Logismos1_IAN_2012_KSENOS(1)

Α ΘΕΜΑ 1 ο (0,5+1+1) α.) Να ελεγχθεί ως προς τη σύγκλιση η αριθμητική σειρά: 1 n2 n n=1 ∞ ∑ β.) Να βρεθεί το διάστημα και η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς: (−1) n x n n n=1 ∞ ∑ γ.) Να γραφεί προσεγγιστικά (σειρά Taylor) ως δευτερόβαθμιο τριώνυμο η συνάρτηση: f(x) = arcsin x 2 , σε περιοχή του σημείου x0=L ΘΕΜΑ 2 ο (1+1) α.) Αν η συνάρτηση y=f(x) που ορίζεται από την εξίσωση: xey=cosy, να βρεθούν οι παράγωγοι: dy dx , d 2 y dx 2 στο σημείο: A(0, π 2 ) β.) Δίνεται η συνάρτηση y=f(x) που ορίζεται από τις εξισώσεις: x=e t cost, y=e t sint t ∈[0, π 4 ] . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του γραφήματος της συνάρτησης f στο σημείο (1,0). ΘΕΜΑ 3 ο (0,5+0,5+0,5) Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα: I 1 = e λ x dx, λ 0 +∞ ∫ ∈ R, I 2 = 1 + cos x dx, 0 2π ∫ I 3 = x 2 x 2 + 2 x − 3 dx. 0 1 ∫ ΘΕΜΑ 4 ο (0,5+0,5+1,5) Δίνονται οι κλειστές καμπύλες: C1: r=1+cosθ, C2: r=1+sinθ οι οποίες αναφέρονται σε πολικό σύστημα συντεταγμένων. α.) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυο καμπυλών στο ίδιο σύστημα πολικών συντεταγμένων για θ ∈[0,2π]. β.) Να βρεθούν οι πολικές συντεταγμένες των σημείων τομής τους. γ.) Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγάλου επίπεδου χωρίου το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό και των δυο κλειστών καμπυλών. ΘΕΜΑ 5 ο (1,5) Να υπλογιστεί ο όγκος στερεού που προκύπτει κατά την περιστροφή της καμπύλης: r=4sinθ, γύρω από τον πολικό άξονα. ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 2h30’. ***ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ*** 1 ο ΤΜΗΜΑ (ΑΛ) ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 – 31/01/2012 ΕΠΩΝΥΜΟ: .............................................................. ΟΝΟΜΑ: .............................................................. Α.Ε.Μ. : .............................................................. ΤΕΛΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ: ...................... ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ 1α 1β 1γ 2α 2β 2γ 3 4α 4β 4γ 5

Upload
babisigglezos
Category

Documents
view
217
download
2

Embed Size (px):

description

Transcript of Logismos1_IAN_2012_KSENOS(1)

ΘΕΜΑ 1ο (0,5+1+1)

α.) Να ελεγχθεί ως προς τη σύγκλιση η αριθμητική σειρά: 1n2nn=1

∞

∑

β.) Να βρεθεί το διάστημα και η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς: (−1)n xn

nn=1

∞

∑

γ.) Να γραφεί προσεγγιστικά (σειρά Taylor) ως δευτερόβαθμιο τριώνυμο η

συνάρτηση: f(x) = arcsin x2, σε περιοχή του σημείου x0=L

ΘΕΜΑ 2ο (1+1) α.) Αν η συνάρτηση y=f(x) που ορίζεται από την εξίσωση: xey=cosy, να βρεθούν

οι παράγωγοι: dydx, d

2ydx2

στο σημείο: A(0,π2)

β.) Δίνεται η συνάρτηση y=f(x) που ορίζεται από τις εξισώσεις: x=etcost, y=e-‐tsint

t ∈[0,π4] . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του γραφήματος της

συνάρτησης f στο σημείο (1,0). ΘΕΜΑ 3ο (0,5+0,5+0,5) Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

I1 = eλx dx,λ0

+∞

∫ ∈R, I2 = 1+ cos x dx,0

2π

∫ I3 =x2

x2 + 2x − 3dx.

∫

ΘΕΜΑ 4ο (0,5+0,5+1,5) Δίνονται οι κλειστές καμπύλες: C1: r=1+cosθ, C2: r=1+sinθ οι οποίες αναφέρονται σε πολικό σύστημα συντεταγμένων. α.) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυο καμπυλών στο ίδιο σύστημα πολικών συντεταγμένων για θ ∈[0,2π]. β.) Να βρεθούν οι πολικές συντεταγμένες των σημείων τομής τους. γ.) Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγάλου επίπεδου χωρίου το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό και των δυο κλειστών καμπυλών. ΘΕΜΑ 5ο (1,5) Να υπλογιστεί ο όγκος στερεού που προκύπτει κατά την περιστροφή της καμπύλης: r=4sinθ, γύρω από τον πολικό άξονα. ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 2h30’. ***ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ***

1ο ΤΜΗΜΑ (Α-‐Λ) ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 – 31/01/2012 ΕΠΩΝΥΜΟ: .............................................................. ΟΝΟΜΑ: .............................................................. Α.Ε.Μ. : .............................................................. ΤΕΛΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ: ......................

ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ 1α 1β 1γ 2α 2β 2γ 3 4α 4β 4γ 5