Matemtica e suas Tecnologias MatemticaEnsino Mdio, 1 SrieCrescimento e decrescimento de uma funo e taxa de variao de uma funo

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO de uma funo:6504321Categoria 1 categoria 2 categoria 3 categoria 4Srie 1Srie 2Srie 3

COMPONENTE CURRICULAR, SrieTpicoPodemos usar o grfico mostrado anteriormente, para diversos setores, como a produo de uma indstria automobilstica ou qualquer outra atividade de produo ou estudos de dados em que desejamos aplic-lo.

Crescimento e decrescimento para uma equao do 1 grauDe maneira geral, para uma funo polinomial de 1 grau, podemos estabelecer as seguintes relaes entre o sinal do coeficiente "a" e o crescimento e o decrescimento dessa funo. A funo crescente quando a > 0, ou seja, positivo. A funo decrescente quando a < 0, ou seja, negativo (1). yxba > 0yxba < 0

f: RR tal que y = ax, sendo que a > 0 e a 1. Dizemos que uma funo exponencial quando a varivel se encontra no expoente de um nmero real, sendo que esse nmero precisa ser maior que zero e diferente de um (2).

Ver grfico a seguir:

1100xxyy

A funo exponencial caracterizada pelo crescimento e decrescimento muito rpido, por isso muito utilizada naMatemtica e em outras cincias correlacionadas com clculos, como: Qumica, Biologia, Fsica, Engenharia eOutras (3).

APLICAO NA MATEMTICA

Na matemtica, serve para demonstrar o crescimento de umcapital aplicado a uma determinada taxa de juros compostos (4)

APLICAO EM OUTRAS DISCIPLINAS

Na qumica, est diretamente ligada ao decaimentoradioativo. Na Biologia, se apresenta em situaesenvolvendo o crescimento de bactrias em uma colnia. Alm disso, pode ser usada tambm na Geografia, no intuito de determinar o crescimento populacional (5).

O grfico de uma funo exponencial permite o estudo de situaes que se enquadram em uma curva de crescimento ou decrescimento, sendo possvel analisar as quantidades relacionadas curva. Por isso os psiclogos e educadores utilizam-se da exponencial, a fim de demonstrarem as curvas de aprendizagem (6).

Analise cada funo a seguir quanto ao seu comportamento em crescente e decrescente:f (x) = x - 4x + 3f (x) = - x + 6x 9f (x) = x + 4x 5f (x) = 3x - 4xPara quais valores reais de x crescente a funo:f (x) = -x + 2x + 1f (x) = x - 6x + 9f (x) = x - 9f (x) = -6xDetermine os valores reais de x onde a funo decrescente:f (x) = 2x - 3xf (x) = x - 10x + 25f (x) = -x - 2xf (x) = -x + 2x + 3

Em relao ao primeiro grfico que est na introduo da aula, podemos tambm trabalhar com o seguinte aspecto:

Srie 1 azul ( os alunos que fazem as atividades e compreenderam o assunto);srie 2 vermelha ( os alunos que fazem as atividades , porm continuam com dificuldades);srie 3 verde ( os alunos em falta com as atividades).

Funo de 1 Grau

Onde: a = taxa de variao da funo(coeficiente angular); b = ponto onde a reta toca o Eixo Y(coeficiente linear);Y = ax + b

1. PROBLEMA DO TXI Supondo que a bandeirada custe R$ 3,00 e que o quilmetro rodado custa R$ 2,00. Quanto custa uma corrida de 13 km?

2. PROBLEMA DO TOMATE Para fazer um extrato de tomate, torna-se necessrio o uso de 3 kg de tomate. No mercado, o preo do tomate de R$ 3,50 / kg. Quanto custa o extrato de tomate (7)?PROBLEMAS CLSSICOS:

Para o segundo momento, a discusso abordou a representao da relao entre as grandezas estudadas, fazendo uma correlao com o ensino de Fsica em funo horria do espao no movimento uniforme. A partir disso foi desenvolvida a seguinte situao:

V = 20 m/s 100 m 120 m 140 m 160 m Incio da observao 1 s 2 s 3s 5 s

Nesse exemplo, pde-se sistematizar as representaes algbricas como y = ax + b, enfatizando o papel da taxa nessa representao. Em seguida, foram discutidas condies para que uma Funo Afim fosse crescente (a > 0) ou decrescente ( a < 0). Dando sequncia, iniciou-se uma discusso sobre domnio e imagem, fazendo-se referncia ao contedo anteriormente abordado, relao entre conjuntos e logo aps iniciou-se representao no plano cartesiano (8).

O grfico de uma funo afim uma reta; A taxa (a) indica a direo da reta, enquanto que o coeficiente b indica onde a reta corta o eixo y; Na ltima etapa, resgatou-se toda a discusso anterior sobre o grfico e dando procedimento, comentou-se sobre o zero da Funo Afim e o estudo do sinal, o que possibilitou relembrar equaes do 1 grau e aprofundar inequaes.

Taxa de variao de uma funoEm uma funo do 1 grau, temos a taxa de variao, que dada pelo coeficiente a. Tambm Temos uma funo do 1 grau, que respeita a seguinte lei de formao: f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais e b 0. A taxa de variao da funo dada pela seguinte expresso (9): Taxa de variao:

Exemplo 1 Vamos, atravs de uma demonstrao, provar que a taxa de variao da funo f(x) = 2x + 3 dada por 2. f(x) = 2x + 3 f(x + h) = 2 * (x + h) + 3 f(x + h) = 2x + 2h + 3 (h 0) Dessa forma temos que: f(x + h) f(x) = 2x + 2h + 3 (2x + 3) f(x + h) f(x) = 2x + 2h + 3 2x 3 f(x + h) f(x) = 2h Ento:

Observe que, aps a demonstrao, constatamos que a taxa de variao pode ser calculada diretamente, identificando o valor do coeficiente a na funo dada. Por exemplo, nas funes seguintes, a taxa de variao dada por (10): a) f(x) = 5x + 10, taxa de variao a = 5 b) f(x) = 10x + 52, taxa de variao a = 10 c) f(x) = 0,2x + 0,03, taxa de variao a = 0,2 d) f(x) = 15x 12, taxa de variao a = 15

Exemplo 2 Observe mais uma demonstrao, comprovando que a taxa de variao de uma funo dada pelo coeficiente angular da reta. A funo dada a seguinte: f(x) = 0,3x + 6 (11). f(x) = 0,3x + 6 f(x + h) = 0,3(x + h) + 6 f(x + h) = 0,3x 0,3h + 6 f(x + h) f(x) = 0,3x 0,3h + 6 (0,3x + 6) f(x + h) f(x) = 0,3x 0,3h + 6 + 0,3x 6 f(x + h) f(x) = 0,3h

Uma importante aplicao da Matemtica na Fsica dada pela taxa de variao da funo do 2 grau, que est ligada ao movimento uniformemente variado, isto , as situaes nas quais a velocidade varia de acordo com a acelerao (12).

A funo do 2 grau dada pela expresso ax + bx + c = 0, e a sua taxa de variao num intervalo (x, x+h), com x e x+h R e h 0.

Exemplo Um movimento uniformemente variado dado pala expressof(t) = at + bt + c, que fornece a posio de um objeto num certo tempo t. Na expresso, a a acelerao, t o tempo, b a velocidade inicial e c a posio inicial do objeto (13). Para f(t) = at + bt + c: f(t+h) = a(t+h) + b(t+h) + c = a(t + 2th + h) + bt + bh + c = at + 2ath + ah + bt + bh + c f(t+h) f(t) = at + 2ath + ah + bt + bh + c at bt c = 2ath + ah + bh

Taxa de variao eq.2grauTaxa de variao eq. 2 grauQuando h se aproximar de zero, o valor da velocidade mdia se aproximar de 2at + b. Portanto, a expresso que determina a velocidade desse objeto , a partir da expresso do espao em funo do tempo, : v(t) = 2at + b

EXERCCIOS PROPOSTOSEXERCCIOS PROPOSTOS (TAXA DE VARIAO)

Uma partcula move-se sobre uma reta de forma que, aps t segundos ela est a s = 2t + 3t metros de sua posio inicial.

a) Determine a posio da partcula aps 2 s.b) Determine a posio da partcula aps 3s.c) Calcule a velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo [2 , 3].d) Calcule a velocidade instantnea em t = 2.

Um objeto cai em direo ao solo de altura de 180 metros. Em t segundos, a distncia percorrida pelo objeto de s = 20t.

a) Quantos metros o objeto percorre aps 2 segundos?b) Qual a velocidade mdia do objeto nos 2 primeiros segundos?c) Qual a velocidade instantnea do objeto em t = 2 s?d) Quantos segundos o objeto leva para atingir o solo?e) Qual a velocidade mdia do objeto durante a queda?f) Qual a velocidade instantnea do objeto quando ele atinge o solo?

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A populao inicial de uma colnia de bactrias 10.000. Depois de t horas, a colnia ter a populao P(t), que obedece a lei: P(t) = 10.000.1,2

a) Qual o nmero de bactrias depois de 10 horas?b) Encontre a lei que d a variao da populao P em relao ao tempo t.c) Determine essa variao instantnea aps 10 horas.

4) Sabemos que o volume de um cubo funo de seu lado. Determine:

a) A taxa mdia de variao do cubo em relao ao lado quando este cresce de 3 para 5. b) A taxa de variao do volume em relao ao lado quando este mede 5.5) Um tanque est sendo esvaziado segundo a funo V(t) = 200.(30 t), onde o volume dado em litros e o tempo em minutos. A que taxa a gua escoar aps 8 minutos? Qual a taxa mdia de escoamento durante os primeiros 8 minutos?

6) Uma saltadora de paraquedas pula de um avio. Supondo que a distncia que ela cai antes de abrir o paraquedas de s(t) = 986.(0,835t 1) + 176t , onde s est em ps e t em segundos, calcule a velocidade instantnea (em m/s) da paraquedista quando t = 15. (Obs.: 1 p = 0,3048 m)7) As posies de dois mveis num instante t segundos so dadas por s1 = 3t 12t +18t + 5 m e S = -t + 9t 12t m. Em que instante as partculas tero a mesma velocidade?8)Um objeto se move de modo que no instante t a distncia dada por s = 3t 2t. Qual a expresso da velocidade e da acelerao desse objeto?

9) Achar a velocidade e a acelerao no instante t = 3 segundos onde s = 3t 2t+ 2t +4 a funo que informa a posio (em metros) de um corpo no instante t.10) Uma partcula se move segundo a equao s(t) = t 2t + 5t 1, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante a sua velocidade vale 9 m/s?11) Certa imobiliria aluga salas comerciais por R$ 600,00 mensais. Este aluguel sofre um reajuste mensal de 2%. Calcule a taxa de variao do aluguel daqui a 10 meses.12) Um cubo de metal com aresta x foi aquecido e dilatou-se uniformemente.

Determine a taxa de variao mdia do seu volume quando a aresta aumenta de 3 para 3,01 cm.b) Determine a taxa de variao do seu volume em relao aresta para x = 3 cm.

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