Turunan (Differensial)

download Turunan (Differensial)

of 86

  • date post

    24-Jun-2015
  • Category

    Science

  • view

    663
  • download

    2

Embed Size (px)

description

turunan

Transcript of Turunan (Differensial)

  • 1. Bab 23DiferensialDIFERENSIAL. Untuk fungsi y = f(x), didefinisikan:(a) dx, disebut diferensial x, dengan hubungan dx = x.(b) dy, disebut diferensial y, dengan hubungan dy = f(x)dx.Dari definisi, diferensial peubah bebas adalah sama dengan pertambahan peubah tersebut,tetapi diferensial peubah yang bergantung tidak sama dengan pertambahan peubahtersebut. Lihatlah Gambar 23-1 di bawah ini.Contoh 1:Jika y = x2, dy = 2x dx sedang y = (x + x)2 x2 = 2x x + (x)2 = 2x dx + (dx)2. Suatupenjelasan geometrik diberikan dalam Gambar 23-2. Terlihat bahwa y dan dy berbedadengan bujur sangkar kecil dengan luas (dx)2.+ x , +x y yd x y d yx y( )x( + + )d x = x Ryd yy0xQSP,,( )xxxd xd x1 d y = x d x2d xxd xd xxd xxy = x 2x( d x )2( a )( d )1 d y = x d x2( c)Gambar 23-1 Gambar 23-2DIFERENSIAL dy dapat dicari dengan menggunakan definisi dy = f(x)dx atau denganbantuan ketentuan-ketentuan yang langsung diperoleh dari ketentuan-ketentuan untukmendapatkan turunan. Beberapa di antaranya adalah:d(c) = 0, d(cu) = c du, d(uv) = u dv + v du,duv v du -u dv= 2v, d(sin u) = cos u du, d(ln u) =duu, dst.Contoh 2: Cari dy untuk tiap fungsi berikut :(a) y = x3 + 4x2 5x + 6dy = d(x3) + d(4x2) d(5x) + d(6) = (3x2 + 8x 5) dx(b) y = (2x3 + 5)3/2dy = 32(2x3 + 5)1/2 d(2x3 + 5) = 32(2x3 + 5)1/2 6x2 dx = 9x2(2x3 + 5)1/2 dxLihat Soal-soal 1-5PENDEKATAN DENGAN DIFERENSIAL. Jika dx = x relatif kecil biladibandingkan dengan x, dy adalah pendekatan yang cukup baik untuk y.Contoh 3:Ambillah y = x2 + x + 1 dan misalkan x berubah dari x = 2 menjadi x = 2,01. Perubahan yyang sebenarnya adalah y = [(2,01)2 + 2,01 + 1] [22 + 2 + 1] = 0,0501. Pendekatanperubahan y, yang diperoleh dengan mengambil x = 2 dan dx = 0,01, adalah dx = 0,01,adalah dy = f(x) dx = (2x + 1)dx = [2(2) + 1] 0,01 = 0,05.Lihat Soal-soal 6-10PENDEKATAN AKAR-AKAR PERSAMAAN. Misalkan x = x1 adalah pendekatanyang cukup dekat dari akar r persamaan y = f(x) = 0 dan misalkan f(x1) = y1 0. Maka y1

2. berbeda dari 0 dengan jumlah yang kecil. Sekarang jika x1 diubah ke r, perubahan yangbersangkutan dalam f(x1) adalah y1 = -y1. Pendekatan perubahan ini dalam x1 diberikanoleh f(x1)dx = -y1 atau dx1 = - ( )yf x . Jadi, pendekatan kedua dan lebih baik dari akar r11 'yf x = x1 -11 'adalah x2 = x1 + dx1 = x1 - ( )( )( )f xf x . Pendekatan ketiga adalah x3 = x2 + dx2 =11 'x2 -( )( )f xf x , dan seterusnya.11 'xyQ (x 1 , f ( x 1 ))0 ( x 1 , 0 ) P ( r , )0 ( x 2 , 0 )Gambar 23-3Jika x1 tidak merupakan pendekatan yang cukup dekat dari suatu akar, maka akan terlihatbahwa x2 berbeda jauh dari x1. Walaupun proses ini dari waktu ke waktu memperbaikidirinya sendiri, akan lebih mudah untuk membuat pendekatan pertama yang baru.Lihat Soal-soal 11-12Soal-soal yang Dipecahkan1. Cari dy untuk tiap-tiap fungsi berikut:(a) y =3x xx+ +2+2 13.dy =( x 2 + 3 ) g d ( x 3 + 2 x + 1 ) - ( x 3 + 2 x + 1 ) gd ( x2+3)( )2 23x+=( 2 ) ( 2 ) ( 3) ( )x + 3 3 x + 2 dx - x + 2 x +1 2x dx( )2 23x+4 2x x x+ - +7 2 6= ( )2 23x+dx(b) y = cos2 2x + sin 3x.dy = 2 cos 2x d(cos 2x) + d(sin 3x) = 2 cos 2x(-2 sin 2x dx) + 3 cos 3x dx= -4 sin 2x cos 2x dx + 3 cos 3x dx = (-2 sin 4x + 3 cos 3x) dx(c) y = e3x + arc sin 2x. dy = (3e3x + 2/ 1- 4x2 ) dxDiferensiasi Soal-soal 2-5, dg menggunakan diferensial, dan dapatkan dy/dx.2. xy + x 2y = 5.d(xy) + d(x) d(2y) = d(5).x dy + y dx + dx 2 dy = 0 atau (x 2) dy + (y + 1) dx = 0. Makadydx= -12yx+-.3. x3y2 2x2y + 3xy2 8xy = 6. 3. 2x3y dy + 3x2y2 dx 2x2 dy 4xy dx + 6 xy dy + 3y2 dx 8x dy 8y dx = 0dy8 y - 3 y 2 + 4 xy -3x 2 y2=dx2 x 3 y - 2 x 2+ 6 xy -8x4.2xy -3yx y dx - x dy = 8. 2 2yx dy y dx - - 3 2x= 0 dandydx=2 32 3x y +yxy +x2 33 25. x = 3 cos cos 3, y = 3 sin sin 3.dx = (-3 sin + 3 sin 3)d, dy = (3 cos cos 3)d, dandydx=q -qq qcos cos3sin sin 3- +6. Gunakan diferensial untuk mendekati : (a) 3 124 , (b) sin 60o1.13x(a) Untuk y = x1/3, dy = 2/3dx. Ambil x = 125 = 53 dan dx = -1. Maka dy =13 125 (-1) =( ) 2/3-175= -0,0133 dan secara pendekatan 3 124 = y + dy = 5 0,0133 = 4,9867.(b) Untuk x = 60o dan dx = 1 = 0,0003 rad, y = sin x = 3 /2 = 0,866 03 dan dy = cosx dx = (0,0003) = 0,000 15. Maka secara pendekatan sin 60o1 = 0,866 03 +0,000 15 = 0,866 18.7. Hitung y, dy, dan y dy, bila y = 12 x2 + 3x, x = 2, dan dx = 0,5y = { 12 (2,5)2 + 3(2,5)} { 12 (2)2 + 3(2)} = 2,625y = (x + 3)dx = (2 + 3)(0,5) = 2,5 y dy = 2,625 2,5 = 0,125.8. Cari perubahan volume kubus sisi x cm yang didekati, yang disebabkan olehpertambahan sisi-sisinya dengan 1%.V = x3 dan dV = 3x2 dx. Jika dx = 0,01x, dV = 3x2(0,01x) = 0,03x3 cm3.9. Cari massa yang didekati suatu pipa tembaga yang panjangnya 2 m, jika diameterdalam adalah 2,5 cm dan tebalnya 0,25 cm. Rapat massa tembaga adalah 8800 kg m-3.Mula-mula cari perubahan volume jika jari-jari r = 1/80 diubah dengan dr = 1/400 m.V = 2r2 dan dV = 4r dr = 4(1/80)(1/400) = /8000 m3Massa yang ditanyakan adalah 8800(/8000) = 3,46 kg.10. Untuk nilai x berapa 5 x dapat dipakai sebagai ganti 5 x +1 , jika kesalahan yangdiperbolehkan harus lebih kecil dari 0,001?Jika y = x1/5 dan dx = 1, dy = 15 x-4/5dx = 15 x-4/5.Jika 15 x-4/5 < 10-3, maka x-4/5 < 5 10-3 dan x-4 < 55 10-15.Jika x-4 < 10 55 10-16, maka x4 >101631250dan x >441031250= 752,1.11. Dekati akar-akar (riil) dari x3 + 2x 5 = 0 atau x3 = 5 2x.(a) Pada sumbu-sumbu sama, gambar grafik y = x3 dan y = 5 2x.Absis titik-titik potong kurva adalah akar-akar persamaan yang diketahui.Dari grafik, terlihat bahwa ada satu akar yang nilai pendekatannya adalah x1 = 1,3.(b) Pendekatan kedua akar ini adalahx2 = x1 -( )( )f xf x = 1,3 -11 '( ) 3( )+ -1,3 2 1,3 53 1,3 2( )2+= 1,3 --0,2037,07= 1,3 + 0,03 = 1,33 4. Pembagian dilakukan untuk mencapai dua desimal, karena hanya ada satu nolyang segera mengikuti titik desimal. Ini sejalan dengan teorema: Jika dalam suatupembagian, k buah buah nol segera mengikuti titik desimal dalam hasil bagi,maka pembagian dapat dilakukan sampai 2k desimal.(c) Pendekatan ketiga dan keempat adalah:x3 = x2 -( )( )f xf x = 1,33 -22 '( ) 3( )+ -1,33 2 1,33 53 1,33 2( )2+= 1,33 0,0017 = 1,3283x4 = x3 -( )( )f xf x = 1,3283 0,00003114 = 1,3282688633 '12. Dekati akar-akar 2 cos x x2 = 0.(a) Kurva-kurva y = 2 cos x dan y = x2 berpotongan pada dua titik yang absisnyaadalah kira-kira 1 dan -1. Perhatikan bahwa jika r adalah suatu akar, maka radalah akar yang lain.(b) Dengan menggunakan x1 = 1: x2 = 1 --2 cos 1 12 sin1 2- -= 1 +( )( )-+ = 1 +2 0,5403 12 0,8415 20,02 = 1,02.(c) x3 = 1,02 - ( ) ( )2 cos 1,02 -1,022 2 sin 1,02 2 1,02( ) ( )- -= 1,02 +0,00643,7442 = 1,02 + 0,0017 = 1,0217.Jadi, sampai empat desimal, akar-akarnya adalah 1,0217 dan -1,0217.Soal-soal Tambahan13. Cari dy untuk tiap fungsi berikut.(a) y = (5 x)3 Jawab: -3(5 x)2 dx (d) y = cos bx2 Jawab: -2bx sin bx2 dx(b) y = e4 x2 Jawab: 8 e4 x2 dx (e) y = arc cos 2x Jawab: 2--21 4xdxx cos x sin x(c) y = (sin x)/x Jawab: 2x-dx (f) y = ln tan x Jawab:dxx2sin 214. Cari dy/dx seperti dalam Soal-soal 2-5.(a) 2xy3 + 3x2y = 1 Jawab: -( 2)( )y y +xx y +x2 33 22(c) arc tanyx= ln (x2 + y) Jawab:x yx y2+-2(b) xy = sin (x y) Jawab:( )( )coscosx y yx y x- -- + (d) x2 ln y + y2 ln x = 2 Jawab: -( 2 2)( )x y y yx x x x2 ln2 ln++2 215. Gunakan diferensial untuk mendekati : (a) 4 17 , (b) 5 1020 , (c) cos 59o, (d) tan 44.Jawab: (a) 2,0315, (b) 3,99688, (c) 0,5151, (d) 0,965116. Gunakan diferensial untuk mendekati perubahan dalam (a) x3 jika x berubah dari 5 ke5,01; (b) 1/x jika x berubah dari 1 ke 0,98. Jawab: (a) 0,75, (b) 0,0217. Suatu keping lingkaran muai karena pengaruh panas sehingga jari-jarinya bertambahdari 12,5 cm ke 12,65 cm. Carilah pertambahan luas yang didekati. Jawab: 3,75 =11,79 cm2 5. 18. Suatu bola es jari-jari 10 cm menyusut hingga jari-jarinya 9,8 cm. Dekatipengurangan dalam (a) volume dan (b) luas permukaan. Jawab: (a) 80 cm3, (b) 16cm219. Kecepatan (v ms-1) yang dicapai sebuah benda yang jatuh bebas dari jarak h mdiberikan oleh v = 19,6h . Carilah kesalahan dalam v karena kesalahan 0,15 m padapengukuran h sebesar 30 m. Jawab: 0,061 ms-120. Jika pilot terbang mengelilingi bumi pada jarak 2 km di atas khatulistiwa, berapa kmlebih banyak yang ditempuhnya dibandingkan seseorang yang melintas sepanjangkhatulistiwa? Jawab: 12,6 km21. Jari-jari suatu lingkaran harus diukur kemudian luasnya dihitung. Jika jari-jarinyadapat diukur sampai 0,001 cm dan luasnya harus mempunyai ketepatan 0,1 cm2,carilah jari-jari maksimum dimana proses ini dapat digunakan. Jawab: Sekitar 16 cm22. Jika pV = 20 dan p diukur sebesar 5 0,02, carilah V. Jawab: V = 4 0,01623. Jika F = 1/r2 dan F diukur sebesar 4 0,05, carilah r. Jawab: 0,5 0,00324. Carilah perubahan dalam permukaan total suatu kerucut lingkaran total jika (a) jari-jarinyatetap sedang tingginya berubah dengan jumlah yang kecil, (b) tingginya tetapsedang jari-jarinya berubah dengan jumlah yang kecil.Jawab: (a) 2 2rh dhr hp+, (b) h 2 + 2r 2 + 2r r 2 + h2dr25. Cari sampai 4 desimal, (a) akar riil dari x3 + 3x + 1 = 0, (b) akar terkecil dari e-x = sinx, (c) akar x2 + ln x = 2, (d) akar x cos x = 0.Jawab: (a) -0,32222, (b) 0,5885, (c) 1,3141, (d) 0,7391 6. Bab 24Penjejakan KurvaSUATU KURVA ALJABAR BIDANG adalah kurva yang persamaannya dapat ditulisdalam bentukayn + (bx + c)yn-1 + (dx2 + ex + f)yn-2 + . . . un(x) = 0dengan un(x) adalah suatu polinomial dalam x dengan derajat n. Sifat kurva aljabardibahas di bawah ini.SIMETRI. Suatu kurva adalah simetrik terhadap(1) sumbu-x; jika persamaannya tidak berubah jika y diganti oleh y.(2) sumbu-y; jika persamaannya tidak berubah jika x diganti oleh x.(3) titik asal, jika persamaannya tidak berubah jika x diganti oleh x dan y oleh y secaraserentak(4) garis y = x, jika persamaannya tidak berubah jika x dan y saling ditukarkan.TITIK-TITIK POTONG. Titik-titik potong-x diperoleh dengan mengambil y = 0 dalampersamaan dan mencari x. Titik-titik potong y diperoleh dengan mengambil x = 0 danmencari y.LINGKUP. Lingkup horisontal diberikan oleh jangkauan x, yaitu selang x dimana kurvaada. Lingkup vertikal suatu kurva diber