Matemticas: orden en el caos La bsqueda de un sueo

Antonio Prez Sanzhttp://platea.pntic.mec.es/aperez4

aperez@rsme.es

http://platea.pntic.mec.es/aperez4mailto:aperez@rsme.es

matemtica(Del lat. mathematca, y este del gr.

, der. de , conocimiento).

1. f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como nmeros, figuras geomtricas o smbolos, y sus relaciones.

Real Academia Espaola

COSMOS versus CAOS

Cosmos es un sistema ordenado o armonioso.

Proviene del termino griego "", que significa orden, y es la anttesis del caos

wikipedia

CAOS(Del lat. chaos, y este del gr. , abertura).

1. m. Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenacin del cosmos.

2. m. Confusin, desorden.

3. m. Fs. y Mat. Comportamiento aparentemente errtico e impredecible de algunos sistemas dinmicos, aunque su formulacin matemtica sea en principio determinista.

Real Academia Espaola

Eficacia Matemtica

Capacidad predictiva

Capacidad retrodictiva

Capacidad explicativa

Capacidad predictiva Las teoras matemticas proporcionan unos

resultados numricos que, con cierto margen de error razonable, se ajustan a los resultados empricos procedentes de las experimentaciones y observaciones.

Neptuno, Plutn y los principales miembros del cinturn de asteroides, con Ceres a la cabeza sern descubrimientos basados en predicciones matemticas

donde n = 0, 3, 6, 12, 24, 48

Gauss y Ceres

Capacidad retrodictiva Las matemticas reproducen resultados ya

conocidos organizndolos en un formalismo conciso.

En la juventud de Newton las leyes de Kepler explicaban a la perfeccin el movimiento de todos los planetas del sistema solar. La teora de la gravitacin universal de Newton no es sino la formalizacin matemtica de estas leyes.

Las matemticas "salvan los fenmenos"

Capacidad explicativa

Las matemticas explican los fenmenos, esdecir, realizan una sucesin de inferencias quevincula su descripcin con unos pocosprincipios fundamentales y adems reducen ladiversidad de los fenmenos a un reducidonmero de principios.

La manzana y la Luna de Newton

PRIMER ACTO. Orden en los nmeros.Sur de Italia. Siglo VI antes de Cristo

La lucha por explicar la Naturaleza bajo la luz de la Razn. El principio.

No todo en la vida son radicales y progresiones aritmticas y geomtricas.

Pitgoras. El nacimiento de las matemticas como ciencia. La bsqueda de la armona del Universo. El primer modelo matemtico para explicar el mundo.

El misticismo numrico El nacimiento de la Aritmtica: la Teora de Nmeros.

Pitagorismo

Primos, perfectos, amigos, poligonales...los nmeros

Cul es el nmero mnimo de naranjas con las que puedo formar o bien un cuadrado o bien una pirmide?

1, 5, 14, 30, 55... a(n)?

N = + +

13 + 23 + 33 + ... + n3 = ??

Pitgoras, Euclides, Fermat, Euler, Gauss, Cauchy...

Los pitagricos

Las expresiones nmeros triangulares o nmeros cuadrados no son meras metforas sino que esos nmeros son, efectivamente, ante el espritu y ante los ojos, tringulos y cuadrados.

Pitgoras. El filsofo del nmero. Pedro M. Gonzlez Urbaneja. Ed. NIVOLA. Madrid 2001

Los nmeros poligonales

El paraso de las regularidades numricas:. Teoremas particulares. Teoremas generales Frmulas para cada tipo de nmeros A la caza de una frmula general. Los nmeros poligonales a travs de la historia. Hipsicles, Ten,

Nicmaco, Diofanto, Boecio, Bachet, Fermat, Descartes, Euler,Lagrange, Gauss, Cauchy...

Vdeos Pitgoras mucho ms que un teorema. (Universo Matemtico). Nmerostriangulares nmeros cuadrados. (Ojo Matemtico).

Libros: Pitgoras, el filsofo del nmero. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola. LaGaceta de la RSME. N 2. Filosofa y mistica del nmero. M. Ghyka. Apstrofe.

NMEROS POLIGONALES

NMEROS POLIGONALES

En todos los casos las series numricas son sumas parciales de los primeros trminos de progresiones aritmticas cuyo primer trmino es siempre 1 y cuya diferencia es d.

Siendo d el nmero de lados del polgono asociado a la serie menos dos unidades

Lo que viene a demostrar, que sinningn apoyo algebraico, y utilizandoexclusivamente modelos geomtricos,los pitagricos dominaban los mtodospara sumar progresiones aritmticassimples del tipo

y seguramente del tipo

kk

n

=

1( )2 1

1k

k

n

=

kk

n2

1=

Esta visin geomtrica les permiti obtener los primeros resultados generales sobre propiedades

de los nmeros naturales:

"La suma de los n primeros nmeros naturales es un nmero triangular".

21)n(nn...4321Tn +=+++++=

n

n + 1

"La suma de los n primeros nmeros impares es un nmero cuadrado"

C1 = 1 C2 = 1+3 C3 = 1+3+5 ... Cn = 1+3+5+...+2n -1

n2 = 1 + 3 + 5 + ... +(2n -1)

"Todo nmero cuadrado es suma de dos nmeros triangulares consecutivos".

Teorema de Ten

Cn = Tn + T n-1

Resultados algebraicosPolig Gnomon Recurrencia Descomp. triangularT(n) n T(n) = T(n1) + nC(n) 2n1 C(n) = C(n1) + (2n1) C(n) = T(n) + T(n1)P(n) 3n2 P(n) = P(n1) + (3n2) P(n) = T(n) + 2T(n1)H(n) 4n3 H(n) = H(n1) + (4n3) H(n) = T(n) + 3T(n1) Pr(n) (r2)(n1)+1 Pr(n) = Pr(n1) + (r2)(n1)+1 Pr(n) = T(n) + (r3) T(n1)

Formulas particulares

Triangulares Cuadrados Pentagonales Hexagonales

1,3,6,10... [n(n+1)]/2 1,4,9,16.. n2 1,5,12,22.. [n(3n1)]/2 1,6,15,28... n(2n1)

Frmula general:

2)1()2(

,

+=nndnN nd

Los otros resultados...Los nmeros poligonales a travs de la historia.

Hipsicles, Ten, Nicmaco, Diofanto, Boecio, Bachet, Fermat, Descartes, Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy...

Hipsicles. S II a. C.

N n,d = T n + (d-3)T n-1

N n,d = n + (d-2)T n-1

Nicmaco. s I d. C."Todo nmero poligonal es la suma del poligonal del

mismo orden y de una dimensin inferior ms el ntriangular de orden inferior". Teorema de Nicmaco

Cn = Tn + Tn-1Pn = Cn + Tn-1...

Nd,n = Nd-1,n + Tn-1

Frmula general

Nd, n = Tn + (d3) T n1

N n,d = 1/2 (n+1)n + 1/2 (d-3)n(n-1)

N n,d = n + 1/2 n(n-1)(d-2)

2)1()2(

,

+=nndnN nd

Nicmaco. s I d. C.

13 = 1; 23 = 3+5; 33 = 7+9+11;43 = 13+15+17+19...

13+23+33+...+n3 = =1+3+5+7+...+n(n+1)-1== (1+2+3+...+n)2

Diofanto de Alejandra( s. III d. C.)

Aparecen los nmeros piramidales, quese obtienen apilando en capas lossucesivos nmeros poligonales de unmismo orden

Tetragonales: 1, 4, 10, 20... Los piramidales cuadrados son: 1, 5,

14, 30... Los de base pentagonal: 1, 6, 18, 40...

Boecio. Aritmtica

Diofanto de Alejandra( s. III d.C.)

Conjetura

Todo nmero entero positivo se puede escribir como suma de a lo sumo cuatro nmeros cuadrados

Pierre de Fermat

Conjetura"Todo nmero entero puede expresarse

mediante suma de, a lo sumo, nnmeros n-gonales

1772 1796 1815Euler Lagrange Gauss Cauchy

Cuadrados Triangulares General

Conjetura"Todo nmero entero puede expresarse

mediante suma de, a lo sumo, nnmeros n-gonales

1772 1796 1815Euler Lagrange Gauss Cauchy

Cuadrados Triangulares General

Conjetura"Todo nmero entero puede expresarse

mediante suma de, a lo sumo, nnmeros n-gonales

1772 1796 1815Euler Lagrange Gauss Cauchy

Cuadrados Triangulares General

GaussDisquisitiones Arithmeticae

293. Las disquisiciones precedentes tambinproporcionan una demostracin del famosoteorema que dice que todo entero positivo sepuede descomponer en tres nmerostriangulares, como hace tiempo fuedescubierto por Fermat, pero cuyademostracin rigurosa ahora se ha logrado.

Un largo viaje de ms de 2500 aos

Nmeros perfectos, una historia abierta

Un nmero perfecto es aquel que coincide con la suma de sus partes alcuotas (sus divisores)

Nicmaco de Gerasa en su Introductio Arithmeticae incluye los 4 primeros nmeros perfectos: 6, 28, 496, 8128

Seguramente Dios cre el mundo en 6 das, porque 6 es un nmero perfecto:6 = 1 + 2 + 3

Y puso a la Luna a dar vueltas alrededor de la Tierra, una vez cada 28 das porque 28 es otro nmero perfecto:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

... la bsqueda de losnmeros perfectos.

En el libro IX de los Elementos, Euclides nos deja perplejos con su proposicin 36, que proporciona un mtodo original para encontrar nmeros perfectos.

"Si tantos nmeros como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporcin duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el ltimo produce algn nmero, el producto ser perfecto"

En lenguaje actual

"Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un nmero primo, entonces el producto de la suma por la ltima potencia sumada es un nmero perfecto".

Si (1+2+22+...+2n) es primo,entonces (1+2+22+...+2n)2n es perfecto

El quinto: 33.550.336

Corresponde al valor de n = 12

212 = 4096(1+2+22+...+212) = 8191 (primo)

4096 x 8191 = 33.550.336

Los 5 siguientesHasta el siglo XX slo se conocan 9 nmeros perfectos.(2^13-1)2^12 = 33550336(2^17-1) 2^16 = 8589869056(2^19-1) 2^18 = 137438691328(2^31-1) 2^30 = 2305843008139952128 Euler(2^61- 1)2^60

El embrujo de los nmeros perfectos

Revista SUMA n 56. 2007. Seccin De cabeza

Antonio Prez

Euler...

Demuestra el recproco del teorema de Euclides sobre nmeros perfectos.

Desde entonces se conoce como Teorema de Euclides-Euler

Si N es un nmero perfecto y par, entonces N = 2 k-1 (2 k-1),donde 2 k-1 es un nmero primo

Para hacerse famoso...

Existe algn nmero perfecto impar?

SI? NO?

Responde, demustralo e...Inscribe tu nombre en el gran libro de la

Historia de las Matemticas...

Escena segundaOrden e infinito

S=+++++ ...151

101

61

311

1/2 S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =

=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =

= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1

S = 2Leibniz. 1673

S=+++++ ...151

101

61

311

Parecido, pero no igual

El problema de Basilea:

1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... =

Grande ser nuestra gratitud si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos

Jakob Bernoulli

1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... = 2/6El genial Euler

SEGUNDO ACTOMatemticas y Naturaleza

El Universo es un libro escrito en el lenguaje delas matemticas, siendo sus caracterestringulos, crculos y otras figuras geomtricas,sin las cuales es humanamente imposiblecomprender una sola palabra; sin ellos solo seconseguir vagar por un obscuro laberinto"

Galileo Galilei

Grecia - El RenacimientoDe los slidos platnicos a las esferas.

Las esferas dejan paso a las cnicas de Apolonio.

Los poliedros regulares Las esferas de Aristteles Los epiciclos de Ptolomeo La teora heliocntrica Las rbitas elpticas. Las cnicas

Orden y Caos: la bsqueda de un sueo. Serie: Universo Matemtico. TV2. 2000 Autor: Antonio Prez Sanz Realizadora: Ana Martnez Distribuidora: RTVE

Platn Segn la concepcin platnica los matemticos son,

como Coln, descubridores de continentes. El papelde las matemticas no es otro que el de ejercer demediador entre el mundo de los sentidos y elmundo de las ideas con una existencia propia eindependiente del mundo sensible.

Las teoras matemticas tienen su existenciapropia en ese mundo ideal, el matemtico slo selimita a interpretar las sombras de esas ideas en lasparedes de la caverna.

El idealismo platnicoEl modelo geomtrico del Cosmos

Proposiciones 13-18. XIII de los Elementos de Euclides.

AD = 2DB AH = AB, CL = KC

AZ es la arista del tetraedro =

BZ es la arista del cubo =

BE es la arista del octaedro =

MB es la arista del icosaedro =

NB es la arista del dodecaedro =

A BC D L

ZEM

N

H

K

T

632 R

2R

332 R

( )55105

R

( )3153

R

Aristteles

PtolomeoCrculos y ms crculos

Ms de mil aos de oscuridad

El modelo matemtico de Ptolomeo es demasiado complejo y poco til a la hora de hacer predicciones a largo plazo

Menecmo, Apolonio, Galileo, Kepler:El mundo de las cnicas

El Renacimiento

Coprnico pone en marcha un nuevo modelo matemtico que mejora las predicciones y sobre todo que es ms sencillo a la hora de calcular

Galileo: la experimentacin y la observacin de la realidad como criterio de validacin de la teora cientfica

Kepler construir toda su teora y descubrir las leyes del movimiento de los planetas basndose en las precisas observaciones de Tycho Brahe.

KeplerLas cnicas, esas atractivas curvas matemticas

estudiadas por Apolonio hace tantos siglos van aconstituir una imprescindible herramienta matemticapara explicar el mecanismo celeste. La eficacia de lasmatemticas en el primero de los momentos estelaresde la historia.

Las leyes de Kepler Serie: Universo Mecnico. Annenberg/CPB Proyect. 1987 Produccin: California Institute of Tecnology Distribuidora: Arait Multimedia S.A.

TERCER ACTONewton y Leibniz

FUNCIONESLa Naturaleza posee unas leyes matemticas y el ser humano

puede encontrarlas.

Funciones El problema de la tangente Mximos y mnimos El clculo diferencial y el clculo integral. La medida del Meridiano terrestre.

Orden y Caos: la bsqueda de un sueoNewton y Leibniz. Sobre hombros de gigantesSerie: Universo Matemtico. TV2. 2000

Newton

Newton

los Principia Mathematica, la explicacinmatemtica definitiva del sistema del mundo

el clculo diferencial y el clculo integral

La Naturaleza posee unas leyes matemticas y el ser humano puede encontrarlas.

El mundo es un engranaje que funciona como unmecanismo de relojera.

Las ecuaciones diferenciales podrn predecir el estadodel sistema conociendo las condiciones iniciales delmismo.

LA PROBABILIDAD Y LA ESTADSTICA

Los orgenes de la teora de la probabilidad:

Cardano, Fermat, Pascal, JacquesBernoulli, Laplace, Euler...

Teora analticaLa aguja de Buffon

Cul es la probabilidad de que al dejar caer una aguja de longitud l sobre una serie de rectas paralelas con separacin a, la aguja toque una de las lneas?

Modelo analtico

Para que toque basta con que x < l/2 sen

CUARTO ACTOEl siglo XX. Fractales y Caos.

La Geometra de la Naturaleza

El universo est poblado de sistemas que se comportan de manera catica

"las nubes no son esferas, las montaas no son conos, las costas no son crculos, las cortezas de los rboles no son lisas y los relmpagos no se desplazan en lnea recta". B. Mandelbrot

Orden y caos: la bsqueda de un sueo.Universo Matemtico. TV2. 2001Fractales: la geometra del caosSerie: Ms por Menos. TV2. 1996

el determinista, con sus ecuacionesdiferenciales, para los sistemas simples;

el estadstico para los sistemas complicados, conmuchos grados de libertad en los que reina elazar.

Lo que nadie poda imaginar es que un sistema simple pudiese tener un comportamiento catico; y ah poco podan decir las matemticas

Paradigmas cientficos

La geometra del caos

La geometra fractal Incluso en aquellas regiones de la naturaleza

lejos de las cmodas regularidades de lasecuaciones diferenciales, las matemticasse revelan como la herramientaimprescindible para interpretar lanaturaleza.

Y por supuesto siguen manifestando demanera rotunda su increble eficacia.

LibrosIfrah, Georges. Historia Universal de las Cifras. Ed. Espasa. Madrid

1998Kline, Morris. El pensamiento matemtico de la Antigedad a

nuestros das. Ed. Alianza. Madrid 1992.Prez Sanz, A. Los nmeros poligonales. La Gaceta de la RSME. Vol

3. N 2. Madrid 2000Singh Simon, El enigma de Fermat. Ed. Planeta. Barcelona 1998Wussing H. Lecciones de Historia de las matemticas. Ed. Siglo XXI.

Madrid 1998Mandelbrot B. La Geometra fractal de la naturaleza. Tusquets.

Barcelona 1977Martn M, Morn M, Reyes M. Iniciacin al caos. Ed. Sntesis. Madrid.

1995Ro Snchez, J. del. Lugares geomtricos. Cnicas. Ed. Sntesis.

Madrid 1991

Otros librosBoyer, Carl B. Historia de la Matemtica. Ed. Alianza. Madrid

1987Dunham, William. El universo de las matemticas. Ed.

Pirmide. Madrid 1995.Dunham, William. Euler. El maestro de todos los

matemticos. Ed. Nivola Madrid 2000Dunham, William. Viaje a travs de los genios. Ed. Pirmide.

Madrid 1993Ghyka, Matila C. El nmero de oro. Ed. Poseidn. Barcelona

1978Ghyka, Matila C. Filosofa y mstica del nmero. Ed.

Apstrofe. Barcelona. 1998

GRACIAS

aperez@rsme.es

Matemticas: orden en el caos La bsqueda de un sueomatemticaCOSMOS versus CAOSCAOSEficacia MatemticaCapacidad predictivaGauss y CeresCapacidad retrodictivaCapacidad explicativaPRIMER ACTO. Orden en los nmeros.Sur de Italia. Siglo VI antes de CristoLa lucha por explicar la Naturaleza bajo la luz de la Razn. El principio. PitagorismoPrimos, perfectos, amigos, poligonales...los nmerosLos pitagricosLos nmeros poligonalesNMEROS POLIGONALESNMEROS POLIGONALESNmero de diapositiva 17Esta visin geomtrica les permiti obtener los primeros resultados generales sobre propiedades de los nmeros naturales:"La suma de los n primeros nmeros naturales es un nmero triangular"."La suma de los n primeros nmeros impares es un nmero cuadrado""Todo nmero cuadrado es suma de dos nmeros triangulares consecutivos". Teorema de TenResultados algebraicosLos otros resultados...Hipsicles. S II a. C.Nicmaco. s I d. C.Frmula generalNmero de diapositiva 26Diofanto de Alejandra ( s. III d. C.)Boecio. AritmticaDiofanto de Alejandra ( s. III d.C.)Pierre de FermatGaussNmero de diapositiva 32Nmeros perfectos, una historia abierta ... la bsqueda de losnmeros perfectos.En lenguaje actualEl quinto: 33.550.336Los 5 siguientesEuler...Para hacerse famoso...Escena segundaOrden e infinitoNmero de diapositiva 41Parecido, pero no igual1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... = p2/6 SEGUNDO ACTO Matemticas y NaturalezaGrecia - El RenacimientoDe los slidos platnicos a las esferas.Las esferas dejan paso a las cnicas de Apolonio.PlatnEl idealismo platnicoEl modelo geomtrico del CosmosProposiciones 13-18. XIII de los Elementos de Euclides.AristtelesPtolomeo Crculos y ms crculosMs de mil aos de oscuridadMenecmo, Apolonio, Galileo, Kepler:El mundo de las cnicasEl RenacimientoKeplerTERCER ACTONewton y LeibnizFUNCIONESLa Naturaleza posee unas leyes matemticas y el ser humano puede encontrarlas.NewtonNewtonLA PROBABILIDAD Y LA ESTADSTICATeora analticaLa aguja de BuffonModelo analticoNmero de diapositiva 61CUARTO ACTOEl siglo XX. Fractales y Caos. La Geometra de la NaturalezaParadigmas cientficosLa geometra del caosLa geometra fractalLibrosOtros librosGRACIAS