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mcm: Comunes y no comunes con su mayor exponente Funciones MCD: Comunes con su menor exponente a a a a a a b b b b b b c c c c c d Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva Producto Notable OJO [SIGNOS] ± Factorización Sumados 2° Multiplicados 3° Fracción Generatriz número sin la coma sobre 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga; luego simplifico. número sin la coma menos todo lo que esté antes del período sobre tantos 9 como tenga el período seguido de tantos ceros como tenga ante período. Raíz Cuadrada Raíz Cúbica Raíz Enésima La raíz enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya potencia enésima es a. Pitágoras Potenciación Racionalización (eliminar la raíz del denominador) Ecuación de Segundo Grado Ecuación con valor absoluto Sistema de Ecuaciones 2 2 2 2 ) ( b ab a b a 3 2 2 3 3 3 3 ) ( b ab b a a b a 2 2 ) )( ( b a b a b a ) )( ( ) ( ) )( ( 2 c b a c b a c a b a a a 1 0 0 a 1 b b a b b a ) 2 ( 3 6 3 X X ) 3 )( 5 ( ) 3 ( 5 ) 3 ( X a X X a ) )( ( y z b a by ay bz az 2 2 2 ) ( 2 a X a aX X ] 3 3 1 ][ 4 3 1 [ ) 3 )( 1 ( 3 4 2 X X X X ) 3 )( 3 ( 9 2 2 4 X X X ) )( ( 2 2 3 3 Xa a X a X a X 3 3 2 2 3 ) ( 3 3 b X b Xb b X X 4 3 75 , 0 4 3 20 15 100 075 75 , 0 9 48 3 , 5 9 48 9 5 53 3 , 5 90 281 2 1 , 3 90 31 312 2 1 , 3 12 144 12 3 2 2 3 2 2 3 2 2 144 2 2 2 2 2 2 2 6 216 6 3 2 3 2 3 2 216 3 3 3 3 3 3 3 3 9 3 3 3 9 a b b a n n 2 2 2 b a h h: hipotenusa a y b: catetos n n n b a b a mn n m a a n n a a 1 n n n b a b a 1 0 a a a 1 n m n m a a a n m n m a a a n n n ab b a n n n b a b a mn nm a a n m n m a a a a 2 1 n m m n a a n n n a b b a n n a a 1 2 2 2 2 2 1 3 2 5 2 5 2 5 2 5 1 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 25 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 27 3 3 3 3 3 1 3 3 9 1 5 5 5 5 3 5 3 5 2 5 3 5 3 5 3 5 6 3 2 3 2 3 2 3 2 864 7 7 7 7 4 2 7 3 5 7 0 2 c bX aX a ac b b X 2 4 2 1 a ac b b X 2 4 2 2 b a X b a X b a X a b X 1 a b X 1 9 2 1 3 Y X Y X 5 1 2 3 2 10 5 1 9 5 9 1 3 2 9 2 1 3 Y Y X X X X X Y X X Y n Sustitució 5 1 2 3 2 10 5 1 9 2 3 2 9 1 3 2 9 1 3 Y Y X X X X X X X Y X Y Igualación 5 1 2 3 2 10 5 10 0 5 9 2 1 3 Y Y X X Y X Y X Y X Reducción Se puede resolver por tres métodos diferentes Los valores de “X” & “Y” son los mismos para ambas ecuaciones 1

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mcm: Comunes y no comunes con su mayor exponente Funciones

MCD: Comunes con su menor exponente

a a a a a a b b b b b b c c c c c d

Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva

Producto Notable

OJO [SIGNOS] ±

Factorización Sumados 2° Multiplicados 3°

Fracción Generatriz número sin la coma sobre 1 seguido de tantos

ceros como decimales tenga; luego simplifico. número sin la coma menos todo lo que esté antes del período sobre tantos 9 como tenga el período seguido de tantos ceros como tenga ante período.

Raíz Cuadrada

Raíz Cúbica

Raíz Enésima La raíz enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya potencia enésima es a.

Pitágoras Potenciación

Racionalización (eliminar la raíz del denominador)

Ecuación de Segundo Grado

Ecuación con valor absoluto

Sistema de Ecuaciones

222 2)( bababa 32233 33)( babbaaba 22))(( bababa

))(()())(( 2 cbacbacaba

aa 1

00 a

1b

b

ab

ba

)2(363 XX )3)(5()3(5)3( XaXXa ))(( yzbabyaybzaz

222 )(2 aXaaXX ]331][431[)3)(1(342 XXXX

)3)(3(9 224 XXX))(( 2233 XaaXaXaX 33223 )(33 bXbXbbXX

4

375,04

3

20

15

100

07575,0

9

483,59

48

9

5533,5

90

28121,390

3131221,3

1214412322322322144 2 222222

62166323232216 33 333 333

93339

abba nn

222 bah

h: hipotenusa a y b: catetos

n

nn

b

a

b

a

mnnm aa n

n

aa

1

nnnbaba 10 a aa 1

nmnm aaa nmnm aaa

nnn abba

nn

n

b

a

b

a

mnn m aa

nm

n m aa aa 2

1

n mm

n aa n nn abba

nn aa 1

2

2

2

2

2

1

3

25

25

25

25

1

3

3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

325

5

55

5

55

5

5

5

5

3

27

3

3

33

31

3

3

9

1 5

5 5

5 3

5 35 2

5 3

5 3

5 3

5

632323232864 7 777 427 357

02 cbXaXa

acbbX

2

42

1

a

acbbX

2

42

2

baX baX baX abX 1 abX 1

92

13

YX

YX

5123

2105

195

9132

92

13

YY

XX

X

XX

YX

XY

nSustitució

5123

2105

1923

2913

29

13

YY

XX

XX

XX

XY

XY

Igualación

5123

2

105

1005

92

13

YY

X

X

YX

YX

YX

Reducción

Se puede resolver por tres métodos

diferentes

Los valores de “X” & “Y” son los mismos para ambas ecuaciones

1

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313

3tan

2

1

2

2

2

3cos

2

3

2

2

2

1sin

604530

Trigonometría Razones Trigonométricas (Triangulo Rectángulo)

Ángulos Notables Signo de las Razones Límites Reducción al primer cuadrante Sistema de Medida de Ángulos existen tres sistemas: he aquí su relación →

Transformaciones

Identidad Trigonométrica Signos Ic y IIc (α) Ic (α/2) IIIc y IVc (α) IIc (α/2)

Teorema del Seno Teorema del Coseno Ecuación Trigonométrica

Logaritmo Cologaritmo Antilogaritmo Propiedades de los Logaritmos

Cateto opuesto (CO)

a de α b de β

Cateto adyacente (CA)

a de β b de α

hip

COsin

hip

CAcos

CA

COtan

CO

hipcsc α

CA

hipsec α

CO

CAcot α

sin

1csc

cos

1sec

tan

1cot

cos

sintan

sin

coscot

csc

sectan

00tan

0101cos

1010sin

270180900

IIc al Ic [180°- α]

IIIc al Ic [α -180°]

IVc al Ic [360°- α]

30330360

330tan

3

330tan

3

3330tan

g4002360 rad

Sistema sexagesimal

360°→circunferencia

Radianes

2π rad→circunferencia

Sistema centesimal

400g→circunferencia

g200180 rad

180radagrados

g200radacentesimal

g200

180gradosacentesimal

1sincos 22 22 sectan1 22 csccot1

cossincossinsin sinsincoscoscos

tantan1

tantantan

cossin22sin 22 sincos2cos

2tan1

tan22tan

2

cos1

2sin

2

cos1

2cos

cos1

cos1

2tan

sinsinsin

cba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

bccba

abbac

accab

2

1sin X

2

1arcsinX

30

330IVc

210IIIc0sin

X

XX

NaXN X

a log 164216log 2

4

NN aa logcolog X

a aX antilog

718281828,2

lnlog

e

aae

nmmn aaa logloglog

nmn

maaa logloglog

mnm a

n

a loglog

aa loglog10

mn

mnlog

log

log

0loga

1log aa

01log a

8loga

2

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3

Ecuaciones Exponenciales (La variable se encuentra en el exponente)

Números Complejos

Potencias de i

A cada 4 se repite

Progresión Aritmética (2,4,6,8) Progresión Geométrica (2,4,8,16)

Ecuaciones de grado superior El número de raíces que posee la ecuación corresponde al grado del

polinomio, en este caso “4”; para determinarlas de procede factorizándolo. Una vez factorizado el polinomio igualado a cero se obtienen todas sus raíces.

Límites con la Indeterminación

División de Polinomios Grado del Cociente Diferencia de los grados del dividendo y divisor

Grado del Residuo Una unidad menos que el grado del divisor

Inecuaciones

En el eje se marcan las raíces. En un mismo intervalo la función no cambia de signo mientras que en los Intervalos contiguos el signo es el contrario

4233

Iguales) (Bases 1 # Caso

42 XX 045

204252

Variable) de (Cambio 2 # Caso

2

2

YY

YXXX

1) # (Caso2

2

83213

833233

Común)(Factor 3 # Caso

X

XXX

3log

)2log(

)3log(

3log2log

3log2log

32

)(Logaritmo 4 # Caso

2

X

X

X

X

X

i1

iii

iii

3

2

1

0

1

1

217i 4

541

17217

ii 1

ii 217

binómica formaiba

compleja forma,ba

22Módulo baZ

a

barctanArgumento

trica trigonoméformasincos iZ

polar formaCisZ Z

rnaan 11

2

.1 naaS n

n

8na21 a4n 2r 20nS

1

1

n

n raa r

raS

n

n

1

1116na21 a4n 2r 30nS

01833183 234 XXXX

0)3)(2)(1)(0( XXXX 3210 4321 XXXX

aciónIndetermin0

0

0

N

0

N0

0

N

3

65lim

2

3

X

XX

X

3

32lim

3

X

XX

X

2lim3

XX

23lim3

X

1lim3X

ResiduoCocientedD XX )()(

6234 234)( XXXXD X

122)( XXd X BAXXCociente 2: DCXResiduo :

DCXBAXXXXXXXX 22234 126234

8422 DCBA

22: 2 XXCociente 84: XResiduo

2

126

2

13226

2

1326

2

1326

2

326 ibinómica) (forma 33 i

compleja) (forma 3,3

32Z 30

polar) (Forma 3032

3

5

3

8

X

X

X

X0

3

5

3

8

X

X

X

X

033

3538

XX

XXXX

i24

14

033

158245 22

XX

XXXX

0

33

393

XX

X

033

133

XX

X

0

33

158245 22

XX

XXXX

33

13

yrdenominado elen Raíces

numerador elen Raíces

,133,3:S

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B A y entre distanciad BA,

Geometría Analítica Es el estudio de la geometría con la utilización de coordenadas

Eje de Coordenadas

Gráfica de un segmento de recta AB en el eje de coordenadas

Distancia entre dos puntos

Punto medio de un segmento

Pendiente de un segmento Condiciones de paralelismo y perpendicularidad Ecuación de la Recta

Ecuación de la recta que corresponde al lugar geométrico del

segmento AB

Cónicas Ecuación de segundo grado que corresponde, dependiendo de ciertas condiciones a

la ecuación del lugar geométrico de una circunferencia, una elipse, una hipérbola, o

una parábola (siempre en el plano).

Circunferencia

X2 & Y

2 poseen el mismo coeficiente

(De canónica a general resolver productos notables, de general a canónica resolver por método de completación de cuadrados)

Parábola Ecuación General de una parábola dependiendo del

eje vertical u horizontal; ejemplo de eje vertical Cuando el eje es VERTICAL Cuando el eje es HORIZONTAL

5,-3- B1,4A 2211 ,X B,XA YY

Y, X OrdenadoPar BA

221

2

21BA,d YYXX 22

BA, 3451d 85d BA,

2,

2P 2121

M

YYXX

2

34,

2

51P

BAM

2

1,2P

BAM

marctan 12

12

XX

YYm

15

43ABm 43,553249

6

7arctan

2121 mmll ll 12121 mmll

0 CByAx Recta la de General Ecuación

11 XXmYY ella de punto un y pendiente su conociendo Recta la de Ecuación

bmxY Reducida Ecuación

1

b

Y

a

X Canónica o Simétrica Ecuación 1

6

74 XY

6

17

6

7 XY 01767 yx Recta la de General Ecuación

022 FExyDyCxByAx

20

2

0 YYXX PC,d Radio d PC,

2

2

0

2

0

YYXX Radio2

20

2

0

2 YYXXR

022 DCyBxAyAx

6

7m

Pendiente m

separado por puntos ambos calculan Se

0

2

0 4 YYpXX

02 DCyBxAx 02 DCxByAy

0

2

0 4 XXpYY

pYX 00 , Foco 00 ,YpX Foco

0XX eje del Ecuación 0YY eje del Ecuación

pYY 0 directriz la de E. pXX 0 directriz la de E.

p4 recto lado del Longitud p4 recto lado del Longitud

00 ,YXV

pd QP 4,

4

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Elipse ecuación general

Eje mayor HORIZONTAL Eje mayor VERTICAL

Centro: C(X0,Y0) / Focos: F & F’ / Eje mayor: d(A,A’) / Eje menor: d(B,B’) / Distancia focal: d(F,F’)=2c / Directrices: l1 & l2 / Lados rectos: PQ & P’Q’

Hipérbola ecuación general Eje mayor VERTICAL Eje mayor HORIZONTAL

Centro: C(X0,Y0) / Focos: F & F’ / Eje mayor: d(A,A’) / Eje menor: d(B,B’) / Distancia focal: d(F,F’)=2c / C es el punto medio de AA’, BB’ y FF’

Teoría Combinatoria Permutaciones, Variaciones y Combinaciones

Permutación Si importa el orden / No importa característica

Variación Si importa el orden / Si importa característica

Combinación No importa el orden

Binomio de Newton

Propiedades de los números combinatorios se emplea, dada su practicidad la notación de Euler:

Triangulo Pascal

Se ubica el 5 en el triangulo y con ello todos los resultados de los N° Combinatorios

222 cba

1

2

2

0

2

2

0

b

YY

a

XX 1

2

2

0

2

2

0

a

YY

b

XX

00 ,' YaXAA

00 ,' YcXFF

bYXBB 00 ,'

aYXAA 00 ,'

cYXFF 00,'

00 ,' YbXBB [“a

2” siempre es el

denominador mayor]

1

2

2

0

2

2

0

b

YY

a

XX 1

2

2

0

2

2

0

a

YY

b

XX

00 ,' YaXAA

00 ,' YcXFF

bYXBB 00 ,'

aYXAA 00 ,'

cYXFF 00 ,'

00 ,' YbXBB 222 bac [“a2” siempre es el denominador

de la fracción positiva]

EDyCxByAx 22

EDyCxByAx 22

5040!71234567!7 Factorial

!nPn

!!

,nm

mV nm

!!

!,

nmn

mC nm

121, nmmmmV nm

n

nm

nmP

VC

,

,

4032012345678 88 PP

3

3,7

3,7P

VC

123

5673,7

C 353,7 C

nm

EulerC nm ,

1025

1012

45

!3!2

!345

!3!2

!5

25

2,5C

nnnnnnnnba

nn

ban

nba

nn

ban

ban

ban

ban

ba 011223322110

123210

nba nn ba

2

908890

I nm

mnm

155

10

II mmm

515

11III m

mmm

77

67

781

11

IV n

mnm

nm

89

88

78

11

1V

nm

nm

nm

11378

11266

111

110

1

1

2867011217157615761217701286

220481736840736481220

5516531642042031616555

4512019622419612045

9368411211284369

828567056288

172135352171

1615201561

15101051

14641

1331

121

11

1

78131

66121

111

101

1

1

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0Este triangulo muestra de manera

práctica los resultados de los números combinatorios del Binomio de Newton:

5041322314055

55

45

35

25

15

05

bababababababa

543223455510105 babbababaaba

5

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34

35

37

31

x

x

x

x

24

25

27

21

x

x

x

x

44

45

47

41

x

x

x

x

Matrices

A 4 x 4

filas columnas

fila columna

Suma de matrices dos o más matrices pueden sumarse si tienen el mismo orden; es decir, igual cantidad de filas y columnas.

Multiplicación de una escalar por una Matriz se obtiene al multiplicar una escalar por cada elemento

Diferencia de matrices para restar A – B basta multiplicar por (–1) la matriz B y sumar algebraicamente:

Multiplicación de matrices para poder multiplicar (AxB) el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B

Una matriz sólo puede ser multiplicada por una matriz siendo el producto

Determinantes a cada matriz se le hace corresponder un número al que se le llama determinante

_

Determinante de segundo orden Determinante de tercer orden se resuelve cruzado se resuelve por el método de la estrella

Mediante este método se pueden también resolver determinantes de grado superior, se van suprimiendo filas y columnas hasta obtener tercer orden

Resolver un sistema de ecuaciones por determinantes

6

44434241

34333231

24232221

14131211

4x4A

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

41

31

21

11

4x1A

a

a

a

a

141312111x4A aaaa

4305

7213A2x4

4473

4432B2x4

0178

3225 BA

2121

12121111 BA

aa

aaaa

4305

7213A2x4

86010

14426A2

4473

4432B2x4

1212219

121296B3

4305

7213A2x4

4473

4432B1- 2x4

8972

11641 BA B1-ABA

mxpA pxnBmxnAB 2x3A 3x1B

2x1AB

354

132A2x3

7

1

2

B3x1

731524

711322AB2x1

18

0AB2x1

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa

112332332112312213312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Se determina las dimensiones de la matriz resultante, para entonces determinar el valor de

cada elemento combinando la fila con la columna correspondiente de ambos factores

8784

5365

4227

4231

Para resolver un determinante de cuarto orden se

suprime una fila y una columna para resolverlo por el

método de la estrella

8784

5365

4227

4231

El resultado que se obtiene de esta operación es el valor numérico que le corresponde al determinante

87812

53615

42221

4233

872012

532115

422321

4203

87204

53215

42237

4201

87208

532110

422314

4202

81208

572110

4162314

4002

81204

57215

416237

4001

812016

572120

4162328

4004

812016

1572120

24162328

0004

81204

157215

2416237

0001

8120

15721

241623

92

13

YX

YX

12

13

9

1

12

13 YX

19

11

X

92

13

Y

Sólo se sustituye la columna de la incógnita que se desea

encontrar por la columna de los términos independientes y este

determinante resultante se divide entre delta.

55

10

X 2X

5

25

Y 5Y

Este método sirve para resolver sistemas de ecuaciones de mayor

complejidad puesto que sólo con los datos que se dan, permite averiguar el valor de las incógnitas de forma directa

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Reglas de la DERIVADA

0

00

0

limXX

XfXfXf

XX

0 cuando Entonces

: variablede Cambio

0

0

hXXXXh

X

hXX

Dm

h

XfhXfmmm

XX

XfXfm

XX

YYm

tan

limtanseclimtan

secsec

00

0

0

0

0

0

0

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Derivadas Funciones Algebraicas Funciones Exponenciales Funciones Logarítmicas

ax

uDauuD x

aa

x 1

xa

uDaaaD x

uu

x ln

xalog

au

uDuD x

axln

log

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Derivadas Funciones Trigonométricas Funciones Inversas

xxDx cossin

xxDx

2sectan

xxxDx tansecsec

xxDx sincos

xxDx

2csccot

xxxDx cotcsccsc

21

1arcsin

xxDx

21

1arccos

xxDx

21

1arctan

xxDx

1

1sec

2

xxxarcDx

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Integrar:

1. Identificar el diferencial, conocer la variable de integración.

2. Identificar si se trata de una integral definida o indefinida.

3. Identificar que función esta presente en el integrando.

4. Si se trata de una integral definida calcular el dominio de dicha función y compararlo

con el intervalo comprendido por los límites de integración.

5. Si parte del intervalo comprendido entre los límites de integración no pertenece al

dominio de la función: separar en integrales impropias.

6. Verificar si se trata de alguna Integral de tabla o una forma parecida.

7. Si alguna constante esta multiplicando la función sacarla de la integral

8. La función presente en el integrando puede ser:

8.1. Algebraica

8.2. Trigonométrica

8.3. Inversa

8.4. Exponencial

8.5. Logarítmica

8.6. Una combinación de varias funciones

9. Si hay una combinación de varias funciones se procede mediante integración por partes

9.1. Se escoge cual función es “u” en la prioridad ILATE y el resto es “dv”

9.2. El procedimiento se repite tantas veces sea necesario

9.3. Si se trata de una integral cíclica: una vez encontrada la integral de partida

construir la ecuación y despejar la integral.

10. Si el integrando es una función algebraica:

10.1. Polinomio: cada término es una integral, se recomienda desarrollar todos los

productos y simplificar al máximo.

10.2. Se calcula la antiderivada del término algebraico de esta forma:

uvuvvu dd

xxbxxaxbxax mnmn ddd

Cn

xxx

nn

1d

1

Universidad Simón Bolívar

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10.3. De existir funciones compuestas tales como: potencias muy grandes o de estar

presente raíces o simplemente polinomios a lo que no es posible desarrollar o

simplificar, se recomienda hacer “u” sustitución.

10.3.1. “u” sustitución: cambiar la variable de integración, es decir: toda la integral

debe quedar en términos de “u” tanto los límites de integración como el

integrando y por supuesto el diferencial.

10.3.1.1. Para que el cambio sea eficaz es necesario que la derivada de “u”

este presente en el integrando.

10.3.1.2. Hacer tantos cambios como sea necesario mientras que sea posible

hasta conseguir polinomios sencillos o integrales de tabla.

10.3.1.3. Devolver el cambio de variable de tratarse de una integral indefinida.

10.3.2. Sustituciones para racionalizar: igualmente consiste en cambiar la variable

de integración por lo que habrá que cambiar los límites, el integrando, y el

diferencial.

10.3.2.1. Dependiendo del índice de de la raíz se cambia por “u” elevado a ese

índice todo lo que este dentro de la raíz.

10.3.2.2. De aparecer alguna de las siguientes formas:

10.3.2.2.1. en el primer caso se recomienda hacer el cambio:

10.3.2.2.2. en el segundo caso se recomienda hacer el cambio:

10.3.2.2.3. en el tercer caso se recomienda hacer el cambio:

10.3.2.2.3.1. Construir un triangulo rectángulo para averiguar el valor

del ángulo.

10.4. De tratarse de una fracción de la forma

10.4.1. Si el grado de P(x) es mayor o igual al grado de Q(x) efectuar una división

de polinomios para separar las integrales.

10.4.2. Si el grado de P(x) es menor al grado de Q(x) separar en fracciones simples

para separar las integrales.

10.4.2.1. Factorizar el denominador y obtenemos factores de la forma:

22 ua 22 au 22 au

senau tanau secau

xQ

xP

mqpx

mcbxax 2

mm

qpx

A

qpx

A

qpx

A

qpx

A

3

3

2

21

mmm

cbxax

BA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

232

33

22

22

2

11

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11. Si el integrando es una función trigonométrica:

11.1. Verificar si se trata de una integral de tabla

11.2. Si se presenta sólo la función seno o coseno de la forma:

11.2.1. Si “m” es impar:

11.2.1.1. Separar una potencia para conseguir una par, aplicar la identidad

pitagórica para poder realizar el cambio de variable.

11.2.2. Si “m” es par:

11.2.2.1. Aplicar la identidad trigonométrica del ángulo medio para separar en

integrales mas simples disminuyendo la potencia.

11.3. Si se presenta la forma:

11.3.1. Si “m” o “n” es impar:

11.3.1.1. Separar una potencia impar para conseguir la par, aplicar la identidad

pitagórica para poder realizar el cambio de variable.

11.3.2. Si tanto “m” como “n” son pares:

11.3.2.1. Aplicar la identidad trigonométrica del ángulo medio para separar en

integrales mas simples disminuyendo la potencia.

11.4. Si se presenta la forma:

11.4.1. Aplicar las identidades del seno y coseno de la suma y resta de ángulos.

12. Si el integrando es una función exponencial:

13. Si el integrando es una función logarítmica o Inversa:

13.1. Integración por partes donde dx = dv y la función es u

dxsin xm

dxcos xm

dxcossin xx mn

dxsinsin mxnx dxcossin mxnx dxcoscos mxnx

a

aa

xx

ln

dx

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