Sestavljeno gibanje Statika in kinematika 2018/2019

1 Enačbi sestavljenega gibanja

Hitrost točke M v globalnem koordinatnem sistemu je definirana z:

v M = vO +ω× r OM︸ ︷︷ ︸Sistemska hitrost

+ v R︸︷︷︸Relativna hitrost

(1)

Pospešek točke M glede na globalni koordinatni sistem je definiran z:

aM = aO +α× r OM +ω× (ω× r OM )︸ ︷︷ ︸Sistemski pospešek

+ aR︸︷︷︸Relativni pospešek

+ 2ω×v R︸ ︷︷ ︸Coriolisov pospešek

(2)

Za potrebe reševanja naloge zapišimo še transformacijski enačbi med polarnim in kartezijevim koordinatnim siste-

mom.

er = i cos(ϕ)+ j sin(ϕ)eϕ =−i sin(ϕ)+ j cos(ϕ)

(3)

2 Primer naloge

V zabaviščnem parku opazujete zanimiv vrtiljak. Na glavni platformi, ki se vrti s predpisom ϕ(t ) = c1t , je na radiju Rnameščena kabina, ki omogoča dodatno samostojno vrtenje s predpisom ϕ1(t ) = c2t . Določite absolutno hitrost inabsolutni pospešek potnika, označenega s točko M , ki sedi na obodu kabine z radijem R1.

(*Težji primer: Upoštevajte ϕ1(t ) = c3 sinc2t .)

Slika 1: Shema naloge Slika 2: Shema naloge

Spremenljivka Vrednost

c1 0.2 rad/s

c2 0.4 rad/s

c3 π rad

R 12 m

R1 6 m

t1 3 s

Tabela 1: Podatki

Radija kroženja platforme in potnika sta konstantna, zato lahko zapišemo r (t ) = R in r1(t ) = R1. Pred začetkom reše-vanja naloge izračunajmo časovne odvode podanih funkcij ϕ(t ) in ϕ1(t ).

ϕ(t ) = c1tϕ̇(t ) =ω= c1ϕ̈(t ) =α= 0

(4)

ϕ1(t ) = c2tϕ̇1(t ) = c2ϕ̈1(t ) = 0

(5)

1

Sestavljeno gibanje Statika in kinematika 2018/2019

2.1 Izračun hitrosti

Absolutno hitrost bomo izračunali z uporabo enačbe (1):

v A,M = vO +ω× r OM +v R (6)

Reševanja se je smiselno lotiti po posameznih členih. Prvi člen popisuje hitrost izhodišča lokalnega koordinatnega

sistema. V tem primeru točka O v globalnem koordinatnem sistemu opravlja kroženje, ki ga bomo popisali globalnem

v polarnem koordinatnem sistemu (GPKS) erO ,eϕO . Pri tem bomo privzeli sovpadanje enotskih vektorjev erO = e1 ineϕO = e2.

vO = ṙ erO + r ϕ̇eϕO = r ϕ̇e2 (7)

Drugi člen popisuje vpliv rotacije koordinatnega sistema. Vektor r OM bomo zapisali v lokalnem polarnem koordina-

tnem sistemu (LPKS) erM ,eϕM . Pri izračunu upoštevamo zvezi r OM = r1erM inω= ϕ̇k .

ω× r OM =

∣∣∣∣∣∣∣∣erM eϕM k

0 0 ϕ̇

r1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= r1ϕ̇eϕM (8)Pri zapisu vektorja v drugem členu lahko glede na prvi člen opazimo neskladje v baznih vektorjih, zato moramo upo-

števati še izraz za transformacijo baznih vektorjev erM ,eϕM v LKKS e1,e2. Pri tem ustrezno uporabimo enačbo (3):

ω× r OM = r1ϕ̇eϕM = r1ϕ̇(−e1 sin(ϕ1)+e2 cos(ϕ1)) (9)

Tretji člen predstavlja relativno hitrost gibanja točke M , ki ga bomo izrazili v LPKS. Ponovno izvedemo tudi transfor-

macijo v LKKS.

v R = ṙ1erM + r1ϕ̇1eϕM = r1ϕ̇1eϕM = r1ϕ̇1(−e1 sin(ϕ1)+e2 cos(ϕ1)) (10)

Z združitvijo členov lahko zapišemo izraz za absolutno hitrost točke M z uporabo baznih vektorjev LKKS. Z ustrezno

uporabo enačbe (3) je mogoča tudi transformacija v GKKS.

v A,M = vO +ω× r OM +v R= (−r1ϕ̇sin(ϕ1)− r1ϕ̇1 sin(ϕ1))e1 + (r ϕ̇+ r1ϕ̇cos(ϕ1)+ r1ϕ̇1 cos(ϕ1))e2=−R1 sin(c2t ) (c1 + c2)e1 + (Rc1 +R1 cos(c2t ) (c1 + c2))e2

(11)

2

Sestavljeno gibanje Statika in kinematika 2018/2019

2.1.1 Izračun pospeška

Absolutni pospešek bomo izračunali z uporabo enačbe (2):

a A,M = aO +α× r OM +ω× (ω× r OM )+aR +2ω×v R (12)

Ponovno se bomo reševanja lotili po posameznih členih. Prvi člen popisuje pospešek izhodišča lokalnega koordina-

tnega sistema. Zapisali ga bomo v GPKS erO ,eϕO in privzeli sovpadanje enotskih vektorjev erO = e1 in eϕO = e2.

aO =(r̈ − r ϕ̇2)erO + (2ṙ ϕ̇+ r ϕ̈)eϕO =−r ϕ̇2e1 (13)

Drugi člen popisuje vpliv rotacije koordinatnega sistema. Upoštevamo zvezi r OM = r1erM in α = ϕ̈k in izvedemotransformacijo v LKKS.

α× r OM =

∣∣∣∣∣∣∣∣erM eϕM k

0 0 ϕ̈

r1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= r1ϕ̈eϕM = 0 (14)Pri izračunu tretjega člena uporabimo že izračunani drugi člen absolutne hitrosti ω× r OM = r1ϕ̇eϕM in izvedemotransformacijo v LKKS.

ω× (ω× r OM ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣erM eϕM k

0 0 ϕ̇

0 r1ϕ̇ 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=−r1ϕ̇2erM =−r1ϕ̇2

(e1 cos(ϕ1)+e2 sin(ϕ1)

)(15)

Četrti člen predstavlja relativni pospešek, ki za zapišemo v LPKS in transformiramo v LKKS.

aR =(r̈1 − r1ϕ̇21

)erM +

(2ṙ1ϕ̇1 + r1ϕ̈1

)eϕM =−r1ϕ̇21erM =−r1ϕ̇21

(e1 cos(ϕ1)+e2 sin(ϕ1)

)(16)

Pri izračunu petega člena uporabimo že izračunani drugi člen absolutne hitrosti v R = r1ϕ̇1eϕM in izvedemo transfor-macijo v LKKS.

2ω×v R = 2

∣∣∣∣∣∣∣∣erM eϕM k

0 0 ϕ̇

0 r1ϕ̇1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=−2r1ϕ̇ϕ̇1erM =−2r1ϕ̇ϕ̇1(e1 cos(ϕ1)+e2 sin(ϕ1)

)(17)

Posamezne člene združimo v izraz za absolutni pospešek točke M :

a A,M = aO +α× r OM +ω× (ω× r OM )+aR +2ω×v R= (−r ϕ̇2 − r1ϕ̇2 cos(ϕ1)− r1ϕ̇21 cos(ϕ1)−2r1ϕ̇ϕ̇1 cos(ϕ1))e1++ (−r1ϕ̇2 sin(ϕ1)− r1ϕ̇21 sin(ϕ1)−2r1ϕ̇ϕ̇1 sin(ϕ1))e2= (−Rc21 −R1c21 cos(c2t )−R1c22 cos(c2t )−2R1c1c2 cos(c2t ))e1++ (−R1c21 sin(c2t )−R1c22 sin(c2t )−2R1c1c2 sin(c2t ))e2

(18)

t = t1 ve1 ve2 |v | ae1 ae2 |a|M -3.355 m/s 3.704 m/s 4.998 m/s -1.263 m/s2 -2.013 m/s2 2.376 m/s2

3

Sestavljeno gibanje Statika in kinematika 2018/2019

2.2 Animacija gibanja

Animacija

Slika 3: Animacija gibanja vrtiljaka.

4

animacija.aviMedia File (video/avi)

Enacbi sestavljenega gibanjaPrimer nalogeIzracun hitrostiAnimacija gibanja