NAPREDNA KVANTNA MEHANIKA

Pismeni ispit 11.04.2014.

1. (a) Upotrijebite jednadžbe gibanja za Heisenbergove operatore i pokažite da vrijedi:

, 0i j

dx t p t

dt

(b) Pomoću (a) pokažite da je

,k l klx t p t i

2. Na jednostavan jednodimenzionalan harmonički oscilator kružne frekvencije ω djeluje vremenski

ovisna sila

0

2 2

1,

FF t t

t

U trenutku t = −∞ oscilator je u osnovnom stanju. Upotrijebite vremenski ovisan račun smetnje do prvog

reda i izračunajte vjerojatnost da je oscilator u prvom pobuđenom stanju u trenutku t = ∞.

Uputa: matrični element za x je

, 1 , 1| | 12

n n n nn x n n nm

3. Upotrijebite WKB aproksimaciju u obliku

2

1

1

2

r

r

p r dr n

da procijenite energije vezenih stanja za vodik. Ne zaboravite centrifugalni član u efektivnom potencijalu!

Sljedeći integral može vam pomoći:

21

2

b

a

x a b x dx b ax

Primijetite da dobivate Bohrove energijske razine za n >> l i n >> 1/2. Rezultat glasi:

2

13,6 eV

1/ 2 1nlE

n l l

4. Razmotrite hamiltonijan

0H H H

gdje je

†

0

†

H a a

H a a

U gornjim relacijama su a i a+ operatori poništenja i stvaranja za bozone, a λ perturbacijski parametar.

Nađite svojstvene vrijednosti za H rješavajući problem točno ili pomoću računa smetnje do uključivo

drugog reda.