ME623 Planejamento e Pesquisa
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ME623 Planejamento e Pesquisa. 3. Experimentos com um Único Fator ( Completamente Aleatorizados ). Estimador de σ 2. Soma de Quadrados dos Erros O termo entre colchetes dividido por n – 1 é a variância amostral para o i -ésimo tratamento: Então um estimador de σ 2 é dado por. - PowerPoint PPT Presentation
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ME623Planejamento e Pesquisa
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3. Experimentos com um Único Fator (Completamente Aleatorizados)
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Soma de Quadrados dos Erros
O termo entre colchetes dividido por n – 1 é a variância amostral para o i-ésimo tratamento:
Então um estimador de σ2 é dado por
Estimador de σ2
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Se não existe diferença entre as médias, pode-se também usar a variação entre tratamentos para estimar σ2
Isso se deve ao fato que . Então
também é um estimador de σ2.Portanto, no caso de igualdade das
médias, MSE e MSA deveriam ser próximos. Caso contrário, suspeita-se que a
diferença seja causada pela diferença nas médias dos tratamentos.
Construção do Teste F (Intuição)
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Quadrados Médios (MS)A quantidade é
chamada de Quadrado Médio
Quadrado Médio do Erro (MSE)
Quadrado Médio do Fator A (MSA)
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Construção do Teste F (formal)
O valor esperado de cada Quadrado Médio:
MSE é um estimador não viciado de σ2
Sob , MSA também é um estimador não viciado de σ2.
Então, um teste de hipótese para testar igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de MSE e MSA.
Exercício:Prove essas igualdades!!
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Construção do Teste FAssumimos que
Isso implica que
Então, as quantidades SST, SSA e SSE são somas de quadrados de v.a. normais e pode-se mostrar que
SSE e SSA
são independentes?
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Construção do Teste F
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Como
pelo Teorema de Cochran temos que e são v.a. qui-quadrado independentes.
Temos então a estatística do teste
Se H0 é falsa, o valor esperado de MSA é maior que o valor esperado de MSE e então, devemos rejeitar H0 para valores grande de F0 , isto é, rejeita H0 se
Construção do Teste F
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Tabela ANOVAÚnico Fator com Efeito Fixo
Mostre que as SS podem ser simplificadas como:
SSE é obtida pela subtração:
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Exemplo da Fibra Sintética
%Algod
ão
Resistência (lb/in2)
( )
Total Média1 2 3 4 5
15 7 715
11
9 49 9.8
2012
17
12
18
18
77 15.4
2514
18
18
19
19
88 17.6
3019
25
22
19
23
108 21.6
35 710
11
15
11
54 10.8
= 376 =15.04
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Análise EstatísticaExemplo Fibra Sintética
Figura: Boxplot da resistência para cada % de algodão
Queremos testar se:
1. Calcular SST, SSA e SSE
2. Encontrar a tabela ANOVA
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Análise EstatísticaExemplo Fibra Sintética
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Tabela ANOVAExemplo Fibra Sintética
No R, usando a função aov> dados <- read.table(“DadosAlgodao.txt”, header=TRUE)> fit <- aov(Obs ~ factor(Algodao), data=dados)> summary(fit)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Algodao) 4 475.8 118.94 14.76 9.13e-06 ***Residuals 20 161.2 8.06 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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Análise EstatísticaExemplo Fibra Sintética
Gráfico da Distribuição F(4,20), α=0.05
Conclusão: Como F0 = 14.76 > 2.87 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, a porcentagem de algodão na fibra afeta significativamente a resistência média.
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Estimação dos ParâmetrosNo modelo com um único fator
os parâmetros são estimador por:
Pela suposição que , temos
Onde
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Intervalos de ConfiançaPara a média do i-ésimo tratamento (μi)
Um 100(1 - α)% IC para μi é:
Similarmente, um IC para a diferença das médias de dois tratamentos (μi – μj) é
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Estimação dos ParâmetrosExemplo Fibra Sintética
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Dados Não-BalanceadosNúmero de observações/replicações sob
os tratamentos diferemA Análise de Variância mostrada
anteriormente pode ser usada com pequenos ajustes.
Seja ni o número de observações dentro do i-ésimo tratamento e
Então:
ME623A – Aula 4 – 19/08/2013 20
Exercício
