Aula 6 –Planejamento e Análise de Experimentos

Professores Miguel Antonio Sovierzoski, Dr. miguelaso@utfpr.edu.br; Vicente Machado Neto, Dr. vmachado@utfpr.edu.br;

Revisão da aula anterior Tamanho das amostras e erros tipo α e β;

Experimentos de um único fator Análise de Variância;

Termos da Análise de Variância 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇; 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸; 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇𝑜𝑜𝑁𝑁;

Análise de Variância dados desbalanceados;

Análise dos Resíduos;

Análise de Variância - Contrastes;

Análise de Variância – Teste LSD;

Análise de Variância – Teste Dunnett`s;

Análise de Variância - Dispersão.

Blocos Em muitos experimentos certos fatores nos quais não estamos interessados, muitas vezes incontrolados, ou ruídos, podem afetar a resposta, aqui chamados de fatores incômodos. A técnica da blocagem é uma técnica extremamente importante e usada para eliminarmos ou minimizarmos os efeitos dos fatores incômodos nos quais não estamos interessados.

Blocos Exemplificando a situação suponha que desejamos verificar se quatro diferentes ponteiras de medição de dureza de materiais, determinam diferentes valores de dureza. Para isto usamos amostras de materiais, nas quais produzimos afundamentos com as ponteiras. Acontece que as amostras podem apresentar variações de dureza, dependendo da não homogeneidade da têmpera, que as mesmas foram submetidas durante a sua criação. Para eliminarmos a variabilidade das amostras, podemos com as quatro ponteiras, produzir afundamentos em cada uma das amostras, e não usarmos a mesma amostra para uma só ponteira.

Blocos Desta forma podemos tornar os erros os menores possíveis, removendo a variabilidade das amostras. Um planejamento que tenha estes requisitos é chamado de “Planejamento Completo em Blocos Aleatórios” (RCBD – randomized complete block design).

Em inúmeras situações a técnica RCBD é apropriada, tais como diferentes operadores, diferentes matérias primas, maquinas diferentes, tempo de obtenção da amostra, lotes diferentes, etc...

Blocos também podem ser usados quando desejamos eliminar o efeito de outros fatores, geralmente incontroláveis, que não estamos interessados na resposta medida. Assim, testa-se o fator desejado em blocos, onde os blocos consistem de uma determinada combinação, dos fatores nos quais não estamos interessados.

Blocos

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Blocos

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Blocos

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Blocos

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Blocos

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Blocos

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇𝑜𝑜𝑁𝑁

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Blocos

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Blocos

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Blocos

ANOVA para um RCBD • Se 𝐻𝐻0 é verdadeira, 𝐹𝐹0~𝐹𝐹∝; 𝑇𝑇−1 ;(𝑇𝑇−1)(𝑏𝑏−1) • A região crítica é a cauda superior da distribuição,

e 𝐻𝐻0 é rejeitada se 𝐹𝐹0 > 𝐹𝐹∝; 𝑇𝑇−1 ;(𝑇𝑇−1)(𝑏𝑏−1)

Blocos

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Blocos: Exemplo diferença pontas

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Blocos: Exemplo diferença pontas

A não consideração dos blocos aumenta o erro experimental de forma que diferenças entre as médias dos tratamentos não são detectadas. Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG

Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Blocos: Exemplo diferença pontas Minitab

Blocos: Exemplo diferença pontas Minitab

ANOVA: Dados versus Pontas; Blocos Fator Tipo Níveis Valores Pontas fixo 4 1; 2; 3; 4 Blocos fixo 4 1; 2; 3; 4 Análise de Variância para Dados Fonte GL SQ QM F P Pontas 3 0,38500 0,12833 14,44 0,001 Blocos 3 0,82500 0,27500 30,94 0,000 Erro 9 0,08000 0,00889 Total 15 1,29000 S = 0,0942809 R2 = 93,80% R2(aj) = 89,66%

Medidas de quão bem o modelo se ajusta aos dados. S = distância padrão dos dados ao modelo, quanto menor melhor. 𝑅𝑅2 descreve quanto de variação é explicada pelo modelo, quanto maior melhor, isto vale também para 𝑅𝑅2 ajustado. Diferenças grandes entre 𝑅𝑅2 e 𝑅𝑅2 ajustado, sugerem que termos desnecessários fazem parte do modelo.

Blocos: Exemplo diferença pontas Minitab

0,20,10,0-0,1-0,2

99

90

50

10

1

Resíduos

Perc

entu

al

10,29,99,69,3

0,1

0,0

-0,1

Valor ajustado

Resí

duos

0,150,100,050,00-0,05-0,10

3

2

1

0

Resíduos

Freq

uênc

ia

16151413121110987654321

0,1

0,0

-0,1

Ordem de Observação

Resí

duos

Gráfico de probabilidade normal Versus Ajustados

Histograma Versus Ordem

Gráficos de Resíduo de Dados

Blocos: Exemplo diferença pontas Minitab

A determinação dos resíduos não é tão simples tanto quanto na ANOVA One Way. Quando temos os efeitos dos tratamentos e dos blocos, tem-se que excluir os dois efeitos, para então determinar os resíduos. Assim os resíduos são apenas oque não é explicado pelos tratamentos e pelos blocos.

Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

A maior desvantagem na estratégia de experimentar um fator por vez é que ela falha em não considerar qualquer interação entre os fatores. Uma interação é a falha de um fator em produzir o mesmo efeito na resposta, para diferentes níveis de outro fator.

Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial – 2 fatores

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Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab Life Data Temp Material

130 15 1 155 15 1 74 15 1 180 15 1 34 70 1 40 70 1 80 70 1 75 70 1 20 125 1 70 125 1 82 125 1 58 125 1 150 15 2 188 15 2 159 15 2 126 15 2 136 70 2 122 70 2 106 70 2 115 70 2 25 125 2 70 125 2 58 125 2 45 125 2 138 15 3 110 15 3 168 15 3 160 15 3 174 70 3 120 70 3 150 70 3 139 70 3 96 125 3 104 125 3 82 125 3 60 125 3

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

Life Data Temp Material 130 15 1 155 15 1 74 15 1 180 15 1 34 70 1 40 70 1 80 70 1 75 70 1 20 125 1 70 125 1 82 125 1 58 125 1 150 15 2 188 15 2 159 15 2 126 15 2 136 70 2 122 70 2 106 70 2 115 70 2 25 125 2 70 125 2 58 125 2 45 125 2 138 15 3 110 15 3 168 15 3 160 15 3 174 70 3 120 70 3 150 70 3 139 70 3 96 125 3 104 125 3 82 125 3 60 125 3

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

ANOVA: Life Data versus Temp; Material Fator Tipo Níveis Valores Temp fixo 3 15; 70; 125 Material fixo 3 1; 2; 3 Análise de Variância para Life Data Fonte GL SQ QM F P Temp 2 39118,7 19559,4 28,97 0,000 Material 2 10683,7 5341,9 7,91 0,002 Temp*Material 4 9613,8 2403,4 3,56 0,019 Erro 27 18230,7 675,2 Total 35 77647,0 S = 25,9849 R2 = 76,52% R2(aj) = 69,56%

Observação: A interação entre os fatores somente pode ser quantificada pelo p valor, caso tenha-se replicatas das medições. Caso não hajam replicatas as interações somente podem ser verificadas por meio dos gráficos das interações.

Conclusões ao nível de α=0,05: • Os materiais são diferentes com

respeito a vida; • A temperatura afeta a vida da bateria; • A interação mat x temp é significativa.

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

Observação: A interação entre os fatores somente pode ser quantificada pelo p valor, caso tenha-se replicatas das medições. Caso não hajam replicatas as interações somente podem ser verificadas por meio dos gráficos das interações.

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

Observação: A interação entre os fatores somente pode ser quantificada pelo p valor, caso tenha-se replicatas das medições. Caso não hajam replicatas as interações somente podem ser verificadas por meio dos gráficos das interações.

321

150

125

100

75

50

1257015

150

125

100

75

50

Temp

Material

1570

125

Temp

123

Material

Gráfico de Interação para Life DataMédia dos Dados

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

1257015

150

140

130

120

110

100

90

80

70

60321

Temp

Méd

ia

Material

Gráfico de Efeitos Principais para Life DataMédia dos Dados

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

TempMaterial

1257015321321321

200

150

100

50

0

Life

Dat

a

Gráfico de Intervalos de Life DataIC de 95% para a Média

Os desvios padrão individuais foram usados para calcular os intervalos.

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

MaterialTemp

321125701512570151257015

200

150

100

50

0

Life

Dat

a

Boxplot of Life Data

Planejamento Fatorial – 2 fatores Minitab

50250-25-50

99

90

50

10

1

Resíduos

Perc

entu

al

1501251007550

50

25

0

-25

-50

Valor ajustado

Resí

duos

60300-30-60

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

Resíduos

Freq

uênc

ia

35302520151051

50

25

0

-25

-50

Ordem de Observação

Resí

duos

Gráfico de probabilidade normal Versus Ajustados

Histograma Versus Ordem

Gráficos de Resíduo de Life Data

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

𝐹𝐹𝑐𝑐𝑇𝑇𝑁𝑁𝑇𝑇𝑁𝑁𝑐𝑐𝑜𝑜 𝐹𝐹0,05;2;12 = 3,885294 𝐹𝐹0,05;1;12 = 4,747225 Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG

Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Resposta Speed Pressão Carbonation -3 200 25 10 -1 200 25 10 -1 250 25 10 0 250 25 10 -1 200 30 10 0 200 30 10 1 250 30 10 1 250 30 10 0 200 25 12 1 200 25 12 2 250 25 12 1 250 25 12 2 200 30 12 3 200 30 12 6 250 30 12 5 250 30 12 5 200 25 14 4 200 25 14 7 250 25 14 6 250 25 14 7 200 30 14 9 200 30 14 10 250 30 14 11 250 30 14

Entrada dos dados

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

10-1

99

90

50

10

1

Resíduos

Perc

entu

al

129630

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

Valor ajustado

Resí

duos

1,00,50,0-0,5-1,0

8

6

4

2

0

Resíduos

Freq

uênc

ia

24222018161412108642

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

Ordem de Observação

Resí

duos

Gráfico de probabilidade normal Versus Ajustados

Histograma Versus Ordem

Gráficos de Resíduo de Resposta

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

10

5

0

141210

3025

10

5

0

250200

10

5

0

Speed

Pressão

Carbonation

200250

Speed

2530

Pressão

101214

Carbonation

Gráfico de Interação para RespostaMédia dos Dados

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Observando-se os gráficos das iterações observa-se que as mesmas não são significativas. A fraca iteração entre os fatores também se confirma pelos p valores todos maiores que 0,05.

10

5

0

141210

3025

10

5

0

250200

10

5

0

Speed

Pressão

Carbonation

200250

Speed

2530

Pressão

101214

Carbonation

Gráfico de Interação para RespostaMédia dos Dados

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Strength Hardwood Conc Pressure Cooking Time 196,6 2 400 3 196,0 2 400 3 197,7 2 500 3 196,0 2 500 3 199,8 2 650 3 199,4 2 650 3 198,4 2 400 4 198,6 2 400 4 199,6 2 500 4 200,4 2 500 4 200,6 2 650 4 200,9 2 650 4 198,5 4 400 3 197,2 4 400 3 196,0 4 500 3 196,9 4 500 3 198,4 4 650 3 197,6 4 650 3 197,5 4 400 4 198,1 4 400 4 198,7 4 500 4 198,0 4 500 4 199,6 4 650 4 199,0 4 650 4 197,5 8 400 3 196,6 8 400 3 195,6 8 500 3 196,2 8 500 3 197,4 8 650 3 198,1 8 650 3 197,6 8 400 4 198,4 8 400 4 197,0 8 500 4 197,8 8 500 4 198,5 8 650 4 199,8 8 650 4

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Não existe padrões nos resíduos

1,00,50,0-0,5-1,0

99

90

50

10

1

Resíduos

Perc

entu

al

200198196

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

Valor ajustado

Resí

duos

0,80,40,0-0,4-0,8

12

9

6

3

0

Resíduos

Freq

uênc

ia

35302520151051

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

Ordem de Observação

Resí

duos

Gráfico de probabilidade normal Versus Ajustados

Histograma Versus Ordem

Gráficos de Resíduo de Strength

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Interações: Hardwood Conc X Pressão X Tempo = não é significativa Hardwood Conc X Pressão = é significativa Hardwood Conc X Tempo Coz = não é significativa; Pressão X Tempo Coz = não é significativa Para P valores maiores que 0,05 as interações não são significativas.

Os fatores Concentração de materiais duros, Tempo de Cozimento e Pressão são significativos na resistência do papel. Os P valores todos deram menores do que 0,05.

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Tomando-se por base a maior resistência do papel a melhor escolha dos fatores é: Hardwood Concentration = 2% Pressure = 650 Cooking Time = 4

842

199,0

198,5

198,0

197,5

650500400 43

Hardwood Conc

Méd

ia

Pressure Cooking Time

Gráfico de Efeitos Principais para StrengthMédia dos Dados

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

200

198

196

43

650500400

200

198

196

842

200

198

196

Hardwood Conc

Pressure

Cooking Time

248

ConcHardwood

400500650

Pressure

34

TimeCooking

Gráfico de Interação para StrengthMédia dos Dados

Planejamento Fatorial Generalizado - Minitab

Iteração significativa entre Hardwood Conc X Pressure. P valor menor do que 0,05.