Matemática M08_aluno

MÓDULO

8

ENSINO MÉDIO

PUERI DOMUS

Saber fazerSaber fazer +

MATEMÁTICA

Saber fazerTrigonomeTria no ciclo TrigonoméTrico

1. Determine os maiores arcos negativos, medidos em graus, que são representados pelos vértices do pen-tágono PQRST, sabendo que PÔA mede 30°.

2. (UFJF-MG) A figura a seguir mostra, no plano carte-siano, uma circunferência centrada na origem, de raio igual a 1, passando pelos pontos B e C. Nessa figura, os pontos O, C e D são colineares, os segmentos de retas AC e BD são paralelos ao eixo y e θ é o ângulo que o segmento de reta OD faz com o eixo x.Com respeito a essa figura, é correto afirmar que:

xO A B

y

CD

θ

a)

b)

c)

d)

e)

3. (Cesgranrio-RJ) Se cos x e x= − < <35 2

0π , então tg x vale:

a) −43

b) −34

c) 53

d) 74

e) −74

4. (UFTM) No intervalo [0, 2π], a equação |cos x| = 1/2 tem um número de raízes igual a:a) 0.b) 1.c) 2.d) 3.e) 4.

5. Resolva a equação , com 0 ≤ x ≤ 2π.

6. (Uneb-BA) No intervalo [0, 2p], a equação trigonomé-trica tg x = – 1:a) não possui raízes.b) possui uma única raiz.c) possui exatamente duas raízes.d) possui exatamente três raízes.e) possui uma infinidade de raízes.

7. (UnB-DF) A soma das raízes da equação

, é:

a) pb) 2p

c)

d)

e)

8. (PUC-MG) A soma das raízes da equação cos x – cos2x = 0, 0 ≤ x ≤ 2π, em radianos, é:a) pb) 2pc) 3pd) 4pe) 5p

9. (Mack-SP) A equação 1 + tg2 x = cos x tem uma solução pertencente ao intervalo:

a)

b)

c)

d)

e)

10. (UFRJ-RJ) A equação x2 – 2x cos θ + sen2 θ = 0 possui raízes reais iguais.Determine: θ, 0 ≤ θ ≤ 2π

11. A solução da equação

:

a) π4

b) –π4

c) 712

π

d) π2

e) 0

12. Calcule:a) sen 105°b) cos 75°c) tg 15°

13. Se x é um ângulo agudo e sen x = 23

, calcule:

a) sen (2x)b) cos (2x)c) sen (4x)

14. (Uece-CE) Se x é um arco do primeiro quadrante tal

que tg , então sen x é igual a:

a)

b)

c)

d)

15. (Uespi-PI) A igualdade tg x = 1 é válida para:a) x = p/4 + 2kp (k ∈ )b) x = p/4 + kp (k ∈ )c) x = p/2 + 2kp (k ∈ )d) x = p/2 + kp (k ∈ )e) x = 3p/4 + 2kp (k ∈ )

16. (UEMS-MS) O conjunto solução da equação sen x – cos x = 0, é:

a) x |x= 4k+14

; k∈ ∈( )

� �π

b) x | x = 4k -14

; k ∈ ∈( )

� �π

c) x |x = k4

; k∈ ∈

� �π

d) x |x= 2k+14

; k∈ ∈( )

� �π

e) x | x= k ; k ∈ ∈{ }� �π

17. (Udesc-SC) A expressão mais simples para

é:

a) 1b) – 1c) 0d) tg xe) sec2x

18. (Cefet-PR) A expressão coscos cos

xsenx

senxx x1

1 1+

+ + − é equivalente a:a) sen xb) cos xc) tg xd) cotg xe) sec x

19. (Ufam-AM) A simplificação de 1 – tg4 x

cos4 x – sen4x, é:

a) cossec4 xb) cos4 xc) sen4 xd) sec4 xe) cotg4 x

20. Prove que (1 + cotg2 x) · (1 – cos2 x) = 1 para todo x real, em que sen x ≠ 0.

21. Os pontos P1, P2, P3, P4 e P5 representam os arcos apresentados abaixo no ciclo trigonométrico. Identifique os pontos com cada um dos arcos.

P1

P2

P3

P4 P5

O

y

x

a) 76π rad

b) 290°c) 1 radd) – 190°

e) −95

rad

3MÓDULO 8

22. (Fatec-SP) Na circunferência trigonométrica a seguir,

considere o arco AM , de medida radianos. Logo:

a) AP = 1b)

c)

d)

e) OP = 2

23. Cacular a expressão:

E =

sen2

cos cos0° sen32

sen tg0 cos2

2

π π π

π π π

· ·

· cos

+

+ +

24. (UFRGS-RS) Considere as desigualdades abaixo sobre arcos medidos em radianos.(I) sen 1 < 0(II) cos 2 < 0(III) tg 1 < tg 2Quais são verdadeiras?a) Apenas I.b) Apenas II.c) Apenas III.d) Apenas I e III.e) Apenas II e III.

25. (UFRJ-RJ) Os valores que m pode assumir para que exista o arco x, satisfazendo a igualdade sen x = m – 4, são:a) m = 2

b) 3 ≤ m ≤ 5

c) 1 ≤ m ≤ 3

d) 0 ≤ m ≤ 2

e) m = 3

26. (Fuvest-SP) Se tgx e x= < <34

32

π π , o valor de cos x – sen x é:

a) 23

b) 16

c) 25

d) 14

e) − 15

27. (UFRN-RN) A figura abaixo é composta por dois eixos perpendiculares entre si, X e Y, que se intersectam no centro O de um círculo de raio 1, e outro eixo Z, paralelo a Y e tangente ao círculo no ponto P. A semir-reta OQ, com Q pertencente a Z, forma um ângulo a com o eixo Y.

Podemos afirmar que o valor da medida do segmen-to PQ é:a) sec ab) tg ac) cotg ad) cos a

28. (ESPM-SP) sen 150o + cos 225o

tg 300o é igual a:

a) 6 36−

b) 3 12−

c) 3 23+

d) 2 2 14

+

e) 3 2 69−

29. (UFRGS-RS) O número real cos 3 está entre:

a) − −1 e 32

b) − −32e 2

2

c) − 22

e 0

d) 0 e 22

e) 22

e 1

4 Matemática

30. (UnB-DF) No sistema de coordenadas xOy, considere a circunferência de centro na origem e de raio igual a 1. A cada ângulo central a no intevalo [0, p], represente por A(a) a área delimitada pelo arco da circunferência e o segmento de reta que liga os pontos P e Q, como ilustrado na figura a seguir.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.1. A área A é uma função crescente do ângulo cen-

tral a.

2.

3.

31. (Inatel-MG) Se sen x ≠ cos x, então o valor de

é:

a) 1b) –1c) zerod) tg xe) cotg x

32. (PUC-SP) Sabendo que tg (x + y) = 33 e tg x = 3, calcule tg y.

33. (Ufop-MG) A expressão é equivalente a:

a) tg xb) cotg xc) –tg xd) –cotg x

34. (UFMA-MA) A equação cos x = cos com 0 ≤ x < 2p:

a) tem infinitas soluções.b) não tem solução.

c) admite apenas as soluções .

d) admite apenas as soluções .

e) admite apenas as soluções .

35. (Mack-SP) Se x é ângulo agudo, tg (90° + x) é igual a:a) tg xb) cotg xc) – tg xd) – cotg xe) 1 + tg x

36. (UERJ-RJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir.

A

B C D

Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:a) 60°b) 45°c) 30°d) 15°

37. (UFPE-PE) As raízes da equação x2 – 3x + 2 = 0 são tg a e tg β. Pode-se afirmar que tg(a + β)é igual a:a) 3b) 2c) –2d) –3e) 0

38. (Mack-SP) Se, no triângulo retângulo da figura, tem-se

, então o valor de sen(2a + 3b) é:

12 cm

β

α

a)

b)

c)

d)

e)

5MÓDULO 8

39. (Vunesp-SP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é a = 30°, a medida do ângulo AED é b e x = BE.

A B

CD

E

Determine:a) a área do triângulo BDE, em função de x.b) o valor de x, quando b = 75°.

40. (Fuvest-SP) Resolva (em ) a equação cos x sen 2x = sen x (1 + cos 2x).

41. (Unifesp-SP) A expressão sen (x – y) cos y + cos (x – y) sen y é equivalente a:a) sen (2x + y)b) cos (2x)c) sen xd) sen (2x)e) cos (2x + 2y)

42. (Mack-SP) A soma dos valores inteiros de k para que a equação apresente soluções reais é:a) 7b) 10c) 13d) 15e) 20

43. (UFRGS-RS) Na figura abaixo, os ângulos u e v medem,

respectivamente, π4

e 2π3

, OP= 2 e OQ = 3.

y

P

x

v

u0

Q

então, (PQ)2 é:

a) 2+ 3

b) 3+ 2

c) 2+ 2

d) 2 3−e) 2+ 3

44. (AFA-RJ) Um passageiro em um avião, voando a 10,5 km de altura, avista duas cidades à esquerda da aeronave. Os ângulos de depressão em relação às cidades são 30o e 75o, conforme a figura abaixo. A distância, em km, entre os prédios A e B situados nessas cidades é igual a:

a)

b)

c)

d)

45. (Unifesp-SP) Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e sen x = 3 cos x, então sen(2x) é igual a:

a) 55

b) 35

c) 1 55

+

d) 45

e) 32

46. (UEPB-PB) Considere x um arco do primeiro qua-drante de modo que sen x = 0,6. Então podemos afirmar que:a) cos 2x = – 0,6b) sen 2x = 1,2

c) sen

d) cos

e) cos x = 0,8

47. (Mack-SP) Se e tg x < 0, então tg 2x vale:

a)

b) − 247

c) − 83

d)

e) − 43

6 Matemática

48. (Fuvest-SP) No quadrilátero ABCD, em que os ângulos Â e são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen é:

a)

b)

c)

d)

e)

49. (UFV-MG) Mostre que para todo x ∈ vale a iden-tidade: cos (4x) = 8 cos4x – 8 cos2x + 1.

50. (UFRJ-RJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos os valores possíveis para sen 2x + cos 2x.

51. (AMAN-RJ) Os valores de x que satisfazem a equação 3cos 2x = 1 tomam a forma:

a) k kπ π+ ∈2

,

b) 22

k kπ π+ ∈,

c) k kπ π2 4

+ ∈,

d) k kπ4

, ∈

52. Os valores de x que satisfazem a equação

são:

a) x k= +730 3

π π

b) x k= +715 3

π π

c) x k= +72 3π π

d) x k= +75 2π π

53. Resolva a equação (cos x + sen x)2 = 12

.

54. (Mack-SP) Dê a expressão geral dos arcos x para os quais 2 (cos x + sec x) = 5.

a)

b)

c)

d)

e) kπ; k∈

55. (Cefet-MG) A expressão trigonométrica 11

2

2−

−tg x

xsec,

em que sec x ≠ ± 1, equivale a:a) – tg2 xb) – cotg2 xc) 1 – tg2 xd) 1 – cotg2 xe) cossec2 x

56. Sendo a = 26°36’51” e b = 72°41’42” as medidas de dois arcos, calcule:a) a + βb) β – a

57. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T = (0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semirreta Ot forma um ângulo a com o semieixo Ox (0° < a < 90°) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente.

A área do DTAB, como função de a, é dada por:

a)

b)

c)

d)

e)

58. (UFPE-PE) Sabendo-se que sen2x – 3sen x · cos x + + 2cos2 x = 0, temos que os possíveis valores para tg x são:a) 0 e –1b) 0 e 1c) 1 e 2d) –1 e –2e) –2 e 0

7MÓDULO 8

59. (Unicamp-SP) Considere a função:S (x) = 1 + 2 sen x + 4(sen x)2 + 8(sen x)3 para x ∈ .

a) Calcule .

b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈ [–2p, 2p].

60. (Fuvest-SP) Nos triângulos retângulos da figura, AC = 1 cm, BC = 7 cm, AD = BD. Sabendo que: sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a, o valor de sen x é:

A B

D

Cx

a)

b)

c)

d)

e)

61. (Uece-CE) Seja p um número real positivo. Se

sen (2 θ) = 2p e sen θ = 3p,0 < θ < π2, então, p é igual a:

a) 23

b) 28

c) 26

d) 2 29

62. (Ibmec-SP) Seja ABC um triângulo retângulo em C, a bissetriz do ângulo A C, sendo R um ponto do

lado AC. Se BR = 2 m e AB = 12 m, quanto mede ?

63. (Ibmec-SP) O triângulo ABC é isósceles (figura), com = = 1. Se BH é a altura relativa ao lado ,

então, a medida de é:a) sen a · cos ab) 2 cos a – sen ac) 1 – cos2ad) 1 – sen2ae) 2 · sen2a

64. (Ufop-MG) Um retângulo possui lados medindo

a = sen α e b = cos α, onde 0 < α < .

Determine a área do retângulo, sabendo-se que o perímetro é igual a .

65. (ITA-SP) A expressão , 0 < θ < p, é idêntica a:

a)

b)

c)

d)

e)

66. (UFPI-PI) Seja n o número de soluções da equação 2 sen x · cos x = 0 no intervalo [0, π]. O valor de n é:a) um.b) dois.c) três.d) quatro.e) cinco.

67. (Unimontes-MG) Quantas soluções reais tem a equa-

ção 2 cos no intervalo [–p, 4p]?

a) 5 soluçõesb) 4 soluçõesc) 3 soluçõesd) Infinitas soluções.

68. (Cesesp-PE) Assinale a alternativa abaixo que corres-ponde ao conjunto solução da equação:

a) x x k k∈ ≠ + ∈

� �| ,π π2

b) x x k k∈ = + ∈

� �| ,π π2

c) x x k k∈ ≠ ∈{ }� �| ,π

d) ∅

e) x x k k∈ ≠ + ∈

� �| ,22

π π

b = cos a

a = sen a

8 Matemática

69. Resolver em a equação:sen3 x + cos4 x = 1

70. O conjunto solução de (tg2x –1) (1 – cotg2 x) = 4, x ≠ kp/2, k ∈ , é:

a) π π3 4

+ ∈

h h,

b) π π4 4

+ ∈

h h,

c) π π6 4

+ ∈

h h,

d) π π8 4

+ ∈

h h,

e) π π

12 4+ ∈

h h,

71. (ITA-SP) Quais os valores de x que satisfazem a equa-

ção cos x – = 2?

a) – π2

≤ x ≤ – π2

b) x = k π, k ∈

c) x = (k + 1)π, k ∈

d) x = (2k + 2)π, k ∈

e) x = (4k + 2)π, k ∈

72. (Vunesp-SP) No hemocentro de um certo hospital, o número de doações de sangue tem variado periodi-camente. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão:

S tt( )= −

−( ) ⋅

λ

πcos

16

com l uma constante positiva, S(t) em “milhares” e t em meses, 0 ≤ t ≤ 11. Determine:

a) a constante l, sabendo que no mês de fevereiro houve 2 mil doações de sangue;

b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.

73. (Vunesp-SP) Determine um valor de n ∈ *, tal que seja solução da equação:

9MÓDULO 8

+Saber fazerTrigonomeTria no ciclo TrigonoméTrico

1. Calcule o menor dos ângulos formados pelos pontei-ros de um relógio que marca:a) 14hb) 14h15minc) 14h8min

2. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às:a) 3h00minb) 3h30minc) 3h45min

3. (Fuvest-SP) O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12 minutos é:a) 27°b) 30°c) 36°d) 48°e) 72°

4. Na figura, OA = 2 cm e o arco AXB tem 4 cm de com-primento. Quanto mede o ângulo a, em graus?

O

A

B

xα

5. Calcule o comprimento de um arco definido numa circunferência de raio 10 cm por um ângulo central de 280°.

6. Em uma circunferência de 5 cm de raio tomam-se os arcos AB e CD , de comprimentos 2 cm e 15 cm, respectivamente. Determine as medidas desses arcos em graus.

7. Na figura, calcule l, e β.

β

4,0 cm

3,2 cm

3,6 cm

8. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio que marca:a) 12hb) 12h20minc) 10hd) 9h24min

9. (ITA-SP) O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é:a) 142°30’b) 142°40’c) 142°d) 141°30’e) 145°

10. (UFPR-PR) O maior ângulo formado entre os pontei-ros de um relógio às 23h45min é:a) 189°30’b) 277°30’c) 270°d) 254°45’e) 277°45’

11. Se o raio de uma circunferência aumenta de 1 m, de quanto aumenta o comprimento?

12. Duplicando o raio de uma circunferência, o que acon-tece com seu comprimento?

13. As rodas de um automóvel têm 32 cm de raio. Que distância percorreu o automóvel depois que as rodas deram 8 000 voltas?

14. a) Exprimir 120° em radianos.

b) Exprimir π2

radianos em graus.

15. Calcule quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 1 radiano.

16. (UFPA-PA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos?

a) 16π9

b) 5π3

c) 4π3

d) 4π2

e) 3π3

17. (Mack-SP) A medida de um ângulo é 225°. Em radia-nos, a medida do mesmo ângulo é:

a) 4π5

b) 5π4

c) 3π4

d) 7π4

e) 2π3

11MÓDULO 8

18. (Fuvest-SP) Quantos graus mede, aproximadamente, um ângulo de 0,105 radiano?a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

19. (Cesesp-SP) Tomando para p a aproximação 3,14, se um arco de circunferência mede 1,57 cm e o diâmetro 8 cm, então o ângulo correspondente a este arco mede:a) 22°5’b) 22°30’c) 11°25’d) 11°15’e) 39°25’

20. Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são vértices de um octógono regular, inscrito no ciclo trigonométrico. Dê a primeira determinação positiva dos arcos AB, AD, AF e AH.

D

E

FG

H

A

BC

21. Determine o quadrante em que se encontram as extremidades finais dos arcos cujas medidas são:a) 45°b) –45°c) 135°d) –135°e) 405°

22. Os pontos B1, B2, B3, B4, B5 e B6 são os vértices de um hexágono regular inscrito no ciclo trigonométrico. Dê a primeira determinação positiva de cada um dos arcos com extremidade inicial em A e extremidade final em B1, B2, B3, B4, B5 e B6.

B3 B2

B5

B4 B1 = A (1, 0)

B6

23. Determine o quadrante em que se encontram as extremidades finais dos arcos cujas medidas são:a) 60°b) 120°c) 240°d) 300°e) –60°f) –300°g) 420°h) 840°

24. Os pontos B1, B2, B3, B4 são os vértices de um quadra-do inscrito no círculo trigonométrico. Determine, em radianos, a primeira determinação positiva dos arcos com extremidade inicial A e extremidade final em cada um dos vértices do quadrado.

B3 A ; B1

B2

B4

25. Calcule o comprimento de um arco definido numa circunferência de raio 20 cm, por um ângulo central de 1 radiano.

26. Qual a medida em radianos de um arco de compri-mento 42 cm, numa circunferência de raio 6 cm?

27. Qual a medida em radianos de um arco de compri-mento 5 cm numa circunferência de raio 10 cm?

28. Na figura, calcule l e a (medidas em cm).

α8

4

5

29. Exprima em radianos:a) 30°b) 45°c) 60°d) 150°e) 240°f) 15°

12 Matemática

30. Exprima em graus:a) p rad

b) 3π2

rad

c) 7π6

rad

d) 11π6

rad

e) 5π3

rad

f) 7π4

rad

31. Calcule quantos graus mede, aproximadamente, um arco de:a) 2 radianos b) 6 radianos

32. (UFRN-RN) Se um ângulo mede 40°, então sua medida em radianos vale:

a) π3

b) π4

c) 2π9

d) 3π7

e) 5π6

33. (UFPA-PA) Qual a medida em radianos de um arco de 135°?

a) π4

b) π2

c) 3π4

d) p

e) 5π4

34. (UFMG-MG) A medida, em graus, de um ângulo que mede 4,5 radianos é:

a) 4,5π

b) 4,5π

c) 810π

d) 810e) 810π

35. (Fuvest-SP) Um arco de circunferência mede 300°, e seu comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros?a) 157b) 284c) 382d) 628e) 764

36. (UFRN-RN) No ciclo trigonométrico da figura, os pontos B1, B2, B3, B4 e B5, são vértices de um pentá-gono regular. Dê a primeira determinação positiva de cada um dos arcos de extremidade inicial A, e extre-midade final em cada um daqueles pontos.

B3

B4

B5

B2

A � B1

37. Determine o quadrante em que se encontra a extre-midade final de cada um dos seguintes arcos:

a) –π4

b) –π3

c) –2π

3

d) –4π3

e) –7π4

38. (Mack-SP) A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 5. Calcule a soma dos comprimentos dos arcos da figura.

A

B

C

D

E

F

39. Um trator tem as rodas da frente com 0,60 de diâ-metro, e as traseiras com o dobro desse diâmetro. Qual a distância percorrida pelo trator, se as rodas da frente deram 2 000 voltas a mais que as traseiras?

40. (Cesgranrio-RJ) Os centros das três polias de um mecanismo estão sobre os vértices de um triângulo equilátero de lado l. O diâmetro de cada polia é

13MÓDULO 8

muito próximo de l, como sugere a figura. Calcule o comprimento aproximado da correia MNPQRSM, que movimenta as polias.

S

M

N

P R

Q

41. (Cesgranrio-RJ) Um ciclista de uma prova de resistên-cia deve percorrer 500 km sobre uma pista circular de raio 200 m. Qual é o número aproximado de voltas que ele deve dar?

42. Dando-se um acréscimo Dr ao raio da Terra, o equa-dor aumentaria 1 m. Quanto vale aproximadamente Dr, em cm?

43. Assinale no ciclo trigonométrico os arcos de medidas:

a) 5π2

b) 5p

c) –π2

d) –3π2


a) –π6

b) –11π6

c) 13π6

d) 19π6

e) 8π3

45. Determine o quadrante em que se encontram as extremidades finais dos arcos cujas medidas são:a) 390°b) 420°c) 750°d) 1 920°

46. Assinale, no círculo trigonométrico, as extremidades finais dos arcos das seguintes famílias:

a) A = a|a = n · 3π2

, n ∈

b) B = b|b = n2

· p, n ∈

14 Matemática

c) C = γ|γ = (2n) · π6

, n ∈


a) 10π3

b) 11π4

c) 17π6

48. Considere um pentágono regular ABCDE inscrito numa circunferência geométrica com o vértice A sobre o eixo horizontal. Determine a expressão de todos os números associados aos vértices A, B, C, D e E desse polígono, simultaneamente, em graus e radianos.

49. Descubra o sinal de:a) sen 45°b) sen 120°c) sen 225°d) sen 330°

50. Coloque em ordem crescente: sen 90°, sen 120°, sen 240°, sen 180°, sen 15°:

51. (PUC-RS) Se x ∈ 3π2

; 2p e sen x = 3n – 1, então n

varia no intervalo:

a) –13

; 1

b) (–1, 1) c) (–1, 0)d) (0, 1)

e) 0; 13

52. Descubra o sinal de:a) sen 40° b) sen 150° c) sen 160° d) sen 200° e) sen 315° f) sen 280°

53. Coloque em ordem crescente:

sen 0, sen 3π2

, sen 3π4

, sen 5π3

, sen π2

.

54. (PUC-SP) Todos os valores de x, de modo que a

expressão sen θ = 2x – 13

exista, são:a) – 1 ≤ x < 1b) –1 < x ≤ 0c) –1 ≤ x ≤ 2

d) –1 ≤ x ≤ 12

e) –1 ≤ x < 13

55. Descubra o sinal de:a) cos 40°b) cos 150° c) cos 225°d) cos 300°

56. Coloque em ordem crescente: cos 90°, cos 120°, cos 0°, cos 60°, cos 5°, cos 180°.

57. Para que valores de m é possível a igualdade cos

x = 2m – 1

3, com 0 ≤ x < 2p?

58. Determine o sinal de:a) cos 50°b) cos 170°c) cos 230°d) cos 290°


cos 3π2

, cos π6

, cos 5π6

, cos 2p, cos 5π4

, cos 7π4

.

60. (PUC-RS) A afirmação cos x = 2a – 15

é verdadeira se, e somente se, a é tal que:a) –1 > a ou a > 1b) –1 ≥ a ou a ≥ 1c) –1 ≥ a ou a < 1d) –2 ≤ a ou a ≤ 3e) –4 ≤ a ≤ 6

61. (UFSE-SE) Se M é tal que M = cos 5, então:

a) cos 3π2

< M < cos 7π4

b) cos π2

< M < cos p

c) cos p < M < cos 5π4

d) cos 7π4

< M < cos 2p

e) M > cos π4

62. Se sen a = 13

, sendo a um arco do π2

< a < p, calcule cos a.

15MÓDULO 8

63. Sendo cos x = 1a + 1

e sen x = a + 2a + 1

, determine a, de

modo que se verifiquem, simultaneamente, as duas igualdades.

64. Se cos a = –513

e p < a < 3π2

, calcule sen a.

65. (PUC-SP) Sendo cos x = 1m

e sen x = m + 1a + 1

, determi-ne m.

66. Determine o sinal de:a) sen 35° b) sen 170° c) sen 210° d) sen 250° e) sen 340° f) sen 260°


sen p, sen 5π4

, sen π12

, sen 2π3

, sen π6

, sen 3π2

.

68. Se: x ∈ p, 3π2

, e sen x = 2k + 1, então k varia no

intervalo:

a) 0 < k < 1

b) –1 < k < –12

c) –1 ≤ k ≤ –12

d) –1 < k < 0

e) –1 ≤ k ≤ 0

69. Para que valores de m existe x tal que: sen x = 2m + 3?(sugestão: –1 ≤ sen x ≤ 1)

70. Obtenha o sinal de:a) cos 50°b) cos 70° c) cos 100°d) cos 305° e) cos 280°

71. Coloque em ordem crescente: cos 0°, cos 100°, cos 50°, cos 280°, cos 70°, cos 350°, cos 180°, cos 270°.

72. Se x ∈ p, 3π2

e cos x = 2k – 1, então k varia no

intervalo:a) ]–1, 0[

b) [–1, 0[

c) 0, 12

d) ]0, 1[

e) 12

, 1

73. (Mack-SP) Dentre os valores a seguir, o que mais se aproxima de cos 1 é:a) 0,80

b) 1,15

c) 0,90

d) 0,45

e) π3

74. (Udesc-SC-Adaptada) Os arcos cujo cosseno é 2 podem estar nos quadrantes:a) 1º e 4º b) 1º e 2ºc) 1º e 3ºd) 2º e 3º

75. (Mack-SP) O valor da expressão M = sen 30°sen 45°

·

· cos 45°sen 60°

· sen 0°cos 15°

é um número:

a) par

b) divisor de 2

c) divisor de 3

d) primo

e) ímpar

76. Determine cos a, sendo dados sen a = 14

e π2

< a < p.

77. Determine sen a, dados: cos a = – 15

e p < a < 3π2

.

78. (UGF-RJ) Calcule os valores de k que verificam simul-taneamente as igualdades: sen x = k – 1 e cos x = 3 – k2

a) 1b) 0

c) 32

d) 2e) –1

79. (FGV-SP) Os valores de m que satisfazem simultanea-

mente as relações: sen x = 1 + m2

e cos x = m – 13

são

tais que seu produto vale:a) –3b) –2c) –1d) 0e) Nenhuma das anteriores.

16 Matemática

80. (UFPI-PI) Se sen x = 23

e x é um arco do 1o quadrante,

então cos x é igual a:

a) 13

b) 59

c) 53

d) 53

81. O valor de sen π4

+ cos π4

+ cos π4

é:

a) 2

b) 22

c) 3 22

d) 2 2

82. Calcule o valor da expressão: sen 5x + sen 3xcos 4x

, para x = 60°

83. Coloque em ordem crescente:a) tg 0°, tg 50°, tg 15°

b) tg p, tg π6

, tg 2π3

84. Os quadrantes em que estão os ângulos a, b, γ, tais que sen a < 0 e cos a < 0, cos b < 0 e tg b < 0, sen γ > 0 e tg γ > 0, são, respectivamente:a) 3º, 2º, 1ºb) 2º, 1º, 3ºc) 3º, 1º, 2ºd) 1º, 2º, 3ºe) 3º, 2º, 2º

85. Coloque em ordem crescente:a) tg 120°, tg 150°, tg 180°

b) tg 0, tg 5π4

, tg 11π6

86. Se 0 ≤ x ≤ 2p, a afirmação falsa é:

a) Se sen x > 0 e cos x > 0, então 0 < x < π2

b) Se tg x > 0 e cos x < 0, então p < x < 3π2

c) Se sen x < 0 e cos x < 0, então p < x < 3π2

d) Se cos x > 0 e tg x < 0, então 3π2

< x < 2p

e) Se cos x > 0 e tg x < 0, então p < x < 3π2

87. Dado cos x = 35

, com x no 4o quadrante, calcule tg x.

88. Sabendo que tg x = 3 e que p < x < 3π2

, calcule cos x.

89. Dado sen x = 14

, com π2

< x < p, calcule tg x.

90. (Cesgranrio-RJ) Se x é um arco do 3o quadrante e tg x = 1, então cos x é:

a) – 52

b) –1

c) –12

d) – 22

e) – 32

91. (Fuvest-SP) Se tg x = 34

e p < x < 3π2

, o valor de cos x – sen x é:

a) 75

b) – 75

c) – 25

d) 15

e) – 15

92. Determine o seno, o cosseno e a tangente de 5π6

.


.


.

95. Obtenha o seno, o cosseno e a tangente dos seguin-tes arcos:

a) 2π3

b) 5π3

c) 11π6

96. Se Â = 45°, B = 60° e C = 2Â + B , então, tg Â – cos B + tg C

sen B é igual a:

a) 3 – 23

b) 6 – 5 33

c) 3 + 23

d) 3 – 63

e) 6 – 3 – 23

17MÓDULO 8

97. Coloque em ordem crescente: a) tg 0°, tg 130°, tg 40°, tg 80°;

b) tg p, tg π4

, tg 5π6

, tg 7π4

.

98. a, b e γ são três arcos trigonométricos, tais que: cos a < 0 e sen a > 0 tg b > 0 e sen b < 0 cos γ < o e tg γ < 0 Em que quadrantes estão, respectivamente, a, b e γ? a) 1º, 2º e 3º b) 2º, 3º e 4º c) 1º, 1º e 2º d) 2º, 2º e 3º e) 2º, 3º e 2º

99. Descubra o sinal de y em cada caso: a) y = sen 130°, tg 300°, cos 200°

b) y = cos 68°, sen 95°, tg 140°

c) y = sen 5π7

· tg 11π8

100. Sabendo que sen x = 13

, e que π2

< x < p’, calcule tg x.

101. (PUC-RS) Se tg x = – 77

e π2

< x < p, então sen x é:

a) 18

b) 144

c) 78

d) 34

e) 24

102. Calcule sen 150°, cos 150°, tg 150°.






108. (Cesgranrio-RJ) Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 4 e ABC = 60°. O lado AC mede:

a) 5

b) 13

c) 37

d) 2 3

e) 3 3

109. (PUC-RS) O valor de x no triângulo abaixo é:

10

x5

120°

a) 5 2 b) 5 3 c) 5 5 d) 5 7 e) 5 10

110. (PUC-SP) Com os dados da figura abaixo, qual o valor do cos θ?

4

6

5θ

a) 0,092 b) 0,125 c) 0,150 d) 0,222 e) 0,375

111. Num triângulo ABC, o ângulo Â é obtuso. Os lados AB e AC medem 3 e 4, respectivamente. Então:

a) BC < 4 b) BC < 5 c) BC > 7 d) 5 < BC < 7

112. Classifique quanto aos ângulos os triângulos cujos lados medem:

a) 12, 13 e 9 b) 4, 5 e 8 c) 15, 12 e 9

113. Classifique quanto aos ângulos os triângulos cujos lados medem:

a) 10, 8, 17 b) 17, 8 e 12 c) 2 5, 2 10, 2 15

114. Considere o triângulo abaixo, satisfazendo a relação a = 2b cos C .

A

B Ca

bc

Podemos afirmar que o triângulo é: a) equilátero. b) retângulo. c) acutângulo. d) obtusângulo. e) isósceles.

18 Matemática

115. (Cesgranrio-RJ) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120°. A maior diagonal desse paralelogramo mede:

a) 5 b) 6 c) 40 d) 37 e) 6,5

116. (Fuvest-SP) Na figura ao lado, O é o centro da cir-cunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o

ângulo b mede 60° e sen a = 3

4

O

B

Aα

β

a) Determine sen OÂB em função de AB. b) Calcule AB

117. (Cesgranrio-RJ) O trapézio retângulo MNPQ tem as medidas indicadas na figura. O cosseno do ângulo QMN vale:

M N

Q P

5

5

8

a) – 35

b) – 45

c) –1

d) – 22

e) – 32

118. (UFRGS-RS) A figura representa a trajetória ABC de um helicóptero que percorreu 12 km em AB, 14 km em BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. O cosseno da inclinação a é:

SoloA

B C

α

a) 12

b) 22

c) 32

d) 5970

e) 113120

119. (Fuvest-SP) Os lados de um paralelogramo medem a e b, e suas diagonais d1 e d2. Prove que:

d1 2 + d2

2 = 2a2 + 2b2.

120. (FGV-SP) Em um triângulo ABC, os ângulos Â e B medem, respectivamente, 60° e 45°, o lado BC mede 5 6 cm. Então, a medida do lado AC é:

a) 18 cm b) 5 12 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 10 cm

121. (ITA-SP-Adaptada) Sejam d e L respectivamente os comprimentos da diagonal BD e do lado BC do paralelogramo ABCD abaixo. Conhecendo-se os ângulos a e b, o comprimento x do lado AB é dado por:

A

B C

D

xx d

L

L

βα

a) x = d · cos acos (a + β)

b) x = d · sen asen (a + β)

c) x = L · sen acos (a + β)

d) x = d · cos asen (a + β)

122. (Fatec-SP) No triângulo ABC representado na figura, o comprimento do segmento BC é (em cm):

10 cm30°

45°

A

B

C

a) 5 b) 5 2

c) 10 63

d) 5 6 e) 10 2

19MÓDULO 8

123. (UFRG) Na figura, a = π6

radianos, b = π12

radianos e

AC mede 15 2. A distância de B até C é:

α βA C

B

15 2

a) 10 b) 10 6 c) 15 d) 15 2 e) 15 3

124. (ITA-SP-Adaptada) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa um farol L e calcula o ângulo LÂC = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LBC = 75°. Quantas milhas separa o farol do ponto B?

a) 4 b) 2 2

c) 83

d) 22

125. (PUC-SP) Dois lados de um triângulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um ângulo de 120°. O ter-ceiro lado mede:

a) 8 m b) 10 m c) 12 m d) 14 m e) 16 m

126. (Ueba-BA) Um triângulo ABC é tal que: AB = AC = 4. Se Â = 120°, a medida do lado BC é:

a) 3 3 b) 4 3 c) 5 3 d) 6 3 e) 8 3

127. (UFRGS-RS) Na figura, A e B são vistos de C sob um

ângulo de π3

radianos. Se AC = 80 e BC = 100, então

AB é a raiz quadrada de:

a) 32 400

b) 24 400

c) 16 400

d) 8 400

e) 400

128. (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações 3a = 7c e 3b = 8c:

a) 30° b) 60° c) 45° d) 120° e) 135°

129. Classifique, quanto aos ângulos, os triângulos cujos lados medem:

a) 20, 25, 40. b) 5, 2, 3 c) 5, 3, 7

130. Os lados de um triângulo estão na proporção 6:8:9. Então:

a) o triângulo é obtusângulo. b) o triângulo é acutângulo. c) os lados estão na razão 6:8:9. d) o ângulo oposto ao lado maior é o dobro do lado

oposto ao lado menor.

131. (Mack-SP) Dois lados consecutivos de um paralelo-gramo medem 8 e 12 e formam um ângulo de 60°. As diagonais medem:

a) 4 e 4 7 b) 4 7 e 4 19 c) 4 17 e 4 19 d) 4 7 e 4 17 e) 4 e 4,5

132. (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60°. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamen-to serão necessários?

133. (FGV-SP) O perímetro da figura abaixo é:

45°

45°

30°

30°

90°

x

x

A

C

y

y

B

AB = 2

BC = 3

a) 2( 2 + 3) b) ( 2 + 3)2

c) 4 + 2 + 6 d) 3 + 2 + 2 6 e) 5

A B

C

20 Matemática

134. (Cesgranrio-RJ) Para traçar uma circunferência de 40p cm de comprimento usa-se um compasso com pernas de 20 cm cada. O ângulo a de abertura do compasso deve ser:

α

20 cm

a) 75° b) 60° c) 55° d) 50° e) 45°

135. (UFRN-RN) Na figura, os três ângulos assinalados têm a mesma medida a e BD = 10.

O perímetro do triângulo retângulo ABC é:

α α

α

A

D

B

C

a) 15( 3 + 1)

b) 5(6 + 2 3)

c) 5(6 + 2 3)

d) 5 5 33

+ 2

e) 40

136. Calcule x, em cada caso: a)

x30°

45°

2

b) x30°120°

4

c) x

30°

105°4

137. Os pontos A e B estão em margens opostas de um rio, e um agrimensor deseja saber a distância entre eles. Para isso, fixa uma estaca no ponto C, a 10 m

de A. A seguir, mede os ângulos Â e C obtendo 115° e 44°, respectivamente. Com estes dados, é possível medir a distância entre A e B. Faça esse cálculo, utilizando a tabela trigonométrica.

C

B

A

138. (UFRGS-RS) Numa fazenda o galpão fica 50 metros distante da casa. Com os dados da figura, a soma x + y, em metros, das distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia é 50 vezes:

x 50

yβ

α

a) cos (a + β)cos a + cos β

b) cos a + cos b c) sen a + sen b

d) sen (a + β)sen a + sen β

e) sen a + sen β)sen (a + β)

139. Calcule:

a) sen 390°, cos 390°

b) sen 870°, cos 870°

c) sen (–60°), cos (–60°)

d) sen (–1 485°), cos (–1 485°)

e) sen 13π3

, cos 13π3

140. (PUC-SP) Sen 1 200° é igual a: a) cos 60° b) –sen 60° c) cos 30° d) –sen 30° e) cos 45°

21MÓDULO 8

141. Calcule: a) sen 765°, cos 765° b) sen (–120°), cos (–120°) c) sen (–3 645°), cos (–3 645°)

d) sen 19π6

, cos 19π6

142. Se y = cos 2 280°, então y é igual a: a) –cos 12° b) –cos 30° c) –cos 60° d) cos 12° e) cos 60°

143. Assinale, no ciclo trigonométrico, as extremidades finais dos arcos das seguintes famílias:

a) A = {a | a = k · 2p, k ∈}

b) B = a | a = π4

+ k · p, k ∈

c) C = a | a = 2kπ3

, k ∈

144. Que valores distintos pode assumir a expressão

y = cos kπ2

, com k ∈ .

145. Assinale no ciclo trigonométrico as extremidades finais dos arcos das seguintes famílias:

a) A = {a | a = kp · k, k ∈ }

b) B = a | a = π6

+ 2kp, k ∈

c) C = a | a = kπ3

, k ∈

146. Que valores distintos a expressão y = sen kπ3

pode assumir?

147. (Cesgranrio-RJ) Para k = 1, 2, 3 ... o número de valo-

res distintos de cos kπ7

é: a) 2 b) 6 c) 8 d) 16 e) infinito

148. Calcule: a) tg 390° b) tg 870° c) tg (–60°) d) tg (–1 485°)

e) tg 13π3

22 Matemática

f ) tg 765° g) tg (–120°) h) tg (–3 645°)

i) tg 19π7

149. Se sen a = 5

1 , calcule o valor de y = sen a · cos a · tg a.

150. Sabendo que tg x = 2, calcule o valor de

y = sen2 · cos xcos2 x · sen x

.

151. Se tg a = 7, calcule o valor de y = sen x1 + sen x

+ sen x1 – sen x

.

152. Se θ ≠ π2

+ 2kp, k inteiro, então cos2 q1 – sen q

é igual a:

a) tg θ b) sen θ · cos θ c) 1 + cos θ d) 1 + sen θ

153. (Unesp-SP) A expressão 1 – 2 sen2 x + sen4 x + sen2 x cos2 x é equivalente a: a) cos4 x b) 2cos2 x c) cos3 x d) cos4 x + 1 e) cos2 x

154. Calcule sen x, sabendo que sen2 x + cos4 x = 1.

155. Sabendo que 10sen2 x + 14cos2 x = 11, calcule tg x.

156. (Fuvest-SP) Sendo a uma solução da equação tg2 a = cos2 a – sen2 a, o valor de tg2 a é:

a) 2 – 1 b) 2 + 1 c) 3 – 1 d) 3 + 1 e) 2 + 3

157. Calcule: a) cotg 45° b) sec 420° c) cossec 660°

158. Determine m para que exista x: sec x = m + 5.

159. (Uece-CE) O valor de

(2 · sen4 20° – 2cos4 20°) · cossec4 20°

3 – 3 · cotg4 20° é:

a) – 23

b) 23

c) 13

d) – 13

160. (Fatec-SP) Se f(x) = 12

sec x + 3 sec x2

, então f π3

é igual a:

a) 335

b) 332

c) 33

d) 2 e) 3

161. Se cos x = 13

, calcule o valor de

y = sec2 x – sec x · cossec x1 – cotg x

.

162. Simplifique a expressão y = (tg x + cotg x)2

sec2 x · cossec2 x.

163. Sabe-se que sen x = a ≠ 0 e cos x = b ≠ 0. Logo, tg x + cotg x é igual a:

a) a + bab

b) a – bab

c) aba2 + b2

d) 1ab

e) 1a2 + b2

164. (Unesp-SP) Se x e y são números reais tais que

y = cos3 x – 2cos x + sec xcos x sen2 x

, então:

a) y = sec2 x b) y = tg2 x c) y = cos2 x d) y = cossec2 x e) y = sen2 x

165. Calcule cos 15° e cos 75°.

166. Calcule cos 105°.

167. Demonstre que cos π2

+ x = –sen x.

168. (Cesgranrio-RJ) Se cos x = a, então cos (11p – x) vale:

a) a b) –a c) 2a d) –2a e) p – a

169. Calcule sen 15° e sen 75°.

23MÓDULO 8

170. (Mack-SP-Adaptada) Se 0 < a < π2

e 0 < b < π2

, então:

a) sen (a + b) < sen a + sen b, quaisquer que sejam a e b.

b) sen (a + b) > sen a + sen b, quaisquer que sejam a e b.

c) sen (a + b) > sen a + sen b, somente se a > b. d) sen (a + b) < sen a + sen b, somente se a < b.

171. (UFV-MG) O valor de sen 195° é:

a) 4

6 2–

b) 412

c) –12

d) 4

2 6–

e) 12

(Sugestão: reduza 195o ao 1º quadrante.)

172. Calcular o valor da expressão sen 105° – cos 75°.

173. Se M = (sen x – cos y)2 + cos2 x + sen2 y, em que

x = π2

– y, então M é igual a:

a) tg x b) cos x c) cos 2 x d) 2cos2 x e) 2sen2 x

174. Sabe-se que tg 75°= 2 + 3 e tg 60° = 3. O valor de tg 15° é:

a) 13

b) – 3

c) 3

d) 2 + 3

e) 2 – 3

175. (FGV-SP) Se a + b = π4

, então (1 + tg a) (1 + tg b) é igual a:

a) 1 b) 2 c) 2tg a d) 2tg b e) tg a · tg b

176. (PUC-BA) Se cos x = 33 e sen y =

23 , 0 < x < π

2 e

π2

< y < p, o valor de cos (x – y) é:

a) 6

2 3+3

b) 6

23 – 3

c) 6

3 2+ 3

d) 6

2 3–3

e) 6

3 2– 3–

177. É dado que x – y = π3

. Nessas condições, calcule o valor

da expressão E = (sen x + sen y)2 + (cos x + cos y)2.

178. (Fuvest-SP) A equação ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tem como

raízes tg u e tg v, com u + v = π4

. Prove que c = a + b.

179. Demonstre a identidade: sen (a + b) · cos (a – b) = sen a cos a + sen b cos b.

180. (Uece-CE) Se sen θ = 55 , sen b =

1010, 0 < θ < π

2 e

0 < b < π2

, então tg (θ + b) é igual a:

a) 1 b) 5 c) 10 d) 5 + 10

181. (Unicamp-SP) Sabendo que x – y = 60°, assinale a alternativa que corresponde ao valor da expressão (cos x + cos y)2 + (sen x + sen y)2.

a) 1

b) 12

c) 2 d) 3

e) 32

182. (Osec-SP-Adaptada) O valor de cos 58° cos 32° + + sen 32° cos 28° – sen 58° sen 32° + sen 28° cos 32° é:

a) 0 b) 1

c) 23

d) 12

183. (Uece-CE) Se P = sen 40°sen 20°

– cos 40°cos 20°

, então P2 – 1 é

igual a: a) sen2 20° b) cos2 20° c) tg2 20° d) cotg2 20°

184. Demonstre a identidade: cos (a + b) · cos (a – b) = cos2 b – sen2 a.

185. Calcule sen 2x, sabendo que sen x = 0,6 e 0 < x < π2

.

186. Calcule cos 2x, sabendo que cos x = 0,4.

24 Matemática

187. Calcule sen 2x, sabendo que sen x + cos x = 0,5.

188. Calcule tg 2x, sabendo que tg x = 13

.

189. (PUC-SP-Adaptada) Se sen x = 23

e x é um arco do 1º quadrante, então sen 2x é igual a:

a) 13

b) 59

c) 9

54

d) 35

190. (UFU-MG) Se sen x = 34

, então cos 2x vale:

a) 14

b) 12

c) –18

d) –12

e) –14

191. (UCP-PR) Sabendo que cos 36° = 4

51 + , então cos 72° vale:

a) 2

51 +

b) 4

5 – 1

c) 2

5 – 1

d) 2

51 –

e) 4

51 –

192. (PUCCamp-SP) Sabendo que sen x – cos x = a, qual é o valor de y = 1 + sen 2x?

a) y = 2 – a2

b) y = a2 – 2 c) y = a2

d) a2 – 1 e) 1 – a2

193. (Mack-SP) Se tg x = m e tg 2x = 3m, m > 0, o ângulo agudo x mede:

a) 15° b) 60° c) 45° d) 30° e) 22° 30’

194. Na figura, calcule o valor de CD. Sabe-se que AB = 4 cm, AC = 1 cm e AB C @ CB D.

αα

D

C

A B

195. Sabe-se que sen 2x = 2 · sen x · cos x. Portanto, sen 4x é igual a:

a) 4sen x cos x b) 4sen 2x cos 2x c) 2sen 2x cos x d) 2sen x cos 2x e) 2sen 2x cos 2x

196. (Fuvest-SP) Sabendo que cos 2a = cos2 a – sen2 a,

demonstre quesen x2

= ± 1 – cos x

2.

197. Se cos 2x = 2 cos2 x – 1, então o valor de cos 4x é: a) 2cos4 x – 1 b) 8(cos4 x – cos2 x) + 1 c) 4cos2 x – 1 d) 4cos4 x – 2cos2 x +1

198. (FGV-SP) Sendo x um arco do 4º quadrante e sendo

sen x = –12

, o valor de sen 4x é:

a) – 38

b) 38

c) – 34

d) 34

e) – 32

199. Sabendo que cos 2a = cos2 a – sen2 a, demonstre

que cos x2

= ± 1 + cos x

2.

200. (Fuvest-SP) A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte fórmula:

tg 2x = 2tg x

1 – tg2 x.

Calcule um valor aproximado da tangente do ângu-lo 22° 30’.

a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00

25MÓDULO 8

201. (Ufes-ES) Sabendo que sen θ = 513

, θ no 2º quadran-

te, o valor de tg q2

é:

a) 26

265 +

b) 15

c) 5

d) 26

e) 2626

202. Sabendo que cos 2x = 23

, então o valor de tg2 x é:

a) 115

b) 1

c) 35

d) 65

e) 15

203. (Mack-SP) O valor de cos 15° · cos 75° é:

a) 12

b) 1

c) 32

d) 14

e) 3

204. A expressão tg x1 + tg x

+ tg x1 – tg x

é idêntica a: a) sec 2x b) tg 2x c) tg 4x d) cossec 4x

205. Demonstrar as identidades: a) sen 3θ = 3sen θ – 4sen3 θ

b) sen 2qsen q

– cos 2qcos q

= sec θ

206. (FGV-SP) Sendo x um arco do 1º quadrante e sen x = a, a expressão 2cos2 x + sen2 2x é igual a:

a) 2(1 – 2a4)

b) –2(–1 + 2a2 – 2a4)

c) 2(1 – 2a2) + 4a 1 – a2

d) 4(1 – a2 – a4)

e) 2(1 + a2 – 2a4)

207. Demonstre as identidades:

a) 1 + cos 2x = 2cos2 x

b) sen 2q + sen q

cos 2q + cos2 q + 1 = tg θ

Matemática M08_aluno

Documents

Transcript of Matemática M08_aluno