Sesi³n 9, errores comunes en las estimaciones

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  • 1. Errores comunes al estimar modelos economtricos Tratamiento de errores al estimar modelos Sesin 9 25/Abril/2007

2. Recordando los supuestos del modelo clsico Extendiendo los supuestos: 1. E(ui|xi)=0 No existe un sesgo en la estimacin de i 2. E(u2 i|xi)=2 La varianza de ui es homoscedstica. 3. E(uhui)=0 Los errores no estn relacionados. 4. Ui~N(0,s2 ) Los errores siguen una distribucin normal 5. Si xi es estocstica, las xi y ui no estn correlacionadas. 6. El nmero de observaciones debe ser mayor que el nmero de regresoras. 7. Debe existir variabilidad para los valores que toman las regresoras. 8. No hay relacin lineal exacta entre los regresores. 3. Profundizando en la multicolineidad Tratando las violaciones a los supuestos 6,7 y 8 Sesin 9 2/Mayo/2007 4. Qu sucede si las variables independientes estn relacionadas? Relacin lineal perfecta (determinstica): 1x1+ 2x2+ 3x3++ kxk=0 x2i=-1/2x1i-3/2x3i--k/2xki Si 2 no es cero entonces existe una relacin exactamente lineal entre x2 y el resto de variables x. Relacin lineal imperfecta (estocstica): 1x1+ 2x2+ 3x3++ kxk + v =0 x2i=-1/2x1i-3/2x3i--k/2xki-1/2vi La existencia de un error estocstico vi impide que x2 se relacione de forma perfecta con los dems regresores. Cul es el efecto aislado de x1? 5. Consecuencias de la multicolineidad Multicolineidad perfecta: Los coeficientes son indeterminados. Los errores estndar son infinitos. Demostracin: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 32 2 3 2 2 323 2 32 2 3322 iiii iiiiiii ii xxxx xxxyxxy b uxbxby = ++= ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0 0 : 22 2 22 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 23 = = = iii iiiiii ii xxx xxyxxy b xxSuponga 6. Consecuencias de la multicolineidad Multicolineidad imperfecta: El valor de vi determina su importancia. Dificultad para estimar coeficientes con errores estndar pequeos. Demostracin: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 32 2 3 2 2 323 2 32 2 2211 iiii iiiiiii ii xxxx xxxyxxy b uxbxby = ++= ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0 0 : 22 2 222 2 22 2 2 22 22 2 2 2 2 23 + ++ = += iiii iiiiiiiii iii xvxx xvyxyvxxy b vxxSuponga 7. Consecuencias prcticas Es un problema real? Aun bajo colineidad los coeficientes estimados por OLS son insesgados. La colineidad no destruye la caracterstica de varianza mnima. La multicolineidad es un fenmeno muestral. Consecuencias prcticas: La estimacin presenta grandes varianzas y covarianzas lo que hace difcil la estimacin precisa de i. Puede generar R2 muy altos a pesar de la eficiencia del modelo. Los estimadores y errores estndar son sensibles a cambios pequeos de informacin. 8. Deteccin de Multicolineidad R2 elevado pero sus coeficientes poco significativos. Correlaciones entre parejas de regresores. Tener cuidado que una alta correlacin es una condicin suficiente pero no necesaria. Regresiones auxiliares: Regla de Klien: sugiere multicolineidad cuando el R2 obtenido de las auxiliares es mayor que el global. Factores de tolerancia e ndices de condicin. 9. Qu hacer ante la presencia de multicolineidad? 1. No hacer nada: Muchas veces es un problema de los datos y no hay eleccin para hacer algo ms. 2. Informacin A priori: Saber qu relacionar y qu no relacionar (ejemplo ingresos y nivel socioeconmico). 3. Eliminar una de las variables colineales: Tener cuidado de incurrir en sesgos de especificacin. 4. Transformacin de las variables. Calcular diferencias. Dividir dentro de una tercera variable (ejemplo poblacin). Estimaciones polinomiales. 5. Incluir datos adicionales. Expandir la muestra permite mayor eficiencia. 10. Heteroscedasticidad Tratando las violaciones a los supuestos 6,7 y 8 Sesin 9 2/Mayo/2007 11. Dos tipos de errores al realizar estimaciones economtricas Sesgo en la estimacin de los coeficientes: E(bi)=i+i El riesgo es afirmar que i es igual a bi cuando existe un valor que lo sesga sistemticamente. Sesgo en la estimacin de la varianza del modelo: E(s2 )=2 (XX)-1 Al momento de fallar en esta estimacin puede llegarse a concluir que un coeficiente no es (o s es) significativo cuando realmente no lo es. 12. Recordando: derivacin de los supuestos Qu condiciones deben existir para poder inferir el valor de ? [ ] [ ] [ ] IuuE uEuEuE uEuEuE uEuEuE uuE XXXuuXXXbbE TTT T T = = = 2 2 2,1, ,2 2 11,2 ,12,1 2 1 11 )(...)()( ............ )(...)()( )(...)()( )()()()( Varianza de los Errores para cada observacin. Covarianza de los errores entre las observaciones xi y xj. Supuesto sobre el valor esperado de esta matriz. 13. Recordando: derivacin de los supuestos Qu condiciones deben existir para poder inferir el valor de ? [ ] [ ] = = 2 2 2 2 ...00 ............ 0...0 0...0 uuE IuuE Supuestos 1. La varianza de los errores para cada observacin es constante. 2. No existe relacin entre los errores. Cuando estos dos supuestos se violan la estimacin de la matriz varianza covarianza es sesgada y altera la eficiencia global del modelo. 14. Ejemplo: supuesto 1 Fuente: Stock & Watson, 2006 VariableDependiente Variable Independiente La varianza de los errores debe ser constante para cada xi. 15. Heteroscedasticidad E(u. u) 2 A pesar que el estimador de de mnimos cuadrados sea insesgado las pruebas estadsticas son errneas. Por qu pueden ser variables los errores? Cambios en el comportamiento a lo largo de la distribucin. Que existan distintas tecnologas para recopilar la informacin. Presencia de factores atpicos. Incorrectas transformaciones de los datos. 16. Cmo detectar la Heteroscedasticidad? Hiptesis de homoscedasticidad Ho) Homoscedasticidad. Hi) Heteroscedasticidad Qu prueba utilizar? Goldfeld Quandt Breusch Pagan Godfrey Prueba de White Prueba general que no necesita identificar la variable que causa heteroscedasticidad. Prueba de heteroscedasticidad y de especificacin. 17. Pasos para realizar la prueba de White Tratamiento del error por medio de la prueba de White 1. Estima el modelo original: Y = 0 + 1x1 + 2x2 +ui 2. Realiza una regresin auxiliar: e2 = 0 + 1x1 + 2x2 + 3x1 2 + 4x2 2 + 5x1x2 +ui 3. La prueba se distribuye con k grados de libertad en la regresin auxiliar. 4. Valor obtenido 2 = n*R2 (de la regresin auxiliar) 5. Si el valor obtenido (2 ) excede al valor crtico se rechaza Ho. 18. Cmo corregir la Heteroscedasticidad? Tomar en cuenta lo siguiente: Es un problema de eficiencia, no de estimacin insesgada de i. Un problema de especificacin puede causar errores heteroscedsticos. Cualquier ajuste en la matriz varianza covarianza que corrija la heteroscedasticidad sirve para realizar inferencia estadstica. Correccin de White: Los coeficientes son constantes pero la estimacin de las varianzas es ponderada por una matriz . Ejemplo 19. Autocorrelacin Tratando las violaciones a los supuestos 6,7 y 8 Sesin 9 2/Mayo/2007 20. Recordando: derivacin de los supuestos Qu condiciones deben existir para poder inferir el valor de ? [ ] [ ] = = 2 2 2 2 ...00 ............ 0...0 0...0 uuE IuuE Supuestos 1. La varianza de los errores para cada observacin es constante. 2. No existe relacin entre los errores. Cuando estos dos supuestos se violan la estimacin de la matriz varianza covarianza es sesgada y altera la eficiencia global del modelo. 21. Naturaleza de la autocorrelacin Es importante saber el tipo de datos que se utiliza: Corte transversal. Series de tiempo. Panel. E(ui,uj)=0 Los errores no se encuentran correlacionados uno con otro. Cuando este supuesto se rompe existe autocorrelacin. Tipos de auto correlacin: Espacial. Serial. 22. Por qu ocurre la autocorrelacin? Causas: Sesgo de especificacin. Variables omitidas y redundantes. Forma funcional del modelo. Rezagos: Variables independientes. Variables dependientes. Manipulacin de los datos. No estacionariedad. 23. Cmo probar la presencia de autocorrelacin? Suponga el siguiente modelo: Para la autocorrelacin serial se puede decir que el trmino de error sigue un proceso autorregresivo AR(p). Si se llegara a probar que es distinta de cero, entonces existe autocorrelacin de los errores. Si no se llegara a conseguir informacin estadstica que indique esto, entonces se puede decir que ui = i, distribuyndose N(0,2 ) y cuya cov(i,j)=0. ijt ii uu uxY += ++= 10 24. Cmo detectar la autocorrelacin? Mtodo Grfico: Residuos de Ui vs el tiempo y vs Uj. Permite generar una intuicin de los problemas de heteroscedasticidad y autocorrelacin. Prueba Durbin Watson: Estadstico a estimar: = = = = = nt t t nt t tt u uu d 1 2 2 2 1 )( )( 25. Mtodo Durbin Watson EstadsticoDurbin Watson: Supuestos: El modelo global debe incluir un intercepto. Las variables explicativas son fijas. Las perturbaciones del error se dan en un esquema autorregresivo de primer orden. El error est normalmente distribuido. El modelo de regresin no incluye rezagos de las variables dependientes. No existen observaciones faltante (brincos en la serie). = = = = = nt t t nt t tt u uu d 1 2 2 2 1 )( )( 26. Mtodo Durbin Watson Estadstico DW: Regla de decisin: = = = = = = = = 22 12 )( 1 2 1 1 2 2 2 1 nt t t tt nt t t nt t tt u uu u uu d 2 Ho) No hay autocorrelacinNo se rechaza Ho, Con de significancia. du 4-dudL 4- dL Zona de Indecisin Zona de Indecisin Rechazo Ho Rechazo Ho =0=1 =2 27. Resumen de los pasos para prueba DW. Efectuar la estimacin global por medio de OLS. Establecer la regla de decisin. Tratamiento del rea de indecisin: depende del error y . Calcular el valor d a partir de los datos. Tomar una decisin justificada. 28. Prueba general Breusch Godfrey (LM) Esta prueba libera restricciones como: Estimaciones cuyos regresores son estocsticos. Esquemas autoregresivos de mayor orden. Promedios mviles (tema de series de tiempo). Suponga el siguiente modelo: El trmino de error sigue un proceso autorregresivo de orden p (AR(p)). ippttt ii uuuu uxY +++= ++= 12211 10 ... 29. H