ιθανόνηνες - msc in accounting...

18
Πιθανότητες Μέρος ΙΙ

Transcript of ιθανόνηνες - msc in accounting...

Πιθανότητες

Μέρος ΙΙ

Ασκήσεις

1. Ποια η πιθανότητα σε μία τράπουλα 52 φύλλων να επιλέξουμε τυχαία ένα φύλλο που να είναι σπαθί;

Λύση

Ως γνωστό ένα τραπουλόχαρτο μπορεί να είναι σπαθί(1), καρό(2), κούπα(3), ή μπαστούνι(4).

…συνέχεια λύσης

Τα 52 τραπουλόχαρτα χωρίζονται σε τέσσερεις ομάδες των 13 χαρτιών που κάθε μία ομάδα είναι σπαθί, καρό, κούπα, ή μπαστούνι.

Ορίζουμε το ενδεχόμενο

Α: το τραπουλόχαρτο που θα επιλεγεί να είναι σπαθί.

…συνέχεια λύσης

Σύμφωνα με τον ορισμό της πιθανότητας θα πρέπει να υπολογίσουμε το πλήθος όλων των δυνατών αποτελεσμάτων.

Είναι σαφές ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα όταν επιλέγω τυχαία ένα τραπουλόχαρτο είναι 52.

…συνέχεια λύσης

Στη συνέχεια θα πρέπει να υπολογίσουμε το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, δηλαδή πόσα από τα τραπουλόχαρτα είναι σπαθί.

Όπως είδαμε και προηγουμένως από τα τραπουλόχαρτα τα 13 είναι σπαθί.

…συνέχεια λύσης

Άρα σύμφωνα με τον ορισμό της πιθανότητας θα έχουμε:

Επομένως σε μία τράπουλα 52 φύλλων έχουμε 25% πιθανότητα να επιλέξουμε τυχαία σπαθί.

25,04

1

52

13)(

E

AP

Ασκήσεις

2. Ποια η πιθανότητα σε μία τράπουλα 52 φύλλων να επιλέξουμε τυχαία ένα φύλλο που να είναι σπαθί ή φιγούρα;

Λύση:

Σε αυτή την άσκηση θα πρέπει να οριστούν δύο ενδεχόμενα:

Α: το τραπουλόχαρτο που θα επιλεγεί να είναι σπαθί.

…συνέχεια λύσης

και Β: το τραπουλόχαρτο που θα επιλεγεί να είναι

φιγούρα. Τα 52 τραπουλόχαρτα εκτός από σπαθί, καρό, κούπα,

ή μπαστούνι, μπορούν να χωριστούν και σε φιγούρες (Βαλές, Ντάμα, Ρήγας) και αριθμούς από το 1 ως το 10.

Κάθε ομάδα των 13 φύλλων αποτελείται από τους 10 αριθμούς και τις φιγούρες Βαλές , Ντάμα, Ρήγας.

…συνέχεια λύσης

Η ζητούμενη πιθανότητα ανήκει στην ένωση των ενδεχομένων Α , Β, δηλαδή στην

Επομένως

Όπως υπολογίστηκε στην προηγούμενη άσκηση

BA

)()()()( BAPBPAPBAP

4

1)( AP

…συνέχεια λύσης

Για να υπολογιστεί το P(B) θα πρέπει από να υπολογίσουμε το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχομένου Β.

Όπως αναλύθηκε και προηγουμένως το πλήθος των φιγούρων μιας τράπουλας είναι τρεις για κάθε ένα από τα σπαθί, καρό, κούπα και μπαστούνι.

…συνέχεια λύσης

Άρα συνολικά θα έχουμε 12 φιγούρες. Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι:

Άρα χρησιμοποιώντας το νόμο της πρόσθεσης των πιθανοτήτων θα έχουμε:

13

3

52

12)( BP

…συνέχεια λύσης

)()()()( BAPBPAPBAP

)( BAP

Επομένως θα πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα:

…συνέχεια λύσης

:BA

52

3)( BAP

Είναι το ενδεχόμενο το τραπουλόχαρτο

που επιλέγουμε τυχαία να είναι φιγούρα

σπαθί.

Από τις 52 δυνατές περιπτώσεις οι ευνοϊκές που

πληρούν την ιδιότητα φιγούρα σπαθί είναι 3.

Άρα:

…συνέχεια λύσης

423,052

22

52

3

52

12

52

13

)()()()(

BAPBPAPBAP

Επομένως χρησιμοποιώντας το νόμο της πρόσθεσης

των πιθανοτήτων έχουμε:

Ασκήσεις

3. Ποια η πιθανότητα σε μία τράπουλα 52 φύλλων να επιλέξουμε τυχαία ένα φύλλο και να είναι Ρήγας δεδομένου του ότι μας έχει δοθεί ήδη η πληροφορία ότι είναι φιγούρα;

Λύση:

Πρόκειται για δεσμευμένη πιθανότητα, αφού έχουμε την πληροφόρηση ότι είναι φιγούρα.

…συνέχεια λύσης

Άρα θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

0)(,)(

)()/( BP

BP

BAPBAP

Ορίζουμε τα ενδεχόμενα

Α: Το τραπουλόχαρτο να είναι Ρήγας

Β: Το τραπουλόχαρτο να είναι Φιγούρα

…συνέχεια λύσης

52

12)( BP

:BA

52

4)( BAP

Όπως υπολογίστηκε και προηγουμένως:

Το ενδεχόμενο το τραπουλόχαρτο να είναι Ρήγας και φιγούρα, δηλ. να είναι

Ρήγας.

…συνέχεια λύσης

Άρα

3

1

12

4

52

1252

4

)(

)()/(

BP

BAPBAP