύση α) • Αν υποθέσουμε ότι ( ) ( )Ρ Α = Ρ Β , τότε από τη σχέση (1) έχουμε: 4 [ ( )]⋅ Ρ Α

2( )− Ρ Α ( )+ Ρ Α 4 [ ( )]− ⋅ Ρ Α

20 0 0< ⇔ < , που είναι άτοπο, άρα Ρ(Α) Ρ(Β).≠

• Αν υποθέσουμε ότι Α Β= , τότε ( ) ( )Ρ Α = Ρ Β , που είναι άτοπο, άρα Α Β .≠

β) Από υπόθεση έχουμε ότι Β ⊆ Α , άρα ( ) ( )Ρ Β ≤ Ρ Α , όμως ( ) ( )Ρ Α ≠ Ρ Β , οπότε είναι ( ) ( ) ( ) ( ) 0Ρ Β < Ρ Α ⇔ Ρ Α − Ρ Β > (2).

Η σχέση (1) ισοδύναμα γράφεται: ( )[4 ( ) 1] ( )[4 ( ) 1] 0Ρ Α ⋅ Ρ Α − − Ρ Β ⋅ Ρ Α − < ⇔

(2)

0

1[4 ( ) 1] [ ( ) ( )] 0 4 ( ) 1 0 ( )

4>

⋅ Ρ Α − ⋅ Ρ Α − Ρ Β < ⇔ ⋅ Ρ Α − < ⇔ Ρ Α < (3).

Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει ( ) 0Ρ Α ≥ , οπότε θέλοντας να αποδείξουμε, για τη

συγκεκριμένη άσκηση ότι ( ) 0 ,Ρ Α > αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) 0Ρ Α ≠ .

Αν υποθέσουμε ότι ( ) 0Ρ Α = , τότε από τη σχέση (2) έχουμε ( ) 0Ρ Β < που είναι άτοπο.

Άρα ( ) 0Ρ Α > (4), οπότε από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι 10 < Ρ(Α) <

4.

Είναι Α Β ⊆ Α∩ άρα ( ) ( ),Ρ Α Β ≤ Ρ Α∩ όμως 1( )

4Ρ Α < , οπότε και 1

( ) .4

Ρ Α Β <∩

Page 30: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

30

18.

Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με πεπερασμένο πλήθος

στοιχείων και Α , Β υποσύνολα του Ω. Υποθέτουμε ότι ′Ρ(Α) 0,28≤ και ′Ρ(Β ) 0,71.≤

Να αποδείξετε ότι: α) Ρ(Α Β) 1,01 Ρ(Α Β)≥ −∩ ∪ β) Α Β∩ ≠ ∅ .

(Πανελλήνιες εξετάσεις 1994)

Λύση

α) Είναι:

( ) 0,28 1 ( ) 0,28 ( ) 1 0,28 ( ) 0,72′Ρ Α ≤ ⇔ − Ρ Α ≤ ⇔ Ρ Α ≥ − ⇔ Ρ Α ≥ (1)

( ) 0,71 1 ( ) 0,71 ( ) 1 0,71 ( ) 0,29′Ρ Β ≤ ⇔ − Ρ Β ≤ ⇔ Ρ Β ≥ − ⇔ Ρ Β ≥ (2).

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ( ) ( ) 1,01Ρ Α + Ρ Β ≥ (3).

Είναι:

( ) 1,01 ( ) ( ) 1,01 [ ( ) ( ) ( )]Ρ Α Β ≥ − Ρ Α Β ⇔ Ρ Α Β ≥ − Ρ Α + Ρ Β − Ρ Α Β ⇔∩ ∪ ∩ ∩

( )⇔ Ρ Α Β∩ 1,01 ( ) ( ) ( )≥ − Ρ Α − Ρ Β + Ρ Α Β∩ ( ) ( ) 1,01⇔ Ρ Α + Ρ Β ≥

που ισχύει λόγω (3).

β) Αν υποθέσουμε ότι Α Β = ∅∩ , τότε έχουμε ( ) 0 ,Ρ Α Β =∩ οπότε από τη σχέση

( ) 1,01 ( )Ρ Α Β ≥ − Ρ Α Β∩ ∪ έχουμε 0 1,01 ( ) ( ) 1,01≥ − Ρ Α Β ⇔ Ρ Α Β ≥∪ ∪ , που είναι άτοπο αφού 0 ( ) 1,≤ Ρ Α Β ≤∪ άρα Α Β ≠ ∅∩ .

19.

Έστω Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητα Ρ(Α), για την

οποία ισχύει ( ) .2Ρ Α = 4λ + 12λ + 10 , λ R∈

α) Να βρείτε την τιμή του .λ R∈

β) Να αποδείξετε ότι Ρ(Α) = 1.

Λύση

α) Είναι ( )2

22

4λ +12λ +10 (1)0 Ρ Α 1 0 4λ +12λ +10 1

4λ +12λ +10 1 (2)

0

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔≤

⎧ ≥⎪⎨⎪⎩

2(1) 2λ 6λ + 5 0 λ R ,⇔ + ≥ ⇔ ∈ αφού 4 0Δ = − < και α 2 0.= >

( )22 3(2) 4λ +12λ + 9 0 2λ + 3 0 2λ + 3 0 λ .

2⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ = ⇔ = −

β) Αν αντικαταστήσουμε την τιμή του λ στην Ρ(Α) έχουμε:

( )23 3 9

4 12 10 4 18 10 9 18 10 1.2 2 4

Ρ Α = ⋅ − + ⋅ − + = ⋅ − + = − + =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Page 31: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

31

20.

Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β .⊆ Αν για τις

πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2Ρ Α 5 3λ Ρ Α Ρ Β = Ρ Β Ρ Α 3 1− + + − + + ,

να αποδείξετε ότι 2λ .

3≤

Λύση

Για οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ισχύει: ( )0 1≤ Ρ Α ≤ (2) , οπότε έχουμε: • ( )

3

(2) 3 3 4 ,+⇔ ≤ Ρ Α + ≤ άρα ( ) 3 0 ,Ρ Α + > οπότε ( ) ( )3 3.Ρ Α + = Ρ Α +

• ( ) ( )2 5

(2) 0 2 2 5 2 5 3,⋅ −⇔ ≤ Ρ Α ≤ ⇔− ≤ Ρ Α − ≤− άρα ( )2 5 0,Ρ Α − < οπότε ( ) ( )2 5 5 2 .Ρ Α − = − Ρ Α

Αφού Α ⊆ Β ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) 0,Ρ Α ≤ Ρ Β ⇔Ρ Α −Ρ Β ≤ οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) .Ρ Α −Ρ Β =Ρ Β −Ρ Α

Επομένως η σχέση (1) γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3λ 2

5 2 3λ 3 4 3λ 2 (3)4+

− Ρ Α + +Ρ Β −Ρ Α = Ρ Β +Ρ Α + ⇔ Ρ Α = + ⇔Ρ Α = .

Έχουμε ( )4(3) 3λ+ 2 2 2 2

0 Ρ Α 1 0 1 0 3λ+ 2 4 2 3λ 2 λ λ .4 3 3 3

3+(−2)⋅ ÷≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤

21.

Δίνεται η παράσταση ( ) ( ) ( )′⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 2

Κ Ρ Α 7 Ρ Α 6Ρ Α= + − . Να βρείτε την τιμή της

πιθανότητας Ρ(Α) για την οποία η παράσταση Κ γίνεται ελάχιστη και στη συνέχεια

να υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή τιμή.

Λύση

Εκφράζουμε την παράσταση Κ συναρτήσει του Ρ(Α) , οπότε έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 7 6 1 2 7 6 8 8 1.Κ= −Ρ Α + Ρ Α − Ρ Α = + Ρ Α − Ρ Α + Ρ Α − Ρ Α = Ρ Α − Ρ Α +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Για να βρούμε το ελάχιστο της παράστασης αυτής θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) [ ]2f x = 8x 8x +1, x 0 , 1− ∈ ( θέσαμε x στη θέση του Ρ(Α) με ( )0 1≤ Ρ Α ≤ ).

Για κάθε [ ]x 0 , 1∈ έχουμε ( )f x = 16x 8.′ −

Είναι: ( ) 1f x 0 16x 8 0 x

2′ = ⇔ − = ⇔ =

( ) 1f x 0 16x 8 0 x

2′ > ⇔ − > ⇔ >

Παρατηρούμε ότι για 1x Ρ(Α)

2= = η συνάρτηση f ,

άρα και η παράσταση Κ γίνεται ελάχιστη με ελάχιστη τιμή 21 1 1

f 8 8 +1 1.2 2 2

= ⋅ − ⋅ =−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x 0

1

2 1

f ′

− 0 +

f

1−

ελάχ.

Page 32: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

32

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

1. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι συγχρόνως και ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α : « το αποτέλεσμα του ζαριού είναι διαιρέτης του 4 »

Β : « γράμματα στο νόμισμα και άρτιο αποτέλεσμα στο ζάρι »

Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω , να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

α) Α β) Β γ) Α Β∩ . 2. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το σύνολο 0, 2, 3Α = και έναν αριθμό β από το

σύνολο 2, 3, 5Β = .

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

β) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω , να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α : « η εξίσωση 2αx + βx + 1 = 0 είναι δευτέρου βαθμού »

Β : « η ευθεία αx βy = 2− είναι παράλληλη στην ευθεία y x= »

Γ : « η εξίσωση 3 2x αx βx 6 0+ + − = έχει ρίζα τον αριθμό 1».

03. Έστω ο δειγματικός χώρος .4321 ω,ω,ω,ωΩ = Αν ( ) ( ) ( ) ( )4321 ωP61ωP

31ωP

21ωP === ,

να βρείτε την πιθανότητα ( )ΑP , όπου .31 ω,ωΑ = 04. Έστω ο δειγματικός χώρος .4321 ω,ω,ω,ωΩ = Αν 4232 ω,ωΒω,ωΑ == , και

ισχύουν ( ) ( )21ΒP

32ΑP == , και ( ) ,

31ωP 2 = να βρείτε την ( ).1ωP

5. Έστω 1 2 3 4Ω = ω , ω , ω , ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. α) Αν ( ) ( ) ( ) ( )1 2 4 3

1 5Ρ ω , Ρ ω και Ρ ω 2Ρ ω

3 12= = = , να υπολογίσετε τις πιθανότητες

( ) ( )4 3Ρ ω και Ρ ω .

β) Αν ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 Ρ ω , Ρ ω , Ρ ω και Ρ ω είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και

για τα ενδεχόμενα 1 2Α ω , ω= και 3 4Β ω , ω= ισχύει ( ) ( ) 29

Ρ Β = Ρ Α + , να βρείτε τις πιθανότητες ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 Ρ ω , Ρ ω , Ρ ω και Ρ ω .

6) Έστω 1 2 3Ω = ω , ω , ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Αν οι αντίστοιχες

πιθανότητες ( ) ( ) ( )1 2 3Ρ ω , Ρ ω , Ρ ω είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και ισχύει

( ) ( )13Ρ ω 2Ρ ω= . Να βρείτε τις πιθανότητες ( ) ( ) ( )1 2 3καιΡ ω , Ρ ω Ρ ω .

Page 33: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

33

7. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = 0, 1, 2 , 3 , 4 ,..., 30 . Αν ισχύουν ( ) ( ) ( ) ( ) 1

Ρ κ +1 Ρ κ + Ρ 1 με κ 1 , 2 , 3 , ... , 29 και Ρ 1600

= = = , τότε

α) Να βρείτε την Ρ(0).

β) Αν Α = 0, 2 , 4 , 6 ,..., 30 , να βρείτε την Ρ(Α). 8. Έστω 1 2 3 4Ω ω , ω , ω , ω= ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Να βρείτε τη

την τιμή του κ R ,∈ ώστε οι αριθμοί κ 1 1 κ1 , , ,

6 2κ 12 12− να παριστάνουν αντίστοιχα

τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων 1ω , 2ω , 3ω και 4ω . Στη συνέχεια

να υπολογίστε την πιθανότητα του ενδεχομένου 1 2 3Α ω , ω , ω .=

9. Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με 4Ρ(Α Β) 10− = , 2Ρ(Β Α) 10− =

και 8( ) 10Ρ Α Β =∪ . Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

α) Α β) Β γ) Α .΄′− Β 10. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Α ) = 0,2′ και ( ) 0,6΄Ρ Α Β =∩ .

α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ( ).Ρ Α Β∩

β) Αν η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι ίση με 0,1

να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α .΄′− Β

11. Οι πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Β είναι ρίζες της εξίσωσης 218x 9x 1 = 0− + με ( ) ( )Ρ Α < Ρ Β .

α) Να βρείτε οι πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Β .

β) Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α και Β είναι 12

, να αποδείξετε

ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ( )′Ρ Α Β∪ .

0 12. Έστω ( )λP η πιθανότητα να εμφανιστεί η έδρα λ, 6,5,4,3,2,1λ = κατά τη ρίψη μια φορά

ενός μη αμερόληπτου ζαριού. Αν ( ) ( ) ( )6P4P2P == και ( ) ( ) ( ) ( )2P235P3P1P === , τότε:

α) Να βρείτε τις πιθανότητες ( )λP , .6,5,4,3,2,1λ =

β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: “να φέρουμε ένδειξη το πολύ 3 ”.

γ) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Β: “να φέρουμε ένδειξη τουλάχιστον 3 ”.

Page 34: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

34

0 13. Έστω ο δειγματικός χώρος .4321 ω,ω,ω,ωΩ = Αν ( )3

12αωP 1−

= , ( )56α3ωP 2

−= ,

( ) ( ) .Rβ,α,151ωP,

30βωP 43 ∈==

α) Να βρείτε τις τιμές των β.,α

β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου .ω,ω,ωΑ 432=

0 14. Aν Α , Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , με ( ) ( )32ΒP,

51ΑP == και

( ) ,121ΒΑP =∩ να βρείτε την πιθανότητα:

α) Να μην πραγματοποιηθεί το Α .

β) Να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α , Β .

γ) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α , Β .

δ) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α .

ε) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α , Β .

στ) Να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α , Β .

0 15. Aν Α , Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , με ( ) ,32ΑP ΄ = ( )

43ΒΑP =∪

και ( ) ,41ΒΑP =∩ να βρείτε τις πιθανότητες :

α) ( )ΑP β) ( )ΒP γ) ( )΄ΒΑP ∩ δ) ( )΄΄ ΒΑP −

0 16. Έστω Α , Β , Γ ανά δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω . Αν

είναι ,ΩΓΒΑ =∪∪ ( ) ( ) ( )ΓP31ΒP2ΑP += και ( ) ( ) ( )ΒP

41ΑP

21ΓP += να βρείτε τις

πιθανότητες :

α) ( )ΑP β) ( )ΒP γ) ( )ΓP

0 17. Έστω Α , Β , Γ ανά δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω . Αν

είναι ΩΓΒΑ =∪∪ και ( ) ( ) ( )ΓΑP2ΒΑPΓP ∪∪ =+ να βρείτε την πιθανότητα ( ).ΒP

0 18. Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω . Αν είναι ( ) ( )ΒΑPP ΄∪=Α και

( ) ( )΄ΒΑPP ∪=Β , να αποδείξετε ότι ( ) ( ).ΒPΑP = 19. Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , με ( ) 0,7ΑP = και ( ) .0,4ΒP =

Να αποδείξετε ότι :

α) Τα Α , Β δεν είναι ασυμβίβαστα .

β) ( ) 4,0ΒΑP0,1 ≤≤ ∩

γ) ( ) 7,0ΒΑP ≥∪

Page 35: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

35

20. Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , με ( ) 2P Α3

= και ( ) 2P5

Β = . Να αποδείξετε ότι :

α) Τα Α , Β δεν είναι ασυμβίβαστα .

β) ( )1 2P Α Β1 5 5

≤ ≤∩

γ) ( ) 1P Β Α3

− ≤

21. Aν Α , Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ( ) ( )P Β P Α≤ και οι πιθανότητες

( )Ρ Α και ( )Ρ Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης 232x 36x 9 0 ,− + = τότε:

α) Να βρείτε τις πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Β .

β) Να αποδείξετε ότι 3( )

4Ρ Α Β ≥∪ .

γ) Να αποδείξετε ότι 1 3( )

8 8≤ Ρ Α Β ≤∩ .

22. Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , με 3λ 2Ρ(Α) =

2− και 5λ 2

Ρ(Β) =4−

,

όπου λ Z∈ .

α) Να βρείτε τον ακέραιο λ και τις πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Β .

β) Να αποδείξετε ότι 3

( )4

Ρ Α Β ≥∪ .

γ) Να αποδείξετε ότι 1 1( )

4 2≤ Ρ Α Β ≤∩ .

23. Έστω Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητα Ρ(Α), για την οποία ισχύει ( ) 2Ρ Α = 9λ 12λ + 5 , λ R.− ∈

α) Να βρείτε την τιμή του λ R.∈

β) Να αποδείξετε ότι Ρ(Α) = 1. 24. Έστω Α , Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω . Να αποδείξετε ότι

( ) ( ) ( ).ΒΑP21ΒPΑP ∪≤⋅

25. Έστω Α , Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , τέτοια ώστε

( ) ( ) ,25ΒP

9ΑP4

=+ να αποδείξετε ότι ( ) .52ΑP =

Page 36: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

36

26. Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν οι ρίζες της εξίσωσης

(2x – 1)( 3x – 1)(4x – 1) = 0 είναι οι πιθανότητες P(A) , P( ΒΑ∩ ) και P( ΒΑ∪ ), να βρείτε

την πιθανότητα P(Β). 27. Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Τα ενδεχόμενα ΒΑ,Α ∩ και

ΒΑ∪ δεν είναι ισοπίθανα ανά δύο και οι πιθανότητές τους είναι στοιχεία του συνόλου ]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

45,

41,

32,

223α , όπου .Ζα∈

α) Να αποδείξετε ότι .1α =

β) Να βρείτε τις πιθανότητες :

i) ( )ΑP , ( ) ( )ΒΑP,ΒΑP ∪∩ ii) ( )΄ΒP iii) ( )΄΄ ΑΒP − 28. Δύο κάλπες Κ1 και Κ2 περιέχουν ν σφαιρίδια η καθεμία αριθμημένα από το 1 έως το ν. .

Παίρνουμε από ένα σφαιρίδιο από κάθε κάλπη. Να αποδείξετε ότι , η πιθανότητα ο αριθμός

του σφαιριδίου από την κάλπη Κ1 να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό του σφαιριδίου

… από την κάλπη Κ2 , είναι 2ν

1ν − .

29. Έστω ν,...,2,1Ω = ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Δίνονται οι πιθανότητες

10κ )P(κ = , .ν,...,2,1κ = Να βρείτε το ν.

30. Aν Α , Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , να αποδείξετε ότι :

α) P(A ∩ B) + 1 = P(A) + P(B) + P( )BA ′∩′ .

β) P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) – 1.

γ) Αν P(A) = 0,9 και P(B) = 0,8 , τότε P(A ∩ B) ≥ 0,7. 31. Σε μια επιχείρηση το 45% των εργαζομένων είναι γυναίκες, το 55% είναι πτυχιούχοι και

το 25% είναι γυναίκες πτυχιούχοι. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ένας εργαζόμενος, που

επιλέγεται τυχαία να είναι:

α) γυναίκα ή πτυχιούχος β) γυναίκα και όχι πτυχιούχος

γ) άνδρας και πτυχιούχος δ) άνδρας ή πτυχιούχος. 32. Ένας άνεργος υποβάλλει αίτηση για να προσληφθεί σε δύο εργοστάσια Α και Β. Αν η … πιθανότητα να προσληφθεί στο εργοστάσιο Β είναι 40 % , η πιθανότητα να προσληφθεί …

μόνο στο εργοστάσιο Β είναι 28 % και η πιθανότητα να μην προσληφθεί σε κανένα ….

εργοστάσιο είναι 16 % , να βρείτε την πιθανότητα να προσληφθεί :

α) Στο εργοστάσιο Α.

β) Σ’ ένα μόνο εργοστάσιο.

γ) Το πολύ σ’ ένα εργοστάσιο.

Page 37: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

37

33. Σε μια αθλητική κατασκήνωση το 50 % των παιδιών παίζουν ποδόσφαιρο και το 40 % των

παιδιών παίζουν μπάσκετ. Παίρνουμε στην τύχη ένα παιδί . …

α) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της πιθανότητας σε καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα : ….

i) “ Το παιδί παίζει ποδόσφαιρο και μπάσκετ ”.

ii) “ Το παιδί παίζει ποδόσφαιρο και όχι μπάσκετ ”.

iii) “ Το παιδί παίζει μπάσκετ και όχι ποδόσφαιρο ”. β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας του ενδεχόμενου :

“ Το παιδί παίζει ένα μόνο από τα δύο αθλήματα ποδόσφαιρο – μπάσκετ ”. 34. Έστω Ω = –2, –1, 0, 1, 2 ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται

από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα . Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων :

α) Α : “ η μέση τιμή του δείγματος α 3 – 7, 3 – 5 α 2 , 9 – 8α , α 2 +1 , α – 6 , όπου α∈Ω, ….3

. είναι ίση με – 2 ” .

β) Β : “ η διάμεσος του δείγματος 2 , β , 0 , –1 , 2 , 1 , όπου β ∈Ω, είναι ίση με 1,5” .

γ) Γ : “ η συνάρτηση f (x ) = 4x 3

– 3γ2 x

2 – 6γ x – 1 , όπου γ∈Ω , παρουσιάζει τοπικό

ακρότατο στο x 0 = 1” . 35. Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(Α) + P(Β) ≠ 2P(Α∩ Β). Δίνεται

ακόμα η συνάρτηση f (x) = ( ) ( )33 B)P(AxB)P(Ax ∩−−∪− , x R∈ . α) Να αποδείξετε ότι P(Α∩ Β) ≠ P(Α∪ Β).

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο .2

P(B) P(A)xo+

=

4

γ) Αν τα ενδεχόμενα Α , Β είναι ασυμβίβαστα , να αποδείξετε ότι ( ) ( )P(B)fP(A)f = . 36. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Β ⊆ Α .

α) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ).Ρ Α − Β = Ρ Α − Ρ Β

β) Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα ( )Ρ Α είναι ίση με την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

x 25

f (x) = e x− − , x R∈ . Αν ισχύει ( ) ( ),Ρ Β = Ρ Α − Β να υπολογίσετε τις πιθανότητες

των ενδεχομένων Α και Β. 37. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α , Β δύο ενδεχόμενα τέτοια,

ώστε ΒΑ ⊆ με πιθανότητες P(A) και P(Β) αντιστοίχως. Αν οι αριθμοί P(A) και P(Β)

είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης ( ) 20052x5x4xxf 23 ++−= , τότε : α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P(A), P(Β), P( ΒΑ∩ ), P( ΒΑ∪ ), P( Α−Β ).

Page 38: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

38

38. Έστω 0.. 1,.,2,1Ω = ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από

ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα . Θεωρούμε τη συνάρτηση ,223 λ3x2xx(x)f31

++−= με Ωλ∈

και .Rx ∈

Έστω τα ενδεχόμενα :

Χ : “ η μέγιστη τιμή της f στο [0 , 5] είναι μεγαλύτερη ή ίση του 3

68 ”.

Υ : “ η ελάχιστη τιμή της f στο [0 , 5] είναι μικρότερη ή ίση του 4 ”.

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο [0 , 5].

β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων X και Y.

γ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων ΥΧ∩ και Υ.Χ∪ 39. Οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή 8 και διασπορά 4 αυξάνουν κατά μία σταθερά

,20,...,3,2,1Ωc =∈ όπου τα στοιχεία του Ω θεωρούνται ισοπίθανα. Να βρείτε την

πιθανότητα του ενδεχομένου :

Α : “ Το δείγμα που θα προκύψει να είναι ομοιογενές ”.

40.

Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι συχνότητες των τιμών μιας

μεταβλητής Χ. Αν η τυπική απόκλιση των τιμών είναι 3,8s =

να βρείτε :

α) Τη μέση τιμή x . β) Την πιθανότητα μια τυχαία τιμή της μεταβλητής X να

βρίσκεται στο διάστημα ( ).sx,sx +−

Τιμές

x i

Συχνότηταν i

20

4

21

2

24

5

26

3

30

6

Σύνολο

20

41. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από 20 ισοπίθανα

απλά ενδεχόμενα και .ΩΑ ⊆ Αν η συνάρτηση ( ) ( )xΑ2Ρ2xxf 2 −= παρουσιάζει ελάχιστο

το 81

− να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α.

42. Έστω 5,4,3,2,1,0Ω = ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Παίρνουμε στην

στην τύχη ένα απλό ενδεχόμενο Ωλ∈ . Αν ( ) 2λ1xλx2λxxf 223 +++−= , να βρείτε την

πιθανότητα η γραφική παράσταση fC της f να έχει στο σημείο της με τετμημένη 1xo =

εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x΄x.

Page 39: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

39

43. Έστω 9,...,3,2,1,0Ω = ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Παίρνουμε στην

τύχη ένα απλό ενδεχόμενο Ωλ∈ . Αν ( ) λx4λx2λxxf 23 ++−= , να βρείτε την πιθανότητα η f να μην έχει τοπικά ακρότατα. 44. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ( ) ,Rx,xexf x ∈−= ως προς τη μονοτονία.

β) Έστω Α , Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Nα αποδείξετε ότι :

i ) ( )( ) 1eΒΑΡf −≤∪

i i) Αν ΒΑ ⊆ , τότε P(Β) + ( )ΑΡe ≤ P(A) + ( ).ΒΡe 45. Δίνονται οι αριθμοί 0 , – 3x , 2lnx , – lnx , 2x .

α) Να βρείτε τους αριθμούς ώστε αυτοί να έχουν μέγιστη μέση τιμή και στη συνέχεια τη

διάμεσο και την τυπική απόκλισή τους.

β) Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος που έχει ως στοιχεία του τους παραπάνω

αριθμούς για x = 1. Αν λ1)λ(P = , λ = – 3 , 2 , να βρείτε την πιθανότητα P(0).

Page 40: 2.Πιθανότητες - Μαθηματικά γενικής παιδείας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου Πιθανότητες

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

40

Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν

1) Απάντηση: ( ) ( ) ( )1 1 1 , ,

2 4 6Ρ Α = Ρ Β = Ρ Α Β =∩

2) Απάντηση: ( ) ( ) ( )2 2 1 , ,

3 9 3Ρ Α = Ρ Β = Ρ Γ =

5) Απάντηση: ( ) ( )4 3

1 1α) Ρ ω = , Ρ ω =

6 12

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4

1 2 5 1 β) Ρ ω = , Ρ ω = , Ρ ω = , Ρ ω =

6 9 18 3

6) Απάντηση: ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 4

Ρ ω , Ρ ω , Ρ ω 9 3 9

= = =

7) Απάντηση: ( )9 5α) (0) β)

40 8Ρ = Ρ Α =

8) Απάντηση: ( ) 3k = 3 ,

4Ρ Α =

10) Απάντηση: ( ) ( )α) 0, 2 β) 0,1΄ ΄Ρ Α Β = Ρ Α − Β =∩

11) Απάντηση: ( ) ( ) ( )1 1 2α) , β) , γ)

6 3 3′Ρ Α = Ρ Β = Ρ Α Β =∪

21) Απάντηση: ( ) ( )3 3

α) , β) 4 8

Ρ Α = Ρ Β =

22) Απάντηση: α) λ=1 , ( ) ( )1 3 ,

2 4Ρ Α = Ρ Β =

23) Απάντηση: α) 2

λ3

=

28) Απάντηση: 3 1 3 4

α) , β) , γ) , δ) 4 5 10 5

36) Απάντηση: ( ) ( ) 0,6 , 0,3Ρ Α = Ρ Β =