FUNDAMENTOS DE LA DIDAacuteCTICA DE LA

MATEMAacuteTICA

Roxana Vargas Wiederhold rvargaswgmailcom

Primer Semestre 2013

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull La epistemologiacutea (del griego ἐπιστήμη (episteme) conocimiento y λόγος (logos) estudio) es la rama de la filosofiacutea cuyo objeto de estudio es el conocimiento

bull La epistemologiacutea como teoriacutea del conocimiento se ocupa de problemas tales como las circunstancias histoacutericas psicoloacutegicas y socioloacutegicas que llevan a la obtencioacuten del conocimiento y los criterios por los cuales se le justifica o invalida asiacute como la definicioacuten clara y precisa de los conceptos episteacutemicos maacutes usuales tales como verdad objetividad realidad o justificacioacuten La epistemologiacutea encuentra ya sus primeras formas en la Grecia Antigua primero en filoacutesofos como Parmeacutenides o Platoacuten

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull El teacutermino ldquoepistemologiacuteardquo es parte de la didaacutectica de la matemaacutetica a inicio de los anos rsquo60 portando con siacute las diferentes acepciones que lo acompanan y que conducen a diversas ldquodefinicionesrdquo e interpretaciones en cada paiacutes y en multiples situaciones

bull Mientras reenviacuteo a Brousseau (2006a b) para un anaacutelisis comparado y criacutetico de dicho teacutermino y de sus diversas exigencias hago expliacutecito el hecho que me referireacute aun si no lo digo abiertamente a estos recientes dos trabajos de Brousseau y a otros trabajos suyos todos estos citados en la bibliografiacutea Algunas de las frases que siguen fueron tomadas libremente de estos textos sin cambiar el espiacuteritu Para no hacer pesado el texto no citareacute siempre los trabajos de Brousseau lo que hareacute soacutelo en algunas ocasiones

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull En nuestro campo de investigacioacutenuna concepcion epistemologica es un conjunto de convicciones de conocimientos y de saberes cientificos que tienden a decir cuales son los conocimientos de los individuos o de los grupos de personas su funcionamiento las formas de establecer su validez de adquirirlas y por tanto de ensenarlas y de aprenderlas la epistemologia es un tentativo de identificar y de unificar diversas concepciones epistemoloacutegicas relativas a una determinada ciencia a un determinado movimiento ideoloacutegico a grupos de personas a instituciones o a culturas

Conceptos Clavesbull Por saber entendemos un conjunto de conocimientos o de actitudes

reproducibles adquiridos a traveacutes del estudios o de la experienciaEn el aacutembito de la psicologiacutea cognitiva se distinguen los saberes de los conocimientos

bull Los conocimientos los saberes son datos conceptos procesos o meacutetodos que existen fuera del individuo que conoce y que son generalmente codificados en obras de referencia manuales enciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparables del individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomando conciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didaacutectico este es amplio y puede tener origen en varias raiacuteces una de las cuales tiene sede en el debate entre

iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacuteticandash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacuten del

conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacuten de ensenanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)

ndash la organizacioacuten de los procesos de ensenanza y aprendizaje relevantes para tal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacuten autores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)

ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de los diferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar los fenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensenanza y aprendizaje No se reduce a buscar una buena forma de ensenar una determinada nocioacuten(Douady)

ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de las ciencias cercanas con las cuales se interactua (Vergnaud)

ndash Es la disciplina cientifica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo es identificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos que condicionan la ensenanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull La didaacutectica de la matemaacutetica (que para nosotros es un aspecto de la maacutes

general educacioacuten matemaacutetica) es el arte de concebir y de crear condiciones que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemaacutetico por parte del individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad una persona una institucioacuten un sistema o incluso un animal)

bull El aprendizaje se considera aquiacute como un conjunto de cambios de comportamientos (por tanto de prestaciones) que senalan a un observador predeterminado segun sujeto en juego que este primer sujeto dispone de un conocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o de competencias) lo que implica la gestioacuten de diversos registros de representacioacuten la creacioacuten de convicciones especiacuteficas el uso de diversos lenguajes el dominio de un conjunto de referencias idoacuteneas de pruebas de justificaciones y de obligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accioacuten y reproducidas intencionalmente Se habla en este caso de praacutecticas didaacutecticas4

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull Estas practicas didacticas son tambieacuten ldquocondicionesrdquo y por tanto a su vez

objeto de estudio La didaacutectica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones

bull Los estudios cientificos -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitacioacuten de conceptos y de meacutetodos que deben ser sometidos a exigencias de verificacioacuten de la coherencia y de adecuacioacuten a la especiacutefica contingencia Ciertas teoriacuteas como por ejemplo la teoriacutea de las situaciones didaacutecticas tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didaacutectica

bull Entre los objetos de estudio de la didaacutectica un papel absolutamente fundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio o entorno

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull La epistemologiacutea (del griego ἐπιστήμη (episteme) conocimiento y λόγος (logos) estudio) es la rama de la filosofiacutea cuyo objeto de estudio es el conocimiento

bull La epistemologiacutea como teoriacutea del conocimiento se ocupa de problemas tales como las circunstancias histoacutericas psicoloacutegicas y socioloacutegicas que llevan a la obtencioacuten del conocimiento y los criterios por los cuales se le justifica o invalida asiacute como la definicioacuten clara y precisa de los conceptos episteacutemicos maacutes usuales tales como verdad objetividad realidad o justificacioacuten La epistemologiacutea encuentra ya sus primeras formas en la Grecia Antigua primero en filoacutesofos como Parmeacutenides o Platoacuten

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull El teacutermino ldquoepistemologiacuteardquo es parte de la didaacutectica de la matemaacutetica a inicio de los anos rsquo60 portando con siacute las diferentes acepciones que lo acompanan y que conducen a diversas ldquodefinicionesrdquo e interpretaciones en cada paiacutes y en multiples situaciones

bull Mientras reenviacuteo a Brousseau (2006a b) para un anaacutelisis comparado y criacutetico de dicho teacutermino y de sus diversas exigencias hago expliacutecito el hecho que me referireacute aun si no lo digo abiertamente a estos recientes dos trabajos de Brousseau y a otros trabajos suyos todos estos citados en la bibliografiacutea Algunas de las frases que siguen fueron tomadas libremente de estos textos sin cambiar el espiacuteritu Para no hacer pesado el texto no citareacute siempre los trabajos de Brousseau lo que hareacute soacutelo en algunas ocasiones

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull En nuestro campo de investigacioacutenuna concepcion epistemologica es un conjunto de convicciones de conocimientos y de saberes cientificos que tienden a decir cuales son los conocimientos de los individuos o de los grupos de personas su funcionamiento las formas de establecer su validez de adquirirlas y por tanto de ensenarlas y de aprenderlas la epistemologia es un tentativo de identificar y de unificar diversas concepciones epistemoloacutegicas relativas a una determinada ciencia a un determinado movimiento ideoloacutegico a grupos de personas a instituciones o a culturas

Conceptos Clavesbull Por saber entendemos un conjunto de conocimientos o de actitudes

reproducibles adquiridos a traveacutes del estudios o de la experienciaEn el aacutembito de la psicologiacutea cognitiva se distinguen los saberes de los conocimientos

bull Los conocimientos los saberes son datos conceptos procesos o meacutetodos que existen fuera del individuo que conoce y que son generalmente codificados en obras de referencia manuales enciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparables del individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomando conciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didaacutectico este es amplio y puede tener origen en varias raiacuteces una de las cuales tiene sede en el debate entre

iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacuteticandash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacuten del

conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacuten de ensenanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)

ndash la organizacioacuten de los procesos de ensenanza y aprendizaje relevantes para tal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacuten autores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)

ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de los diferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar los fenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensenanza y aprendizaje No se reduce a buscar una buena forma de ensenar una determinada nocioacuten(Douady)

ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de las ciencias cercanas con las cuales se interactua (Vergnaud)

ndash Es la disciplina cientifica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo es identificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos que condicionan la ensenanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull La didaacutectica de la matemaacutetica (que para nosotros es un aspecto de la maacutes

general educacioacuten matemaacutetica) es el arte de concebir y de crear condiciones que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemaacutetico por parte del individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad una persona una institucioacuten un sistema o incluso un animal)

bull El aprendizaje se considera aquiacute como un conjunto de cambios de comportamientos (por tanto de prestaciones) que senalan a un observador predeterminado segun sujeto en juego que este primer sujeto dispone de un conocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o de competencias) lo que implica la gestioacuten de diversos registros de representacioacuten la creacioacuten de convicciones especiacuteficas el uso de diversos lenguajes el dominio de un conjunto de referencias idoacuteneas de pruebas de justificaciones y de obligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accioacuten y reproducidas intencionalmente Se habla en este caso de praacutecticas didaacutecticas4

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull Estas practicas didacticas son tambieacuten ldquocondicionesrdquo y por tanto a su vez

objeto de estudio La didaacutectica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones

bull Los estudios cientificos -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitacioacuten de conceptos y de meacutetodos que deben ser sometidos a exigencias de verificacioacuten de la coherencia y de adecuacioacuten a la especiacutefica contingencia Ciertas teoriacuteas como por ejemplo la teoriacutea de las situaciones didaacutecticas tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didaacutectica

bull Entre los objetos de estudio de la didaacutectica un papel absolutamente fundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio o entorno

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull El teacutermino ldquoepistemologiacuteardquo es parte de la didaacutectica de la matemaacutetica a inicio de los anos rsquo60 portando con siacute las diferentes acepciones que lo acompanan y que conducen a diversas ldquodefinicionesrdquo e interpretaciones en cada paiacutes y en multiples situaciones

bull Mientras reenviacuteo a Brousseau (2006a b) para un anaacutelisis comparado y criacutetico de dicho teacutermino y de sus diversas exigencias hago expliacutecito el hecho que me referireacute aun si no lo digo abiertamente a estos recientes dos trabajos de Brousseau y a otros trabajos suyos todos estos citados en la bibliografiacutea Algunas de las frases que siguen fueron tomadas libremente de estos textos sin cambiar el espiacuteritu Para no hacer pesado el texto no citareacute siempre los trabajos de Brousseau lo que hareacute soacutelo en algunas ocasiones

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull En nuestro campo de investigacioacutenuna concepcion epistemologica es un conjunto de convicciones de conocimientos y de saberes cientificos que tienden a decir cuales son los conocimientos de los individuos o de los grupos de personas su funcionamiento las formas de establecer su validez de adquirirlas y por tanto de ensenarlas y de aprenderlas la epistemologia es un tentativo de identificar y de unificar diversas concepciones epistemoloacutegicas relativas a una determinada ciencia a un determinado movimiento ideoloacutegico a grupos de personas a instituciones o a culturas

Conceptos Clavesbull Por saber entendemos un conjunto de conocimientos o de actitudes

reproducibles adquiridos a traveacutes del estudios o de la experienciaEn el aacutembito de la psicologiacutea cognitiva se distinguen los saberes de los conocimientos

bull Los conocimientos los saberes son datos conceptos procesos o meacutetodos que existen fuera del individuo que conoce y que son generalmente codificados en obras de referencia manuales enciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparables del individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomando conciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didaacutectico este es amplio y puede tener origen en varias raiacuteces una de las cuales tiene sede en el debate entre

iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacuteticandash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacuten del

conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacuten de ensenanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)

ndash la organizacioacuten de los procesos de ensenanza y aprendizaje relevantes para tal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacuten autores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)

ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de los diferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar los fenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensenanza y aprendizaje No se reduce a buscar una buena forma de ensenar una determinada nocioacuten(Douady)

ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de las ciencias cercanas con las cuales se interactua (Vergnaud)

ndash Es la disciplina cientifica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo es identificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos que condicionan la ensenanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull La didaacutectica de la matemaacutetica (que para nosotros es un aspecto de la maacutes

general educacioacuten matemaacutetica) es el arte de concebir y de crear condiciones que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemaacutetico por parte del individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad una persona una institucioacuten un sistema o incluso un animal)

bull El aprendizaje se considera aquiacute como un conjunto de cambios de comportamientos (por tanto de prestaciones) que senalan a un observador predeterminado segun sujeto en juego que este primer sujeto dispone de un conocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o de competencias) lo que implica la gestioacuten de diversos registros de representacioacuten la creacioacuten de convicciones especiacuteficas el uso de diversos lenguajes el dominio de un conjunto de referencias idoacuteneas de pruebas de justificaciones y de obligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accioacuten y reproducidas intencionalmente Se habla en este caso de praacutecticas didaacutecticas4

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull Estas practicas didacticas son tambieacuten ldquocondicionesrdquo y por tanto a su vez

objeto de estudio La didaacutectica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones

bull Los estudios cientificos -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitacioacuten de conceptos y de meacutetodos que deben ser sometidos a exigencias de verificacioacuten de la coherencia y de adecuacioacuten a la especiacutefica contingencia Ciertas teoriacuteas como por ejemplo la teoriacutea de las situaciones didaacutecticas tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didaacutectica

bull Entre los objetos de estudio de la didaacutectica un papel absolutamente fundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio o entorno

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull En nuestro campo de investigacioacutenuna concepcion epistemologica es un conjunto de convicciones de conocimientos y de saberes cientificos que tienden a decir cuales son los conocimientos de los individuos o de los grupos de personas su funcionamiento las formas de establecer su validez de adquirirlas y por tanto de ensenarlas y de aprenderlas la epistemologia es un tentativo de identificar y de unificar diversas concepciones epistemoloacutegicas relativas a una determinada ciencia a un determinado movimiento ideoloacutegico a grupos de personas a instituciones o a culturas

Conceptos Clavesbull Por saber entendemos un conjunto de conocimientos o de actitudes

reproducibles adquiridos a traveacutes del estudios o de la experienciaEn el aacutembito de la psicologiacutea cognitiva se distinguen los saberes de los conocimientos

bull Los conocimientos los saberes son datos conceptos procesos o meacutetodos que existen fuera del individuo que conoce y que son generalmente codificados en obras de referencia manuales enciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparables del individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomando conciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didaacutectico este es amplio y puede tener origen en varias raiacuteces una de las cuales tiene sede en el debate entre

iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacuteticandash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacuten del

conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacuten de ensenanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)

ndash la organizacioacuten de los procesos de ensenanza y aprendizaje relevantes para tal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacuten autores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)

ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de los diferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar los fenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensenanza y aprendizaje No se reduce a buscar una buena forma de ensenar una determinada nocioacuten(Douady)

ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de las ciencias cercanas con las cuales se interactua (Vergnaud)

ndash Es la disciplina cientifica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo es identificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos que condicionan la ensenanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull La didaacutectica de la matemaacutetica (que para nosotros es un aspecto de la maacutes

general educacioacuten matemaacutetica) es el arte de concebir y de crear condiciones que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemaacutetico por parte del individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad una persona una institucioacuten un sistema o incluso un animal)

bull El aprendizaje se considera aquiacute como un conjunto de cambios de comportamientos (por tanto de prestaciones) que senalan a un observador predeterminado segun sujeto en juego que este primer sujeto dispone de un conocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o de competencias) lo que implica la gestioacuten de diversos registros de representacioacuten la creacioacuten de convicciones especiacuteficas el uso de diversos lenguajes el dominio de un conjunto de referencias idoacuteneas de pruebas de justificaciones y de obligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accioacuten y reproducidas intencionalmente Se habla en este caso de praacutecticas didaacutecticas4

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull Estas practicas didacticas son tambieacuten ldquocondicionesrdquo y por tanto a su vez

objeto de estudio La didaacutectica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones

bull Los estudios cientificos -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitacioacuten de conceptos y de meacutetodos que deben ser sometidos a exigencias de verificacioacuten de la coherencia y de adecuacioacuten a la especiacutefica contingencia Ciertas teoriacuteas como por ejemplo la teoriacutea de las situaciones didaacutecticas tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didaacutectica

bull Entre los objetos de estudio de la didaacutectica un papel absolutamente fundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio o entorno

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Conceptos Clavesbull Por saber entendemos un conjunto de conocimientos o de actitudes

reproducibles adquiridos a traveacutes del estudios o de la experienciaEn el aacutembito de la psicologiacutea cognitiva se distinguen los saberes de los conocimientos

bull Los conocimientos los saberes son datos conceptos procesos o meacutetodos que existen fuera del individuo que conoce y que son generalmente codificados en obras de referencia manuales enciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparables del individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomando conciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didaacutectico este es amplio y puede tener origen en varias raiacuteces una de las cuales tiene sede en el debate entre

iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacuteticandash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacuten del

conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacuten de ensenanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)

ndash la organizacioacuten de los procesos de ensenanza y aprendizaje relevantes para tal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacuten autores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)

ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de los diferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar los fenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensenanza y aprendizaje No se reduce a buscar una buena forma de ensenar una determinada nocioacuten(Douady)

ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de las ciencias cercanas con las cuales se interactua (Vergnaud)

ndash Es la disciplina cientifica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo es identificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos que condicionan la ensenanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull La didaacutectica de la matemaacutetica (que para nosotros es un aspecto de la maacutes

general educacioacuten matemaacutetica) es el arte de concebir y de crear condiciones que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemaacutetico por parte del individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad una persona una institucioacuten un sistema o incluso un animal)

bull El aprendizaje se considera aquiacute como un conjunto de cambios de comportamientos (por tanto de prestaciones) que senalan a un observador predeterminado segun sujeto en juego que este primer sujeto dispone de un conocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o de competencias) lo que implica la gestioacuten de diversos registros de representacioacuten la creacioacuten de convicciones especiacuteficas el uso de diversos lenguajes el dominio de un conjunto de referencias idoacuteneas de pruebas de justificaciones y de obligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accioacuten y reproducidas intencionalmente Se habla en este caso de praacutecticas didaacutecticas4

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull Estas practicas didacticas son tambieacuten ldquocondicionesrdquo y por tanto a su vez

objeto de estudio La didaacutectica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones

bull Los estudios cientificos -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitacioacuten de conceptos y de meacutetodos que deben ser sometidos a exigencias de verificacioacuten de la coherencia y de adecuacioacuten a la especiacutefica contingencia Ciertas teoriacuteas como por ejemplo la teoriacutea de las situaciones didaacutecticas tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didaacutectica

bull Entre los objetos de estudio de la didaacutectica un papel absolutamente fundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio o entorno

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacuteticandash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacuten del

conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacuten de ensenanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)

ndash la organizacioacuten de los procesos de ensenanza y aprendizaje relevantes para tal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacuten autores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)

ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de los diferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar los fenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensenanza y aprendizaje No se reduce a buscar una buena forma de ensenar una determinada nocioacuten(Douady)

ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de las ciencias cercanas con las cuales se interactua (Vergnaud)

ndash Es la disciplina cientifica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo es identificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos que condicionan la ensenanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull La didaacutectica de la matemaacutetica (que para nosotros es un aspecto de la maacutes

general educacioacuten matemaacutetica) es el arte de concebir y de crear condiciones que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemaacutetico por parte del individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad una persona una institucioacuten un sistema o incluso un animal)

bull El aprendizaje se considera aquiacute como un conjunto de cambios de comportamientos (por tanto de prestaciones) que senalan a un observador predeterminado segun sujeto en juego que este primer sujeto dispone de un conocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o de competencias) lo que implica la gestioacuten de diversos registros de representacioacuten la creacioacuten de convicciones especiacuteficas el uso de diversos lenguajes el dominio de un conjunto de referencias idoacuteneas de pruebas de justificaciones y de obligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accioacuten y reproducidas intencionalmente Se habla en este caso de praacutecticas didaacutecticas4

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull Estas practicas didacticas son tambieacuten ldquocondicionesrdquo y por tanto a su vez

objeto de estudio La didaacutectica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones

bull Los estudios cientificos -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitacioacuten de conceptos y de meacutetodos que deben ser sometidos a exigencias de verificacioacuten de la coherencia y de adecuacioacuten a la especiacutefica contingencia Ciertas teoriacuteas como por ejemplo la teoriacutea de las situaciones didaacutecticas tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didaacutectica

bull Entre los objetos de estudio de la didaacutectica un papel absolutamente fundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio o entorno

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull La didaacutectica de la matemaacutetica (que para nosotros es un aspecto de la maacutes

general educacioacuten matemaacutetica) es el arte de concebir y de crear condiciones que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemaacutetico por parte del individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad una persona una institucioacuten un sistema o incluso un animal)

bull El aprendizaje se considera aquiacute como un conjunto de cambios de comportamientos (por tanto de prestaciones) que senalan a un observador predeterminado segun sujeto en juego que este primer sujeto dispone de un conocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o de competencias) lo que implica la gestioacuten de diversos registros de representacioacuten la creacioacuten de convicciones especiacuteficas el uso de diversos lenguajes el dominio de un conjunto de referencias idoacuteneas de pruebas de justificaciones y de obligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accioacuten y reproducidas intencionalmente Se habla en este caso de praacutecticas didaacutecticas4

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull Estas practicas didacticas son tambieacuten ldquocondicionesrdquo y por tanto a su vez

objeto de estudio La didaacutectica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones

bull Los estudios cientificos -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitacioacuten de conceptos y de meacutetodos que deben ser sometidos a exigencias de verificacioacuten de la coherencia y de adecuacioacuten a la especiacutefica contingencia Ciertas teoriacuteas como por ejemplo la teoriacutea de las situaciones didaacutecticas tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didaacutectica

bull Entre los objetos de estudio de la didaacutectica un papel absolutamente fundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio o entorno

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Didaacutectica de la Matemaacutetica bull Estas practicas didacticas son tambieacuten ldquocondicionesrdquo y por tanto a su vez

objeto de estudio La didaacutectica se presenta entonces como el estudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivas realizaciones

bull Los estudios cientificos -de tipo experimental- en este campo necesitan de la explicitacioacuten de conceptos y de meacutetodos que deben ser sometidos a exigencias de verificacioacuten de la coherencia y de adecuacioacuten a la especiacutefica contingencia Ciertas teoriacuteas como por ejemplo la teoriacutea de las situaciones didaacutecticas tienen por objeto evidenciar los aspectos que estudia la didaacutectica

bull Entre los objetos de estudio de la didaacutectica un papel absolutamente fundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio o entorno

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Educacioacuten Matemaacutetica

bull La educacioacuten matematica es un teacutermino que se refiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica y ensenanza de las matemaacuteticas asiacute como a un campo de la INVESTIGACIOacuteN ACADEacuteMICA sobre esta praacutectica Los investigadores en educacioacuten matemaacutetica en primera instancia cuestionan las herramientas meacutetodos y enfoques que faciliten la praacutectica yo el estudio de la praacutectica

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino

como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es el proceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedad asimila a sus nuevos miembros segun sus propias reglas valores pautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberes compartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente la educacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacuten rescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoras los humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea del Conocimiento 1994 paacuteg 304)

bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresada por el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacuten humana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten de nuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemas praacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) la Educacioacuten Matematica se torna compleja en si misma

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En Resumen

El termino educacioacuten es mas amplio que didactica

Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todo el sistema de conocimientos instituciones planes de formacioacuten y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la ensenanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Rico Sierra y Castro (2000 p 352) La disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacioacuten matemaacutetica y propone actuaciones fundadas para su transformacioacuten

En el mundo anglosajoacuten se emplea la expresioacuten Mathematics Education para referirse al aacuterea de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc se denomina Didaacutectica de la Matemaacutetica

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Teoriacuteas maacutes Importantes en la

Didaacutectica de la Matemaacutetica

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas

bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las

matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS

En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia las matemaacuteticas habraacuten surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y la capacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer que esta discusioacuten estaacute muy alejada de los intereses praacutecticos del profesor interesado fundamentalmente por COacuteMO HACER MAacuteS EFECTIVA LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS (u otro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre queacute es un cierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea o teoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensenanza y el aprendizaje podemos identificar dos concepciones extremas

Concepcioacuten idealista-platoacutenica

Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matemaacuteticos profesionales hasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemaacuteticas de forma axiomaacutetica Se supone que una vez adquirida esta base seraacute faacutecil que el alumno por siacute solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten

La matemaacutetica pura y la aplicada seriacutean dos disciplinas distintas y las estructuras matemaacuteticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad

Esta concepcioacuten de las matemaacuteticas se designa como idealista-platoacutenica Con esta concepcioacuten es sencillo construir un curriacuteculo puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras aacutereas Estas aplicaciones se ldquofiltrariacuteanrdquo abstrayendo los conceptos propiedades y teoremas matemaacuteticos para constituir un dominio matemaacutetico ldquopurordquo

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Concepcioacuten constructivista

Otros matemaacuteticos y profesores de matemaacuteticas consideran que debe haber una estrecha relacioacuten entre las matemaacuteticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curriacuteculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemaacuteticas antes de que les sea presentada Los alumnos deberiacutean ser capaces de ver coacutemo cada parte de las matemaacuteticas satisfacen una cierta necesidad

La elaboracioacuten de un curriacuteculo de acuerdo con la concepcioacuten constructivista es compleja porque ademaacutes de conocimientos matemaacuteticos requiere conocimientos sobre otros campos Las estructuras de las ciencias fiacutesicas bioloacutegicas sociales son relativamente maacutes complejas que las matemaacuteticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemaacuteticas Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemaacuteticas en otras aacutereas pero la tarea de seleccioacuten secuenciacioacuten e integracioacuten no es sencilla

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

MATEMATICAS Y

SOCIEDAD

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemaacuteticas que queremos ensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza 1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemaacuteticas en la sociedad incluyendo sus diferentes campos de aplicacioacuten y el modo en que las matemaacuteticas han contribuido a su desarrollo

1113088 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el meacutetodo matemaacutetico esto es la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemaacuteticas permite responder las formas baacutesicas de razonamiento y del trabajo matemaacutetico asiacute como su potencia y limitaciones

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

2 iquestQueacute contenidos matemaacuteticos seriacutean utiles para resolver los siguientes tipos de problemas

1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

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1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Las matemaacuteticas constituyen el armazoacuten sobre el que se construyen los modelos cientificos toman parte en el proceso de modelizacioacuten de la realidad y en muchas ocasiones han servido como medio de validacioacuten de estos modelos Por ejemplo han sido caacutelculos matemaacuteticos los que permitieron mucho antes de que pudiesen ser observados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar

Sin embargo la evolucioacuten de las matemaacuteticas no soacutelo se ha producido por acumulacioacuten de conocimientos o de campos de aplicacioacuten Los propios conceptos matemaacuteticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo ampliaacutendolo precisaacutendolo o revisaacutendolo adquiriendo relevancia o por el contrario siendo relegados a segundo plano

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

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1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

MATEMAacuteTICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMAacuteTICA

Uno de los fines de la educacioacuten es formar ciudadanos cultos pero el concepto de cultura es cambiante y se ampliacutea cada vez maacutes en la sociedad moderna Cada vez maacutes se reconoce el papel cultural de las matemaacuteticas y la educacioacuten matemaacutetica tambieacuten tiene como fin proporcionar esta cultura El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ldquomatemaacuteticos aficionadosrdquo tampoco se trata de capacitarlos en caacutelculos complejos puesto que los ordenadores hoy diacutea resuelven este problema

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

a) Capacidad para interpretar y evaluar criacuteticamente la informacioacuten matemaacutetica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios de comunicacioacuten o en su trabajo profesional

b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

MODELIZACIOacuteN Y RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS

El dar un papel primordial a la resolucioacuten de problemas y a la actividad de modelizacioacuten tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo Seriacutea cuanto menos contradictorio con la geacutenesis histoacuterica de las matemaacuteticas al igual que con sus aplicaciones actuales presentar las matemaacuteticas a los alumnos como algo cerrado completo y alejado de la realidad Debe tenerse en cuenta por una parte que determinados conocimientos matemaacuteticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra que a menudo estos problemas no estrictamente matemaacuteticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemaacuteticos

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

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1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados

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b) Capacidad para discutir o comunicar informacioacuten matemaacutetica cuando sea relevante y competencia para resolver los problemas matemaacuteticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional

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1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

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RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

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1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

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Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

1 En el siguiente problema iquestcuaacutel es el conocimiento matemaacutetico que permite resolverlo iquestQueacute significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestioacuten

Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andreacutes lleva 5 Mariacutea 8 Joseacute 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestCoacutemo repartir los caramelos de forma equitativa

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1113088 Construir a escala la maqueta de un edificio1113088Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo1113088 Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sin contarlas todas

Para Reflexionar

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

Desde el punto de vista de la ensenanza de las matemaacuteticas las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos No podemos proponer los mismos problemas a un matemaacutetico a un adulto a un adolescente o a un nino porque sus necesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcioacuten del entorno fiacutesico y social y componentes imaginadas y ludicas que despiertan su intereacutes en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto

En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten de problemas reales no se consigue traspasando de forma mecaacutenica situaciones reales aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no interesar a los alumnos

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

RAZONAMIENTO MATEMAacuteTICO

RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO

El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempena un papel mucho maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las cuales la ultima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia

1

bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza

2

bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia experimentacioacuten e investigacioacuten y en ultimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientifico

3

bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el numero total de eacutestos en cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados numeros cuadrados 1 4 9 16

a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresioacuten general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique

bull Repite el proceso para los numeros triangulares

Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de los problemas anteriores

Para

Refl

exio

nar

FORMALIZACIOacuteN Y ABSTRACCIOacuteN

Desde una perspectiva pedagoacutegica -y tambieacuten epistemoloacutegica- es importante diferenciar el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de las caracteriacutesticas de dicho conocimiento en un estado avanzado de elaboracioacuten La formalizacioacuten precisioacuten y ausencia de ambiguedad del conocimiento matemaacutetico debe ser la fase final de un largo proceso de aproximacioacuten a la realidad de construccioacuten de instrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y transformarla

Ciertamente como ciencia constituida las matemaacuteticas se caracterizan por su precisioacuten por su caraacutecter formal y abstracto por su naturaleza deductiva y por su organizacioacuten a menudo axiomaacutetica Sin embargo tanto en la geacutenesis histoacuterica como en su apropiacioacuten individual por los alumnos la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico es inseparable de la actividad concreta sobre los objetos de la intuicioacuten y de las aproximaciones inductivas activadas por la realizacioacuten de tareas y la resolucioacuten de problemas particulares La experiencia y comprensioacuten de las nociones propiedades y relaciones matemaacuteticas a partir de la actividad real es al mismo tiempo un paso previo a la formalizacioacuten y una condicioacuten necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades que encierra dicha formalizacioacuten

Las matematicas como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan un conjunto de conocimientos con unas caracteriacutesticas propias y una determinada estructura y organizacioacuten internas Lo que confiere un caraacutecter distintivo al conocimiento matemaacutetico es su enorme poder como instrumento de comunicacioacuten conciso y sin ambiguedades Gracias a la amplia utilizacioacuten de diferentes sistemas de notacioacuten simboacutelica (numeros letras tablas graacuteficos etc) las matemaacuteticas son utiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa poniendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones o resultados que todaviacutea no se han producido

Ejemplo

Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresioacuten es equivalente a (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresioacuten nos da una nueva informacioacuten ya que muestra que todo numero par es la suma de dos impares consecutivos

Seriacutea sin embargo erroacuteneo o al menos superficial suponer que esta capacidad del conocimiento matemaacutetico para representar explicar y predecir hechos situaciones y resultados es simplemente una consecuencia de la utilizacioacuten de notaciones simboacutelicas precisas e inequiacutevocas en cuanto a las informaciones que permiten representar En realidad si las notaciones simboacutelicas pueden llegar a desempenar efectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza del conocimiento matemaacutetico que estaacute en su base y al que sirven de soporte

PARA ANALIZAR

Identifica los diferentes medios de expresioacuten en los textos con que se trabaja en el aula(teacuterminos siacutembolos graacuteficas diagramas) Da ejemplos de los conceptos impliacutecitos y expliacutecitos a que hacen referencias iquestCoacutemo se representan los diferentes conceptos iquestCoacutemo podemos comunicar las matemaacuteticas a alumnos con discapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas que pueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemaacuteticas debido a su carencia

ESTRUCTURA INTERNA

La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun caso ignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matemaacuteticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes Maacutes aun en el caso de las matemaacuteticas esta estructura es especialmente rica y significativa Hay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unos conceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos con la unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo

LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el numero total de eacutestos en cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados numeros cuadrados 1 4 9 16

a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresioacuten general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique

bull Repite el proceso para los numeros triangulares

Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de los problemas anteriores

Para

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FORMALIZACIOacuteN Y ABSTRACCIOacuteN

Desde una perspectiva pedagoacutegica -y tambieacuten epistemoloacutegica- es importante diferenciar el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de las caracteriacutesticas de dicho conocimiento en un estado avanzado de elaboracioacuten La formalizacioacuten precisioacuten y ausencia de ambiguedad del conocimiento matemaacutetico debe ser la fase final de un largo proceso de aproximacioacuten a la realidad de construccioacuten de instrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y transformarla

Ciertamente como ciencia constituida las matemaacuteticas se caracterizan por su precisioacuten por su caraacutecter formal y abstracto por su naturaleza deductiva y por su organizacioacuten a menudo axiomaacutetica Sin embargo tanto en la geacutenesis histoacuterica como en su apropiacioacuten individual por los alumnos la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico es inseparable de la actividad concreta sobre los objetos de la intuicioacuten y de las aproximaciones inductivas activadas por la realizacioacuten de tareas y la resolucioacuten de problemas particulares La experiencia y comprensioacuten de las nociones propiedades y relaciones matemaacuteticas a partir de la actividad real es al mismo tiempo un paso previo a la formalizacioacuten y una condicioacuten necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades que encierra dicha formalizacioacuten

Las matematicas como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan un conjunto de conocimientos con unas caracteriacutesticas propias y una determinada estructura y organizacioacuten internas Lo que confiere un caraacutecter distintivo al conocimiento matemaacutetico es su enorme poder como instrumento de comunicacioacuten conciso y sin ambiguedades Gracias a la amplia utilizacioacuten de diferentes sistemas de notacioacuten simboacutelica (numeros letras tablas graacuteficos etc) las matemaacuteticas son utiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa poniendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones o resultados que todaviacutea no se han producido

Ejemplo

Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresioacuten es equivalente a (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresioacuten nos da una nueva informacioacuten ya que muestra que todo numero par es la suma de dos impares consecutivos

Seriacutea sin embargo erroacuteneo o al menos superficial suponer que esta capacidad del conocimiento matemaacutetico para representar explicar y predecir hechos situaciones y resultados es simplemente una consecuencia de la utilizacioacuten de notaciones simboacutelicas precisas e inequiacutevocas en cuanto a las informaciones que permiten representar En realidad si las notaciones simboacutelicas pueden llegar a desempenar efectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza del conocimiento matemaacutetico que estaacute en su base y al que sirven de soporte

PARA ANALIZAR

Identifica los diferentes medios de expresioacuten en los textos con que se trabaja en el aula(teacuterminos siacutembolos graacuteficas diagramas) Da ejemplos de los conceptos impliacutecitos y expliacutecitos a que hacen referencias iquestCoacutemo se representan los diferentes conceptos iquestCoacutemo podemos comunicar las matemaacuteticas a alumnos con discapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas que pueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemaacuteticas debido a su carencia

ESTRUCTURA INTERNA

La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun caso ignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matemaacuteticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes Maacutes aun en el caso de las matemaacuteticas esta estructura es especialmente rica y significativa Hay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unos conceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos con la unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo

LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

FORMALIZACIOacuteN Y ABSTRACCIOacuteN

Desde una perspectiva pedagoacutegica -y tambieacuten epistemoloacutegica- es importante diferenciar el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de las caracteriacutesticas de dicho conocimiento en un estado avanzado de elaboracioacuten La formalizacioacuten precisioacuten y ausencia de ambiguedad del conocimiento matemaacutetico debe ser la fase final de un largo proceso de aproximacioacuten a la realidad de construccioacuten de instrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y transformarla

Ciertamente como ciencia constituida las matemaacuteticas se caracterizan por su precisioacuten por su caraacutecter formal y abstracto por su naturaleza deductiva y por su organizacioacuten a menudo axiomaacutetica Sin embargo tanto en la geacutenesis histoacuterica como en su apropiacioacuten individual por los alumnos la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico es inseparable de la actividad concreta sobre los objetos de la intuicioacuten y de las aproximaciones inductivas activadas por la realizacioacuten de tareas y la resolucioacuten de problemas particulares La experiencia y comprensioacuten de las nociones propiedades y relaciones matemaacuteticas a partir de la actividad real es al mismo tiempo un paso previo a la formalizacioacuten y una condicioacuten necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades que encierra dicha formalizacioacuten

Las matematicas como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan un conjunto de conocimientos con unas caracteriacutesticas propias y una determinada estructura y organizacioacuten internas Lo que confiere un caraacutecter distintivo al conocimiento matemaacutetico es su enorme poder como instrumento de comunicacioacuten conciso y sin ambiguedades Gracias a la amplia utilizacioacuten de diferentes sistemas de notacioacuten simboacutelica (numeros letras tablas graacuteficos etc) las matemaacuteticas son utiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa poniendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones o resultados que todaviacutea no se han producido

Ejemplo

Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresioacuten es equivalente a (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresioacuten nos da una nueva informacioacuten ya que muestra que todo numero par es la suma de dos impares consecutivos

Seriacutea sin embargo erroacuteneo o al menos superficial suponer que esta capacidad del conocimiento matemaacutetico para representar explicar y predecir hechos situaciones y resultados es simplemente una consecuencia de la utilizacioacuten de notaciones simboacutelicas precisas e inequiacutevocas en cuanto a las informaciones que permiten representar En realidad si las notaciones simboacutelicas pueden llegar a desempenar efectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza del conocimiento matemaacutetico que estaacute en su base y al que sirven de soporte

PARA ANALIZAR

Identifica los diferentes medios de expresioacuten en los textos con que se trabaja en el aula(teacuterminos siacutembolos graacuteficas diagramas) Da ejemplos de los conceptos impliacutecitos y expliacutecitos a que hacen referencias iquestCoacutemo se representan los diferentes conceptos iquestCoacutemo podemos comunicar las matemaacuteticas a alumnos con discapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas que pueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemaacuteticas debido a su carencia

ESTRUCTURA INTERNA

La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun caso ignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matemaacuteticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes Maacutes aun en el caso de las matemaacuteticas esta estructura es especialmente rica y significativa Hay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unos conceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos con la unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo

LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

Las matematicas como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan un conjunto de conocimientos con unas caracteriacutesticas propias y una determinada estructura y organizacioacuten internas Lo que confiere un caraacutecter distintivo al conocimiento matemaacutetico es su enorme poder como instrumento de comunicacioacuten conciso y sin ambiguedades Gracias a la amplia utilizacioacuten de diferentes sistemas de notacioacuten simboacutelica (numeros letras tablas graacuteficos etc) las matemaacuteticas son utiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa poniendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones o resultados que todaviacutea no se han producido

Ejemplo

Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresioacuten es equivalente a (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresioacuten nos da una nueva informacioacuten ya que muestra que todo numero par es la suma de dos impares consecutivos

Seriacutea sin embargo erroacuteneo o al menos superficial suponer que esta capacidad del conocimiento matemaacutetico para representar explicar y predecir hechos situaciones y resultados es simplemente una consecuencia de la utilizacioacuten de notaciones simboacutelicas precisas e inequiacutevocas en cuanto a las informaciones que permiten representar En realidad si las notaciones simboacutelicas pueden llegar a desempenar efectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza del conocimiento matemaacutetico que estaacute en su base y al que sirven de soporte

PARA ANALIZAR

Identifica los diferentes medios de expresioacuten en los textos con que se trabaja en el aula(teacuterminos siacutembolos graacuteficas diagramas) Da ejemplos de los conceptos impliacutecitos y expliacutecitos a que hacen referencias iquestCoacutemo se representan los diferentes conceptos iquestCoacutemo podemos comunicar las matemaacuteticas a alumnos con discapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas que pueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemaacuteticas debido a su carencia

ESTRUCTURA INTERNA

La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun caso ignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matemaacuteticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes Maacutes aun en el caso de las matemaacuteticas esta estructura es especialmente rica y significativa Hay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unos conceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos con la unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo

LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

Ejemplo

Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresioacuten es equivalente a (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresioacuten nos da una nueva informacioacuten ya que muestra que todo numero par es la suma de dos impares consecutivos

Seriacutea sin embargo erroacuteneo o al menos superficial suponer que esta capacidad del conocimiento matemaacutetico para representar explicar y predecir hechos situaciones y resultados es simplemente una consecuencia de la utilizacioacuten de notaciones simboacutelicas precisas e inequiacutevocas en cuanto a las informaciones que permiten representar En realidad si las notaciones simboacutelicas pueden llegar a desempenar efectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza del conocimiento matemaacutetico que estaacute en su base y al que sirven de soporte

PARA ANALIZAR

Identifica los diferentes medios de expresioacuten en los textos con que se trabaja en el aula(teacuterminos siacutembolos graacuteficas diagramas) Da ejemplos de los conceptos impliacutecitos y expliacutecitos a que hacen referencias iquestCoacutemo se representan los diferentes conceptos iquestCoacutemo podemos comunicar las matemaacuteticas a alumnos con discapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas que pueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemaacuteticas debido a su carencia

ESTRUCTURA INTERNA

La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun caso ignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matemaacuteticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes Maacutes aun en el caso de las matemaacuteticas esta estructura es especialmente rica y significativa Hay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unos conceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos con la unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo

LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

PARA ANALIZAR

Identifica los diferentes medios de expresioacuten en los textos con que se trabaja en el aula(teacuterminos siacutembolos graacuteficas diagramas) Da ejemplos de los conceptos impliacutecitos y expliacutecitos a que hacen referencias iquestCoacutemo se representan los diferentes conceptos iquestCoacutemo podemos comunicar las matemaacuteticas a alumnos con discapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas que pueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemaacuteticas debido a su carencia

ESTRUCTURA INTERNA

La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun caso ignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matemaacuteticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes Maacutes aun en el caso de las matemaacuteticas esta estructura es especialmente rica y significativa Hay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unos conceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos con la unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo

LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

ESTRUCTURA INTERNA

La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun caso ignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matemaacuteticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes Maacutes aun en el caso de las matemaacuteticas esta estructura es especialmente rica y significativa Hay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unos conceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos con la unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo

LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos

bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR

PARA ANALIZARiquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

Sin embargo interesa destacar una vez maacutes que casi nunca existe un camino unico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene una fundamentacioacuten maacutes de tipo pedagoacutegico que epistemoloacutegico Por el contrario determinadas concepciones sobre la estructura interna de las matemaacuteticas pueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemaacutetica escolar en la teoriacutea de conjuntos

PARA ANALIZARConsidera los siguientes conjuntos numeacutericos numeros racionales numeros naturales numeros enteros numeros decimales numeros primos iquestCoacutemo se relacionan entre siacute iquestPor queacute en los disenos curriculares se contempla una ensenanza ciacuteclica de algunos conceptos Identifica algunos conceptos que aparezcan ciacuteclicamente en los diferentes niveles de la educacioacuten primaria

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

NATURALEZA RELACIONAL

El conocimiento loacutegico-matemaacutetico hunde sus raiacuteces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y muy especialmente en su capacidad para abstraer y tomar en consideracioacuten dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

Ejemplo

En las frases ldquoA es maacutes grande que Brdquo A mide tres centimetros maacutes que Brdquo ldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedad de los objetos A y B en siacute mismos sino la relacioacuten existente entre una propiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masa densidad volumen etc) Las relaciones maacutes grande que maacutes pequeno que tres centimetros maacutes que tres centimetros menos que etc son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividad de comparacioacuten con elementos maacutes difusos como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

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bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten

Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

Ejemplo

Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etc son herramientas igualmente utiles en geometriacutea y en estadiacutestica Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde oacutepticas distintas es necesario dedicarles una atencioacuten especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la ensenanza

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

EXACTITUD Y APROXIMACIOacuteN

Una caracteriacutestica adicional de las matemaacuteticas que ha ido hacieacutendose cada vez maacutes patente a lo largo de su desarrollo histoacuterico es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad Por un lado la matemaacutetica es una ldquociencia exactardquo los resultados de una operacioacuten una transformacioacuten son uniacutevocos

Por otro al comparar la modelizacion matematica de un cierto hecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelo nunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemaacuteticas de los alumnos otros lo hacen maacutes tarde

Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

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Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemaacuteticas como ciencia exacta Asiacute por ejemplo se prefiere la matemaacutetica de la certeza (ldquosiacuterdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de la probabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel de significacioacuten de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mide radic2rdquo ldquoel aacuterea de un ciacuterculo es πr2rdquo) a la de la estimacioacuten (ldquome equivoco como mucho en una deacutecimardquo ldquola proporcioacuten aacuteurea es aproximadamente 53rdquo )

Las matemaacuteticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques y ello no soacutelo por la riqueza intriacutenseca que encierran sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemaacuteticas

iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

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iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestla cantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel de ruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida soacutelo puede ser aproximada iquestQueacute intereacutes tiene en estos casos un valor aproximado de la medida

PARA ANALIZAR

CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

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CONTENIDOS MATEMAacuteTICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES

En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

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En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenido escolar tanto los que habitualmente se han considerado contenidos los de tipo conceptual como otros que han estado maacutes ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes contenidos relativos a procedimientos y a normas valores y actitudes En la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos Todo contenido que se aprende es tambieacuten susceptible de ser ensenado y se considera tan necesario planificar la intervencioacuten con respecto a los contenidos de tipo conceptual como planificarla con relacioacuten a los otros tipos de contenido

En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

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En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos los tres tipos de contenido El primero de ellos es el que presenta los conceptos hechos y principios Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares no tanto los principios Por principios se entiende enunciados que describen coacutemo los cambios que se producen en un objeto o situacioacuten se relacionan con los cambios que se producen en otro objeto o situacioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

BIBLIOGRAFIacuteAbull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm

bull La Didactica de las Matematicas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm

bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum

bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas

bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a la consecucioacuten de una meta Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en funcioacuten del numero de acciones o pasos implicados en su realizacioacuten de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que tambieacuten caben bajo la denominacioacuten de destrezasrsquorsquo teacutecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos teacuterminos aluden a las caracteriacutesticas senaladas como definitorias de un procedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas maacutes generales que exigen para su aprendizaje otras teacutecnicas maacutes especiacuteficas relacionadas con contenidos concretos

APLICACION 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un

procedimiento (sumar) Explica coacutemo se apoyan entre siacute el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular

2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

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bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espana Cuarta edicioacuten

El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el que se refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuesta curricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demaacutes ya que de hecho los alumnos aprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia que se considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no se produciraacute de una manera no planificada formando parte del curriacuteculo oculto sino que la escuela intervendraacute intencionalmente favoreciendo las situaciones de ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudes que a partir de las cuatro fuentes del curriacuteculo pero especialmente de la fuente socioloacutegica se consideren oportunas

PARA ANALIZAR iquestCoacutemo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemaacuteticas iquestCoacutemo se ponen de manifiesto Entrega al menos dos ejemplos donde tu has presentado una actitud positiva y una actitud negativa frente al aula

PARA RECORDAR

La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

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La DISTINCIOacuteN entre contenidos CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES y ACTITUDINALES es en primer lugar y sobre todo de naturaleza pedagoacutegica Es decir llama la atencioacuten sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razoacuten por la cual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en las tres categoriacuteas la repeticioacuten en este caso traduce la idea pedagoacutegica de que el contenido en cuestioacuten debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva conceptual procedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo un determinado contenido aparece unicamente en una u otra de las tres categoriacuteas con ello se sugiere que dicho contenido por su naturaleza y por la intencioacuten educativa propia de la etapa debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual procedimental o actitudinal

Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

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Este sencillo ejemplo muestra hasta queacute punto el conocimiento matemaacutetico implica la construccioacuten de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos Las matemaacuteticas son pues maacutes constructivas que deductivas desde la perspectiva de su elaboracioacuten y adquisicioacuten Si desligamos el conocimiento matemaacutetico de la actividad constructiva que estaacute en su origen corremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representacioacuten explicacioacuten y prediccioacuten Otra implicacioacuten curricular de la naturaleza relacional de las matemaacuteticas es la existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propoacutesitos diferentes

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