MA5031 Analisis Real LanjutSemester I, Tahun 2015/2016

Hendra Gunawan

5.3 Kalkulus Turunan

Pada bagian ini kita akan membahassejumlah aturan untuk diferensial danaturan untuk turunan, yg mempunyaikemiripan antara satu dan lainnya.

2(c) Hendra Gunawan (2015)

Operator Diferensial

Diberikan sebuah fungsi f dan bilangan h ≠ 0, kita definisikan diferensial

Δhf(x) := f(x + h) – f(x).

Δh dapat dipandang sebagai operator yang menerima f sebagai input dan menghasilkanfungsi f(x + h) – f(x) sebagai output.Kita juga dapat memandang turunan sebagaioperator yg menghasilkan f’ sebagai output.

3(c) Hendra Gunawan (2015)

Hubungan antara Turunan danDiferensial

(c) Hendra Gunawan (2015) 4

0

Δ ( )'( ) lim h

h

f xf xh→

=

Hubungan inilah yang membuat aturan untukturunan mirip dengan aturan untuk diferensial.

Aturan untuk Diferensial

5(c) Hendra Gunawan (2015)

Δ ( )( ) Δ ( ) Δ ( )Δ ( )( ) ( )Δ ( ) ( )Δ ( )

h h h

h h h

f g x f x g xf g x f x h g x g x f x± = ±⋅ = + +

( )Δ ( ) ( )Δ ( )Δ ( )( ) ( )

h hh

g x f x f x g xf xg g x h g x

−= +

Δ ( )( ) ( )Δ ( ) ( )Δ ( )h h hf g x f x g x g x h f x⋅ = + +

Aturan untuk Turunan

Jika f dan g terdiferensialkan di x0, maka f ± g dan f∙g juga terdiferensialkan di x0, dengan

(f ± g)’(x0) = f’(x0) ± g’(x0) dan(f∙g)’(x0) = f(x0)g’(x0) + f’(x0)g(x0).

Sebagai tambahan, jika g(x0) ≠ 0, maka f/g jugaterdiferensialkan di x0, dengan

(c) Hendra Gunawan (2015) 6

0 0 0 00 2

0

( ) '( ) ( ) '( )'( )[ ( )

.]

g x f x f x g xf xg g x

−=

Komposisi dan Diferensialnya

Diberikan dua fungsi f dan g, komposisi antara f dan g didefinisikan sebagai (g ◦ f)(x) := g(f(x)), untuk x di domain f dengan f(x) di domain g.Perhatikan bahwa

Δh(g ◦ f)(x) = g(f(x + h)) – g(f(x))= g(f(x) + f(x+h) – f(x)) – g(f(x))= g(f(x) + Δhf(x)) – g(f(x))

(c) Hendra Gunawan (2015) 7

Δ ( )Δ ( ( )).h f x g f x=

Apa yang Terjadi bila Kita Bagi dengan h dan h 0Misalkan u = Δhf(x). Maka

Limitnya ada untuk h 0 apabila u = Δhf(x) ≠ 0 untuk h ≠ 0, dan limit kedua suku pada baristerakhir ada untuk h 0.

(c) Hendra Gunawan (2015) 8

Δ ( )( ) (Δ )( ( ))

Δ ( ( )) .

Δ ( ( )) Δ ( ).

h u

u

u h

g f x g f xh h

g f x uu h

g f x f xu h

=

=

=

Aturan Rantai (Turunan Komposisi)

Jika f terdefinisi pada suatu lingkungan dari x0 danterdiferensialkan di x0, dan g terdefinisi pada suatulingkungan dari f(x0) dan terdiferensialkan di f(x0), maka g ◦ f terdiferensialkan di x0, dengan

(g ◦ f)’(x0) = g’(f(x0))∙f’(x0).

Catatan. Kekontinuan f di x0 dan kekontinuan g dif(x0) mengakibatkan kekontinuan g ◦ f di x0. Bukti Aturan Rantai tidak dapat diperoleh langsungdari diferensial komposisi. [Jika h 0, maka u 0; tetapi dapat terjadi u = 0 untuk h ≠ 0.]

(c) Hendra Gunawan (2015) 9

Ide pembuktian. Aturan Rantai dibuktikan dgnmenunjukkan bahwa g(f(x0)) + g’(f(x0))∙f’(x0)(x –x0) merupakan hampiran linear dari (g ◦ f)(x) ygmenuju (g ◦ f)(x0) lebih cepat drpd x menuju x0.Untuk itu kita tinjaug(f(x)) – g(f(x0)) – g’(f(x0))∙f’(x0)(x – x0)

= [g(f(x)) – g(f(x0)) – g’(f(x0))∙(f(x) – f(x0))] + [g’(f(x0))∙{f(x) – f(x0) – f’(x0)(x – x0)}];

Lalu coba buktikan bahwa bentuk ini dapatdibuat lebih kecil daripada |x – x0|/m, untuk x cukup dekat ke x0.

(c) Hendra Gunawan (2015) 10

Fungsi Invers dan Turunannya

Misal f fungsi satu-ke-satu dari A ke B dan f(A) = B (yakni, f pada). Maka, invers dari f, yakni f-1, didefinisikan pada B sebagai f-1(y) = x jika danhanya jika f(x) = y.Catat bahwa f-1 ◦ f = IA (fungsi identitas pada A) dan f ◦ f-1 = IB (fungsi identitas pada B).Dgn Aturan Rantai, kita peroleh (dari f-1 ◦ f = IA)(f-1)’(f(x))∙(f’(x)) = 1, sehingga (f-1)’(y) = 1/f’(x), dgn y = f(x). Ini berlaku bila f-1 terdiferensialkandi f(x), dan f’(x) ≠ 0.

(c) Hendra Gunawan (2015) 11

Teorema Fungsi Invers (Global)

Misalkan f terdiferensialkan secara kontinu padainterval buka I := (a,b) dgn f’(x) > 0 atau f’(x) < 0 pada I. Misalkan f(I) = (c,d) =: J. Maka f-1 terdefi-nisi dari J ke I, terdiferensialkan secara kontinu, dan (f-1)’(y) = 1/f’(x) bila y = f(x).

(c) Hendra Gunawan (2015) 12

Ide pembuktian. Misal x0 ϵ I dan y0 = f(x0). Dari keterdiferensialan f di x0, kita mempunyai

ada dan tidak sama dengan 0. Dari sini kitadapatkan

Namun yang ingin kita buktikan adalah

Untuk itu kita harus membuktikan jika y cukupdekat ke y0, maka x akan cukup dekat ke x0.

(c) Hendra Gunawan (2015) 13

),('lim 00

0

0

xfxxyy

xx=

−−

→

.)('

1lim00

0

0 xfyyxx

xx=

−−

→

.)('

1lim00

0

0 xfyyxx

yy=

−−

→

Teorema Fungsi Invers (Lokal)

Misalkan f terdiferensialkan secara kontinu padasuatu lingkungan di sekitar x0 dgn f’(x0) ≠ 0. Maka, terdapat suatu lingkungan I = (a,b) dari x0sedemikian sehingga pembatasan f pada I mempunyai invers f-1 yang terdiferensialkansecara kontinu pada J = f(I).

(c) Hendra Gunawan (2015) 14

Latihan1. Buktikan jika f kontinu dan merupakan fungsi

satu-ke-satu pada (a,b), maka atau f naikmurni atau f turun murni pada (a,b).

2. Buktikan jika f terdiferensialkan pada (a,b) dan f’(x) ≠ 0 untuk setiap x ϵ (a,b), maka atauf’(x) > 0 atau f’(x) < 0 untuk setiap x ϵ (a,b).

3. Buktikan bahwa polinom berderajat genap(bukan nol) mempunyai nilai maksimumglobal atau nilai minimum global, tetapi tidakmungkin dua-duanya.

15(c) Hendra Gunawan (2015)