MATEMATIKA Turunan TURUNAN 1. INCREMENTS Pertambahan x dari suatu variable x adalah perubahan-perubahan pada x yaitu bertambah atau berkurang pada suatu harga x terhadap harga lain x = x 1 di dalam daerahnya. * x 1 = x o + x x = x 1 - x o = xo

x = x 1 x o disebut Perubahan Harga x * Jika x memberikan pertambahan sebesar x dari x = x o (dari x = x o ke x 1 = x o + x), maka fungsi y = f(x) memberikan suatu pertambahan sebesar y, dimana : y = y 1 - y o = f(x 1 ) f(x o ) = f(x o + x) f(x o ) y = f(x o + x) f(x o ) disebut perubahan harga y. * Perubahan Rata-rata harga fungsi pada interval antara x = x o ke x 1 = x o + x, di definisikan sbb :

y x

= f(x o + x) f(x o ) = Perubahan Harga y x Perubahan Harga x

MATEMATIKA Turunan Sb-y P1 y y 1 = f(x o + x) Po yo x=x o x = x1 x = x 1 x o Secara Geometri : y = m = tg = Kemiringan/Gradien grs P o P 1 x Contoh 1 : Jika y = 5x 2 1, dan x berubah dari 4 ke 4,5. Tentukan : a. Perubahan harga x. b. Perubahan harga y c. Perubahan rata-rata harga fungsi pada interval tsb. Jawab : a. x = x 1 x o = 4,5 4 = 0,5 b. y = f(x o + x) f(x o ) = f(4 + 0,5) f(4) = (5. 4,5 2 1) (5.4 2 1) = 100,25 79 = 21,25 c. y = 21,25 = 42,50 x 0,5 Soal : Jika s(t) adalah jarak pendekatan sebuah benda yang jatuh bebas merupakan fungsi waktu t (dalam detik), s = 4,9t 2 . Carilah : a. s/ t, jika t berubah dari t o ke t o + t. b. s/ t jika t berubah dari : 3 ke 3,5 x x 1 =x o +x Sb-x y y = f(x)

MATEMATIKA Turunan Catatan : Jika s adalah perpindahan benda dari waktu t = t o ke t o + t, maka s = Perpindahan = Kecepatan rata-rata dari benda pada selang waktu. t Waktu Jika x mendekati 0, maka : 3 ke 3,2 3 ke 3,1

Lim (y/ x) = Lim f(x o + x) f(x o ) = Perubahan sesaat dari y x 0 x 0 x pada x = x o Contoh 2 : Jika y = 5x 2 1, tentukan perubahan sesaat y pada x = 4. Jawab : Lim (y/ x) = Lim f(x o + x) f(x o ) x 0 x 0 x = Lim (5.(x o + x) 2 1) (5x o 2 1) x 0 x = Lim (5.(x o 2 +2x o x+ x 2 ) 1) (5x o 2 1) x 0 x 2 = Lim (5x o +10x o x+5 x 2 1) (5x o 2 1) x 0 x = Lim 10x o x+5 x 2 x 0 x = Lim 10x o +5 x x 0 = 10x o +5.0 = 10x o Pada x o = 4, maka Lim (y/ x) = 10. x o = 10 . 4 = 40 x 0

MATEMATIKA Turunan 2. DERIVATIVE DEFINISI : Turunan fungsi y = f(x) terhadap x adalah y = f (x), didefinisikan sbb: y = f (x) = Lim f(x + x) f(x) x 0 x Sehingga turunan fungsi y = f(x) terhadap x pada x = x o y = f (x o ) = Lim x 0 x = x o dan x = 2 Jawab : y = f (x o ) = Lim f(x o + x) f(x o ) x 0 x = Lim (5(x o + x) 2 1) - (5x o 2 -1) x 0 x = 10x o (dari contoh 2 di atas) Untuk x o = 2, maka y = f (x o ) = f (2) = 10.2 = 20 Notasi Turunan Turunan y = f (x) terhadap x dinotasikan dengan y' atau f '(x) . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan y = f (x) terhadap x di antaranya dalah:dy d dy , f (x),Dxy,Dxf (x) . Notasi dx dx dx

f(x o + x) f(x o ) x

Contoh 3 : Jika y = 5x 2 1, tentukan turunan y terhadap x pada :

dikenal sebagai notasi Leibniz.

2.1. Rumus rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Jika u, v dan w fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan, maka : 1. Jika y = c, maka y = d (c) = 0, dengan c = konstanta dx 2. Jika y = x, maka y = d (x) = 1. dx 3. Jika y = u+v+, maka y = dy = du + dv + .. dx dx dx

MATEMATIKA Turunan 4. Jika y = cu, maka y = dy = c. du dx dx 5. Jika y = uv.w, maka y = dy = vw du + uwdv + uvdw dx dx dx dx 6. Jika y = u.v, maka y = dy = v. du + u.dv = vu + uv dx dx dx 7. Jika y = u/c, maka y = dy = 1 du , dengan c = konstanta dx c dx 8. Jika y = c/u, maka y = dy = c d(1/u) = - c 1 du , dg c = konstanta dx dx u2 dx 9. Jika y = u , maka y = dy = v. du - u.dv v dx dx dx v2 10. Jika y = u m , maka y = dy = m u m-1 du dx dx 11. Jika y = x m , maka y = dy = m x m-1 dx 12. Jika y = Sin u, maka y = dy = (Cos u ) du dx dx 13. Jika y = Cos u, maka y = dy = (Sin u ) du dx dx 2 14. Jika y = Tg u, maka y = dy = (Sec u ) du dx dx 15. Jika y = Cotg u, maka y = dy = (Cosec 2 u ) du dx dx 16. Jika y = Sec u, maka y = dy = (Sec u.Tg u ) du dx dx 17. Jika y = Cosec u, maka y = dy = ( Cosec u.Cotg u ) du dx dx Contoh 5. 1. Perhatikan cara penurunan berikut : a. Jika y = 5, maka y = 0 b. Jika y = x 5 , maka y = 5x 5-1 = 5x 4 c. Jika y = 5(x 2 1) 3 , maka : Misal u = x 2 1, maka du/dx = 2x y = 5u 3 ,maka y = 5.3u 3-1 du = 15u 2 du = 15(x 2 1) 2 .2x= 30x(x 2 -1) 2 dx dx d. Jika y = 3x 3 4x 2 + 7, maka y = 3.3x 2 4.2x + 0 = 9x 2 8x

MATEMATIKA Turunan e. Jika y = 5x + 1 ; misal : u = 5x + 1, maka du/dx = 5 x2 + 1 v = x 2 + 1 , maka dv/dx = 2x Sehingga : y = u , maka y = dy = v. du - u.dv v dx dx dx v2 = ( x 2 + 1).5 ( 5x + 1).2x (x 2 + 1) 2 = - 5x 2 2x + 5 f. Jika y = (4x 3 2)(4x+1) ; misal u = (4x 3 2), maka u = 12x v = 4x + 1, maka v = 4 Sehingga y = u.v y = vu + uv = (4x+1).12x + (4x 3 2).4 = 64x 3 + 12x 8 g. Jika y = 5/(x 2 -1) = 5(x 2 -1) -1 , maka y = 5(-1)(x 2 -1) -1-1 .2x = -10x(x 2 -1) -2 h. Jika y = (3x 4 2x+1) 3 , maka y = 3(3x 4 2x+1) 2 .(12x 3 -2)

i. Jika y = Cos 5x 2 , maka : misal u = 5x 2 du/dx= 10x, sehingga = 10x.Sin(5x 2 ) j. Jika y = tg(2x-1) 2 ; maka : Misal u=(2x-1) 2 , maka du/dx = 2(2x-1).2 = 4(2x-1). Sehingga : y = Tg u y = Sec 2 u(du/dx) = Sec 2 (2x-1) 2 . 4(2x-1) = 4(2x-1) Sec 2 (2x-1) 2 k. Jika y = Sec 3 (2x+1), maka y = 3Sec 2 (2x+1).Sec(2x+1).tg(2x+1).(2) = 6Sec 3 (2x+1).tg(2x+1) l. Jika u(0) = 4 ; u (0) = -1 ; v(0) = -3 ; dan v (0) = 5, tentukan : a. d(u.v) dx b. d (u/v) dx y = Cos u, maka y = Sin u(du/dx) = Sin(5x 2 ) .(10x)

MATEMATIKA Turunan Jawab : a. d(u.v) = vu + uv = (-3)(-1) + 4.5 = 23 dx b. d(u/v) dx = v. du - u.dv dx dx v2 2. Tentukan turunan fungsi berikut: a. b. c. d. e. f. Jawab a.f ( x) = sin(5x) f (x) = sin(x2 + 2x) f (x) = cos( 15x) f (x) = cos(2x3 x2 + 4x) f (x) = tan(2x)f (x) = ta x3 3x2) n(

= (-3)(-1) 4.5 = -17 (-3) 2 9

f ( x) = sin(5x) f '(x) = cos(5x) (5x)' = cos5x 5 = 5cos(5x) f '(x) = cos(x2 + 2x) ( x2 + 2x)' = cos(x2 + 2x) (2x + 2) = (2x + 2)cos(x2 + 2x) f (x) = cos( 15x) f '(x) = sin( 15x) ( 15x)' == sin( 15x) ( 15= 15sin( 15x) ) f (x) = cos(2x3 x2 + 4x) f '(x) = sin(2x3 x2 + 4x) (2x3 x2 + 4x)' = sin(2x3 x2 + 4x) (6x2 2x + 4) = (6x2 2x + 4)sin(2x3 x2 + 4x) f (x) = tan(2x) f '(x) = sec2(2x) (2x)' = sec2(2x) 2 = 2sec2(2x)

b. f (x) = sin(x2 + 2x)

c. d.

e.

f.

f ( x) = tan(x3 3x2 ) = sec2 (x3 3x2 ) (3x2 6x) = (3x2 6x)sec2 (x3 3x2 )

f '(x) = sec2 (x3 3x2 ) (x3 3x2 )'

MATEMATIKA Turunan Latihan : Tentukan turunan berikut : 1. y = x 5 + 5x 4 - 10x 2 + 6 3. y = 1 x2 + 4. x 2. y = 3x 1/3 -x 3/2 +2x -1/2 4. y = (1-5x) 3 6. y = (3+4x- x 2 ) 1/2 8. y = (x 2 +3) 4 (2x 2 -5) 3 10. y = x 3 -1 . 2x 3 +14

5. y = (3x x 3 + 1) 4 7. y = (x-1).(x 2 -2x+2) 9. y = 2x 3 + 2 x2 4 11. y = u 3 +4, dengan u = x 2 +2x 12. y = u ; u = v(3 2v) ; v = x 2 13. y = 4tg5x 14. y = 9Secx 15. y = Sinx Cosx + x 2 + 3 16. y = Cosx + x.Sin x + x 3 + 5 17. y = Cos(1 x) 2 18. y = Sin 3 (3x 2) 19. y = tgx.Sin2x 20. s = tg2 (1 Cot2 ) 21. I(t) = Cos(3t) 4 Cotg(4t + 3) .

2.2. Rumus rumus Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma Jika u, v dan w fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan, maka : 1. Jika y = a log u, maka y = 1 ua

log e du dx

contoh : Jika y = 5 log (3x+2), maka y = 1 . 5 log e . 3 (3x+2) = 3 5 log e (3x+2) 2. Jika y = ln u, maka y = 1 u du dx

MATEMATIKA Turunan Contoh : Jika y = ln(3x 2 -4), maka y = 1 (6x) (3x 2 -4) = 6x . (3x 2 -4) 3. Jika y = a u , maka y = a u ln a du dx Contoh : y = 3 2x+2 , maka y = 3 (2x+2) .ln 3.(2) = 2. 3 (2x+2) .ln 3 4. Jika y = e u , maka y = e u du dx x 2 -1 Contoh : y = e Latihan 1. y = ln(4x -5) 2. y = ln(3x 2 +2) 3. y = ln(x 2 +x-1) 3 4. y = x.lnx - x 5. y = ln(secx + tgx) 6. y = e 3x 7. I(t) = e -(5t 4)-(3t 2 -5t)

x 2 -1 x 2 -1 , maka y = e .2x= 2xe

8. I(t) = 8e 9. y = e -3x .(Sin2x + Cos2x) 10. y = e (Sin 2x) 11. y = x 2 .e 4x 2.3. DALIL RANTAI 1. Misalkan u = f(y) dan y = g(x). Jika g mempunyai turunan di x dan f mempunyai turunan di y, maka turunan fungsi komposisi u=(fog) (x)=f(g(x)) ditentukan sebagai berikut : du/dx = (fog)(x)=f(g(x)).g(x) atau du = du . dx dy dy dx .

MATEMATIKA Turunan 2. Identik : Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : Contoh : 1. Jika u = 3y 3 , maka du = du . dx dy dy = 9y 2 dy dx dxdy dy du dv = dx du dv dx

2. Jika y = 4Sin2, maka dy = dy .d = 4Cos(2) .2 d dx d dx dx = 8Cos(2) d dx 3. Jika s 2 = y 2 + x 2 , tentukan turunan nya terhadap variabel t. Jawab : 2s ds = 2y.dy + 2x.dx dt dt dt Contoh Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai! a. y = (3x + 5)5) b. y = (2x4 + 3x3 4x2 + 13

c. y = 2x2 4x+ 1 d. y = sin(2x4 + 3x3) Jawab a. y = (3x + 5)5y = u5 dy = 5u4 du dy dy du = dx du dx = 5u4 3= 15u4 = 15(3x+ 5)4

dan u = 3x + 5

du =3 dx

) b. y = (2x4 + 3x3 4x2 + 13 y = u3 dy = 3u2 du du = 8x3 + 9x2 8x dx

u = 2x4 + 3x3 4x2 + 1

MATEMATIKA Turunandy dy du = dx du dx = 3u2 (8x3 + 9x2 8x) = (24x3 + 27x2 24x)u2 = (24x3 + 27x2 24x)(2x4 + 3x3 4x2 + 1 2 )

c. y = 2x2 4x+ 1dy 1 12 1 = 2u = du 2 u du u = 2x2 4x +1 = 4x 4 dx dy dy du = dx du dx 1 = (4x 4) 2 u 4(x 1 ) = 2 2 2x 4x + 1 2(x 1 ) = 2 2x 4x + 1 y= u = u 2 1

d. y = sin(2x4 + 3x3)y = sinu dy du = cosu dan u = 2x4 + 3x3 = 8x3 + 27x2 du dx dy dy du = dx du dx = sinu (8x3 + 27x2 ) = sin(2x4 + 3x3 )(8x3 + 27x2 )

Contoh Tentukan Jawab Misal v = x3 + 5 makau = sinv

dy dari dx

y = sin4 (x3 + 5)

dv = 3x2 dx

maka

du = cosv = cos(x3 + 5) dv

y = u4 maka

Sehingga Contoh

dy = 4u3 = 4sin3( x3 + 5) du dy dy du dv = . . = 12x2 sin3 (x3 + 5)cos(x3 +5) dx du dv dx

Jika diketahui f '(0) = 2, g(0) = 0 , g'(0) = 3 , tentukan (f og)'(0). Jawab

MATEMATIKA Turunan(f og)'(x) = f '[ g(x)] g'(x) (f og)'(0) = f '[ g(0)] g'(0) = f '[ 0] 3 = (2)(3) =6

Soal : Jika y = f(m,p), tentukan dy/dp dan dy/dm jika : 1. y = m 2 .Cos2p 2. y = (1 3p) 1/2 2tg(2m) 2.4 Turunan Tingkat Tinggi Selain dapat dicari turunan pertama dari sebuah fungsi, kita juga dapat menentukan turunan kedua, ketiga, dan seterusnya samapai turunan ke-n dari sebuah fungsi. Jika turunan pertama diturunkan, maka diperoleh turunan ke dua, jika turunan kedua diturunkan lagi maka diperoleh turunan ke tiga, dan seterusnya. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi. Jika y = f (x) maka ' Turunan pertama : y = dx = dx = f '(x)

dy

df

Turunan kedua Turunan ketiga

: y''=

d2y d2f = = f ''(x) dx2 dx2 d3y d3f = = f '''(x) dx3 dx3 d4y d4f = = f (4) (x) dx4 dx4

: y''' =

Turunan keempat : y(4) = . . . . . . : y(n) =

Turunan ke-n

dny dnf = = f (n) (x) dxn dxn

Contoh

MATEMATIKA Turunan Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi berikut ini! a. y = 2x6 + 5x3 b. y = sinx Jawab a. y = 2x6 + 5x3y' = 12x5 + 15x2 y'' = 60x4 + 30x y''' = 240x3 + 30 y(4) = 720x2

b. y = sinxy' = cosx y'' = sinx y''' = cosx y(4) = sinx

2.5. TURUNAN FUNGSI PARAMETER Jika y = f(t) dan x = g(t), maka : dy = dy . dx dt Contoh : Jika y = t ; dan x = 2t 2 , maka a. dy = dy dx = 1 , dan dx dt dt 4t b. Jika t = ln1,3 , maka dy = dx 1 . 4.ln1,3 dx dt

Soal Aplikasi : 1. suatu gelombang info P melewati kota A ke Timur pada pukul 08.00 dengan laju 400 mil/jam dan pada ketinggian yang sama gelombang info Q melewati kota A ke arah Selatan pada pk. 08.30 dengan laju

MATEMATIKA Turunan 600 mil/jam. Berapa laju antara kedua gelombang info tersebut pada pukul 09.30. 2.6. MAKSIMUM dan MINIMUM. 2.6.1 FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Jika y = f(x) dengan grafik seperti nampak pada Gambar Grafik berikut : sb-y R S yr a r s ys t T Langkah-langkah menentukan Fungsi Naik dan Fungsi Turun : 1. Tentukan dy/dx 2. Tentukan harga-harga nol dari dy/dx dengan dy/dx = 0, untuk memperoleh nilai kritis x o 3. Tentukan x o pada garis bilangan, dan tentukan tanda dari dy/dx Jika dy/dx > 0, maka fungsi Naik. Jika dy/dx < 0 maka fungsi Turun Jika dy/dx = 0 maka fungsi stasioner. Dari Gambar di atas nampak : Pada interval : a < x < r : fungsi naik dengan r < x < s : fungsi turun dengan s < x < t : fungsi turun dengan t < x < u : fungsi naik dengan R disebut titik Balik Maks/titik Maks Relatif T disebut titik Balik Minimum/titik Minimum Relatif S disebut titik Belok y > 0 y < 0 y < 0 y > 0 U sb-x

Pada x = r; x = s; dan x = t fungsi stasioner dengan y = 0

MATEMATIKA Turunan y r = Nilai Maks Relatif y t = Nilai Minimum Relatif 2.6.2. TES DIRIVATIVE I untuk Menentukan Maks dan Min Untuk menentukan nilai Maks/Min suatu fungsi dapat dilakuka dengan menggunakan tes Derivative I dengan langkah-langkab sebagai berikut : 1. Tentukan dy/dx 2. Tentukan harga-harga nol dari dy/dx, dengan menyamakan dy/dx = 0, untuk menemukan nilai kritis x o . 3. Tentukan nilai kritis pada garis bilangan dan tentukan tanda dari dy/dx 4. Substitusikan nilai kritis x o pada y = f(x) dengan ketentuan : a. Jika dy/dx berubah tanda dari + sebelum x o ke y = f(x o ) merupakan nilai Maksimum fungsi. b. Jika dy/dx berubah tanda dari sebelum x o ke + setelah x o , maka y = f(x o ) merupakan nilai Minimum fungsi. c. Jika dy/dx tidak berubah tanda sebelum dan setelah x o , maka y = f(x o ) merupakan nilai Stasioner. Contoh : Jika y = 1/3 x 3 3x 2 + 5x + 2, tentukan : a. b. c. Jawab : a.(i) Tentukan y dy/dx = 1/3 . 3x 2 3.2x +5 = x 2 6x +5 (ii). Harga-harga nol dari dy/dx dy/dx = 0, jhj x 2 6x +5 x=5 =0 v x=1 (x 5)(x -1) = 0 Interval dimana fungsi naik dan fungsi turun Nilai Maks dan Min dari Fungsi Koordinat titik Maks dan Min setelah x o , maka

MATEMATIKA Turunan (iii) Tentukan nilai kritis pada garis bilangan dan tentukan tanda dari dy/dx ++++++ 1 -----------Jadi : y naik pada interval y turun pada interval dengan Tes Derivative, dengan : Langkah (i), (ii) dan (iii) sama seperti langkah peny. (a) di atas. Langkah (iv) - Untuk x o = 1, maka y = f(1)= 1/3 x 3 3x 2 + 5x + 2 = 1/3.1 3 3.1 2 + 5.1 + 2 = 4 dy/dx berubah tanda dari + sebelum x o = 1 dan setelah x o = = f(1)= 1/3 x 3 3x 2 + 5x + 2 = 1/3.5 3 3.5 2 + 5.5 + 2 = -6 Dan dy/dx berubah tanda dari sebelum x o = 5 ke + setelah x o = 5, ini berarti nilai minimum fungsi adalah y =-6 c. Titik koordinat Maks dan Min - Untuk x o = 1, nilai maks nya y = 4, jadi koordinat ttk Maks (1, 4). - Untuk x o = 5, nilai minimumnya y = -6, jadi koordinat ttk Minimum (5, -6). Contoh Aplikasi. 1 Arus dalam suatu rangkaian dinyatakan sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik), sbb : I(t) = 5 + 10 Sin 2t, tentukan : a. Waktu t terkecil agar I maksimum 1, ini berarti nilai maks fungsi adalah y = 4 - Untuk x o = 5, maka y Berdasar langkah di atas diperoleh nilai Kritis x o = 1 dan x o = 5: 5 x < 1 atau x > 5 1 0 *) Sudut antara dua kurva = 180 o , jika tg < 0

Kurva I

Kurva II

(4) Panjang Tangen = panjang garis tangen dari titik potong sb-x ke titik singgung kurva ( PT = panjang garis Tangen ) (5) Panjang Normal = panjang garis Normal dari titik potong sb-x ke titik singgung kurva ( NP = panjang garis Tangen )

MATEMATIKA Turunan (6) Panjang Sub-tangen = panjang proyeksi garis Tangen ke sb-x (TS = panjang garis Sub-tangen ). TS = y o /m (7) Panjang Sub-Normal = panjang proyeksi garis Normal ke sb-x (SN = panjang garis Sub-Normal). Contoh : Parabola dengan pers. y = -x 2 + 5x 6 pada titik potong dg sumbu x, tentukan : a. Pers. Grs. Tangen b. Pers. Grs. Normal Jawab : y = -x 2 + 5x 6 *) Memotong sb-x bila y = 0, maka : -x 2 + 5x 6 = 0 (-x+3)(x-2) = 0 x=3vx=2 Jadi ttk. Potong dengan sb-x : (3,0) dan (2,0) a. Pers. Grs. Tangen y y 0 = m (x - x o ) m = y = -2x + 5 - Untuk untuk ttk (3,0), x = 3, maka m = -2.3 + 5 = -1, sehingga pers. Grs. Tangen : y 0 = -1 (x - 3) atau y = -x + 3 - Untuk ttk (2,0), x = 2, maka m = -2.2 + 5 = 1, sehingga pers. Grs. Tangen : y 0 = 1 (x - 2) atau y = x 2 b. Pers. Grs. Normal y y 0 = -1/m (x - x o ) m = y = -2x + 5 - Untuk ttk (3,0) ; x = 3, m = - 1maka -1/m = -1/(-1) = 1, sehingga pers. Grs. Normal : y 0 = 1 (x - 3) atau y = x - 3 - Untuk ttk (2,0); x = 2, dan m = 1, maka -1/ m = -1/1= -1, sehingga pers. Grs. Normal : y 0 = -1 (x - 2) atau y = -x + 2 SN = m.y o

MATEMATIKA Turunan

Soal : Kabel dari suatu jembatan gantung tertentu yang dihubungkan ke tiang penyangga 80m jauhnya. Jika ia menggelantung membentuk parabola dengan titik terendah 16m di bawah titik hubung. Tentukan sudut antara kabel dan tiang penyangga. (petunjuk : ambil titik pangkal pada puncak parabola dan tentukan pers. parabola) (-40,0) (40,0)

3. TURUNAN PARSIAL 3.1. TURUNAN PARSIAL ORDER PERTAMA Jika f marupakan fungsi dari dua variabel y dan x atau f(x,y), maka : 1, Turunan parsial f terhadap x, ditulis kostan. 2. Turunan parsial f terhadap y, ditulis f/y kostan. Contoh : (1) Volume sebuah Silinder dengan jari-jari r dan tinggi h dirumuskan V = r2h, nampak volume akan barubah jika r atau h berubah, maka : - Turunan parsial V terhadap r adalah V/r = 2rh, dan - Turunan parsial V terhadap h adalah V/h = r2, (2) Jika f(x,y) = x3 + x2y + xy2 + y3 ; maka : dengan menganggap x f/x dengan menganggap y

MATEMATIKA Turunan f/x = 3x2 +2xy + y2 + 0 = 3x2 +2xy + y2 f/y = 0 + x2 + 2xy + 3y2 = x2 + 2xy + 3y2 (3) Jika Z = (x + y).ln(x/y), maka Z/x = (x+y) .(1/x) + (lnx/y).1 = (x+y)(1/x) + (lnx/y) Z/y = (x+y)(-1/y) + (lnx/y).1 = (x+y)(-1/y) + (lnx/y) (4) Jika Z = f(/) = 3Sin2.Cos3, maka Z/ = 3 Cos3.(Cos2). 2 = 6Cos3.Cos2 Z/ = 3 Sin2 (-Sin3),3 = -9Sin3.(Sin2) (5) Jika Z = f(x2+y2), tentukan Z/x dan Z/y Misal : u = x2+y2 maka : Z/x = Z . u . = (Z/u).(2x + 0) = 2x(Z/u) u x Z/y = Z . u . = (Z/u).(0 + 2y) = 2y(Z/u) u y 3.2. TURUNAN PARSIAL ORDER KEDUA Jika Z = f(x,y), maka Z/x dan Z/y adalah fungsi yang memuat variabel x dan y, sehingga Z/x dan Z/y dapat diturunkan terhadap x maupun y yang disebut dengan turunan parsial order ke dua. Ada empat bentuk turunan kedua Z= f(x,y) yaitu : (1) Turunan Z/x terhadap x ditulis : 2Z/x2 = (Z/x ) x (2) Turunan Z/x terhadap y ditulis : 2Z/yx = (Z/x ) y (3) Turunan Z/y terhadap y ditulis : 2Z/y2 = (Z/y ) y (4) Turunan Z/y terhadap x ditulis : 2Z/xy = (Z/y ) x Contoh : (1) Jika z = x3 + x2y + xy2 + y3 , maka : 2Z/x2 = (Z/x ) = (3x2 +2xy + y2) = 6x + 2y + 0 = 6x + 2y x x 2 2 Z/y = (Z/y ) = (x2 + 2xy + 3y2) = 0 + 2x + 6y = 2x + 6y y y 2Z/y x = (Z/x ) = (3x2 +2xy + y2) = 0 + 2x + 2y = 2x + 2y y y 2Z/xy = (Z/y ) = (x2 + 2xy + 3y2) = 2x + 2y + 0 = 2x + 2y

MATEMATIKA Turunan x Nampak : 2Z . = 2Z . y x x y x

(2) Jika Z = f(x,y) dengan Z = x.Cos(x+y), carialah 2Z/x2 ; 2Z/y2 ; tunjukan 2Z . = 2Z . y x x y * * * Z/x = x(-Sin(x+y).1) + Cos(x+y) .1 = Cos(x+y) xSin(x+y) Z/y = x(-Sin(x+y).1) + Cos(x+y) . 0 = xSin(x+y) 2Z/x2 = (Z/x) = (Cos(x+y) xSin(x+y)) x x = -Sin(x+y).1- (x.Cos(x+y).1 + Sin(x+y).1) = -Sin(x+y).1- x.Cos(x+y) - Sin(x+y) = - 2 Sin(x+y).1- x.Cos(x+y) * 2Z/y2 = (Z/y) = ( xSin(x+y)) = - x.Cos(x+y).1 - Sin(x+y).0 y y = - x.Cos(x+y)

* Tunjukan 2Z . = 2Z . silakan di coba !! y x x y